persamaan tiga momen (clayperon)

1

BAB I PERSAMAAN TIGA MOMEN

1.1 Pendahuluan

Balok statis tak tentu telah didefinisikan sebagai balok yang tanggapan

gaya dan tanggapan deformasinya, ketika beban-beban bekerja atau ketika

tumpuan-tumpuan mengalami penurunan yang tak sama, tidak dapat ditentukan

dengan hanya menggunakan persamaan-persamaan statika. Derajat ke tak tentuan

balok statis tak tentu adalah :

NI = NR - 2 - NIH ……………………… (1)

dengan: NI adalah derajat ke-taktentu-an, NR adalah jumlah total reaksi, dan NIH

adalah jumlah sendi-dalam pada balok yang bersangkutan. Balok umumnya

dibuat tanpa sendi-dalam, meskipun dalam analisa batas,* yang meneliti

tanggapan-tanggapan suatu balok setelah kapasitas momen-luluh tercapai pada

beberapa penampang balok, balok yang bersangkutan berperilaku seolah-olah

sendi-dalam telah terpasang pada penampang-penampang kritis ini.

Derajat ke-taktentu-an paling tinggi yang mungkin untuk suatu balok yang

terdiri dari satu bentangan (atau dengan dua tumpuan) adalah dua, yakni apabila

kedua ujung bentangannya terjepit. Balok dengan lebih dari satu bentangan

dinamakan balok-kontinu, karena ia "kontinu" di atas tumpuan-tumpuan-

antaranya. Balok-balok yang diperlihatkan pada Gambar 1 adalah balok-balok-

kontinu yang terdiri dari empat bentangan. Derajat ke-taktentu-an dari ketiga

balok pada gambar tersebut masing-masing adalah 3, 4 dan 5.

Balok-kontinu biasa dipakai dalam konstruksi jembatan dan bangunan.

Panjang bentangannya boleh tak sama, dan momen-momen inersia penampang

tegaknya boleh berbeda dari satu bentangan ke bentangan yang lain. Analisa

balok semacam itu, dengan metode gaya yang menggunakan reaksi-reaksi sebagai

kelebihan, akan memerlukan sejumlah besar perhitungan lendutan atau

kemiringan pada balok-dasar dengan be-berapa variasi momen inersia penampang

tegaknya. Pendekatan yang lebih memudahkan adalah dengan menggunakan

momen-momen lentur statis yang tak diketahui di tumpuan-tumpuan sebagai

kelebihan.

2

Gambar 1. Balok Kontinu

Pada metode ini, setiap bentang dapat dipandang secara mandiri sebagai

suatu balok-sederhana yang momen inersianya tetap, yang memikul beban-beban

yang bekerja pada batang tersebut. Kondisi keselarasan yang berkaitan dengan

momen lentur yang tak diketahui di sembarang tumpuan-antara, dapat dianggap

sebagai fungsi dari beban-beban pada dua bentang yang bersebelahan dan momen

lentur di tiga tumpuan yang berurutan, mencakup sebuah tumpuan di depan dan

sebuah tumpuan di belakang tumpuan yang sedang ditinjau. Karena kondisi

keselarasan ini melibatkan tiga momen lentur di tumpuan-tumpuan, ia dinamakan

persamaan tiga-momen. Pada tahun 1857, Clapeyron menguraikan analisa balok-

kontinu dengan menggunakan persamaan tiga-momen; pada tahun 1860 Mohr

menyesuaikan lebih lanjut metode tersebut dengan memasukkan pengaruh-

pengaruh dari penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama.

Sasaran bab ini ialah menurunkan persamaan tiga-momen dan menunjukkan

penerapannya terhadap analisa balok statis taktentu yang memikul beban-beban

yang bekerja atau mengalami penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama.

3

1.2 Penurunan Persamaan Tiga-Momen

Persamaan tiga-momen menunjukkan hubungan antara momen-momen

lentur di tiga tumpuan yang berurutan pada suatu balok-kontinu yang ditujukan

untuk memikul beban-beban yang bekerja pada kedua bentang yang bersebelahan,

dengan atau tanpa penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama. Hubungan ini

dapat diturunkan berdasarkan kontinuitas kurva elastis di atas tumpuan-antaranya;

yakni, kemiringan kurva elastis di ujung kanan bentangan sebelah kiri harus sama

dengan kemiringan kurva elastis di ujung kiri bentangan sebelah kanan.

