1

MODUL

MATA KULIAH ALJABAR LINEAR

Disusun Oleh:

Candra Mecca Sufyana

2

Daftar Isi

Daftar isi......................................................................................................... 3 Daftar Gambar.............................................................................................. 5 Daftar Tabel................................................................................................... 6 Deskripsi Mata Kuliah.... 7 Tujuan Mata Kuliah Umum....... 7 Tujuan Mata Kuliah Khusus..... 7

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Diagram alur pokok bahasan................................................ 9 1.2 Materi pokok aljabar linear................................................... 9

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2.1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ......... 13

2.1.1 Metode grafik.. 13 2.1.2 Metode eliminasi. 15 2.1.3 Metode subsitusi.. 16 2.1.4 Metode Campuran17

2.2 Metode Eliminasi Gauss..................................................... .20 2.3 Sistem Persamaan Linear Homogen............... 23

BAB III MATRIKS 3.1 Definisi matriks .... 27 3.2 Jenis-jenis matriks.. 28 3.3 Operasi Matriks.... 29 3.4 Matriks Elementer.... 30 3.5 Invers Matriks...... 31

BAB IV DETERMINAN MATRIKS 4.1 Definisi determinan matriks.... 34 4.2 Sifat-sifat determinan matriks.. 35 4.3 Minor dan Kofaktor.. 35 4.4 Reduksi Baris.... 37 4.5 Aturan Cramer...... 38

BAB V VEKTOR 5.1 Persamaan dua buah vektor

5.1.1 Penjumlahan vektor..... 41 5.1.2 Pengurangan vektor. 43 5.1.3 Perkalian vektor dengan scalar.... 43 5.1.4 Perkalian vektor dengan vektor... 44 5.1.5 Vektor Satuan...44

5.2 Hasil kali titik dan Hasil kali silang 5.1.1 Hasil kali titik......46

3

5.1.2 Hasil kali silang. 47 5.3 Persamaan Bidang..................... 48 5.4 Jarak titik terhadap bidang.........................48

BAB VI RUANG VEKTOR 6.1 Ruang vektor umum...... 51

6.2 Ruang Lingkup Vektor 6.1.1 Vektor di ruang 2D........52 6.1.2 Vektor di ruang 3D ... 53

6.3 Sub Ruang..54 6.4 Vektor Bebas Linear dan Tak Linear.54 6.5 Kombinasi Linear ..55 6.6 Dimensi dan Basis..56 6.7 Row Space, Coloumn Space , Null Space 57 6.8 Rank dan Nullity....58 6.9 Ruang Hasil Kali Dalam....60 6.10Basis Ortonormal...61

BAB VII TRANSFORMASI LINEAR 7.1 Transformasi Linear...... 64

7.2 Jenis-jenis transformasi linear bidang....................................... 65 7.3 Kernel dan Jangkauan....67

7.4 Nilai dan Vektor Eigen......................68

4

Daftar Gambar

Gambar Halaman

1.1 Diagram alur pokok bahasan 9

2.1 Koordinat kartesius SPL 2 variabel 13 2.2 Kemungkinan Solusi Sistem Persamaan Linear 19 2.3 Bagan SPL Homogen 24

5.1 Empat buah vector yang dikatakan sama 41

5.2 Perpindahan A dan B 42

5.3 Penjumlahan 2 buah vektor 42

5.4 Penjumlahan 4 buah vector 42

5.5 Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor 43

5.6 Pengurangan Vektor 43

5.7 Komponen-komponen vector 44

5.8 Vektor bergantung kuadran 44

5.9 Vektor Satuan 45

5.10 Metode komponen vector 45

5.11 Perkalian dua vector 46

6.1 Ruang vector 2D 52

6.2 Vektor a=OA=5i+3j 53

6.3 Ruang vector 3D 54

5

Daftar Tabel

Tabel Keterangan Halaman

3.1 Contoh tabel sebagai kumpulan array 27 4.1 Permutasi 35

6

A. Deskripsi Mata Kuliah

Secara garis besar, mata kuliah ini akan membicarakan tentang pengertian matriks, operasi dasar matriks, dan jenis-jenis matriks, determinan, operasi baris elementer (OBE) dan operasi kolom elementer (OKE), matriks ekivalen, matriks invers dan sifat-sifatnya, sistem persamaan linear, beberapa aplikasi matriks, ruang vektor, basis dan dimensi, transformasi linear, ruang inner product, eigen vektor dan eigenvalues.

B. Tujuan Kompetensi Umum Mata kuliah ini mempersiapkan mahasiswa untuk dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan aljabar matriks dan konsep ruang vektor. Disamping itu, mata kuliah ini membekali mahasiswa dengan logical reasoning dan abstraksi matematika. Oleh karena itu, keterlibatan aktif dari siswa memegang peranan penting.

C. Tujuan Kompetensi Khusus Sesuai dengan tujuan pemelajaran Matematika, perkulaihan Aljabar Linier mempunyai dua tujuan utama yang saling terkait yaitu mengasah kemampuan bernalar dan problem solving. Secara rinci, tujuan tersebut dijabarkan dalam sasaran pemelajaran berikut ini: Sasaran pembelajaran terminal 1. Apabila diberi suatu sistem persamaan linier, mahasiswa mampu memilih strategi

yang paling efektif untuk menentukan penyelesaiannya atau menetukan penyelesaian kuadrat terkecil (LSS).

2. Mahasiswa mampu mengidentifikasi matriks-matriks persegi yang dapat didiagonalkan secara orthogonal, dan dapat membuat prosedur untuk mendiagonalkannya.

3. Mahasiswa mampu melakukan operasi-operasi vektor pada bidang dan ruang (ruang vektor Euclid R2 dan R3) baik secara aljabar maupun geometris.

4. Mahasiswa mampu mengidentifikasi apakah suatu fungsi merupakan transformasi linier, mampu menentukan matriks transformasi linier, dan dapat menginterpretasikan sifat-sifat transformasi linier pada bidang dan ruang.

7

BAB I PENDAHULUAN

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Mahasiswa mengetahui dan memahami definisi, tujuan, dan maksud dari pembelajaran materi aljabar linear.

Mahasiswa mengetahui diagram alur pokok bahasan aljabar linear Mahasiswa mengetahui kaitan keilmuan aljabar linear dengan mata kuliah lain dan

manfaatnya dalam kasus informatika

B. Uraian Materi Ketika mahasiswa mengambil mata kuliah aljabar linear, yang paling seru adalah tidak menanyakan materi apa saja yang akan dipelajari di mata kuliah aljabar linear tersebut, karena secara otomastis menyangka ga akan jauh berbeda dengan matematika. Sudah menjadi rahasia umum bahwa matematika merupakan momok menakutkan bagi sebagaian besar pelajar. Diantaranya karena matematika atau aljabar secara umum menggunakan dummy variabel berbentuk huruf (misalnya x, y, z, p, q, m, n) yang umumnya sulit untuk dapat dipahami. Pola pikir menyatakan sulit sebelum berperang tersebut juga yang justru menjadi masalah utamanya, tanpa melihat terlebih dahulu manfaat, tantangan, dan keilmuanya. Aljabar Linear Elementer yang termasuk salah satu cabang ilmu Matematika, memiliki karakteristik tersendiri dalam isi maupun proses pembelajarannya. Aljabar Linear Elementer (ALE) ini identik dengan penggunaan logika dalam pemecahan masalah dan pencarian solusi. Pembelajaran ALE yang harus melalui pra syarat penguasaan Logika Matematika & Himpunan tentunya tidak lepas dari aplikasi penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari, baik secara konkret maupun abstrak. Aljabar linear ini mempelajari tentang matriks, vektor, ruang vektor, transformasi linear dan sistem persamaan linear. Aljabar linear mempunyai penerapan pada berbagai bidang ilmu alam dan ilmu sosial serta teknologi khususnya teknologi informasi dan komunikasi (infokom) yang saat ini sedang berkembang pesat. Pada dasarnya aljabar linier adalah metode yang sangat kuat ketika berhadapan dengan beberapa variabel, dan ada manfaat yang luar biasa untuk menggunakan ini sebagai landasan teoritis ketika merancang algoritma. Bagan hubungan dengan mata kuliah lain:

8

1.1 Diagram alur pokok bahasan

Gambar 1.1 Diagram alur pokok bahasan

1.2 Materi pokok aljabar linear Materi yang akan dibahas dalam aljabar linear adalah: 1. Matrik, meliputi Definisi, Jenis Matrik, Operasi Matrik, dan Sifat-sifatnya. 2. Vektor di R2 dan R3, meliputi Operasi Vektor dan Sifat-sifatnya, Hasil Kali Titik,

Hasil Kali Silang di R3, dan Persamaan Garis dan Bidang di R3. 3. Eliminasi Gauss yang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

umum, Sistem Persamaan Linier homogeny 4. Invers matrik dengan menggunakan matrik elementer, Pencarian solusi Sistem

Persamaan Linier dengan matrik invers, Hasil lebih lanjut matrik invers terhadap Sistem Persamaan Linier

9

5. Determinan, meliputi determinan dengan ekspansi kofaktor, Sifat-sifat determinan terhadap Operasi Baris Elementer, Matrik Adjoin, Matrik Invers dengan Matrik Adjoin, Aturan Cramer

6. Ruang Vektor, meliputi Ruang n Euclides, Definisi Ruang Vektor, Sub Ruang, Bebas Linier, Membangun, Basis, dan Dimensi

7. Ruang Hasil Kali Dalam, meliputi Definisi, Panjang dan Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam, Ortonormalisasi Basis

8. Nilai dan Vektor Eigen, meliputi Persamaan Karakteristik, Diagonalisasi, dan Diagonalisasi secara Ortogonal

9. Transformasi Linier, meliputi Definisi, Kernel, Rank, Koordinat sebagai bentuk Transformasi dari Ruang vektor sebarang ke Rn, Matrik Transformasi

C. Rangkuman Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

D. Tugas Dibawah ini adalah berbagai komentar tentang bagaimana aljabar linear digunakan dalam algoritma. Berikan komentar dan analisis anda terhadap komentar-komentar dan pertanyaan tersebut

10

E. Evaluasi

1. Tuliskan bagaimana sejarah keilmuan aljabar? 2. Sebutkan apa saja manfaat dan keuntungan mempelajari aljabar linear? 3. Sebutkan materi apa saja yang dipelajari di aljabar linear dan relevansinya

terhadap manfaat?

