1) Erlina Tri Susianti adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

2) Santi Irawati adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.

MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND

Erlina Tri Susianti 1)

Santi Irawati 2)

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.

email: erlTrisa@yahoo.co.id, santira99@gmail.com

Abstrak: Gelanggang hasil bagi dan modul hasil bagi merupakan dua konsep yang saling

berkaitan. Dari suatu gelanggang komutatif 𝑅, dapat dikonstruksi suatu lokalisasi 𝑅𝑆−1 di

mana 𝑆 merupakan himpunan multiplikatif dari semua unsur regular di 𝑅. Berdasarkan

ide tersebut, dari suatu 𝑅-modul 𝑀 akan dikonstruksi suatu lokalisasi modul hasil bagi

𝑀𝑆−1 = [𝑚, 𝑠] 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑆 dengan 𝑆 ⊆ 𝑅 merupakan himpunan multiplikatif.

Artikel ini akan mengkaji konstruksi modul hasil bagi 𝑀𝑇−1 dengan

𝑇 ≔ 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 dan 𝑀 adalah suatu modul atas

gelanggang komutatif 𝑅. 𝑀 adalah 𝑅-modul Dedekind, jika setiap submodul tak nol dari

𝑀 mempunyai balikan di 𝑀. Kesimpulan yang didapat dari konstruksi ini adalah bahwa

modul hasil bagi dari suatu 𝑅-modul Dedekind merupakan suatu 𝑅𝑇−1-modul Dedekind.

Selanjutnya, artikel ini dilengkapi dengan contoh sebagai ilustrasi.

Kata kunci: modul, gelanggang hasil bagi, modul hasil bagi, modul Dedekind.

Dalam bidang aljabar, dikenal suatu sistem matematika yaitu modul. Pembahasan

mengenai modul tidak lepas dari struktur grup dan gelanggang. Modul yang terbatas pada

daerah Dedekind disebut dengan modul Dedekind. Pembahasan konsep daerah Dedekind ke

dalam area teori modul telah diperkenalkan oleh Naoum dan Al-Alwan (dalam Garminia dkk.:

2008). Konsep tersebut membuka jalan untuk penelaahan sifat-sifat yang berkaitan dengan

modul Dedekind atas gelanggang komutatif.

Robson (dalam Garminia dkk.: 2008) telah memperumum konsep daerah Dedekind

menjadi gelanggang prima Dedekind. Misalkan 𝑅 adalah gelanggang prima Dedekind maka

gelanggang hasil baginya juga merupakan gelanggang prima Dedekind (Goodearl, 1974).

Oleh karena itu, sangat relevan untuk membahas perluasan sifat gelanggang prima Dedekind

tersebut di area teori modul atas gelanggang komutatif. Khususnya, membahas apakah

struktur modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind juga merupakan modul Dedekind.

Garminia dkk. (2008) telah membuktikan struktur modul hasil bagi dari modul Dedekind

adalah suatu modul Dedekind. Pada artikel ini akan dikaji ulang konstruksi modul hasil bagi

dari suatu modul Dedekind dengan pendekatan yang berbeda disertai dengan contohnya.

Artikel ini akan dimulai dengan notasi dan pengertian yang berkaitan dengan modul

Dedekind. Selanjutnya akan dibahas modul hasil bagi dari suatu modul Dedekind yang

merupakan hasil utama dari tulisan ini. Pembuktian hasil utama ini melalui konsep submodul

dari modul hasil baginya. Artikel ini ditutup dengan kesimpulan dan masalah terbuka yang

dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Misalkan 𝑅 merupakan suatu gelanggang komutatif dan 𝑆 adalah suatu himpunan

multiplikatif dari semua unsur regular 𝑅. Lokalisasi dari 𝑅 atas 𝑆 merupakan suatu