Sebutlah AB dan BC pada Gambar 2a sebagai dua bentangan yang bersebe-

lahan pada suatu balok yang semula horisontal. Karena penurunan-penurunan

yang tak sama, tumpuan A dan tumpuan C lebih tinggi dari tumpuan B, masing-

masing se-besar hA dan hC', dengan demikian kurva elastis yang bersangkutan

melalui titik-titik A', B, dan C'. Sebutlah MA, MB, dan Mc sebagai momen-momen

lentur di A, B, dan C, momen-momen ini positif jika mereka menyebabkan

tekanan pada bagian atas balok.

4

Gambar 2. Diagram momen pada dua bentangan yang bersebelahan pada balok kontinu

Tinjaulah sekarang Gambar 3, diagram momen pada bentang AB diuraikan

menjadi dua bagian: Gambar 3b menunjukkan diagram momen akibat beban-

beban yang bekerja pada AB apabila ia dipandang sebagai suatu balok-sederhana,

dan Gambar 3c menunjukkan diagram momen yang dihasilkan dari momen-

momen MA dan MB di tumpuan-tumpuan yang bersangkutan. Lewat superposisi,

seluruh diagram momen diperlihatkan pada Gambar 3a.

Gambar 3. Superposisi diagram momen pada suatu bentang tipikal

Kembali ke Gambar 2, perhatikanlah bahwa diagram-diagram momen pada

bentangan AB dan BC masing-masing dipecahkan menjadi dua bagian: bagian-

bagian A1 dan A2 yang disebabkan oleh beban-beban pada masing-masing

bentangan dan bagian-bagian A3, A4 dan A5, A6 yang disebabkan oleh momen-

momen ujung MA, MB pada bentangan AB dan MB, MC pada bentangan BC.

Diagram-diagram momen balok-sederhana akibat beban-beban yang bekerja pada

bentangan-bentangannya telah didapatkan sebelumnya, dan sasaran analisa yang

bersangkutan adalah memperoleh momen-momen lentur MA, MB dan MC di

tumpuan-tumpuan yang bersangkutan.

Hubungan antara MA, MB, dan Mc dapat diturunkan dari kondisi keselarasan

5

untuk balok yang kontinu di B, atau garis singgung kurva elastis BA' di B terletak

pada gads lurus yang sama dengan garis singgung kurva elastis BC di B,

sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2a. Dengan kata lain, titik-hubung B

dapat dipandang sebagai suatu titik-hubung kaku (monolitik dalam konstruksi

beton bertulang, dilas dalam konstruksi baja); dengan demikian kedua garis

singgung di B pada kurva-kurva elastis di kedua belah sisi B, satu terhadap yang

lain, harus tetap membentuk sudut 180°. Karena gads singgung A1BCl pada

Gambar 2a harus berupa garis lurus,

…………………………….. (2)

dengan :

AA1 = hA-A1A' = hA - (lendutan di A' dari garis singgung di B)

= hA-

= hA- …………………….. (3)

dan

CC1 = C1C' = hC - (lendutan di C' dari garis singgung di B) - hC

=

= …………………….. (4)

Subtitusikan persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (2),

=

Kalikan setiap suku dalam persamaan di atas dengan 6E dan sederhanakan,

…(5)

Persamaan (5) tak lain adalah persamaan tiga momen.

6

1.3 Penerapan Persamaan Tiga Momen pada Analisa Balok-Kontinu akibat

Beban-beban yang Bekerja

Persamaan tiga-momen dapat digunakan untuk menganalisa balok statis

taktentu. Sebagai contoh, tinjaulah masalah penganalisaan balok kontinu pada

Gambar 4, yang ditujukan untuk memikul beban-beban yang bekerja sebagaimana

diperlihatkan. Balok yang bersangkutan bersifat statis taktentu berderajat-tiga,

namun kelebihannya akan dihapuskan apabila momen-momen lentur di semua

tumpuan telah didapatkan. Momen-momen di tumpuan A dan E dapat dengan

mudah diperoleh melalui pemeriksaan, sambil mengikuti hukum-hukum statika.

Untuk menentukan momen-momen di tumpuan-tumpuan B, C, dan D, ketiga

persamaan tiga-momen dapat disusun berdasarkan kontinuitas di tumpuan-

tumpuan B, C dan D. Dengan kata lain, momen-momen lentur MB, MC, dan MD

dipilih sebagai kelebihan-kelebihan, dan kondisi deformasi yang bersangkutan

adalah ke-kontinuitas-an tersebut, yang dapat dinyatakan dengan persamaan tiga-

momen. Jadi selalu terdapat kondisi-kondisi kontinuitas sebanyak momen-momen

lentur yang tak diketahui di tumpuan-tumpuan. Reaksi-reaksi di ujung-ujung

setiap bentangan dapat diperoleh melalui hukum-hukum statika dan diagram gaya

geser serta diagram momen dapat digambarkan sebagaimana mestinya.

