metode aljabar

39
PERTEMUAN 6-7 PERTEMUAN 6-7 METODE ALJABAR METODE ALJABAR OLEH OLEH Ir. Indrawani Sinoem, MS. Ir. Indrawani Sinoem, MS.

Upload: occhams

Post on 27-Oct-2015

441 views

Category:

Documents


47 download

DESCRIPTION

just shared

TRANSCRIPT

Page 1: metode aljabar

PERTEMUAN 6-7PERTEMUAN 6-7

METODE ALJABARMETODE ALJABAR

OLEHOLEH

Ir. Indrawani Sinoem, MS.Ir. Indrawani Sinoem, MS.

Page 2: metode aljabar

► PengertianPengertian

1. Pemecahan persoalan PL dengan 1. Pemecahan persoalan PL dengan

metode aljabar : pemecahan per-metode aljabar : pemecahan per-

soalan dengan cara substitusi soalan dengan cara substitusi antarantar

persamaan linear pada fungsi persamaan linear pada fungsi pem-pem-

batas dan fungsi tujuan. batas dan fungsi tujuan.

Page 3: metode aljabar

Prinsip yang digunakan ialah Prinsip yang digunakan ialah men-cari seluruh kemungkinan men-cari seluruh kemungkinan pemecah-an dasar pemecah-an dasar feasible feasible (layak), kemudian pilih salah (layak), kemudian pilih salah satu yang memberikan nilai satu yang memberikan nilai objektif optimal, yaitu paling objektif optimal, yaitu paling besar (maksimum) atau paling besar (maksimum) atau paling kecil (minimum).kecil (minimum).

Page 4: metode aljabar

Pemecahan persoalan Program Pemecahan persoalan Program Linear dengan metode aljabar ini Linear dengan metode aljabar ini dibagi 3 (tiga) kasus, yaitu :dibagi 3 (tiga) kasus, yaitu :

(1). Kasus Maksimisasi.(1). Kasus Maksimisasi.

(2). Kasus Minimisasi.(2). Kasus Minimisasi.

(3). Kasus-kasus Khusus. (3). Kasus-kasus Khusus.

Page 5: metode aljabar

(1). Kasus Maksimisasi(1). Kasus Maksimisasi : kasus : kasus pemecahpemecah

an persoalan PL yang bertujuan an persoalan PL yang bertujuan

mencari seluruh kemungkinan mencari seluruh kemungkinan pe-pe-

mecahan yg memberikan nilai mecahan yg memberikan nilai

objektif maksimum.objektif maksimum.

Page 6: metode aljabar

Contoh-1 :Contoh-1 :

1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 8 XMaksimumkan Z = 8 X11 + 6 X + 6 X22

(Dlm Rp 1.000).(Dlm Rp 1.000).

2. Fungsi Pembatas : 2. Fungsi Pembatas :

2.1. P-Bahan : 4 X2.1. P-Bahan : 4 X11 + 2 X + 2 X11 ≤ 60 ≤ 60

2.2. Penjahitan : 2 X2.2. Penjahitan : 2 X11 + 4 X + 4 X22 ≤ 48 ≤ 48

XX11, X, X22 ≥ 0 ≥ 0

Page 7: metode aljabar

► Langkah-langkah penyelesaian : Langkah-langkah penyelesaian :

1. Merubah ketidaksamaan fungsi 1. Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel :menambah slack variabel :

4X4X11 + 2X + 2X22 + S + S11 = 60 = 60

2X2X11 + 4X + 4X22 + S + S22 = 48 = 482. Merubah fungsi tujuan dengan 2. Merubah fungsi tujuan dengan

menambah slack variabel bernilai nol :menambah slack variabel bernilai nol :