gelanggang komutatif, 𝑅𝑆−1 dengan unsur satuan dan suatu monomorfisma gelanggang

𝜑: 𝑅 → 𝑅𝑆−1 sehingga untuk semua 𝑎 ∈ 𝑅𝑆−1 ada 𝑏 ∈ 𝑅 dan 𝑐 ∈ 𝑆 sehingga 𝜑(𝑐) adalah

unit di 𝑅𝑆−1 dan 𝑎 = 𝜑(𝑏)𝜑(𝑐)−1 (Adkind, 1999). Berdasarkan Matsumura (1986),

lokalisasi ini kemudian disebut sebagai gelanggang hasil bagi. Sedangkan suatu daerah

integral 𝑅 dimana setiap ideal tak nol dari 𝑅 mempunyai balikan adalah daerah Dedekind

(gelanggang Dedekind).

Modul Dedekind

Pertama akan disajikan beberapa notasi yang akan digunakan dalam tulisan ini. Notasi

𝑅 menyatakan gelanggang komutatif. Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul tak nol, 𝑆 adalah

himpunan yang terdiri dari unsur reguler 𝑅, dan

𝑇 ≔ 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 . Selanjutnya, 𝑇 adalah himpunan bagian

multiplikatif dari 𝑆 dan 𝑅𝑇−1 merupakan gelanggang bagian 𝑅𝑆−1 (Passman, (1991). Untuk

selanjutnya, pada tulisan ini, 𝑇 menyatakan himpunan multiplikatif seperti yang telah

didefinisikan di atas.

Teorema 1 (Garminia, dkk, 2008:114)

Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul tak nol dari 𝑀.

Himpunan

𝑁 ′ ≔ 𝑥 ∈ 𝑅𝑇−1 𝑥𝑁 ⊂ 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁′𝑁 ⊆ 𝑀.

Definisi 1 (Garminia, dkk, 2008:114)

Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁 merupakan submodul tak nol dari 𝑀.

Himpunan

𝑁 ′ = 𝑥 ∈ 𝑅𝑇−1 𝑥𝑁 ⊂ 𝑀 dikatakan submodul yang mempunyai balikan di 𝑀, jika 𝑁′𝑁 = 𝑀. Sebagai contoh, modul 4ℤ adalah ℤ-modul bagian yang dapat dibalik di 2ℤ .

Definisi 2 (Garminia, dkk, 2008:114)

Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul. 𝑀 adalah 𝑹-modul Dedekind, jika setiap

submodul tak nol dari 𝑀 mempunyai balikan di 𝑀.

Sebagai contoh, ℳ𝟐 ℤ = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ merupakan suatu ℤ-modul Dedekind dan

ℚ merupakan suatu ℤ-modul Dedekind dan gelanggang. Sedangkan, ℤ4 bukan ℤ-modul

Dedekind, karena ada 𝑃 = 0 , [2] suatu ℤ-submodul tak nol dari ℤ4 tetapi tidak mempunyai

balikan di ℤ4.

Modul Hasil Bagi dari Modul Dedekind

Teorema 2 (Goodearl, 1974)

Jika 𝑅 adalah gelanggang prima Dedekind dan 𝑆 adalah himpunan dari semua unsur

reguler di 𝑅, maka

𝑅𝑆−1 = [𝑟, 𝑠] 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 merupakan suatu gelanggang prima Dedekind.

Selanjutnya, pembahasan utama dalam artikel ini adalah menunjukkan bahwa modul hasil bagi

dari modul Dedekind merupakan modul Dedekind dengan langkah-langkah pengkonstruksian modul

hasil bagi sebagai berikut:

Misalkan 𝑅 adalah suatu gelanggang komutatif dengan unsur satuan, 𝑆 adalah

himpunan multiplikatif dari semua unsur reguler di 𝑅, 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul, dan 𝑇 = 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 . Pada 𝑀 × 𝑇, didefinisikan suatu relasi

ekivalen yaitu untuk sebarang (𝑚, 𝑠) dan (𝑚1, 𝑠1) 𝑀 × 𝑇,

𝑚, 𝑠 ~ 𝑚1, 𝑠1 ⇔ 𝑚𝑠1 = 𝑠𝑚1 maka relasi ini merupakan relasi ekivalen.