Gambar 4. Balok kontinu tipikal dengan momen diketahui di tumpuan-tumpuan ujungnya

Jika balok-kontinu yang bersangkutan memiliki sebuah tumpuan-terjepit,

sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 5, momen lentur di tumpuan-terjepit yang

bersangkutan merupakan salah satu kelebihan yang tak diketahui. Kondisi

keselarasan yang berkaitan dengan momen ujung-terjepit yang tak diketahui

7

tersebut adalah, bahwa kemiringan garis singgung di A sama dengan nol. Kondisi

ini dapat 'dipenuhi dengan menambahkan suatu bentang khayal A0A dengan

sembarang panjang L0 yang hanya ditumpu di A0 dan yang penampang tegaknya

memiliki momen inersia yang tak-terhingga besarnya. Dalam cara ini, suatu

persamaan tiga-momen yang menggunakan tumpuan-terjepit A sebagai tumpuan-

antaranya dapat disusun. Karena bentangan-khayal A0A memiliki momen inersia

yang tak-terhingga besarnya, diagram momennya, berupa apa pun ia, tak dapat

menghasilkan luas bidang M/EI, karenanya tak terdapat kurva elastis. Selama A0A

masih dalam keadaan tak-terdeformasi, garis singgung yang umum di A akan

berupa garis lurus horisontal.

Gambar 5. Balok kontinu tipikal dengan momen yang tidak diketahui di tumpuan ujung terjepit

1.4 Contoh Soal

Contoh 1. Analisalah balok-kontinu pada Gambar 6a dengan menggunakan

persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah

sketsa kurva elastisnya!

PENYELESAIAN: Diagram-diagram momen pada AB, BC dan CD, yang

diperoleh dengan menganggap setiap bentang sebagai suatu balok-sederhana yang

8

memikul beban-beban yang bekerja. diperlihatkan pada Gambar 6b. Perhatikan

bahwa, untuk bentang BC, diagram-diagram momen digambarkan secara terpisah,

masing-masing untuk beban terbagi-rata dan untuk beban terpusat.

Dari gambar 6b diketahui, MA=0 dan MD=-36 kN.m (negatif karena ia

mengakibatkan tekanan di D pada bagian bawah balok).

Terapkan persamaan tiga-momen terhadap

Bentangan AB dan BC:

…. 1

Bentangan BC dan CD:

… 2

Disederhanakan menjadi :

6,4 MB + 1,2 MC = - 1555,2 ………. 1

1,2 MB + 8,4 MC = - 1495,2 ………. 2

Eliminasi dan subtitusi persamaan 1 & 2, didapat :

MB = -215,39 kN.m

MC = - 147,23 kN.m

Sebelum melangkah lebih lanjut, sebaiknya kita cek dulu di sini ketepatan

nilai-nilai MB dan MC yang diperoleh di atas. Hal ini dapat dilakukan dengan

mengecek θB di dalam bentangan AB dan BC serta θC di dalam bentangan BC dan

CD. Perhatikanlah bahwa diagram momen total pada setiap bentangan adalah

jumlah dari diagram-diagram momen pada Gambar 6.3.3b dan c.

Terapkan metode balok padanan terhadap

Bentangan AB :

θA =

9

= (positif berarti searah putaran jarum jam)

θB =


Bentangan BC:

θB =


θC =

= (negatif berarti berlawanan arah putaran jarum jam)

Bentangan CD:

θC =

= (negatif berarti berlawanan arah putaran jarum jam)

θD =


Dari perhitungan-perhitungan di atas, dapatlah terlihat bahwa nilai-nilai θB

yang sama diperoleh masing-masing dari penggunaan diagram-diagram momen

pada bentangan AB dan DC. Demikian pula, nilai-nilai θC yang sama diperoleh

dari penggunaan diagram-diagram momen pada bentangan BC dan CD. Hal ini

menunjukkan bahwa persamaan tiga-momen yang bersangkutan telah dibuat dan

diselesaikan secara tepat, namun tak ada bukti bahwa luas A1 hingga A4 telah

dihitung secara tepat. Nilai-nilai θA dan θD telah juga dihitung sehingga mereka

10

dapat ditunjukkan pada Kurva elastis.

Gambar 6. Balok kontinu contoh soal 1

Reaksi perletakan ditentukan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7a.