Z = 8000 XZ = 8000 X11 + 6000 X + 6000 X22 + 0 S + 0 S11 + 0 S + 0 S22

Page 8: metode aljabar

3. Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi 3. Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan :tujuan :

a. Xa. X11= X= X22= 0; S= 0; S11= 60; S= 60; S22 = 48 = 48

Z = 8000(0)+6000(0)+0(60)+0(48) = 0Z = 8000(0)+6000(0)+0(60)+0(48) = 0

b. Xb. X11=S=S11=0=0

4X4X11+2X+2X22+S+S11 = 60 X = 60 X22 = 60/2 =30 = 60/2 =30

2X2X11+4X+4X22+S+S22 = 48 4(30)+S = 48 4(30)+S22 = 48 = 48

SS22 =-72 =-72

(tdk fisibel)(tdk fisibel)

Page 9: metode aljabar

(c). X(c). X11= S= S22 = 0 = 0

2X2X11+4X+4X22+S+S22 = 48 4X = 48 4X22 = 48 = 48

XX22 = 48/4 = 48/4

XX22 = 12 = 12

4X4X11+2X+2X22+S+S11 = 60 2(12)+S = 60 2(12)+S11=60=60

SS11 = 60-24 = 60-24

= 36= 36

Z = Z = 8000(0)+6000(12)+0+0=720008000(0)+6000(12)+0+0=72000

Page 10: metode aljabar

(d). X(d). X22=S=S11=0=0

4X4X11+2X+2X22+S+S11=60 4X=60 4X11= 60 X= 60 X11=15=15

2X2X11+4X+4X22+S+S22=48 2(15) + S=48 2(15) + S22 = 48 = 48

SS22 = 48-30=18 = 48-30=18

Z = 8000(15)+6000(0)+0+0= Z = 8000(15)+6000(0)+0+0= 120.000120.000

(e). X(e). X22=S=S22=0=0

2X2X11+4X+4X22+S+S22 =48 2X =48 2X11=48 X=48 X11=24=24

4X4X11+2X+2X22+S+S11 =60 S =60 S11=60-4(24)=-36=60-4(24)=-36

(Tdk fisibel)(Tdk fisibel)

Page 11: metode aljabar

(f). S(f). S11=S=S22=0=0

4X4X11+2X+2X22 = 60 2X = 60 2X22=60-4X=60-4X11

XX22=30-2X=30-2X11

2X2X11+4X+4X22 = 48 2X = 48 2X11+4(30-2X+4(30-2X11)=48)=48

2X2X11+120-8X+120-8X11 = 48 = 48

6X6X11 = 120-48 = 120-48

XX11 = 12 = 12

XX2 2 =30-24= 6=30-24= 6

Z =8000(12)+6000(6)=132.000Z =8000(12)+6000(6)=132.000

Page 12: metode aljabar

Kesimpulan : Kesimpulan :

Perusahaan konveksi “Maju” harus Perusahaan konveksi “Maju” harus mempro-duksi Celana (Xmempro-duksi Celana (X11) = 12 dan ) = 12 dan Baju (XBaju (X22) = 6) = 6

untuk memperoleh laba maksimum untuk memperoleh laba maksimum sebesarsebesar

Rp 132.000.-Rp 132.000.-

Page 13: metode aljabar

►Contoh-2Contoh-2

Suatu perusahaan mengahsilkan 2 Suatu perusahaan mengahsilkan 2 barang, yaitu A dan B. Masing-masing barang, yaitu A dan B. Masing-masing barang membutuhkan sumberdaya barang membutuhkan sumberdaya seperti terlihat pada Tabel berikut.seperti terlihat pada Tabel berikut.

SumberdayaSumberdaya Barang ABarang A Barang BBarang B Kapasitas Kapasitas SumberdayaSumberdaya

Bahan Bahan MentahMentah 11 22 1010

BuruhBuruh 66 66 3636

Laba/unitLaba/unit 4.0004.000 5.0005.000 MaksimumkaMaksimumkann

Peubah Peubah KegiatanKegiatan

XX11 XX22 ZZ

Page 14: metode aljabar

Disamping itu, menurut ramalan Disamping itu, menurut ramalan bagian penjualan permintaan barang A bagian penjualan permintaan barang A tidak akan melebih 4 unit. Tentukan tidak akan melebih 4 unit. Tentukan jumlah barang A dan B yang dihasilkan jumlah barang A dan B yang dihasilkan sehingga memberikan laba maksimum sehingga memberikan laba maksimum bagi perusahaan !bagi perusahaan !