Selanjutnya didefinisikan kelas ekivalen dari (𝑚, 𝑠), ditulis [𝑚, 𝑠], dengan

𝑚, 𝑠 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑀 × 𝑇 𝑚, 𝑠 ~(𝑎, 𝑏) , dan

Didefinisikan himpunan 𝑀𝑇−1 = 𝑚, 𝑠 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑇 dengan operasi penjumlahan

dan perkalian skalar pada 𝑀𝑇−1 sebagai berikut.

𝑚, 𝑠 + 𝑚1, 𝑠1 = 𝑚𝑠1 + 𝑠𝑚1, 𝑠𝑠1 𝑟, 𝑡 𝑚, 𝑠 = [𝑟𝑚, 𝑡𝑠]

Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa 𝑀𝑇−1 adalah suatu 𝑅𝑇−1-modul.

Definisikan monomorfisma 𝑅-modul,

𝜑: 𝑀 → 𝑀𝑇−1 dengan pengaitan

𝜑(𝑚) ↦ [𝑚𝑢, 𝑢] , ∀𝑚 ∈ 𝑀dan 𝑢 unit.

𝑀𝑇−1 dinamakan 𝑹-modul hasil bagi dari 𝑴 oleh 𝑻.

Misalkan 𝑚, 𝑠 ∈ 𝑀𝑇−1. Untuk selanjutnya, 𝑚, 𝑠 dituliskan dengan 𝑚𝑠−1.

Proposisi 1 (Garminia dkk., 2008:115)

Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀, maka

𝑁𝑇−1 adalah suatu 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1.

Bukti:

1. 𝑁𝑇−1 ≠ ∅

Perhatikan bahwa 0 = 0.1 = 0. 1−1 ∈ 𝑁𝑇−1, dengan 0 ∈ 𝑁, 1 ∈ 𝑇.

Jadi, 𝑁𝑇−1 ≠ ∅.

2. 𝑁𝑇−1 ⊆ 𝑀𝑇−1

Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑁𝑇−1. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑀𝑇−1.

𝑥 ∈ 𝑁𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑛𝑡−1, untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑡 ∈ 𝑇.

𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀 ⇒ 𝑁 ⊆ 𝑀.

Karena 𝑁 ⊆ 𝑀, maka 𝑛 ∈ 𝑀.

Sehingga 𝑥 = 𝑛𝑡−1, untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇.

Jadi, 𝑥 ∈ 𝑀𝑇−1

Karena untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑁𝑇−1 berlaku 𝑥 ∈ 𝑀𝑇−1, maka diperoleh

𝑁𝑇−1 ⊆ 𝑀𝑇−1.

3. Ambil sebarang 𝑛1𝑡1−1, 𝑛2𝑡2

−1 ∈ 𝑁𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝑛1𝑡1−1 + 𝑛2𝑡2

−1 ∈ 𝑁𝑇−1.

Misalkan 𝑛𝑗 𝑡𝑗−1 = 𝑚𝑗 𝑡

−1, untuk suatu 𝑚𝑗 ∈ 𝑛𝑗 𝑅, 𝑗 = 1, 2.

Perhatikan bahwa

𝑛𝑗 𝑅 ⊆ 𝑁

Ambil sebarang 𝑚𝑗 ∈ 𝑛𝑗 𝑅. Akan ditunjukkan 𝑚𝑗 ∈ 𝑁.

𝑚𝑗 ∈ 𝑛𝑗 𝑅 ⇒ 𝑚𝑗 = 𝑛𝑗 𝑟, untuk suatu 𝑟 ∈ 𝑅.