Reaksi total di ujung setiap bentangan sama dengan jumlah reaksi yang

disebabkan oleh beban-beban yang bekerja pada bentangan yang bersangkutan

dan yang disebabkan oleh momen-momen di ujung-ujung bentangan tersebut.

Sebagai contoh, jumlah momen ujung yang bekerja pada bentangan BC sama de-

ngan 215,39-147,23 = 68,16 kN.m berlawanan arah jarum jam, yang

memerlukan suatu kopel reaksi searah jarum jam, atau sebuah reaksi ke atas

sebesar 68,16/12 = 5,680 kN di B dan sebuah reaksi ke bawah sebesar 5,680 kN

11

di C.

Gambar 7. Penyelesaian untuk balok kontinu contoh soal 1

Reaksi total terhadap balok kontinu di tumpuan B sama dengan jumlah

reaksi-reaksi ujung di B terhadap bentangan BA dan BC, atau RB = 107,898+

12

141,680 = 249,578 kN. Setelah semua reaksi diperoleh, diagram gaya geser

digambarkan sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 7b. Titik gaya geser nol

pada bentangan AB terletak pada jarak 36,102/24 = 1,504 m dari tumpuan A. Luas

setiap bagian dari diagram gaya geser dihitung dan ditunjukkan pada diagram

gaya geser yang bersangkutan. Diagram momen diplot sebagaimana diperlihatkan

pada Gambar 7c, hubungan yang menyatakan bahwa beda momen antara dua titik

sembarang sama dengan luas diagram gaya geser di antara kedua titik yang

bersangkutan, digunakan secara berturut-turut di antara titik-titik yang penting.

Dengan cara demikian, Mb dan Mc dicek kembali sama dengan -215,39 dan

-147,23, jadi menunjukkan bahwa reaksi-reaksi yang diperoleh sebelumnya

adalah benar. Perhatikan juga bahwa diagram momen akan bersifat linier apabila

gaya geser yang bersangkutan tetap dan kemiringan kurva momen di sembarang

titik sama dengan gaya geser di titik yang bersangkutan. Kurva elastis

kualitatifnya diperlihatkan pada Gambar 7d.

Contoh 2. Analisalah balok-kontinu pada Gambar 8a dengan menggunakan

persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah

sketsa kurva elastisnya.

PENYELESAIAN: Diagram-diagram momen pada AB, BC dan CD, yang

diperoleh melalui peninjauan setiap bentang sebagai suatu balok sederhana yang

memikul beban-beban yang bekerja, diperlihatkan pada Gambar 8b. Karena

tumpuan A terjepit, suatu balok-khayal A0A, sepanjang L0 dan dengan I = ∞,

ditambahkan. Diketahui MA0 = 0 dan MD = - 36 kN.m.

Terapkan persamaan tiga-momen terhadap :

Bentang A0A dan AB:

, …………………. 1

Bentang AB dan BC:

13

,… 2

Bentang BC dan CD:

… 3

Disederhanakan, maka :

4 MA + 2 MB = - 432 …………..1

2 MA + 6,4 MB + 1,2 MC = - 1555,2 ………. 2

1,2 MB + 8,4 MC = - 1495,2 ………. 3

Persamaan 1, 2, dan 3 dieliminasi dan subtitusi mundur, maka didapat :

MA = -0.36 kN.m

MB = -215.28 kN.m

MC = -147.24 kN-m

14

Gambar 8. Balok menerus contoh 2

Untuk mengecek nilai-nilai MA, MB, dan MC yang diperoleh di atas, metode

balok-padanan digunakan lagi untuk mendapatkan θA, θB, dan θC. Diagram momen

pada setiap bentangan adalah jumlah dari diagram-diagram momen pada Gambar

8b dan c.

Terapkan metode balok-padanan terhadap,

Bentangan AB:

θA =

θB = = (searah jarum jam)

Bentangan BC:

θB = = (searah jarum jam)

θC =

= (berlawanan jarum jam)

Bentangan CD:

θC = = (berlawanan jarum

jam)

θD = = (searah jarum jam)

Reaksi-reaksi, diagram gaya geser dan momen, dan sketsa kurva elastis

dapatlah kemudian diperoleh melalui cara yang sama seperti pada contoh

sebelumnya.

15

Contoh 3. Dengan menggunakan persamaan tiga-momen, analisalah balok-

kontinu pada Gambar 9a sehubungan dengan penurunan 15 mm di tumpuan B.

Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya.