F. Pustaka

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Kasiyah M Junus, Heru Suhartanto. Aljabar Linier. 2008. Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia http://id.w3support.net/index.php?db=so&id=1085425 http://wikipedia.org

11

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Apabila diberikan sistem persamaan linier (SPL) konsisten berukuran kecil, mahasiswa mampu menetukan konsistensinya; dan menyelesaikan dengan metode eliminasi-substitusi, geometris, dan metode Gauss-Jordan dengan tepat.

B. Uraian Materi

Sistem persamaan linear adalah dua persamaan linear atau lebih yang disajikan bersamaan dan mempunyai satu jawaban persekutuan. Pasangan sistem persamaan yang dibentuk dapat berupa linear dan linear, linear dan kuadrat, atau kuadrat-kuadrat. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita temui persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan linear. Model matematika adalah cara mengubah bentuk penulisan dari bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika. Misalnya:

Anto membeli alat tulis untuk keperluan sekolah yaitu 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan harga Rp. 10.500,00. Pada toko yang sama Budi membeli 2 buah pulpen dan 3 buah pensil dengan harga Rp. 9.500,00.

Harga masing-masing 1 buah pulpen dan 1 buah pensil dapat anda ketahui dengan memakai model matematika yang berbentuk sistem persamaan Linear. Dari contoh diatas terdapat Dua Variabel yaitu pulpen dan pensil yang akan diperoleh penyelesaian tunggal dari nilai x dan y. Jadi penyelesian Sistem Persamaan linear adalah nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear yang dimaksud. Penulisannya ditulis dalam bentuk Himpunan Penyelesaian (HP) : {(x,y)} Ada tiga kemungkinan untuk menentukan himpunan penyelesaian, yaitu : Sistem persamaan linear akan memiliki penyelesaian jika dipenuhi syarat : (a/p)

(b/q). Sistem persamaan linear tidak akan memiliki penyelesaian jika dipenuhi syarat : (a/p) =

(b/q) (c/r). Sistem persamaan linear akan memiliki penyelesaian yang terhingga banyaknya jika

dipenuhi syarat : (a/p) = (b/q) = (c/r)

Bentuk umum Sistem Persamaan linear Dua Variabel dalam x dan y adalah :

ax + by = c px + qy = r

Keterangan : x, y = variabel ; a, b, p, q = koefisien variable a, b, p, dan q 0 bersamaan c, r = konstanta

2.1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel2.1.1 Metode Grafik

Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah menggambar kedua persamaan garis pada satu koordinat Cartesius. Adapun langkahlengkap adalah sebagai Buatlah tabel pasangan terurut (x,y) dengan mencari titik potong dengan masing-masing sumbu X dan Sumbu Y dari setiap persamaan garis. Perpotongan sumbu X diperoleh pada saat nilai y = 0 dan perpotongan dengan sumbu Y diperoleh pada saat Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah :Perpotongan dengan Sumbu X : (a,0) dan Perpotongan dengan Sumbu Y : ( 0,b)Karena ada dua persamaan garis maka anda harus membuat dua tabel dan akan diperoleh empat titik (a,0), (0,b) dan (c,0),Lukislah masing-

Dari pasangan titik masingpada satu sumbu koordinat Cartesius. Jika hasil lukimaka koordinat titik potong itu sebagai penyelesaian sistem persamaan Linear. Contoh Bu Andi membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga Rp. 60.000,00. Pada saat yang bersamaan dan pada toko yang sama Bu Ana membeli 5 kg aanggur dengan membayar Rp. 65.000,00. Bagaimana menghitung harga tiap kg apel dan anggur ? Coba anda diskusikan !Model matematika dari kasus di atas adalah :Misalkan x = harga 1 kg apel y = harga 1 kg anggurBu Andi : 3 kg apel + 2 kg 3x + 2y = 60000 Bu Ana : 5 kg apel + 1 kg anggur = Rp 65.000,00 5x + y = 65000 Sistem persamaan linear yang diperoleh adalah : 3x + 2y = 60000 .. 5x + y = 65000

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah menggambar kedua persamaan garis pada satu koordinat Cartesius. Adapun langkahlengkap adalah sebagai berikut:

Buatlah tabel pasangan terurut (x,y) dengan mencari titik potong dengan masing sumbu X dan Sumbu Y dari setiap persamaan garis.

Perpotongan sumbu X diperoleh pada saat nilai y = 0 dan perpotongan dengan sumbu Y diperoleh pada saat nilai x = 0.

Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : Perpotongan dengan Sumbu X : (a,0) dan Perpotongan dengan Sumbu Y : ( 0,b)Karena ada dua persamaan garis maka anda harus membuat dua tabel dan akan diperoleh empat titik (a,0), (0,b) dan (c,0), (0,d).

-masing persamaan pada satu koordinat Cartesius !

Gambar 2.1 Koordinat kartesius SPL 2 variabel

Dari pasangan titik masing-masing persaman garis maka akan diperoleh dua garis pada satu sumbu koordinat Cartesius. Jika hasil lukisan berpotongan di satu titik maka koordinat titik potong itu sebagai penyelesaian sistem persamaan Linear.

Bu Andi membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga Rp. 60.000,00. Pada saat yang bersamaan dan pada toko yang sama Bu Ana membeli 5 kg aanggur dengan membayar Rp. 65.000,00. Bagaimana menghitung harga tiap kg apel dan anggur ? Coba anda diskusikan ! Model matematika dari kasus di atas adalah :

x = harga 1 kg apel y = harga 1 kg anggur

3 kg apel + 2 kg anggur = Rp. 60.000,00 .. (1)

5 kg apel + 1 kg anggur = Rp 65.000,00 .. (2)

Sistem persamaan linear yang diperoleh adalah : 3x + 2y = 60000 .. (1)

.. (2)

12

Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah menggambar kedua persamaan garis pada satu koordinat Cartesius. Adapun langkah-langkah secara

Buatlah tabel pasangan terurut (x,y) dengan mencari titik potong dengan masing sumbu X dan Sumbu Y dari setiap persamaan garis.

Perpotongan sumbu X diperoleh pada saat nilai y = 0 dan perpotongan dengan

Perpotongan dengan Sumbu X : (a,0) dan Perpotongan dengan Sumbu Y : ( 0,b) Karena ada dua persamaan garis maka anda harus membuat dua tabel dan akan

masing persamaan pada satu koordinat Cartesius !

Koordinat kartesius SPL 2 variabel

masing persaman garis maka akan diperoleh dua garis san berpotongan di satu titik

maka koordinat titik potong itu sebagai penyelesaian sistem persamaan Linear.

Bu Andi membeli 3 kg apel dan 2 kg anggur dengan harga Rp. 60.000,00. Pada saat yang bersamaan dan pada toko yang sama Bu Ana membeli 5 kg apel dan 1 kg anggur dengan membayar Rp. 65.000,00. Bagaimana menghitung harga tiap kg

Jawab : Persamaan (1) : 3x + 2y = 60000Perpotongan dengan Sumbu X (y = 0) 3x + 2y = 60000 3x = 60000 x = 20000Perpotongan dengan Sumbu Y (x = 0) 3x + 2y = 60000 2y = 30000Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (20000,0), ( 0,30000),

Persamaan (2) : Perpotongan dengan Sumbu X (y = 0) 5x + y = 65000 5x + y = 65000 5x = 65000 x = 13000Perpotongan dengan Sumbu Y (x = 0) 5x + y = 65000 5.0 + y = 65000 y = 65000Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (13000,0), ( 0,65000)

3x + 2y = 60000 Perpotongan dengan Sumbu X (y = 0)

3x + 2y = 60000 3x = 60000

x = 20000, Diperoleh titik (20000,0) Perpotongan dengan Sumbu Y (x = 0)

3x + 2y = 60000 2y = 30000, Diperoleh titik ( 0,30000)

Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (20000,0), ( 0,30000),

3x + 2 y = 60000

X 0

Y 30000

(0,30000)

5x + y = 65000 Perpotongan dengan Sumbu X (y = 0)

5x + y = 65000 5x + y = 65000

5x = 65000 x = 13000 , Diperoleh titik (13000,0) dan

Perpotongan dengan Sumbu Y (x = 0) 5x + y = 65000

5.0 + y = 65000 y = 65000, Diperoleh titik ( 0,65000)

Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (13000,0), ( 0,65000)

5x + y = 65000

X 0

Y 65000

(0,65000)

13

Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (20000,0), ( 0,30000),

3x + 2 y = 60000

20000

0

(0,30000) (20000,0)

Jadi perpotongan dengan sumbu koordinat adalah : (13000,0), ( 0,65000)

5x + y = 65000

13000

0

(0,65000) (13000,0)

14

Dari pasangan titik (20000,0), ( 0,30000), dan (13000,0), ( 0,65000) maka akan diperoleh dua garis pada satu sumbu koordinat. Dari kedua garis tersebut nampak bahwa ada perpotongan antara keduanya sehingga terdapat satu penyelesaian sistem persamaan linear yaitu titik (10000,15000) harga tiap kg apel Rp. 10000 dan anggur Rp.15000

