modul pembelajaran aljabar linierlab.ilkom.unila.ac.id/modul/semester ganjil/s1 ilmu...

Modul Praktikum

Aljabar Linier

Disusun oleh:

Machudor Yusman IR., M.Kom.

Ucapan Terimakasih:

David Abror

Gabriela Minang Sari

Hanan Risnawati

Ichwan Almaza

Nuha Hanifah

Riza Anggraini

Saiful Anwar

Tri Lestari

Edisi 1 (2017)

Laboratorium Komputasi Dasar

Jurusan Ilmu Komputer

FMIPA Universitas Lampung

Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 1

1 Modul Pembelajaran Aljabar Linier

Pertemuan 1: Pendahuluan Matriks dan Jenis-jenis Matriks

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Matriks dan Jenis-jenis Matriks

Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui matriks dan apa saja jenis-jenis matriks

tersebut

Waktu Pertemuan : 120 Menit

Penjelasan Singkat

Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan

tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun

atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m

x n.

Jenis-jenis Matriks

1. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah

kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal

istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang

berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.

2. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol.

Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.



3. Matriks Nol

Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.

4. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau

diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen

dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut

matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen

diagonal harus bernilai tak nol.

5. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1



Pertemuan 2: Sifat-sifat Operasi Matriks


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Sifat-sifat Operasi Matriks


Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui sifat-sifat operasi Matriks


Penjelasan Singkat

1. Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran

yang sama. Aturan penjumlahan Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang

bersesuaian pada kedua matriks.

2. Perkalian matriks dengan matriks Operasi

Perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah

kolom matriks A = jumlah baris matriks B. Aturan perkalian Misalkan Amn dan

Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij) merupakan

penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen– elemen B

kolom j.

3. Perkalian matriks dengan skalar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada

A dikalikan dengan k.



4. Transpose matriks

Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris –

barisnya merupakan kolom dari A.



Pertemuan 3: Latihan Mengoperasikan Matriks


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang mengoperasikan matriks menggunakan

sifat-sifat matriks


Mahasiswa diharapkan dapat mengoperasikan matriks dengan baik


Penjelasan Singkat

Diberikan beberapa soal latihan untuk mengavaluasi kemampuan peserta didik,

sejauh mana mereka dapat mengoperasikan matriks dengan menggunakan sifat-

sifat matriks yang telah dipelajari



Pertemuan 4: Matriks Invers


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Matriks Invers


Mahasiswa diharapkan dapat mengenal dan mengoperasikan matriks invers


Penjelasan Singkat

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka

B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B=A-1 ( B sama dengan

invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A=B-

1 . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular).

Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = �� dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0, maka invers dari matriks

A (ditulis ) adalah sebagai berikut:

Jika maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut

matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:



• •

•



Pertemuan 5: Kuis 1


Mengevaluasi kemampuan peserta didik selama praktikum yang telah berlangsung


Dengan diadakannya kuis ini, diharapkan pengajar dapat mengetahui sejauh mana

peserta didik memahami bahan perkuliahan yang telah diajarkan


Petunjuk Pengerjaan :

Contoh NPM David = 1417051032 Z=1, X=0, C=3, V=2

Ichwan= 1417051066 Z=1, X=0, C=6, V=6

Soal

No 1.

Apa yang kalian ketahui tentang Determinan dan Invers pada Matriks? (10 Point)

No 2.

1. |A| = Z-2 X+2

C+3 V-1

2. |B| = C-V X*2

Z/2 V+3



3. |D| = Z*X Z/3

C+3 V*3-2

Tentukan Matriks Invers Matriks A B dan D (60 Point)

No 3.

4. |F| = C-2 Z+X V+2

X/2 3+C X*3

V+1 C/2 Z+3

Tentukan Matriks Invers Matriks F (30 Point)



Pertemuan 6: Sistem Persamaan Linier


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Sistem Persamaan Linier


Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui cara kerja Sistem Persamaan Linier

(SPL)


Penjelasan Singkat

Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x 2 ,…,xn dinyatakan dalam

bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.

Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi

logaritma ataupun fungsi exponensial.

Contoh 2.1.1 : a. x + y = 4 Æ persamaan linear dengan 2 peubah b. 2x – 3y =

2z +1 Æ persamaan linear dengan 3 peubah c. 2 log x + log y = 2 Æ bukan

persamaan linear d. 2ex = 2x + 3 Æ bukan persamaan linear



Pertemuan 7: Operasi Baris Elementer

Tujuan Instruksional : Mengetahui Operasi Baris Elementer


Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan dapat menggunakan penyelesaian

matriks menggunakan Operasi Baris Elementer


Penjelasan Singkat

Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan

suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks

pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan

"Eliminasi Gauss-Jordan".

Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan ,

yaitu :

a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol

b. Mempertukarkan dua buah baris

c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Dengan menggunakan operasi baris elementer , maka matriks eselon baris tereduksi

yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian

untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks

awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar.