Penyelesaian :Penyelesaian :

Model Program Linear Model Program Linear

1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :

Maksimumkan : Z = 4000XMaksimumkan : Z = 4000X11+5000X+5000X22

Page 15: metode aljabar

2. Fungsi Pembatas :2. Fungsi Pembatas :

2.1. Bahan Mentah : X2.1. Bahan Mentah : X11+2X+2X22 ≤ 10 ≤ 10

2.2. Buruh2.2. Buruh : 6X: 6X11+6X+6X22 ≤ 36 ≤ 36

2.3. Permintan A : X2.3. Permintan A : X11 ≤ 4 ≤ 4

XX11, X, X22 ≥ 0 ≥ 0

Metode AljabarMetode Aljabar

1. Merubah ketidaksamaan fungsi pemba-1. Merubah ketidaksamaan fungsi pemba-

tas menjadi persamaan dgn menambahtas menjadi persamaan dgn menambah

slack variabel (S).slack variabel (S).

Page 16: metode aljabar

XX1 1 + 2X+ 2X22 + S + S11 = 10 = 10

6X6X11 + 6X + 6X22 + S + S22 = 36 = 36

XX11 + S + S33 = 4 = 4

2. Merubah fungsi tujuan dgn menambah 2. Merubah fungsi tujuan dgn menambah

slack variabel bernilai nol.slack variabel bernilai nol.

Z = 4000XZ = 4000X11+5000X+5000X22+0S+0S11+0S+0S22+0S+0S33

3. Substitusikan fungsi pembatas dan 3. Substitusikan fungsi pembatas dan

fungsi tujuan.fungsi tujuan.

Page 17: metode aljabar

(a). X(a). X11=X=X22=0; S=0; S11=10; S=10; S22=36; S=36; S33=4=4

Z =4000(0)+5000(0)+0(10)+0(36)+Z =4000(0)+5000(0)+0(10)+0(36)+

0(4) = 00(4) = 0

(b). X(b). X11=S=S11=0=0

XX11+2X+2X22+S+S11=10 2X=10 2X22 =10 X =10 X22=5=5

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 S=36 S22 =36-30=6 =36-30=6

4X4X11+S+S33= 4 S= 4 S33=4=4

Z = 4000(0)+5000(5)+0+0=25.000.Z = 4000(0)+5000(5)+0+0=25.000.

Page 18: metode aljabar

(c). X(c). X11=S=S22=0=0

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 6X=36 6X22=36=36

XX22=6=6

XX11+2X+2X22+S+S11=10 S=10 S11=10-12=-2=10-12=-2

(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

(d). X(d). X11=S=S33=0=0

XX11+S+S33=4 =4 (Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

Page 19: metode aljabar

(e). X(e). X22=S=S11=0=0

XX11+2X+2X22+S+S11=10 X=10 X11=10=10

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 S=36 S22=36-60=-24=36-60=-24 (Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

(f). X(f). X22=S=S22=0=0

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 X=36 X11=6=6

XX11+2X+2X22+S+S11=10 S=10 S11=10-6=4=10-6=4

XX11+S+S33 = 4 S = 4 S33= -4-6=-2= -4-6=-2 (Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

Page 20: metode aljabar

(g). X(g). X22=S=S33=0=0 XX11+S+S33=4 X=4 X11= 4= 4

XX11+2X+2X22+S+S11=10 S=10 S11=10-4=6=10-4=6 6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 S=36 S22=36-24=12=36-24=12 Z =4000(4)+5000(0)+0+0=16.000.Z =4000(4)+5000(0)+0+0=16.000.