Karena 𝑛𝑗 ∈ 𝑁, 𝑟 ∈ 𝑅, dan 𝑁 adalah suatu 𝑅-submodul 𝑀, maka

𝑚𝑗 = 𝑛𝑗 𝑟 ∈ 𝑁.

Oleh karena itu,

𝑛1𝑡1−1 + 𝑛2𝑡2

−1 = 𝑚1𝑡−1 + 𝑚2𝑡

−1

= (𝑚1 + 𝑚2)𝑡−1 ∈ 𝑁𝑇−1

4. Ambil sebarang 𝑛1𝑡1−1 ∈ 𝑁𝑇−1dan 𝑟𝑡−1 ∈ 𝑅𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝑛1𝑡1−1 (𝑟𝑡−1) ∈ 𝑁𝑇−1.

Karena 𝑅 merupakan gelanggang komutatif, maka

𝑡1−1𝑟 ∈ 𝑇−1𝑅 = 𝑅𝑇−1.

Maka 𝑡1−1𝑟 = 𝑟2𝑡2

−1, untuk suatu 𝑟2 ∈ 𝑅, 𝑡2 ∈ 𝑇.

Sehingga diperoleh

𝑛1𝑡1−1 𝑟𝑡−1 = 𝑛1 𝑡1

−1𝑟 𝑡−1

= 𝑛1 𝑟2𝑡2−1 𝑡−1

= (𝑛1𝑟2) 𝑡2−1𝑡−1

= (𝑛1𝑟2) 𝑡2𝑡 −1 ∈ 𝑁𝑇−1

Jadi, 𝑁𝑇−1 adalah suatu 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1.

Proposisi 2 (Garminia dkk., 2008:116)

Misalkan 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul dan 𝑋 adalah suatu 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1,

maka

i. 𝑋 ∩ 𝑀 merupakan suatu 𝑅-submodul dari 𝑀, dan

ii. 𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

Bukti:

Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 merupakan suatu 𝑅-submodul dari 𝑀.

1. 𝑋 ∩ 𝑀 ≠ ∅

Perhatikan bahwa 0 = 0.1 = 0. 1−1 ∈ 𝑋 dan 0 ∈ 𝑀.

Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 ≠ ∅.

2. 𝑋 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀

Jelas bahwa 𝑋 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀.

3. Ambil sebarang 𝑚1, 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

Akan ditunjukkan 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

𝑚1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑚1 ∈ 𝑀.

𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑚2 ∈ 𝑋 dan 𝑚2 ∈ 𝑀.

Karena 𝑋 adalah 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1, maka 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑋.

Karena 𝑀 adalah 𝑅-modul, maka 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑀.

Oleh karena itu,

𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

4. Ambil sebarang 𝑚1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 dan 𝑟 ∈ 𝑅.

Akan ditunjukkan 𝑚1𝑟 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

𝑚1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑚1 ∈ 𝑀.

𝑟 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑟 = 𝑟. 1 = 𝑟. 1−1 ∈ 𝑅𝑇−1.

Karena 𝑋 adalah 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1, 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑟 ∈ 𝑅𝑇−1, maka

𝑚1𝑟 ∈ 𝑋.

Karena 𝑀 adalah 𝑅-modul, 𝑚1 ∈ 𝑋 dan 𝑟 ∈ 𝑅, maka 𝑚1𝑟 ∈ 𝑀.

Oleh karena itu,

𝑚1𝑟 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀.

𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

1. Akan ditunjukkan 𝑋 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑋. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

𝑥 ∈ 𝑋 ⇒ 𝑥 = 𝑚𝑡−1, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 dan 𝑡 ∈ 𝑇.

Perhatikan bahwa

𝑡−1 = 1. 𝑡−1 ∈ 𝑅𝑇−1.

Karena 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑡−1 ∈ 𝑅𝑇−1, dan 𝑋 adalah 𝑅𝑇−1-modul, maka

diperoleh

𝑚 = 𝑚. 1 = 𝑚𝑡−1𝑡 ∈ 𝑋.

