persamaan tiga momen a.pdf

8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf

1/35


2/35

TM- 7

Persamaan Tiga Momen

(Three Moments Equation)


3/35


4/35

•

Struktur statis tertentuStruktur yang dapat dianalisis dengan menggunakan

3 persamaan keseimbangan (∑M = 0, ∑H = 0, ∑V = 0)

• Struktur statis tak tentu

Struktur yang tidak dapat dianalisis dengan

menggunakan 3 persamaan keseimbangan, perlumetode lain.


5/35

• ∑M = 0

• ∑H = 0

• ∑V = 0

3 persamaan

dengan 3 variabel(H, V1, V2)

OK !!

H

V2V1

Struktur statis tertentu


6/35

Struktur statis tertentu

V

H

M

• ∑M = 0

• ∑H = 0

•

∑V = 0

3 persamaan

dengan 3 variabel

(M, H, V)OK !!


7/35

V1

H1M1

V2

H2M2

• ∑M = 0

• ∑H = 0

•

∑V = 0

3 persamaan dengan 6

variabel (M1, H1, V1,

M2, H2, V2)

Tidak

OK !!

Struktur statis tak tentu


8/35

• ∑M = 0

• ∑H = 0

• ∑V = 0

3 persamaandengan 5 variabel

(H1, H2, V1,V2,V3)

TidakOK !!

Struktur statis tak tentu

H2

V3V2

H1

V1


9/35

Struktur Statis Tak tentu

• Balok yang respons strukturnya tidak dapat

diselesaikan dengan menggunakan persamaan

persamaan statika.

• Derajat ketidak-tentuan dirumuskan dengan

persamaan:

NI = NR - 2 - NIH

NI = derajat ketidak tentuan,

NR = jumlah total reaksi,

NIH = jumlah sendi dalam pada struktur


10/35

Struktur Statis Tak tentu

• Metode yang bisa digunakan untuk analisis

struktur:

– Persamaan Tiga Momen (Clayperon)

– Ubahan Sudut (Slope deflection)

– Distribusi Momen (Moment Distribution/Cross)

– dll


11/35


12/35

Penurunan persamaan

Balok menerus dengan beberapa tumpuan sendiq

P

A BC

L1 L2

L2/2I1I2

Balok menerus yg dipotong dengan hanya 3 tumpuan sendi

A BC

L1 L2

L2/2

P

I1I2


13/35

q

A B C

L1 L2

L2/2

P

I1I2

Balok menerus A-B-C dengan 3 tumpuan sendi

A B B C

A2 A1

A4 A5

A3 A6

MB

MCMA


14/35

A BC

L1 L2

L2/2I1I2

C’

C1

A’

A1

hA hC

2

1

1

1

L

CC

L

AA

Dengan:

AA1 = hA – A1A’ = hA – (lendutan di A’ dari garis singgung di B)

CC1 = C’C1 - hC = (lendutan di C’ dari garis singgung di B) - hC

Metode Luas Momen

Segitiga

Sebangun


15/35

Metode Luas Momen

(Moment Area Methode)

• Teorema I

– Beda kemiringan antara 2 garis singgung pada kurva elastisbatang yang mulanya lurus = luas bidang momen diantarakedua titik singgung tersebut dibagi EI

• Teorema II – Lendutan di sebuah titik pada kurva elastis terhadap garis

singgung di sebuah titik lain pada kurva yang sama, diukurdalam arah tegak lurus dari sumbu batang yang semula

lurus, = momen dari luas bidang momen diantara keduatitik tersebut dibagi EI, terhadap tempat terjadinyalendutan.


16/35

A BC

C’

C1

A’

A1

lendutan di C’ dari garis singgung di B = momen dari diagram bidang momenantara titik B dan titik C.

Momen dari bidang momen tersebut = luas bidang momen antara B dan C

dikalikan dengan jarak titik berat bidang tersebut ke titik C.

lendutan di A’ dari garis singgung di B = momen dari diagram bidang momen

antara titik A dan titik B.

Momen dari bidang momen tersebut = luas bidang momen antara A dan B

dikalikan dengan jarak titik berat bidang tersebut ke titik A.