PENYELESAIAN: Apabila hanya terjadi penurunan-penurunan tumpuan

yang tak sama tapi tak ada beban yang bekerja, persamaan tiga-momen yang

bersangkutan menjadi

Dalam penggunaan persamaan di atas, perhatikanlah bahwa hA dan hC masing-

masing adalah besaran yang menunjukkan bahwa sebenarnya tumpuan A dan C

lebih tinggi daripada tumpuan B.

Terapkan persamaan tiga-momen terhadap


2 MA + 6,4 MB + 1,2 MC = + 0,0225 EIC


1,2 MB + 8,4 MC + 3 MD = - 0,0075 EIC

Karena MA=MD = 0 dan EIC = 80.000 kN.m, persamaan tiga momen yang

bersangkutan menjadi

6,4 MA + 1,2 MB = + 1800

1,2 MB + 8,4 MC = - 600

Sederhanakan,

MB = + 302,75 kN.m

MC = - 114,68 kN.m

16

Reaksi-reaksi, beserta diagram gaya geser dan momennya ditunjukkan pada

Gambar 9b hingga d. Sketsa kurva elastiknya ditunjukkan pada Gambar 9e.

17


Untuk mengecek ketepatan MB dan MC, kemiringan kurva elastis di B dan C

masing-masing harus dihitung dengan menggunakan diagram momen pada

bentangan sebelah kiri dan kemudian bentangan sebelah kanan serta lihatlah

bahwa hasil yang sama diperoleh. Demi kelengkapan, kemiringan di A dan D juga

dihitung agar kurva elastis pada Gambar 6.4.1e dapat diplot secara lebih baik.

Terapkan metode balok-padanan terhadap.

Bentang AB:

θA =

= + 3,7614 x 10-3

θB =

= - 0,0229 x 10-3

Bentang BC:

θB =

= = - 0,0230 x 10-3

θC =

= = - 1,4335 x 10-3

Bentang CD:

θC = = - 1,4335 x 10-3

18

θD = = + 0,7168 x 10-3

Contoh 4. Dengan menggunakan persamaan tiga-momen, analisalah balok-

kontinu pada Gambar 10 sehubungan dengan penurunan 15 mm di tumpuan B.

Gambarkan diagram gaya geser dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya.

PENYELESAIAN: Terapkan persamaan tiga-momen terhadap

Bentangan A0A dan AB:

4 MA + 2 MB = -0,0150 EIC


2 MA + 6,4 MB + 1,2 MC = + 0,0225 EIC


1,2 MB + 8,4 MC + MD = - 0,0075 EIC

Diketahui MD = 0 dan EIC = 80.000 kN.m dalam persamaan tiga momen,

4 MA + 2 MB = - 1200

2 MA + 6,4 MB + 1,2 MC = + 1800

1,2 MB + 8,4 MC = - 600

Selesaikan,

MA = - 537,70 kN.m, MB = - 475,41 kN.m, MC = - 139,34 kN-m

Reaksi-reaksi, diagram gaya geser dan momen, serta kurva elastisnya ditunjukkan

pada Gambar 10b-e.

Untuk mengecek ketepatan MA, MB dan MC, tiga kondisi keselarasan yang

19

bersangkutan dapat diuji benar-tidaknya dengan melihat bahwa (1) θA = 0, (2) θB

yang dihitung dari bentang BA = θB yang dihitung dari bentang BC, dan (3) θC

yang dihitung dari bentang CB = θC yang dihitung dari bentang CD.

Terapkan metode balok-padanan terhadap

Bentang AB:

θA =

= = 0

θB =

= = + 0,7787 x 10-3

Bentang BC:

θB =

= = + 0,7787 x 10-3

θC =

= = - 1,7418 x 10-3

Bentang CD:

θC =

= = - 1,7418 x 10-3

θD =

20

= = + 0,8709 x 10-3


1.5 Soal Latihan

1. Analisalah balok-kontinu pada Gambar di bawah ini dengan menggunakan

persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya.

Buatlah sketsa kurva elastisnya. Juga lakukan pengecekan terhadap

kontinuitas kemiringan di kedua tumpuan-tengahnya.

21

2. Analisalah balok-kontinu pada Gambar di bawah ini dengan menggunakan

persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser dan momennya.

Buatlah sketsa kurva elastisnya. Juga lakukan pengecekan terhadap ketiga

kondisi keselarasan untuk kurva elastis.

3. Analisalah balok-balok kontinu pada Gambar di bawah ini dengan

menggunakan persamaan tiga-momen. Gambarkan diagram gaya geser

dan momennya. Buatlah sketsa kurva elastisnya. Lakukan pengecekan

terhadap kontinuitas kemiringan di semua tumpuan.

persamaan tiga momen (clayperon)

Documents