(h). S(h). S11=S=S22=0=0 XX11+2X+2X22+S+S11=10 X=10 X11=10-2X=10-2X22

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 6(10-=36 6(10-2X2X22)+6X)+6X22=36=36

XX22=4;X=4;X11=10-8=2=10-8=2

Page 21: metode aljabar

Z = Z = 4000(2)+5000(4)+0+0=28.0004000(2)+5000(4)+0+0=28.000

(h). S(h). S11=S=S33=0=0

XX11+S+S33=4=4 X X11=4 =4

XX11+2X+2X22+S+S11=10 =10 XX22=(10-4)/2=3=(10-4)/2=3

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 S=36 S22=-6=-6

(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

Page 22: metode aljabar

(i). S(i). S22=S=S33=0=0

XX11+S+S33=4 X=4 X11=4=4

6X6X11+6X+6X22+S+S22=36 X=36 X22=2=2

XX11+2X+2X22+S+S11=10 S=10 S11=2=2Z Z

=4000(4)+5000(2)+0+0=26.000.=4000(4)+5000(2)+0+0=26.000.Kesimpulan:Kesimpulan:Barang A=2 unit, barang B=4 unit Barang A=2 unit, barang B=4 unit akan menghasilkan laba maks = akan menghasilkan laba maks = Rp28.000.-Rp28.000.-

Page 23: metode aljabar

(2) Kasus Minimisasi : (2) Kasus Minimisasi : kasus pemecahan kasus pemecahan masalah program linear yang bertujuan masalah program linear yang bertujuan seluruh kemungkinan pemecahan yang seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif minimum.memberikan nilai objektif minimum.

Contoh :Contoh :

Seorang petani modern menghadapi Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sebagai berikut : suatu persoalan sebagai berikut : setiap sapi peliharaan agar supaya setiap sapi peliharaan agar supaya sehat harus diberi makanan yang sehat harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit : 27,21, mengandung paling sedikit : 27,21, dan 30 satuan unsur dan 30 satuan unsur

Page 24: metode aljabar

nutrisi jenis A, B, dan C setiap nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan Mharinya. Dua jenis makanan M11 dan M dan M22 diberikan kepada sapi peliharaan diberikan kepada sapi peliharaan tersebut. Satu gram makanan jenis Mtersebut. Satu gram makanan jenis M11 mengandung unsur nutrisi jenis A, B, mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3,1, dan 1 dan C masing-masing sebesar 3,1, dan 1 satuan. Sedangkan satu gram makanan satuan. Sedangkan satu gram makanan jenis Mjenis M22 mengandung unsur nutrisi jenis mengandung unsur nutrisi jenis A,B, dan C masing-masing 1,1, dan 2 A,B, dan C masing-masing 1,1, dan 2 satuan. Harga satu gram Msatuan. Harga satu gram M11 dan M dan M22 masing-masing sebesar Rp40000 dan masing-masing sebesar Rp40000 dan Rp20000.-Rp20000.-

Page 25: metode aljabar

Petani tersebut harus memutuskan Petani tersebut harus memutuskan apakah membeli satu jenis makanan saja apakah membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya kemudian atau kedua-duanya kemudian mencampurnya. Tujuan adalah agar mencampurnya. Tujuan adalah agar jumlah pengeluaran petani tersebut jumlah pengeluaran petani tersebut minimum.minimum.

a. Merumuskan Tabel Persoalana. Merumuskan Tabel PersoalanNutrisiNutrisi

Kandungan NutrisiKandungan Nutrisi

Makanan MMakanan M11 Makanan Makanan MM22

Jumlah Jumlah KandunganKandungan

Jenis AJenis A 3 13 1 2727

Jenis BJenis B 1 11 1 2121

Jenis CJenis C 1 11 1 3030

Harga/gramHarga/gram 40.000 20.00040.000 20.000 MinimumkaMinimumkann

PeubahPeubah XX11 X X22 ZZ

Page 26: metode aljabar

b. Model Program Linearb. Model Program Linear

1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :

Minimumkan : Z = Minimumkan : Z = 40000X40000X11+20000X+20000X22

2. Fungsi Pembatas :2. Fungsi Pembatas :

2.1. Nutrisi A : 3X2.1. Nutrisi A : 3X11+ X+ X22 ≥ 27 ≥ 27

2.2. Nutrisi B : X2.2. Nutrisi B : X11+ X+ X2 2 ≥ 21≥ 21

2.3. Nutrisi C : X2.3. Nutrisi C : X11+2X+2X22 ≥ 30 ≥ 30

XX11, X, X22 ≥ 0 ≥ 0

Page 27: metode aljabar

c. Penyelesaianc. Penyelesaian

(1). Metode Aljabar :(1). Metode Aljabar :

((a). Merubah ketidaksamaan fungsi a). Merubah ketidaksamaan fungsi pem-pem-

batas menjadi kesamaan dengan me batas menjadi kesamaan dengan me

ngurangi dengan ngurangi dengan surplussurplus variabel variabel

(S).(S).

3X3X11+ X+ X22-S-S1 1 = 27= 27

XX11+ X+ X22-S-S22 = 21 = 21

XX11+2X+2X22-S-S3 3 = 30= 30

Page 28: metode aljabar

(b). Merubah fungsi tujuan dengan me-(b). Merubah fungsi tujuan dengan me-

nambah nambah surplussurplus variabel bernilai nol. variabel bernilai nol.

Z = 40000XZ = 40000X11+20000X+20000X22+0S+0S11+0S+0S22+0S+0S33

(c). Substitusikan fungsi pembatas dan(c). Substitusikan fungsi pembatas dan

fungsi tujuan.fungsi tujuan.

1. X1. X11=X=X22=0; S=0; S11=27;S=27;S22=21;S=21;S33=30=30

Z = 0.Z = 0.

2. X2. X11=S=S11=0=0

3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X22=27=27

Page 29: metode aljabar

XX1 1 + X+ X22 – S – S22 = 21; S = 21; S22 = 6 = 6

XX11 +2X +2X22- S- S33 = 30; S = 30; S33 = 24 = 24

Z = 40000(0)+20000(27)+0+0+0Z = 40000(0)+20000(27)+0+0+0

= 540.000= 540.000

(3). X(3). X11=S=S22= 0= 0

XX1 1 + X+ X22 – S – S22 = 21; X = 21; X22=21=21

3X3X11+X+X22-S-S11=27; S=27; S11=-12=-12

(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

Page 30: metode aljabar

(4). X(4). X11=S=S33=0=0

XX11 +2X +2X22- S- S33 = 30; X = 30; X22=30/2 = 15=30/2 = 15

XX1 1 + X+ X22 – S – S22 = 21; S = 21; S22=-7=-7

(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

(5). X(5). X22=S=S11=0=0

3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X11 = 27/3 = 9 = 27/3 = 9

XX11+X+X22–S–S22=21; S=21; S22=-12=-12

(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

Page 31: metode aljabar

(6). X(6). X22=S=S22=0=0

XX11+X+X22–S–S22=21; X=21; X11=21=21

XX11+2X+2X22- S- S33=30; S=30; S33=-9 =-9 (Tidak (Tidak Fisibel)Fisibel)