2.1.2 Metode Eliminasi Metode Eliminasi adalah cara penyelesaian sistem persaman linear dengan menghilangkan salah satu variabel untuk mencari nilai variabel yang lain. Adapun langkah-langkah secara lengkap adalah sebagai berikut : Untuk mengeliminasi suatu variabel samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dihilangkan. Pada langkah ini anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama Misalkan pada bentuk umum, anda akan menghilangkan variabel x, maka anda harus mengalikan koefisien variabel x pada kedua persamaan dengan p untuk persaman pertama dan mengalikan dengan a untuk persamaan kedua ax +by = c X p apx + bpy = cp px + qy = r X a apx + aqy = ar (bp-aq) y = cp ar y = (cp-ar)/(bp-aq) Pada langkah di atas anda akan mendapatkan sebuah persamaan Linear, dan anda akan dapat menghitung nilai variabel pertama yaitu y dengan mudah. Setelah anda menemukan nilai variabel y sekarang akan menghitung nilai variabel x, maka anda harus menghilangkan variabel y, dengan mengalikan koefisien variabel y pada kedua persamaan dengan q untuk persaman pertama dan mengalikan dengan b untuk persamaan kedua ax +by = c X q aqx + bqy = cq px + qy = r X b bpx + bqy = br (aq-bp) x = cq br x = (cq-br)/(aq-bp) Pada langkah di atas anda akan mendapatkan sebuah persamaan Linear, dan anda akan dapat menghitung nilai variabel kedua yaitu x dengan mudah. Jadi hasil akhir perhitungan nilai variabel adalah : x = (cq-br)/(aq-bp) ; y = (cp-ar)/(bp-aq) Nilai x dan y yang anda temukan adalah merupakan penyelesaian dari SPL: ax +by = c ; px + qy = r Contoh: Suatu latihan perang melibatkan 1000 personil tentara dan 100 ton perlengkapan perang. Untuk menuju lokasi latihan disediakan : Pesawat Hercules dengan kapasitas 50 orang dan 10 ton perlengkapan perang, Pesawat Helikopter dengan kapasitas 40 orang dan 3 ton perlengkapan. Berapa banyak masing-masing pesawat yang dibutuhkan untuk mengangkut semua tentara dan semua perlengkapan dalam satu kali pemberangkatan pasukan ! Model matematika dari kasus di atas adalah : Misalkan x = Hercules ; y = Helikopter Kemampuan angkut personil tentara : 50 orang dengan Hercules + 40 orang dengan Helikopter = 1000 orang 50x + 40y = 1000 .. (1) Kemampuan angkut perlengkapan perang : 10 ton dengan Hercules + 3 ton Helikopter = 100 ton

15

10x + 3y = 100 .. (2) Untuk mengeliminasi variable x samakan nilai kedua koefisien variable x. Pada langkah ini anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama. 50x + 40y = 1000 | X 1 | 50x + 40y = 1000 10x + 3y = 100 | X 5 | 50x + 15y = 500 - 25y = 500 y = 500/25 y = 20 Karena variabel yang akan dieliminasi mempunyai koefisien tanda sama maka untuk menghilangkan variabel x, kedua persamaan harus dikurangkan. Untuk mengeliminasi variabel y samakan nilai kedua koefisien variable y. Pada langkah ini anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama. 50x + 40y = 1000 X 3 >> 150x + 120y = 3000 10x + 3y = 100 X 40 >> 400x + 120y = 20000 - -250x + 0y = -17000 x = -17000/-250 x = 38 Karena variabel yang akan dieliminasi mempunyai koefisien tanda sama maka untuk menghilangkan variabel y, kedua persamaan harus dikurangkan. Dari perhitungan di atas anda memperoleh nilai variabel x = 38 dan nilai variabel y = 20. Jadi Himpunan Penyelesaian : {(38,20)} Hal ini berarti bahwa banyaknya pesawat yang dibutuhkan untuk mengangkut semua tentara dan semua perlengkapan dalam satu kali pemberangkatan pasukan adalah 38 pesawat Hercules dan 20 pesawat Helikopter.

2.1.3 Metode Subsitusi Metode substitusi adalah cara untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggantikan suatu variabel dengan variabel yang lainnya. Metode substitusi sering dikenal dengan metode penggantian. Dalam metode substitusi suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya variabel ini digunakan untuk mengganti variabel yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu variabel dan anda dapat dengan mudah mencari nilai variabel yang tersisa. Carilah persamaan yang paling sederhana dari kedua persamaan itu Kemudian nyatakan persamaan y dalam x atau sebaliknya. Misalkan dari bentuk umum : ax +by = c (1) px + qy = r (2) Pada persamaan (1) : ax +by = c ax = c by x = (c-by)/a (3) Dari persamaan (2), gantikan variabel x dengan persamaan (3), sehingga : px + qy = r p{(c-by)/a} + qy = r Pada langkah di atas anda akan mendapatkan sebuah persamaan Linear, dan anda akan dapat menghitung nilai variabel y dengan mudah. Setelah anda menemukan nilai variabel y, maka untuk menentukan nilai variabel x anda tinggal menggantikan

16

nilai variabel y tersebut pada persamaan (3). Dari keterangan di atas maka anda dapat menemukan pasangan (x,y) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut. Contoh: Anda membeli alat tulis untuk keperluan sekolah yaitu 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan harga Rp. 10.500,00. Pada toko yang sama teman anda membeli 2 buah pulpen dan 3 buah pensil dengan harga Rp. 9.500,00. Bagaimana menghitung harga tiap 1 buah pulpen dan pensil ? Coba anda diskusikan ! Misalkan x = 1 y = 1 Anda membeli 3 buah pulpen dan 2 buah pensil dengan harga Rp. 10.500,00 3 buah pulpen + 2 buah pensil = Rp. 10.500,00 3x + 2y = 10500 . (1) Teman anda membeli 2 buah pulpen dan 3 buah pensil dengan harga Rp. 9.500,00 2 buah pulpen + 3 buah pensil = Rp. 9.500,00 2x + 3y = 9500 . (2) Untuk mengganti (subsitusi) variabel x dengan variabel y, ubahlah salah satu persamaan menjadi persamaan x dalam y. Kemudian gantikan hasil tersebut pada persamaan yang lain. Pada langkah ini anda mengubah persamaan pertama (1) menjadi persamaan x dalam y, 3x + 2y = 10500 3x = -2y + 10500 x = -(2/3)y + 10500/3 x = -(2/3)y + 3500 (3) Dari persamaan (2) dan (3) 2x + 3y = 9500 2{-(2/3)y + 3500} + 3y = 9500 -(4/3)y + 7000 + 3y = 9500 -(4/3)y + 3y = 9500 7000 5/3y = 250 y = 2500 : (5/3) y = 1500 Untuk mencari nilai variabel x dengan y = 1500, gunakan persamaan ketiga (3), dengan cara menggantikan variabel y dengan 1500 : x = -(2/3)y + 3500 x = -(2/3).1500 + 3500 x = -1000 + 3500 x = 2500 Dari perhitungan di atas maka diperoleh hasil nilai variabel x adalah 2500 dan variabel y adalah 1500. Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah : {(2500,1500)} Hasil ini juga menggambarkan bahwa harga setiap satu buah pulpen adalah Rp. 2500,00 dan harga setiap satu buah pencil adalah Rp. 1500,00.

2.1.4 Metode Campuran Penyelesaian dengan metode campuran adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan metode substitusi. Pertama kali anda kerjakan dengan metode eliminasi : ax +by = c X p apx + bpy = cp px + qy = r X a apx + aqy = ar (bp-aq) y = cp ar y = (cp-ar)/(bp-aq)

17

Kemudian nilai variabel y ini disubsitusikan ke dalam salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang lain. px + qy = r px + q{(cp-ar)/(bp-aq)} = r Disini anda akan memperoleh nilai variabel x. Jadi anda akan mendapatkan pasangan (x,y) dengan dua metode yaitu eliminasi dan substitusi. Metode yang digunakan terlebih dahulu sangat tergantung pada soal yang disajikan, akan tetapi biasanya digunakan terlebih dahulu metode eliminasi baru kemudian metode substitusi. Contoh: Tentukan penyelesaian dari : 2/x + 3/y = 5 dan 3/x 4/y = 16 Jawab : 2/x + 3/y = 5 . (1) 3/x 4/y = 16 . (2) Gunakan Metode Campuran !! Metode Eliminasi kemudian Substitusi !! Dengan metode campuran : Langkah pertama dengan metode eliminasi : 2/x + 3/y = 5 X 3 >> 6/x + 9/y = 15 3/x 4/y = 16 X 2 >> 6/x 8/y = 32 - 17/y = -17 y = -1 Untuk mencari nilai variabel x, dengan y = -1 : Dengan metode Substitusi y = -1 ke persamaan (1) : 2/x + 3/y = 5 2/x + 3/(-1) = 5 2/x 3 = 5 2/x = 8 x = Jadi himpunan penyelesaiannya : {(1/4,-1)}

Dari keempat metode di atas anda harus cermat memilih metode mana yang cocok untuk soal tertentu, karena setiap soal tidak mempunyai tipe yang sama. Anda menggunakan metode grafik khusus untuk soal yang sederhana

2. Sistem Persamaan Linear Lebih Dari Dua Variabel Seperti hal yang telah dijelaskan di bab sebelumnya bahwa sistem persamaan linear adalah mencari solusi dari persamaan linear yang berderajat dua atau lebih. Solusi Persamaan Linier yang dimaksud adalah sehimpunan bilangan terurut yang jika disubtitusikan kedalam Persamaan Linier tersebut, menjadi valid. Untuk persamaan linear berderajat dua telah kita bahas, sekarang akan kita bahas bagaimana mencari solusi persamaan linear lebih dari derajat dua. Bentuk umum dari sistem persamaan linear adalah :

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

=++++

=++++

=++++

=++++

...

.............................................

...

...

...

332211

33333232131

22323222121

11313212111

18

dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Solusi Sistem Persamaan Linier adalah solusi setiap persamaan linier yang terdapat dalam Sistem Persamaan Linier tersebut. Penyelesaian persamaan linier adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat paling besar satu. Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :

Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B] Sehingga secara detail, augmented matrik dari persamaan linier simultan dapat dituliskan:

Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi: Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

Tidak ada solusi

Satu Solusi

Solusi Banyak

Gambar 2.2 Kemungkinan Solusi Sistem Persamaan Linear

2.1 Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut :

Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada bilangan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dmenggunakan OBE

Atau

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,,dn dan

Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menElementer 1. Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol2. Mempertukarkan dua baris3. Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya.

nnn aaa

aaa

aaa

aaa

.........

321

333231

232221

131211

nnn aaa

aaa

aaa

aaa

.........