Sehingga kita peroleh

𝑥 = 𝑚𝑡−1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Jadi, 𝑋 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

2. Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⊆ 𝑋.

Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀. Akan ditunjukkan 𝑦 ∈ 𝑋.

𝑦 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑡−1, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 dan 𝑡 ∈ 𝑇.

Perhatikan bahwa

- 𝑚 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑋

- Karena 𝑡−1 = 1. 𝑡−1 ∈ 𝑅𝑇−1 dan 𝑋 adalah 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1,

maka 𝑦 = 𝑚𝑡−1 ∈ 𝑋.

Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⊆ 𝑋.

Karena terbukti bahwa 𝑋 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 dan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⊆ 𝑋, maka

𝑋 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

1. Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝑝 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

𝑝 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⇒ 𝑝 = 𝑚𝑡−1, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇.

Perhatikan bahwa

𝑡−1 = 1. 𝑡−1 ∈ 𝑅𝑇−1.

Oleh karena itu,

𝑝 = 𝑚𝑡−1 = 𝑚(1. 𝑡−1) ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

2. Akan ditunjukkan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Ambil sebarang 𝑞 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝑞 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

𝑞 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1 ⇒ 𝑞 = 𝑚(𝑟𝑡−1), untuk suatu ∈ 𝑋 ∩ 𝑀, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑡 ∈ 𝑇.

Karena 𝑋 ∩ 𝑀 adalah suatu 𝑅-submodul dari 𝑀, maka

𝑚𝑟 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀.

Oleh karena itu,

𝑞 = 𝑚 𝑟𝑡−1 = (𝑚𝑟)𝑡−1 ∈ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Jadi, 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Karena terbukti 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1 dan 𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1 ⊆ 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1,

maka

𝑋 ∩ 𝑀 𝑅𝑇−1 = 𝑋 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Teorema 3 (Garminia, 2008:115)

Jika 𝑀 adalah 𝑅-modul Dedekind, maka 𝑀𝑇−1 yang didefinisikan di atas merupakan

𝑅𝑇−1-modul Dedekind.

Bukti:

Akan ditunjukkan untuk setiap 𝑅𝑇−1-submodul dari 𝑀𝑇−1, mempunyai balikan di

𝑀𝑇−1.

Ambil sebarang 𝑅𝑇−1-submodul tak nol 𝐿 dari 𝑀𝑇−1.

Akan ditunjukkan 𝐿 mempunyai balikan di 𝑀𝑇−1.

Berdasarkan Proposisi 2,

𝐿 ∩ 𝑀 adalah 𝑅-submodul dari 𝑀 dan 𝐿 = 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1.

Bentuk

𝑁′ = 𝑥 ∈ 𝑅𝑇−1 𝑥 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀 sehingga,

𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 = 𝑀.

𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀

Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 . Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑀.

𝑥 ∈ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⇒ 𝑥 = 𝑛′𝑙, dengan 𝑛′ ∈ 𝑁′ dan 𝑙 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀.

𝑛′ ∈ 𝑁′ ⇒ 𝑛′ ∈ 𝑅𝑇−1, 𝑛′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀 Perhatikan bahwa

𝑥 = 𝑛′𝑙 ∈ 𝑛′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀.

Dengan demikian, 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀.

𝑀 ⊆ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀

Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑀. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 .

Perhatikan bahwa

𝑚 = 1. 𝑚 ∈ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 dengan

1 ∈ 𝑁′ Karena 1 = 1. 1−1 ∈ 𝑅𝑇−1 dan 1 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀, maka 1 ∈ 𝑁′.

𝑚 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀 Perhatikan bahwa

𝑚 = 1. 𝑚 = 𝑡−1𝑡 𝑚 = 𝑡 𝑡−1𝑚 = 𝑡 𝑚𝑡−1 = (𝑡. 1−1) 𝑚𝑡−1 ∈ 𝐿

Oleh karena itu, 𝑚 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀 .

Dengan demikian, 𝑀 ⊆ 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 .