17/35

lendutan di A’ dari garis singgung di B = momen dari diagram bidang momen

antara titik A dan titik B, dibagi dengan EI

Momen dari bidang momen tersebut = luas bidang momen antara B dan C

dikalikan dengan jarak titik berat bidang tersebut ke titik A, dibagi dengan EI

Lendutan di A = jumlah dari semua perkalian luas bidang momen antara A-B dengan

titik beratnya dari A, dibagi dengan EI

= (A1a1 + (2/3) A4a4 + (1/2) A3a3)/EIABLendutan di B = jumlah dari semua perkalian luas bidang momen antara A-B dengan

titik beratnya dari C, dibagi dengan EI

= (A2a2 + (2/3)A5a5 + (1/2)A6a6)/EIAB

A2A1

a1 a2

a5

a6

a4

a3

A4 A5

A3 A6

A B C

A B C


18/35

(hA – (A1a1 + ( 1/6) MAL12 + (1/3) MB L1

2 ) )/EI1

=

((A2a2 + (1/3) MBL22

+ (1/6)MCL22

) –

hC )

AA1 = hA – A1A’ = hA – (lendutan di A’ dari garis singgung di B)

= hA – (A1a1 + A3a3 + A4a4)

= hA – (A1a1 + (1/2) L1MA(1/3) L1 + (1/2)MBL1 (2/3)L1)

= hA – (A1a1 + ( 1/6) MAL12+ (1/3) MB L1

2 )

CC1 = CC1 - hC = (lendutan di C’ dari garis singgung di B) – hC

= (A2a2 + A5 (2/3)a5 + (A6(1/3) a6)) – hC

=(A2a2 + (1/2) MBL2(2/3) L2 + (1/2)MCL2(1/3)L2) – hC

= (A2a2 + (1/3) MBL22 + (1/6)MCL2

2) – hC

2

1

1

1

L

CC

L

AA

Bentang A-B-C


19/35

Bentang A-B-C

2122

22

11

11

2

2

2

2

1

1

1

1

6666

2

L

Ehc

L

Eh

I L

a A

I L

a A

I

L M

I

L

I

L M

I

L M

A

C B A


20/35

Balok dengan perletakan jepitPenyelesaian balok dengan perletakan jepit sama dengan balok menerus

perletakan sendi.

Pada kasus ini, perletakan jepit disubstitusi dengan perletakan sendi + bentang

imajiner yang memiliki kekakuan TAK TERBATAS dan panjang MENDEKATI 0,

sehingga dengan demikian kondisi perletakan jepit tetap tercapai.

Penyelesaian selanjutnya sama dengan balok menerus perletakan sendi.

Ao

A


21/35

Langkah perhitungan

• Amati struktur dengan baik. Perhatikan kondisi perpindahan

perletakan. Untuk kondisi jepit, modifikasi struktur dengan

menambahkan bentang imajiner dan mensubstitusi

perletakan jepit menjadi perletakan sendi.

• Bagi balok menerus menjadi 2 bentang (A-B-C). Buatlah

diagram momen akibat beban luar. Hitung luas dan jarak titik

beratnya dari titik ujung luar.

• Gunakan persamaan tiga momen untuk mendapatkan momen

momen ujung, dan buatlah diagram bidang momennya.

• Kontrol putaran sudut

• Hitung reaksi perletakan, dan buatlah persamaan gaya

dalamnya.

• Buatlah diagram gaya dalam dan kurva elastis struktur.


22/35

Contoh SoalSebuah balok menerus seperti gambar dibawah ini akan

dianalisa dengan menggunakan Persamaan Tiga Momen. Tidakterjadi perpindahan tumpuan.

q = 1.8 kN/m

5mBA

2I2I3I

P = 18 kN

q = 1.8 kN/m

10m 10m 4m

C

D

a) Hitunglah Reaksi Perletakan dari masing masing tumpuan (40%)

b) Gambarkan Bidang Gaya Dalam (bidang momen dan bidang geser) (40%)

c) Gambarkan kurva elastis dari balok (20%)


23/35

• Step 1.

– Amati soal dengan baik. Soal menggunakan satuaninternasional (meter dan kilonewton).

– Struktur merupakan balok menerus dengan perletakan jepit di ujung kiri. Maka struktur dimodifikasi dengandisebelah tumpuan jepit diberikan bentang imajinertambahan.

– Struktur tidak mengalami perpindahan tumpuan sehinggahA, hB dan hC = 0

– Beban di bentang CD dijadikan momen tumpuan, yaitusebesar:

•

MC = 0.5*qL2

= 0.5*1.8*16

= -14.4 kNm


24/35

q = 1.8 kN/m

Ao

5mBA

2I2I3I

P = 18 kN

q = 1.8 kN/m

10m 10m 4m

C

D


25/35

• Step 2.

Buat diagram momen akibat beban luar.