321

333231

232221

131211

xdxdx == ,, 2211

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai

Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah d

OBE (Operasi Baris Elementer).

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,,dn dan

Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris

Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nolMempertukarkan dua baris Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya.

nnn

n

n

n

ba

bababa

...

.........

...

...

...

33

22

11

c

cc

ccc

...000

............

...00

...0

...

33

2322

131211

nnnn

n

n

b

bb

aaa

aaa

aaa

...

...

............

...

...

2

1

2n1

22221

11211

nnn

n

n

n

ba

bababa

...

.........

...

...

...

33

22

11

...000

............

...100

...010

...001

nn dxdx == ,....,33

19

Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai

Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,,dn dan

Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan

erapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris

Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol

Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya.

nnn

n

n

n

dc

dcdcdc

...

.........

...

...

...

33

22

11

nd

ddd

1......

000

3

2

1

20

Sebagai contoh reduksi baris, kita selesaikan kumpulan persamaan berikut, 2x z = 2 6x + 5y + 3z = 7 2x y = 4

Persamaannya 2x z = 2 6x + 5y + 3z = 7 2x y = 4 (a) Bersamaan pertama tetap; persamaan dua dikurangi 3 kali persamaan pertama diperoleh persamaan kedua baru; persamaan ketiga di kurangi persamaan pertama di dapatkan per samaan ketiga yang baru 2x - z = 2 5y + 6z = 1 - y + z = 2

(b). Persamaan dua dan tiga ditukar 2x - z = 2 -y + z = 2 5y + 6z = 1

(c). Persamaan tiga ditambah 5 kali persa maan dua didapatkan persamaan tiga baru 2x - z = 2 -y + z = 2 11z = 11

(d). Bagi persamaan tiga dengan 11 2x - z = 2 -y + z = 2 z = 1

(e). Sisipkan z = 1 dalam persamaan dua diperoleh y = 1; kemudian sisipkan nilai z dan(dalam semuanya) y dalam persamaan pertama, diperoleh 2x = 3, x = 3/2. Solusinya adalah (x, y, z) = (3/2, 1, 1)

hubungannya dengan matriks

(a) Baris kedua dikurangi 3 kali ba - ris pertama dan baris ketga dikura- baris pertama

(b). Persamaan dua dan tiga ditukar

(c). Tambahkan 5 kali persamaan dua ke baris tiga

(d). Bagi persamaan tiga dengan 11

(e). Sisipkan z = 1 dalam persamaan dua diperoleh y = 1; kemudian sisipkan nilai z dan(dalam semuanya) y dalam persamaan pertama, diperoleh 2x = 3, x = 3/2. Solusinya adalah (x, y, z) = (3/2, 1, 1)

21

Contoh. Kasus empat variabel. Selesaikan susunan persamaan berikut:

R1 R4 maksudnya baris 1 dikurangi baris 4 R2:( 1) maksudnya baris 2 dibagi dengan (1) R1R3 maksudnya baris 1 ditukar baris 3 Matriks dihubungkan dengan persamaan: x + w = 1 2y + 4z + 2w = 5 z = 1 w = 4

Dengan sisipan kembali diperoleh 2y = 5 4z 2w = 5 + 4 8 = x = 1 w = 3

Maka solusinya adalah (x, y, z, w) = (3, , 1, 4)

22

2.2 Sistem Persamaan Linear Homogen Sistem Persamaan Linier Homogen adalah Sistem Persamaan Linier yang semua suku konstannya nol, sehingga bentuk umum SPL homogen, sebagai berikut:

karena semua suku konstan nol, maka jika dilakukan OBE tetap saja suku konstannya nol, karena itu matrik lengkap SPL homogen sering disingkat tanpa memasukkan kolom suku konstan. SPL homogen selalu konsisten, minimal mempunyai solusi nol yang disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi yang lain, disebut solusi tak trivial. Contoh: Tentukan solusi SPL homogen berikut:

diubah ke SPL menjadi:

karena x2 dan x4 bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter, misalkan, x2=t dan x4=s, sehingga solusi SPL homogen tersebut:

Kita tutup bagian ini dengan satu teorema yang penting, yaitu: Sistem Persamaan Linier Homogen selalu mempunyai solusi tak trivial, jika banyaknya anu lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.

0................................................

0...0...0...

332211

3333232131

2323222121

1313212111

=++++

=++++

=++++

=++++

nnnnnn

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

23

C. Rangkuman 1. Sistem persamaan linear adalah dua persamaan linear atau lebih yang disajikan

bersamaan dan mempunyai satu jawaban atau solusi persekutuan. 2. Solusi Persamaan Linier yang dimaksud adalah sehimpunan bilangan terurut yang

jika disubtitusikan kedalam Persamaan Linier tersebut, menjadi valid. 3. Model matematika adalah cara mengubah bentuk penulisan dari bahasa sehari-hari

menjadi bahasa matematika. 4. Metode Penyelesaian untuk kasus dua variabel

Metode Grafik adalah menggambar kedua persamaan garis pada satu koordinat Cartesius.

Metode Eliminasi adalah cara penyelesaian sistem persaman linear dengan menghilangkan/menghapus salah satu variabel untuk mencari nilai variabel yang lain.

Metode substitusi adalah cara untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggantikan suatu variabel dengan variabel yang lainnya.

Metode campuran adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan metode substitusi.

5. Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi: Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

6. Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas, pada bagian kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunaka Operasi Baris Elementer.

7. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol Mempertukarkan dua baris Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya

8. Sistem Persamaan Linier Homogen adalah Sistem Persamaan Linier yang semua suku konstannya nol

Gambar 2.3 Bagan SPL Homogen

D. Tugas Coba Jelaskan dalam sebuah tulisan untuk melukiskan ketiga diagram di bawah ini!

Coba Jelaskan dalam sebuah tulisan untuk melukiskan ketiga diagram di bawah ini!

24

Coba Jelaskan dalam sebuah tulisan untuk melukiskan ketiga diagram di bawah ini!

25

E. Evaluasi 1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

a. 2x + y = 8 dan x - y = 1 b. 2x - 5y = 15 dan 3x + 4y = 11 c. x + 3y = 1 dan 2x - y = 9

2. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka, penjumlahan tiga angka puluhan dan angka satuannya adalah 27, dan selisihnya angka puluhan dann satuannya adalah 5. Bilangan itu adalah ....

3. Suatu perusahaan garmen memproduksi dua jenis pakaian A dan B. Jumlah yang diproduksi sebanyak 2004 potong. Jika jenis A memerlukan bahan 1,5 m per potong dan jenis B memerlukan bahan 2 m per potong dan bahan yang tersedia sebanyak 3.508 m. Banyaknya produksi dari masing-masing jenis adalah ....

4. Keliling sebuah segitiga sama kaki adalah 20 cm. Jika panjang kedua kakinya masing-masing ditambah 3 cm dan panjang alasnya dilipatduakan, kelilingnya menjadi 34 cm. Ukuran panjang ketiga sisi sama kaki adalah ....

5. Carilah Solusi x,y, dan z dari persamaan di bawah ini:

6. Cari penyelesaian dari sistem : x1 2x2 + x3 = -5 3x1 + x2 2x3 = 11 -2x1 + x2 + x3 = -2 7. Cari penyelesaian dari sistem :

8. Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x1 2x2 + x3 = 0

-x1 + 3x2 2x3 = 0 2x1 + x2 4x3 = 0

F. Pustaka

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Mahmud Imrona .Aljabar Linier Elementer.. 2002.STT Telkom.Bandung Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, second edition. 1980. Budi Murtiyasa. Sistem Persamaan Linear . .2008.Universitas Muhammadiyah Surakarta Leon , S.J. Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5 . .( 2001 ).Penerbit Erlangga. Bandung

0563 134292

=+

=+

=++

zyxzyxzyx

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Apabila diberikan matriksaritmetika dengan tepat, dan mampu menentukan inverse matriks B. Uraian Materi 3.1 Definisi Matriks Beberapa pengertian tentang matriks : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau

dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat pers Matriks adalah suatu himpunan kuantitas

dalam bentuk persegi panjang yang memuat barisSecara umum matriks dapat dilihat sebagai tabel atau kumpulan array yang dituangkdalam notasi persegi panjang.

Tabel 3.1

Notasi yang digunakan

Sehingga contoh pada tabel tersebut dituangkan dalam notasi matriks adalah:

200131422341302414232

Ukuran matriks ditentukan oleh mempunyai m baris dan n kolom dikatakan berukuran m x n.

BAB III MATRIKS

Tujuan Kompetensi Khusus

Apabila diberikan matriks-matriks, mahasiswa mampu melakukan operasioperasiaritmetika dengan tepat, dan mampu menentukan inverse matriks persegi secara efektif.

pengertian tentang matriks : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolomMatriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persMatriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom

Secara umum matriks dapat dilihat sebagai tabel atau kumpulan array yang dituangknotasi persegi panjang.

Tabel 3.1. Contoh tabel sebagai kumpulan array

Notasi yang digunakan

, ,

Sehingga contoh pada tabel tersebut dituangkan dalam notasi matriks adalah:

222

Ukuran matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolomnya. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dikatakan berukuran m x n.

26

matriks, mahasiswa mampu melakukan operasioperasi persegi secara efektif.

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau baris dan kolom-kolom.

Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. kuantitas (yang disebut elemen), disusun

baris dan kolom-kolom. Secara umum matriks dapat dilihat sebagai tabel atau kumpulan array yang dituangkan

. Contoh tabel sebagai kumpulan array

Sehingga contoh pada tabel tersebut dituangkan dalam notasi matriks adalah:

banyak baris dan banyak kolomnya. Matriks yang

27

Notasi matriks secara umum:

A =

Matrix A berukuran (ordo) m x n m, n adalah bilangan bulat 1. aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n) m banyak baris n banyaknya kolom Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B) Jika untuk setiap i dan j

3.2 Jenis-jenis Matriks (i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol. Sifat-sifat :

A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0.

(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama, m = n. Barisan elemen a11, a22, a33, .ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut. Contoh : Matriks berukuran 2x2 A =

(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol. Contoh:

(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1. Contoh:

(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. (vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0. (vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

....