Pertemuan 8: Determinan Matriks

Tujuan Instruksional : Mengetahui Determinan Matriks


Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui determinan matriks dan dapat

mengaplikasikan cara kerja determinan matriks


Penjelasan Singkat

Misalkan A matriks bujur sangkar , fungsi determinan A sering dituliskan sebagai

determinan ( disingkat det(A) atau |A| ). Determinan matriks A adalah suatu

bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada

diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A = = ad – bc

Contoh Soal 1 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.



a. A = b. B =

Penyelesaian :

a. det A = = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

b. det B = = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5



Pertemuan 9: Ujian Tengah Praktikum (UTP)


Mengevaluasi kemampuan peserta didik selama setengah semester praktikum

berlangsung


Dengan diadakannya UTP ini, diharapkan pengajar dapat mengetahui sejauh mana

peserta didik memahami bahan perkuliahan yang telah diajarkan hingga tengah

semester ini


Penjelasan Singkat

Soal :

1. Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan

tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom. Perlu kalian ketahui,

terdapat berbagai jenis matriks .Untuk itu, Tuliskan dan Jelaskan min.5 Jenis

Matriks serta berikan contoh (gambarkan) matriks tersebut!

2. Determinan memiliki sifat-sifat yang dapat membantu anda dalam

menyelesaikan operasi matriks. Apa saja sifat determinan tersebut? Tuliskan dan

Jelaskan serta berikan contoh sifat determinan tersebut(min.5)!



3. Diketahui:

a − 3b + 4c = 13

− a − 2b − c= 1

− 5b + 2c =16

Carilah solusi dari SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss Jordan dan buat

persamaanya dari bentuk eselon baris yang telah anda buat!

4. Diketahui:

x + 2y + c = 5

2x − y − 4c = 5

−x + 3y − c =7

Carilah solusi dari SPL dengan menggunakan Metode Crammer dan tentukan nilai

untuk x,y, dan z!

5. Matriks P dan Q adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan

matriks P sama dengan dua kali determinan Q, maka nilai x yang memenuhi

adalah...

P = � �� Q = � �

−� �

6. Matriks A dan B adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan

matriks A sama dengan setengah kali determinan B, maka nilai x yang memenuhi

adalah...



A = �− −�� −� B = �− −�

−� ��

7. P = -3 7

2 4

Q = 5 6 -2

2 4 -4

3 2 9

Tentukan Matriks Invers Matriks P dan Q

8. A = -7 3

6 -4

B = 5 2 -3

-4 6 -2

3 4 8

Tentukan Matriks Invers Matriks A dan B

9. A = 2 -3

-3 4

D = 4 -2

6 3

Tentukan Determinan Matriks F Jika AD =F

10. A = 2 3

-2 4



B = -1 2

3 3

Tentukan Determinan Matriks D Jika AB =D



Pertemuan 10: Perhitungan Determinan (Ekspansi Kofaktor)


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang perhitungan determinan (ekspansi

kofaktor)


Mahasiswa diharapkan mengetahui cara kerja dan dapat mengaplikasikan

perhitungan determinan (ekspansi kofaktor)


Penjelasan Singkat

Pada metode ini dikenal beberapa istilah , antara lain : Minor elemen aij ( Mij ) yaitu

determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris i dan kolom j matriks

awalnya. Kofaktor elemen aij ( Cij ) = (−1 )i+j Mij Jika A matriks bujur sangkar

berukuran nxn , maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan

dapat dilakukan dengan dua cara yang semuanya menghasilkan hasil yang sama

yaitu : – ekspansi sepanjang baris i det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin – ekspansi

sepanjang kolom j det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj



Pertemuan 11: Metode Crammer


Pokok bahasan ini menjelaskan tentang definisi dan cara kerja metode crammer


Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui metode crammer dan dapat

menggunakannya untuk penyelesaian sistem persamaan linier


Penjelasan Singkat

Metode Crammer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu SPL yang

berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan

metode Crammer jika hasil perhitugan menunjukkan bahwa det (A) ≠ 0.

Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.

Teorema :

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan

tak diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan

yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = , x2 = , …, xn =

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri

dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.



B =



Pertemuan 12: Ujian Akhir Praktikum


Mengevaluasi kemampuan peserta didik dalam membuat program yang berkaitan

dengan pembelajaran satu semester ini.


Dengan diadakannya Ujian Akhir Praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat

membuat sebuah program untuk menghitung perhitungan matriks yang berkaitan

dengan Aljabar Linier


Penjelasan Singkat

Ujian Akhir Praktikum ini merupakan proyek membuat sebuah program mencari

invers matriks 4x4 dengan menggunakan Bahasa C/C++. Program ini bertujuan

agar Mahasiswa diharapkan dapat membuat sebuah program berdasarkan apa yang

telah dia pelajari pada semester ini.

modul pembelajaran aljabar linierlab.ilkom.unila.ac.id/modul/semester ganjil/s1 ilmu...

Documents