Jadi, 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 = 𝑀.

Tulis pula

𝐿′ = 𝑥 ∈ 𝑅𝑇−1 𝑥𝐿 ⊆ 𝑀𝑇−1 Akan ditunjukkan bahwa 𝐿′ = 𝑁′ .

1. 𝐿′ ⊆ 𝑁′

Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐿′. Akan ditunjukkan 𝑥 ∈ 𝑁′. 𝑥 ∈ 𝐿′ ⇒ 𝑥 ∈ 𝑅𝑇−1, dengan 𝑥𝐿 ⊆ 𝑀𝑇−1.

Perhatikan bahwa

𝑥𝐿 = 𝑥( 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1) ⊆ 𝑀𝑇−1 sehingga

𝑥 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀.

Jadi, 𝑥 ∈ 𝑅𝑇−1, dengan 𝑥 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀, mengakibatkan 𝑥 ∈ 𝑁′.

2. 𝑁′ ⊆ 𝐿′

Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝑁′. Akan ditunjukkan 𝑦 ∈ 𝐿′. 𝑦 ∈ 𝑁′ ⇒ 𝑦 ∈ 𝑅𝑇−1, dengan 𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 ⊆ 𝑀.

Perhatikan bahwa

𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1 = (𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 )𝑇−1

karena untuk setiap 𝑙 ∈ 𝐿 ∩ 𝑀 , 𝑡 ∈ 𝑇, berlaku

𝑦 𝑙𝑡−1 = 𝑦 𝑡−1𝑙 = 𝑦𝑡−1 𝑙 = 𝑡−1𝑦 𝑙 = (𝑦𝑙)𝑡−1 Oleh karena itu,

𝑦𝐿 = 𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1 = (𝑦 𝐿 ∩ 𝑀 )𝑇−1 ⊆ 𝑀𝑇−1

sehingga

𝑦𝐿 ⊆ 𝑀𝑇−1.

Jadi, 𝑦 ∈ 𝑅𝑇−1, dengan 𝑦𝐿 ⊆ 𝑀𝑇−1, mengakibatkan 𝑦 ∈ 𝐿′.

Karena terbukti 𝐿′ ⊆ 𝑁′ dan 𝑁′ ⊆ 𝐿′, maka 𝐿′ = 𝑁′ .

Dengan demikian,

𝐿′𝐿 = 𝐿′ 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1

= 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1

= 𝑁′ 𝐿 ∩ 𝑀 𝑇−1

= 𝑀𝑇−1

Jadi, 𝐿 mempunyai balikan di 𝑀𝑇−1, yaitu 𝐿′ , sehingga dapat disimpulkan bahwa

𝑀𝑇−1 merupakan 𝑅𝑇−1-modul Dedekind.

Contoh 1

ℤ3(5)−1 merupakan suatu ℤ-modul hasil bagi dari ℤ3.

ℤ3 dan ℤ3(5)−1 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind.

Bukti:

Telah diketahui, ℤ3 adalah ℤ-modul.

Selanjutnya, akan ditunjukkan setiap submodul tak nol dari ℤ3 mempunyai balikan di

ℤ3.

Ambil sebarang ℤ-submodul tak nol 𝑃 dari ℤ3, yaitu 𝑃 = ℤ3.

Akan ditunjukkan 𝑃 mempunyai balikan di ℤ3.

Misalkan 𝑆 adalah himpunan dari semua unsur regular di ℤ, maka 𝑆 = ℤ − 0 Misalkan 𝑇 = 𝑡 ∈ ℤ − 0 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ ℤ3 ⇒ 𝑚 = 0 . Ini berarti 𝑇 = ℤ − 3ℤ.