::::

....

.....

21

22221

11211 Baris ke -1

Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)

Kolom ke -2

ijij ba =

} mxnmatriksorde

000000000000

3241

300050002

100010001

28

(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. (ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0

Matriks Skalar

Upper Triangular

Lower Triangular

Simetris Antisimetris

TRANSPOSE MATRIKS Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =n xm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT. Contoh:

210364

, maka AT =

231604

Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT (AT) T = A k(AT) = (kA)T (AB)T = BT AT

3.3 Operasi Matriks Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan yaitu: , contoh:

Pengurangan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan. yaitu: , contoh:

Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh :

[ A ] = ; k = -2 , maka: k [ A ] =

Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn, Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

400040004

400540123

496041003

110132021

01201043

24010310

++

++=

+

hdgcfbea

hgfe

dcba

=

+

6774

1413

5361

=

hdgcfbea

hgfe

dcba

=

4152

1413

5361

=

kskrkqkp

sr

qpk

63

52

41

126

104

82

)23()32(,

x

x ut

sr

qpB

gfedba

A

=

=

29

Contoh: [A] = ; [B] =

Maka AB = =

Hukum Perkalian Matriks : Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B B*A Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A0 dan B0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

ATURAN ATURAN DALAM ILMU HITUNG MATRIKS Dalam perkalian matriks belum tentu berlaku hukum komutatif, yaitu AB = BA walaupun AB dan BA yang didefinisikan memiliki ukuran yang comformable. Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks comformable maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut adalah valid. Notasi dengan huruf besar adalah matriks dan huruf kecil adalah skalar. 1. A + B = B + A 9. A+ 0 = 0 + A = A 2. A + (B+C) = (A+B) + C 10. A- A = 0 3. A(BC) = (AB)C 11. 0 A = - A 4. A (BC) = (AB AC) 12. AO = 0 ; 0A = 0 5. (B C)A = (BA CA) 6. a (BC) = aB a C 7. (ab) C = aC bC 8. a(BC) = (aB)C = B(aC) 3.4 Matriks Elementer Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n yakni In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal. Berikut ini contoh-contoh matriks elementer:

)22()23(

)32( ..x

x

x gufseqgtfrepdubsaqdtbrap

ut

sr

qp

gfedba

BA

++++

++++=

=

++

++

22)1(33125)1(132

xx

xx

++

++

122341152142

xxx

xxx

221241515

x

3225

31

12

x

23124

21

3

x

30

(i)

3001

Kalikan baris kedua dengan -3

(ii)

0010010010000001

Pertukarkan baris kedua dan baris keempat

(iii)

100010301

Tambahkan tiga kali baris ketiga pada baris pertama

(iv)

100010001

Kalikan baris pertama dengan 1

Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A. Contoh berikut mengilustrasikan teorema tersebut:

Tinjaulah Matriks: A =

044163123201

, dan matriks elementer, E=

103010001

yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama ke baris ketiga. Maka hasil kali EA

adalah: EA =

9104463123201

,

yang persis sama seperti matriks yang dihasilkan bila kita menambahkan 3 kali baris pertama dari A ke baris ketiga. Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

3.5 Invers Matriks Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut. Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B]. Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR. Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks SINGULAR. Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1 Jika baik B maupun C adalah invers matriks A, maka B = C. Invers matriks 2 x 2

Tinjaulah matriks 2 x 2

=

dcba

A , jika ad-bc 0, maka:

=

=

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

ac

bdbcad

A 11

Contoh:

=

2513

A , maka

=

=

3512

3512

5.12.311A

Invers matriks n x n Dengan metode Eliminasi Gauss Jordan kita dapat mentransformasikan matriks diperbesar [ A | I ] melalului operasi baris elementer menjadi [ I | A-1]. Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn. Langkah-langkah yang dilakukan : 1) Ambil matriks satuan [I]nxn 2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan

31

3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ], sehingga setelah proses selesai matriks [ I] telah berubah menjadi matriks [A]-1

, Tentukanlah invers matriks A tersebut??

LANGKAH KE-1

LANGKAH KE-3 (B3-B1)

LANGKAH KE-5 (B1-3B3)

LANGKAH KE-2 (B2-B1)

LANGKAH KE-4 (B1-3B2)

Maka : [A]-1 =

C. Rangkuman

1. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

2. Operasi Matriks Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian Skalar dengan matriks

Perkalian matriks dengan matriks

101011034

100010301

101011337

=

431341331

A

100010001

431341331

100011001

431010331

101011001

100010331

101011337

100010001

++

++=

+

hdgcfbea

hgfe

dcba

=

hdgcfbea

hgfe

dcba

=

kskrkqkp

sr

qpk

)22()23(

)32( ..x

x

x gufseqgtfrepdubsaqdtbrap

ut

sr

qp

gfedba

BA

++++

++++=

=

32

3. Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n yakni In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal.

4. Invers Matriks Orde 2

=

=

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

ac

bdbcad

A 11

5. Invers Matriks Orde 3. Langkah-langkah yang dilakukan : Ambil matriks satuan [I]nxn Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ], sehingga setelah proses selesai

matriks [ I] telah berubah menjadi matriks [A]-1 D. Tugas Kenalilah Bahasa Pemograman Matlab dari Mathworks, kemudian cobalah berbagai macam aplikasi dan operasi matriks dalam bahasa pemograman tersebut! E. Soal 1. Diketahui matriks berikut ini: A = 1 2 3

4 5 1

, B = 2 4 13 2 4

Tentukan: a) A-B b) A+B

2. Tentukan Perkalian matriks (AxB) di bawah ini: A = 1 2

3 4

, dan B = 2 4 52 6 1

,

3. Tinjaulah Matriks: A =

402153313202

, dan matriks elementer, E=

100010201

Berapakah hasil kali EA! 4. Tentukan Invers Matriks 2x2 Berikut:

=

3524

A

5. Tentukan Invers Matriks 3x3 Berikut:

A =

814

31-2

201

F. Pustaka

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta

33

BAB IV DETERMINAN MATRIKS

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Apabila diberikan matriks persegi, mahasiswa dapat menghitung determinannya. Jika matriks tersebut matriks koefisien suatu SPL dan mempunyai inverse, mahasiswa mampu menentukan solusi SPL dengan aturan Cramer; kemudian mampu membandingkan efektifitas Aturan Cramer dan Metode Eliminasi Gauss-Jordan.

B. Uraian Materi 4.1 Definisi Determinan Matriks Misalkan A matriks bujur sangkar , fungsi determinan A sering dituliskan sebagai determinan ( disingkat det(A) atau |A| ) didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A . Jika A berukuran nxn , maka hasil kali elementer dari matriks A akan berbentuk : a1p1.a2p2 anpn dimana p1p2 pn merupakan permutasi dari bilangan bilangan 1,2,, n. Tanda dari a1p1 .a2p2 anpn sendiri ditentukan dari banyaknya bilangan bulat besar yang mendahului bilangan yang lebih kecil ( banyaknya invers ) pada bilangan p1p2pn, jika banyaknya invers adalah ganjil maka tandanya negatif ( ) dan jika sebaliknya tandanya positif ( + ). Permutasi himpunan bilangan bilangan bulat {1,2,3 ,n} adalah susunan bilangan bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan bilangan tersebut. Contoh: Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1}, {3,2,1}, {3,1,2}. Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas 3! = 1.2.3 = 6 Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 ,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului ji) padahal ji < jk (I dan k = 1, 2, . . ., n). Contoh: Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ? Ada 2 invers yaitu : 1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2 2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4 Contoh 1

Diketahui

=

dcba

A , Tentukan det(A) !

Banyaknya permutasi 1,2 ( karena A berukuran 2x2 ) = 2 yaitu 12 dan 21. Pada bilangan 12 akan didapatkan banyaknya invers = 0 sehingga tanda untuk hasil kali elementer a11.a22 adalah (+) , sedangkan untuk hasil kali elementer a12.a21 akan bertanda () karena pada bilangan 21 terdapat satu angka bulat yang mendahului angka yang lebih kecil. Jadi det(A) = + a11.a22 - a12.a21 = ad bc Contoh 2

, ,Tentukan det B !

=

333231

322221

131211

aaa

aaa

aaa

B

34

Untuk memudahkannya akan dibuat tabel sebagai berikut : Tabel 2: Permutasi

Jadi det B = +a11.a22.a33 a11.a23.a32 + a12.a23.a31 a12.a21.a33 + a13.a21.a32 a13.a22.a31

4.2 Sifat-sifat Determinan Matriks 1. det (A) = det ( AT ) 2. Tanda determinan berubah apabila dilakukan tranformasi Penukaran Baris/

Kolom : Hij / Kij 3. Harga determinan menjadi kali , bila dilakukan transformasi suatu baris

/kolom dikalikan skalar ; Hi() / Kj () 4. Harga determinan tidak berubah dengan transformasi Hij() / Kij () yaitu

menambahkan skalar kali baris/kolom ke-j pada baris /kolom ke- i Catatan : Sifat yang ke 4 tersebut yang sering digunakan untuk menghitung determinan.

4.3 Minor dan Kofaktor Misal Matriks A berukuran (n x n) dan M ij suatu submatriks dari A dengan ukuran (n-1) x (n-1) di mana baris ke i dan kolom ke-j dari matriks A dihilangkan. Contoh :

A =

987654321

maka M 32 =

6431

(baris 3dan kolom 2 dihilangkan )

Minor adalah harga determinan dari submatriks Mij ,yaitu Mij Kofaktor adalah (-1 ) I + j Mij , suatu bentuk scalar. Teorema Laplace : Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris / kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan Perkataan Lain :

A= ==

ij

n

jij Aa

1 ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + .ain Ain

dengan i sebarang disebut uraian baris ke-i

A= ==

ij

n

jij Aa

1 a1j A1j + a2j A2j + .anj Anj

dengan j sebarang disebut uraian kolom ke-j. Contoh :

3231

2221

1211

333231

322221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

B

=

35

Hitung determinan matriks A =

+

+

2200230043107512

Pilih kolom 1 :

A= + 2220230431

- 0 220230751

-0220431751

-0230431751

A= ( +2 ) ( +1) 2223

= 2 ( 3.2 2.2 ) = 2( 6 4 ) = 4

Menghitung Determinan dengan Pertolongan Sifat-Sifat Determinan. Dengan menggunakan sifat determinan yang ke 4 yaitu Hij() / Kij () , langkah langkah menentukan rank matriks sehingga diperoleh elemen nol dalam baris / kolom yang maksimal dan teorema Laplace . Contoh :

Hitung determinan matriks A =

15151413121110987654321

Lakukan Transformasi H21(-5) , H31(-9) , H41(-13) sehingga diperoleh matriks :

3624120241680128404321

ke tiga baris berkelipatan sehingga dengan transformasi H32(-2) , H42(-3) sehingga diperoleh matriks :

00000000128404321

sehingga apabila dipilih baris 3 atau 4 maka harga determinan A = 0 Definisi : Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik

nnnnn

n

n

CCCC

CCCCCCCC

...