(7). X(7). X22=S=S33=0=0

XX11+2X+2X22- S- S33=30; X=30; X11=30=30

3X3X11+X+X22-S-S11=27; S=27; S11=90-27=63=90-27=63

XX11+X+X22–S–S22=21; S=21; S22=9=9

Z =40000(30)+20000(0)+0+0+0Z =40000(30)+20000(0)+0+0+0

= 1.200.000.-= 1.200.000.-

Page 32: metode aljabar

(8). S(8). S11=S=S22=0=0

3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X22=27-3X=27-3X11

XX11+X+X22–S–S22=21; X=21; X11+27-3X+27-3X11=21=21

XX11=6/2=3=6/2=3

XX22= 27-3(3)=18= 27-3(3)=18

XX11+2X+2X22- S- S33=30; 3+2(18)-=30; 3+2(18)- SS3 3 =30=30

SS33=39-30=9=39-30=9 Z =40000(3)+2000(18)+0+0+0Z =40000(3)+2000(18)+0+0+0 =480.000.-=480.000.-

Page 33: metode aljabar

(9). S(9). S11=S=S33=0=0

3X3X11+X+X22-S-S11=27; X=27; X22=27-3X=27-3X11

XX11+2X+2X22- S- S33=30; X=30; X11+2(27-3X+2(27-3X11)=30)=30

XX11=(54-30)/5=4,8=(54-30)/5=4,8

XX22=27-=27-3(4,8)=12,63(4,8)=12,6

XX11+X+X22–S–S22=21; S=21; S22 =-3,6 =-3,6

(Tidak Fisibel)(Tidak Fisibel)

Page 34: metode aljabar

(10). S(10). S22=S=S33=0=0

XX11+X+X22–S–S22=21; X=21; X22=21-X=21-X11

XX11+2X+2X22- S- S33=30; X=30; X11+2(21-X+2(21-X11)=30)=30

XX11 = 42-30=12 = 42-30=12

XX22 = 21-12=9 = 21-12=9

3X3X11+X+X22-S-S11=27; S=27; S11 = 18 = 18

Z =40000(12)+2000(9)+0+0+0Z =40000(12)+2000(9)+0+0+0

= 660.000.-= 660.000.-

Page 35: metode aljabar

Jadi : Pengeluaran petani yang Jadi : Pengeluaran petani yang minimum minimum

jika membeli makanan sapi A jika membeli makanan sapi A = 3= 3

satuan dan makanan sampi B satuan dan makanan sampi B = 12= 12

satuan dengan Zsatuan dengan Zminmin=Rp =Rp 480.000.-480.000.-

Page 36: metode aljabar

Jadi : Pengeluaran petani yang Jadi : Pengeluaran petani yang minimum minimum

jika membeli makanan sapi A jika membeli makanan sapi A = 3= 3

satuan dan makanan sampi B satuan dan makanan sampi B = 12= 12

satuan dengan Zsatuan dengan Zminmin=Rp =Rp 480.000.-480.000.-

Page 37: metode aljabar

(3). Kasus-kasus khusus(3). Kasus-kasus khusus

Beberapa kasus khusus selain Beberapa kasus khusus selain kasus maksimisasi dan minimisasi kasus maksimisasi dan minimisasi adalah kasus solusi optimum adalah kasus solusi optimum ganda dan tidak memiliki solusi ganda dan tidak memiliki solusi yang layak.yang layak.

Contoh :Contoh :

a. Solusi Optimum Gandaa. Solusi Optimum Ganda

1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 4XMaksimumkan Z = 4X11 + 4X + 4X22

Page 38: metode aljabar

2. Fungsi Pembatas :2. Fungsi Pembatas :

XX11 + 2X + 2X22 ≤ 10 ≤ 10

XX11 + 6X + 6X22 ≤ 36 ≤ 36

XX11 ≤ 4 ≤ 4

XX11, X, X22 ≥ 0 ≥ 0

b. Tidak Memiliki Solusi Layakb. Tidak Memiliki Solusi Layak

1. Fungsi Tujuan :1. Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 5XMaksimumkan Z = 5X11 + 3X + 3X22

Page 39: metode aljabar

2. Fungsi Pembatas :2. Fungsi Pembatas :

4X4X11 + 2X + 2X22 ≤ 8 ≤ 8

XX11 ≥ 3 ≥ 3

XX22 ≥ 7 ≥ 7

XX11, X, X22 ≥ 0 ≥ 0