CA Ao

5mB2I3I

q = 1.8 kN/m

10m 10m

DA2 A3 A1

2I

4m

P = 18 kN

A1 = 0

A2 = (2/3)LAB(1/8)q1LAB2

= (1/12)qLAB3

= (1/12)*1.8*1000

= 150

A3 = (1/2)LBC(1/4)PLBC= (1/8)PLBC

2

= (1/8)18*100

= 225


26/35

• Step 3: Gunakan Persamaan Tiga Momen

Bentang Ao-A-B

0226116

2

AB I AB L

a A

AoA I AoA L

a A

AB I AB

L

B M AB I AB

L

AoA I AoA

L

A M AoA I AoA

L

Ao M

AB I AB L

a A

AB I

AB L

B M

AB I

AB L

A M 226

2

I I M

I M

B A310

51506

3

10

3

102

2MA + MB = -45 ………… (1)


27/35

Bentang A-B-C

0336226

2

BC I BC L

a A

AB I AB L

a A

BC I

BC L

C M BC I

BC L

AB I

AB L

B M AB I

AB L

A M

I I

I I I B M

I A M

210

52256

310

51506

2

104.14

2

10

3

102

3

10

(10/3) MA + 2MB (50/6) - 72 = -150 – 337.5

10MA + 50 M

B - 216 = -1462,5

MA + 5 MB = -124.65 ……………. (2)


28/35

2MA + MB = -45 ………… (1)

MA + 5 MB = -124.65 ………… (2)

MA = -124.65 – 5MB

2(-124.65 – 5MB) + MB = -45

-249.3 – 10MB + MB = -45

-9MB = -45 + 249.3

= 204.3

MB = -22.7

MA = -124.65 – 5(-22.7)

= -124.65 + 113.5

= -11.15

Didapat momen di tumpuan

yaitu:

MA = -11.15 kNm

MB = -22.7 kNm

MC = -14.4 kNm


29/35

Perhitungan rotasi / putaran sudut


30/35

Konsep

• Balok Fiktif

• Balok nyata

• Geser pada balok semu = Rotasi pada balok

nyata

• Momen pada balok semu = lendutan pada

balok nyata


31/35

10m 10m

11.15A7

BA

A5

A4 C DA6

22.7

14.4

4m

A4 = 11.15*10

= 111.5A5 = 0.5*10*(22.7-11.15)

= 5*11.55

= 57.75

A6 = 10*14.4

= 144A7 = 0.5*10*(22.7-14.4)

= 5*8.3

= 41.5


32/35

10m 10m

11.15A7

BA

A5

A4C DA6

22.7

14.4

4m

CA Ao 5mB2I3I

10m 10m

DA2 A3 A1

2I

4m

Kontrol Putaran Sudut


33/35

B = (1/3EI)*(-0.5A2 + 0.5A4 + (2/3)A5)

= (1/3EI)*(-0.5*150 + 0.5*111.5 + (2/3)*57.75)

=(1/3EI)*(-75 + 55.75 + 38.5)

= (1/3EI)* 19.25

= + 6.4167 / EI

Kontrol Putaran Sudut

Bentang AB

A = (1/3EI)*(0.5A2-0.5A4-(1/3)A5)= (1/3EI)*(0.5*150 – 0.5*111.5 – (1/3)*57.75)

=(1/3EI)*(75 – 55.75 – 19.25)

= (1/3EI) * 0.0

= 0


34/35

C = (1/2EI)*(-0.5A3 + 0.5A6 + (1/3)A7)= (1/2EI)*(-0.5*225 + 0.5*144 + (1/3)*41.5)

= (1/2EI)*(-112.5 + 72 + 13.8333)

= (1/2EI)*( -26.6667)

= - 13.3333 / EI

Dari A = 0, dan adanya kesamaan nilai dan arah B pada

bentang AB dan bentang BC,

dapat diketahui bahwa hitungan sudah benar.

Bentang BC

B = (1/2EI)*(0.5A3 – 0.5A6 – (2/3)A7)= (1/2EI)*(0.5*225 – 0.5*144 – (2/3)*41.5)

= (1/2EI)*(112.5 – 72 – 27.6667)

= (1/2EI)*(12.8333 )

= + 6,4167 / EI


35/35

Reaksi Perletakan

q = 1.8 kN/m

5mBA

2I2I3I

P = 18 kN

q = 1.8 kN/m

10m 10m 4m

C

D

R A

(kN) R B

(kN) R B

(kN) R C

(kN) R C

(kN)

Akibat Beban 9 9 9 9 7.2

Akibat Momen tumpuan 1.115 -1.115 2.27 -2.27 0

-2.27 2.27 -1.44 1.44 0

Total Reaksi Perletakan 7.845 19.985 15.37

Chek V = 0

V = (1.8*10 + 18 + 1.8*4) – (7.845+19.985+15.37)

43.2 – 43.2 = 0 ………………. Perhitungan ok!

persamaan tiga momen a.pdf

Documents