.....

.......

...

...

321

2232221

1131211

disebut matrik kofaktor A.

Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).

36

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A1

= )det(1

A adj(A)

Langkah-langkah : Hitung |A| 0 Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu menentukan matrik kofaktor. Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan matrik adjoint dengan seper-determinan Contoh: Hitung invers dari matriks:

C =

Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari C adalah :

C11* = (-1)1+1.M11 = 1. = 4

C12* = (-1)1+2.M12 = -1. = 14

C13* = (-1)1+3.M13 = 1. = -10

C21* = (-1)2+1.M21 = -1. = 0

C22* = (-1)2+2.M22 = 1. = 3

C23* = (-1)2+3.M23 = -1. = -1

C32* = (-1)3+2.M32 = -1. = -5

C33* = (-1)3+3.M33 = 1. = 3

Sehingga didapat Adj (C) =

= 4

Jadi C-1 = =

4.4 Reduksi Baris Untuk menentukan nilai determinan dengan menggunakan OBE, dilakukan melalui matriks segitiga atas. Hal itu karena nilai determinan matriks segitiga atas sudah diketahui. Langkah-langkah menentukan determinan suatu matriks dengan OBE 1. Tulis matriks kuadrat A 2. Rubah matriks A ke A* suatu matriks segitiga atas, dg OBE-3 3. Tentukan det(A*) = [ aij ] 4. Tulis det(A) = det(A*) Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

314532001

3401

3153

3452

1432

3100

1401

3201

5201

31105314

004

C

31105314

004

4/34/12/54/54/32/7

001

37

Theorema : Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen elemen pada diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann

Contoh 4.4 :

4000089000676001573038372

= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

Hitung det(A) dimana A = 162963510

Jawab :

Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = - 162510963

= - 3 162510321

H31(-2) = - 3 5100

510321

H32(-10)

= - 3 5500510321

= (-3) (-55) 100510321

= (-3) (-55) (1) = 165

Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan menggunakan komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah diprogramkan. 4.5 Aturan Cramer Theorema Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini adalah :

x1 = )det()det( 1

AA

, x2 = )det()det( 2

AA

, , xn = )det()det(

AAn

dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen dalam

kolom ke j dari A dengan elemen matrik B =

nb

bb

.

2

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan x1 + + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 - 2x2 + 3x3 = 8

38

Jawab :

A=

3216403201

,

A1=

3286430206

, A2=

3816303261

, A3=

3213043601

Maka

x1 = )det()det( 1

AA

=

4440

=

1110

,

x2 = )det()det( 2

AA

=

4472

=

1118

,

x3 = )det()det( 3

AA

=

44152

=

1138

C. Rangkuman 1. Awal dari adanya determinan berdasarkan konsep permutasi. Permutasi himpunan

bilangan bilangan bulat {1,2,3 ,n} adalah susunan bilangan bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan bilangan tersebut.

2. Minor adalah harga determinan dari submatriks Mij ,yaitu Mij 3. Kofaktor adalah (-1 ) I + j Mij , suatu bentuk scalar. 4. Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. 5. Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan matrik adjoint dengan seper-

determinan 6. Langkah-langkah menentukan determinan suatu matriks dengan OBE

a. Tulis matriks kuadrat A b. Rubah matriks A ke A* suatu matriks segitiga atas, dg OBE-3 c. Tentukan det(A*) = [ aij ] d. Tulis det(A) = det(A*)

7. Aturan Cramer yaitu jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini adalah :

x1 = )det()det( 1

AA

, x2 = )det()det( 2

AA

, , xn = )det()det(

AAn

D. Tugas

Buatlah software menentukan determinan matriks dengan aturan cramer dengan menggunakan Matlab

39

E. Evaluasi 1. Tentukan determinan matriks berikut:

2024323220101003

2. Nilai x yang memenuhi persamaan..

3212

4

=

x

xx, adalah..

3. Tentukan determinan dan invers matriks 3 x 3 berikut ini dengan menggunakan minor kofaktor

=

233112221

A

4. Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan sistem persamaan linear berikut:

532

632

321

32

321

=++

=

=++

xxx

xx

xxx

F. Pustaka Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta

40

BAB V VEKTOR

A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu melakukan operasi-operasi vektor pada bidang dan ruang (ruang

vektor Euclid R2 dan R3) baik secara aljabar maupun geometris. Jika diberikan garis dan bidang, mahasiswa mampu menentukan persamaan vektornya

B. Uraian Materi Di dalam fisika dikenal besaran skalar dan besaran vektor. Beberapa besaran fisis cukup dinyatakan dalam besaran skalar. Tetapi banyak besaran-besaran fisis lainnya yang perlu dinyatakan dalam besaran vektor. Jika anda ingin mengetahui berapa temperatur udara di luar, informasi yang anda butuhkan hanyalah sebuah bilangan dan satuannya, misalkan 300C. Besaran inilah yang dinamakan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunya nilai. Contoh lain besaran skalar adalah massa dan waktu. Sedangkan besaran vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai juga mempunyai arah. Jika anda ingin mengetahui kecepatan angin saat ini, informasi yang perlu anda ketahui selain laju (besar kecepatan) angin adalah arah angin tersebut. Oleh sebab itu kecepatan merupakan besaran vektor. Contoh lain besaran vektor adalah perpindahan dan gaya. Besaran-besaran skalar dapat dihitung dengan aljabar biasa. Tetapi berhitung dengan besaran vektor membutuhkan aljabar vektor yang sedikit lebih rumit. Gambaran sederhana mengenai penjumlahan vektor adalah dengan menganggap vektor seperti keranjang buat. Jika anda menambahkan buat di dalam keranjang tersebut, setiap komponennya akan bertambah secara terpisah. Misalkan keranjang A berisi 2 buah apel, 3 buah jeruk, dan sebuah pisang. Keranjang B berisi 5 buah jeruk dan sebuah mangga. Maka jika A+B hasilnya adalah 2 buah apel, 8 buah jeruk, sebuah pisang dan sebuah mangga. Berikut ini akan dibahas sifat-siafta dan perhitungan-perhitungan dalam besaran vektor. Pada umumnya vektor digambarkan dengan anak panah. Panjang anak panah tersebut menyatakan besar vektor. Di dalam buku ini, vektor dituliskan dengan huruf besar dan tebal, misalnya A. Sedangkan besar sebuah vektor (A) dinyatakan dengan huruf besar biasa A atau |A|. Besar vektor selalu mempunyai harga positif. 5.1 Persamaan dua buah vektor Dua buah vektor A dan B dinyatakan sama jika dan hanya jika keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Contohnya keempat vektor di dalam gambar 4.1 dapat dikatakan sama walaupun titik awal tiap vektor berbeda, tetapi besar dan arah keempat vektor tersebut sama.

Gambar 5-1. Empat buah vektor yang dikatakan sama

41

4.1.1 Penjumlahan Vektor Aritmatika sederhana dapat digunakan untuk penjumlahan vektor juga arah vektor-vektor tersebut sama. Tetapi bagaimana jika vektor-vektor tersebutberbeda arah? Sebuah mobil yang berjalan 10 km ke arah utara kemudian dilanjutkan 4 km ke arah barat tidak mempunyai perpindahan sebesar 14 km dari titik awal geraknya walaupun mobil tersebut telah bergerak total sebesar 14 km. Menggunakan diagram vektor merupakan cara paling sesuai untuk menentukan perpindahan ini. Prosedurnya adalah dengan menggambarkan vektor perpindahan pertama (A) dan kedua (B), kemudian menghubungkan titik awal dan titik akhirnya menjadi sebuah vektor resultan R seperti pada gambar 3-2. Maka perpindahan total R adalah 10,8 km dengan arah 220 dari utara.

Gambar 5-2. Perpindahan A 10 km ke utara dan B 4 km ke barat menghasilkan perpindahan total R Aturan umum penjumlahan vektor dapat dilihat pada gambar 3-3. Hasil penjumlahan vektor biasa disebut dengan resultan. Cara yang sama juga berlaku untuk penjumlahan beberapa buah vektor seperti ditunjukkan pada gambar 3.4.

Gambar 5-3. Penjumlah 2 buah vektor menghasilkan resultan R

Gambar 5-4. Penjumlahan 4 buah vektor menghasilkan resultan. Urutan vektor di dalam penjumlahan tidak mempengaruhi hasil resultan baik arah maupun besarnya.

A

B

R

+ A B

R

A

B

R = =

A

B

C

D A

B

C

D

R

R =

1.

C

2.

A

B

C

D

R R =

42

Gambar 5-4 memperlihatkan bagaimana 4 buah vektor dengan arah dan besar yang berbeda dijumlahkan bersamaan. Tampak bahwa urutan vektor tidak mempengaruhi hasil akhir (resultan). Sehingga dapat disimpulkan bahwa: A + B = B + A Persamaan diatas dikenal dengan sifat komutatif penjumlahan. Perlu diingat bahwa A + B = C tidak sama dengan A + B = C. Persamaan pertama adalah penjumlahan vektor yang perlu dilakukan dengan hati-hati, sedangkan persamaan kedua adalah penjumlahan bilangan biasa yang dapat dilakukan dengan aritmatika biasa. Sifat lain dari penjumlahan vektor adalah sifat asosiatif seperti ditunjukkan pada gambar 3-5 dan dapat dituliskan sebagai: A + (B + C) = (A + B) + C

Gambar 5-5. Sifat asosiatif penjumlahan vektor Vektor negatif Negatif dari vektor A adalah sebuah vektor yang jika ditambahkan dengan A akan menghasilkan nol. Secara matematis dapat dituliskan A + (-A) = 0. Vektor A dan A mempunyai besar yang sama tetapi berlawanan arah.

5.1.2 Pengurangan vektor Operasi pengurangan vektor ini akan menggunakan definisi vektor negatif. Operasi A B dapat didefinisikan sebagai vektor A ditambah dengan B: A B = A + ( B) Pengurangan dua vektor ini dapat digambarkan seperti pada gambar berikut ini.

Gambar 5-6. Pengurangan vektor

5.1.3 Perkalian vektor dengan skalar Vektor A jika dikalikan dengan besaran skalar positif m akan menghasilkan sebuah vektor mA yang mempunyai arah yang sama dengan A dan mempunyai besar mA. Jika vektor A ini dikalikan dengan besaran skalar negatif m, maka -mA yang dihasilkan akan mempunyai arah berlawanan dengan A. Sebagai contoh, vektor 5A mempunyai panjang 5 kali A dengan arah yang sama dengan A, sedangkan vektor -2A mempunyai panjang 2 kali vektor A dengan arah berlawan dengan A.

A

B

C A + (B + C)

B + C

A

B

C (A + B) + C (A + B)

- = + = = A A A B -B

-B

A-B

A-B

43

5.1.4 Penguraian vektor dan komponen vektor Penjumlahan vektor dengan menggunakan grafik seperti pada pembahasan di atas tidak direkomendasikan jika diinginkan akurasi yang tinggi atau untuk memecahkan persoalan tiga dimensi. Pada bab ini akan dijelaskan metoda penjumlahan vektor menggunakan proyeksi vektor sepanjang sumbu-sumbu koordinat. Proyeksi-proyeksi ini dinamakan komponen vektor. Semua vektor dapat dinyatakan dalam komponen-komponen vektor. Andaikan sebuah vektor A berada pada bidang xy dengan membuat sudut terhadap sumbu x positif seperti terlihat pada gambar 3-7a. Vektor A ini dapat diuraikan menjadi 2 buah vektor Ax dan Ay. Dari gambar 3-7b dapat dilihat bahwa A = Ax + Ay.

(a) (b) Gambar 5-7. (a) Vektor A pada bidang -xy yang dinyatakan dengan komponen-komponen vektor. (b) Komponen vektor Ay dapat dipindahkan sehingga membentuk penjumlahan vektor. Komponen Ax adalah proyeksi A sepanjang sumbu-x, dan komponen Ay adalah proyeksi A terhadap sumbu-y. Komponen-komponen ini dapat bernilai positif atau negatif. Komponen Ax akan positif jika Ax berada pada sumbu-x positif dan akan bernilai negatif jika Ax berada pada sumbu-x negatif. Dari gambar 4-7 dapat dituliskan:

cosAAx = sinAAy =

Besar dan arah A dapat dinyatakan pula dalam komponen-komponennya, yaitu: 22

yx AAA +=

=

x

yAA1tan

Perlu diperhatikan bahwa tanda dari komponen Ax dan Ay bergantung pada sudut . Misalkan = 1200, maka Ax negatif dan Ay positif. Tanda dari komponen-komponen ini dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 5-8. Tanda komponen vektor bergantung pada kuadran di mana vektor tersebut berada. 5.1.5 Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai nilai 1 dan arahnya sama dengan arah sumbu koordinat. Pada umumnya digunakan simbol i,j,dan k, untuk menyatakan vektor satuan dalam arah x,y, dan z positif. Vektor-vektor satuan ini saling tegak lurus seperti terlihat pada gambar 3-9a. Besar tiap vektor satuan ini adalah 1 sehingga dapat dituliskan |i|=|j|=|k|=1.

x

y

0

A

Ax

Ay

x

y

0

A

Ax

Ay

x

y Ax (+) Ay (+)

Ax (-) Ay (+)

Ax (-) Ay (-)

Ax (+) Ay (-)

44

(a) (b) Gambar 5-9. (a) Vektor satuan pada sumbu koordinat. (b) Vektor A pada bidang-xy. Perhatikan gambar 4-9b dimana vektor A mempunyai komponen dalam sumbu-x dan y. Besarnya komponen vektor tersebut adalah |Ax| dan |Ay|. Sehingga vektor A ini dapat dituliskan dengan menggunakan vektor satuan sebagai: A = Ax i + Ay j Seandainya kita ingin menjumlahkan vektor A diatas dengan vektor B, dimana vektor B mempunyai komponen Bx dan By, maka yang perlu dilakukan adalah menjumlahkan komponen x dan y secara terpisah. Vektor resultan R = A + B dapat dituliskan sebagai: R = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j) atau R = (Ax + Bx)i+ (Ay + By )j Karena R dapat dituliskan sebagai R = Rx i + Ry j , maka didapat:

yyyxxx

BARBAR

+=

+=

Gambar 5-10. Penjumlahan 2 vektor menggunakan metoda komponen vektor. Penjumlahan komponen ini dapat dilihat pada gambar 4-10. Besar vektor R dapat dihitung menggunakan hubungan:

( ) ( )2222 yyxyx BABxARRR +++=+= Sedangkan besar sudut antara vektor R dengan sumbu-x adalah:

xx

yy

x

yBABA

RR

+

+==tan

Jika vektor A dan B mempunyai komponen x,y,dan z, maka vektor tersebut dapat dituliskan sebagai: A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k Sehingga vektor resultannya adalah: R = (Ax + Bx)i+ (Ay + By )j + (Az + Bz) k Besar resultan ini adalah:

( ) ( ) ( )222222 zzyyxzyx BABABxARRRR +++++=++= (3-16)

45

Sedangkan sudut antara vektor R dengan sumbu-x adalah:

yx

x RR

=cos

5.2 Hasil kali titik dan Hasil Kali Silang

Dua macam perkalian vektor, yaitu perkalian skalar (titik) dan perkalian vektor (silang) akan dibahas pada bab berikut ini. 5.2.1. Perkalian skalar (titik) (Hasil kali titik) Perkalian skalar akan menghasilkan suatu skalar. Perkalian skalar dua buah vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut: A B = AB cos = |A| |B| cos Dimana adalah sudut antara vektor A dan B seperti dilukiskan pada gambar berikut ini. Vektor A dan B dilukiskan mempunyai titik awal yang sama.

Gambar 5-11. Perkalian skalar dua buah vektor. Harga bilangan ini dapat berharga positif atau negatif bergantung pada besar .

=

46

Sifat-sifat hasil kali titik: 1. AB= BA 2. A(B+C)= AB+ AC 3. m(AB) = (mA)B= A(mB)= (AB)m 4. ii = jj = kk = 1, ij = jk = k A = A1i+A2j+A3k i = 0. 5. Jika A = A1i+A2j+A3k dan B = B1i+B2j+B3k, maka AB = A1B1+A2B2+A3B3 AA = A2 = 23

22

21 AAA ++

BB = B2 = 2322

21 BBB ++

6. Jika AB = 0 dan A dan B bukan vektor nol maka A dan B saling tegak lurus.

5.2.2 Hasil Kali Silang Hasil kali silang (cross product) dari vektor A dan B didefinisikan dengan AxB = AB sin , 0 pi, dimana u adalah vektor satuan dengan arah tegak lurus pada bidang yang memuat A dan B sedemikian hingga A, B, dan AxB membentuk sebuah sistem tangan kanan: Sifat-sifat hasil kali silang 1. AxB = -BxA 2. Ax(B+C) = AxB + AxC 3. m(AxB) = (mA)xB = Ax(mB) = (AxB)m 4. ixi = jxj = kxk = 0, ixj = k, jxk = i, kxi = j

5. Jika A = A1i+A2j+A3k dan B = B1i+B2j+B3k maka

321

321BBBAAAkji

AxB =

6. Besarnya AxB sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B. 7. Jika AxB=0 dan A dan B bukan vektor nol maka A dan B sejajar. 8. Misal A, B, dan C vektor-vektor dengan

A = A1i+A2j+A3k, B = B1i+B2j+B3k, dan C = C1i+C2j+C3k, maka

A(BxC)=321

321

321

CCCBBBAAA

.

Contoh soal Hitunglah sudut antara dua buah vektor berikut: A = 2i+3j+4k B = i-2j+3k

Penyelesaian: Dari persamaan 2-18 dapat dituliskan cos = (A B )/AB = (Ax Bx + Ay By + Az Bz)/AB Ax Bx + Ay By + Az Bz = (2)(1)+(3)(-2)+(4)(3) = 8

29432 222 =++=A 143)2(1 222 =++=B 397,0

14298

cos == = 66,60

Hasil kali A(BxC) disebut dan ditulis dengan [ABC].dan C. Hukum-hukum yang berlaku1. A(BxC) = B(CxA) = C2. Ax(BxC) = (AC)B 3. (AxB)xC = (AC)B Perhatikan bahwa 4. (AB)C A(BC) 5. Ax(BxC) (AxB)xC

5.3 Persamaan BidangBidang merupakan suatu permukaan datar. Untuk membentuk suatu persamaan dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk persamaan satu titik dan vektor normal dari bidang tersebut.

Contoh : Tentukan persamaan bidang yang Jawab : Langsung digunakan persamaan umum dengan mensubstitusi vektor normal :

Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1) ke persamaan, karena titik tersebut terletak di bidang. Maka :Jadi persamaan bidang yang dicari adalah :

5.4 Jarak titik terhadap bidangVektor normal n pada bidang A(xA, yA) berada di luar bidang, sedangkan sembarang titik P

disebut hasil kali tripel skalar atau hasil kali kotak[ABC]. Hasil kali Ax(BxC) disebut hasil kali tripel vektor

hukum yang berlaku (CxA) = C(AxB) C)B - (AB)C C)B - (BC)A

(AxB)xC

Persamaan Bidang Bidang merupakan suatu permukaan datar. Untuk membentuk suatu persamaan dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk persamaan bidang dibutuhkan 3 titik atau satu titik dan vektor normal dari bidang tersebut.

Jika terdapat satu bidang yang melalui titik P (xP,yP,zP) dan memiliki vektor normal n = (a,b,c), maka bila ingin mencari persamaan dari bidang tersebut diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang terletak pada bidang tersebut.Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terhadap bidang, maka:

0. =nQP

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (1,2,1) dan memiliki vektor normal (

Langsung digunakan persamaan umum dengan mensubstitusi vektor normal :

Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1) ke persamaan, karena titik tersebut terletak di bidang. Maka : , Jadi persamaan bidang yang dicari adalah :

Jarak titik terhadap bidang pada bidang ax + by + cz+ d = 0 dapat ditulis sebagai (

) berada di luar bidang, sedangkan sembarang titik P(x,y,z) pada bidang, sehingga

A A A2 2 2

a x b y c z dDa b c

+ + +=

+ +

2 3 0x y z d + + + =

1 2(2) 3(1) 0d + + + = 6d =2 3 6 0x y z + + + =

A A A ( ) ax by cz ax by cz D a b c+ + + + = + +

47

hasil kali kotak dari A, B dan C, hasil kali tripel vektor dari A, B

Bidang merupakan suatu permukaan datar. Untuk membentuk suatu persamaan garis dibutuhkan 3 titik atau

Jika terdapat satu bidang yang melalui ) dan memiliki vektor

= (a,b,c), maka bila ingin encari persamaan dari bidang tersebut

diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang terletak pada bidang tersebut. Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terhadap bidang, maka:

melalui titik (1,2,1) dan memiliki vektor normal (-1,2,3).

Langsung digunakan persamaan umum dengan mensubstitusi vektor normal :

Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1) ke persamaan, karena titik tersebut

= 0 dapat ditulis sebagai (a,b,c). Titik (x,y,z) pada bidang, sehingga

A A A2 2 2

a x b y c z da b c

+ + +

+ +

2 2 2 ( ) ax by cz ax by cz D a b c+ + + + = + +

Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah diketahui persamaannya. Contoh :Tentukan jarak titik (2,1,1) ke suatu bidang dengan persamaan 3x Jawab : Gunakan persamaan :

3213

523222

=

++

+=

zyxD

C. Rangkuman

1. Besaran vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai juga mempunyai arah2. Besar dan arah A dapat dinyatakan pula dalam komponen

22yx AAA +=

3. Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai nilai 1 dan arahnya sama dengan arah sumbu koordinat.

4. Perkalian skalar dua buah vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut:A B = AB cos = |A| |B| cos

5. Hasil kali silang:

6. Rumus Persamaan Bidang,

7. Jarak titik terhadap bidang:

D. Tugas 1. Nyatakan vektor AB

2. Buktikan bahwa jika a, b dan c adalah panjang sisisudut yang berhadapan dengan sisi dengan panjang a, maka

3. Tunjukkan bahwa vektor yang vektor-vektor yang melalui titik (5,3,

A A A2 2 2

a x b y c z dDa b c

+ + +=

1

2

3 A

Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah diketahui persamaannya. Contoh : Tentukan jarak titik (2,1,1) ke suatu bidang dengan persamaan 3x y

1474

148

1451.21.12.3

==

+

Besaran vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai juga mempunyai arahBesar dan arah A dapat dinyatakan pula dalam komponen-komponennya, yaitu:

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai nilai 1 dan arahnya sama dengan arah sumbu koordinat. Perkalian skalar dua buah vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut:

= AB cos = |A| |B| cos

321

321BBBAAAkji

AxB =

Rumus Persamaan Bidang, 0. =nQP =

Jarak titik terhadap bidang:

AB pada gambar dalam bentuk komponen (matriks) !

Buktikan bahwa jika a, b dan c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga dan sudut yang berhadapan dengan sisi dengan panjang a, maka 2a =

Tunjukkan bahwa vektor yang melalui titik-titik (2,2,3) dan (4,3,2) sejajar dengan vektor yang melalui titik (5,3,-2,) dan titik (9,5,-4).

A A A2 2 2

a x b y c z da b c

+ + +

+ +

B

4

48

Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah diketahui

y 2z + 5 = 0

Besaran vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai juga mempunyai arah komponennya, yaitu:

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai nilai 1 dan arahnya sama dengan arah

Perkalian skalar dua buah vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut:

pada gambar dalam bentuk komponen (matriks) !

sisi sebuah segitiga dan adalah cos222 bccb += .

titik (2,2,3) dan (4,3,2) sejajar dengan

49

E. Evaluasi

1. Sebutkan empat buah besaran skalar ! 2. Sebutkan empat buah besaran vektor ! 3. Tentukan komponen vektor AB jika titik A(2,4,3) dan B(1,-5,2), kemudian tulislah

vektor AB dalam satuan i, j dan k. 4. Diketahui dua buah vector yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :

kjia 23 ++= dan kjib 42 = Tentukan: a. Panjang vektor a atau a b. Vektor satuan b c. Panjang proyeksi a pada b d. Vektor proyeksi b pada a e. Perkalian titik antara dua vektor a dan b ( a . b ) f. Perkalian silang antara dua vektor a dan b ( a x b )

5. Diketahui titik A (-1,1,2) dan B (-2,-1,1) a. Hitunglah a dan b b. Hitung besar sudut AOB c. Tunjukkan bahwa AOB sama sisi

F Pustaka

PAUL CALTER, 1979, Theory and Problems of Technical Mathematics, Schaums outline, Mc-GRAW.HILL BOOK COMPANY Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta

50

BAB VI RUANG VEKTOR

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Berdasarkan pemahaman operasi vektor di R2 dan R3, mahasiswa mampu membuat generalisasi dari ruang vektor Euclid ke ruang vektor umum.

Jika diberikan ruang vektor, mahasiswa mampu mengkonstruksi subruang,dan menentukan apakah suatu sub himpunan dengan syarat keanggotaan tertentu merupakan subruang.

Jika diberikan ruang vektor berhingga dan himpunan vektor-vektor, mahasiswa mampu mengkonstruksi suatu basis ruang vektor tersebut dan menentukan dimensinya.

B. Uraian Materi

6.1 Ruang Vektor Umum Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v, dengan perkalian skalar kita artikan setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda benda pada V kita namakan vektor : (1). Jika u dan v adalah benda benda pada V kita namakan vektor (2). u + v = v + u (3). u + (v + w) = (u + v) + w (4). Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V (5). Untuk setiap u di V, terdapat u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (6). Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku berada di

V (7). k(u + v )= ku + kv (8). (k + l)u = ku + lu (9). k(lu) = l(ku) (10). 1u = u

Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa kumpulan matrik 2 x 2 dengan komponen riel adalah sebuah

ruang vektor jika berlaku penjumlahan dan perkalian skalar. Jawab : Dalam kasus ini mungkin akan lebih mudah bila dibuktikan dengan aksioma yang urutannya sebagai berikut : 1, 6, 2, 3, 7, 8, 9, 4, 5 dan 10 Misalkan : dan

Untuk membuktikan bahwa matrik memenuhi aksioma 1, maka u + v di dalam ruang V atau merupakan matrik 2 x 2

11 12

21 22

u uu

u u

=

11 12

21 22

v vv

v v

=

51

++

++=+

22222121

12121111

vuvu

vuvuvu

Demikian juga dengan aksioma 6, untuk semua bilangan riel k :

=

2221

1211

kukukuku

ku , ku juga merupakan matrik 2 x 2, maka ku di dalam V Aksioma 2, 3 merupakan konsekuesi dari aksioma 1, sedangkan aksioma 7, 8 dan 9

terpenuhi karena aksioma 6. Untuk membuktikan aksioma 4, harus dapat ditemukan objek 0 di dalam ruang V, Sedangkan untuk aksioma 5, harus dapat ditemukan u untuk setiap u yang ada di

dalam ruang vektor V sehingga u + u = 0

2. Misal V = R2 dan operasi penjumlahan serta perkalian dari u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) adalah sebagai berikut: u + v = (u1+v1, u2+v2) dan bila k adalah elemen bilangan riel, maka ku =(ku1,0) Tentukan apakah V adalah ruang vektor ?

Jawab : Operasi penjumlahan dalam ruang ini adalah standar penjumlahan sehingga pasti

memenuhi aksioma yang mengandung penjumlahan yaitu aksioma 1 s/d 5. Sedangkan untuk perkalian, operasi ini tidak standar sehingga tidak memenuhi

aksioma yang mengandung perkalian terutama aksioma 10 : 1.u= 1.(u1,u2) = (u1,0)u

Jika ada satu saja dari 10 aksioma ada yang tidak dipenuhi, maka V adalah bukan ruang vektor

6.2 Ruang Lingkup Vektor 6.2.1 Vektor di dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 ) Untuk memudahkan menjelaskan vektor maka pada bidang dibuat sebuah sistem koordinat kartesius, sehingga setiap vektor yang sejajar bidang koordinat diwakili oleh vektor yang besar dan arahnya sama dan terletak pada bidang tersebut. Vektor-vektor yang sejajar dengan suatu bidang datar dinamakan vektor-vektor koplanar. Dan untuk menyatakan vektor yang lain pada bidang kartesius, digunakan vektor satuan, sehingga jika A(x,y) serta i dan j masing-masing vektor pada arah positif pada sumbu x dan y. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar 3 berikut:

Suatu vektor a dalam koordinat kartesius tersebut dapat dinyatakan :

a = OA = (x,y) =

yx

= x i + y j

Panjang vektor a adalah 22 yx + dan

besarnya tg = x

y

Gambar 6.1 Ruang Vektor 2D Sedangkan i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada sumbu Y, maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j

X O

j a

i

A(x,y

Y

52

atau bentuk komponennya yaitu :

i =

01

dan j =

10

, Contoh:

Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan Vektor a = OA = 5 i + 3 j

Gambar 6.2. Vektor a = OA = 5 i + 3 j

6.2.2 Vektor di dala