Definisikan

𝑃′ = 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 𝑥ℤ3 ⊂ ℤ3

1. Akan ditunjukkan 𝑃′ adalah suatu ℤ-modul.

a. Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃′. 𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1

−1 ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan 𝑥ℤ3 ⊂ℤ3

𝑦 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2𝑡2−1, ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan 𝑦ℤ3 ⊂

ℤ3

Perhatikan bahwa, karena 𝑟1𝑡2 − 𝑟2𝑡1 ∈ ℤ dan 𝑡1𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, maka

𝑥 − 𝑦 = 𝑟1𝑡1−1 − 𝑟2𝑡2

−1 = 𝑟1𝑡2 − 𝑟2𝑡1 (𝑡1𝑡2)−1 ∈ ℤ𝑇−1.

Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑥 − 𝑦 ℤ3 ⊂ ℤ3.

Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 ℤ3.

𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 ℤ3 ⇒ 𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛, untuk suatu 𝑛 ∈ ℤ3.

Karena 𝑥ℤ3 ⊂ ℤ3, 𝑦ℤ3 ⊂ ℤ3, dan ℤ3 adalah suatu ℤ-modul, maka

𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ ℤ3

Sehingga diperoleh (𝑥 − 𝑦)ℤ3 ⊂ ℤ3.

Jadi, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃′.

b. Ambil 𝑎 ∈ ℤ dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦.

𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1 ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

𝑦 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2𝑡2−1, ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎1−1 (𝑟1𝑡1−1 + 𝑟2𝑡2

−1)

= 𝑎1−1 𝑟1𝑡2 + 𝑟2𝑡1 (𝑡1𝑡2)−1

= (𝑎 𝑟1𝑡2 + 𝑟2𝑡1 ) (𝑡1𝑡2)−1

= ( 𝑎𝑟1𝑡2 + 𝑎𝑟2𝑡1)(𝑡1𝑡2)−1

= 𝑎𝑟1𝑡1−1 + 𝑎𝑟2𝑡2

−1

= 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦.

c. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥.

𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

𝑎 + 𝑏 𝑥 = ( 𝑎 + 𝑏 1−1)(𝑟1𝑡1−1)

= ( 𝑎 + 𝑏 𝑟1)𝑡1−1

= (𝑎𝑟1 + 𝑏𝑟1)𝑡1−1

= 𝑎𝑟1𝑡1 + 𝑏𝑟1𝑡1 (𝑡1𝑡1)−1

= 𝑎𝑟1𝑡1−1 + 𝑏𝑟1𝑡1

−1

= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥

d. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥).

𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎𝑏 1−1 𝑟1𝑡1−1 = 𝑎𝑏𝑟1 𝑡1

−1 = 𝑎1−1 𝑏𝑟1𝑡1−1 = 𝑎(𝑏𝑥)

e. Ambil 𝑥 ∈ 𝑃′. Akan ditunjukkan 1𝑥 = 𝑥.

𝑥 ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

1𝑥 = 1( 𝑟1𝑡1−1) = 𝑟1𝑡1

−1 = 𝑥

Jadi, 𝑃′ adalah ℤ-modul.

2. Klaim: 𝑃′ℤ3 = ℤ3

a. Akan ditunjukkan 𝑃′ ℤ3 ⊆ ℤ3.

Ambil sebarang 𝑤 ∈ 𝑃′ ℤ3. Akan ditunjukkan 𝑤 ∈ ℤ3.

𝑤 ∈ 𝑃′ℤ3 ⇒ 𝑤 = 𝑝′𝑝, untuk 𝑝′ ∈ 𝑃′, 𝑝 ∈ ℤ3.

Perhatikan bahwa

- 𝑝 ∈ ℤ3

- 𝑝′ ∈ 𝑃′ ⇒ 𝑝′ =𝑎

𝑏, 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ − 3ℤ, sehingga 𝑝′ℤ3 ⊂ ℤ3.

Sehingga diperoleh,

𝑤 = 𝑝′𝑝 ∈ 𝑝′ℤ3 ⊂ ℤ3.

Jadi, 𝑃′ ℤ3 ⊆ ℤ3.

b. Akan ditunjukkan ℤ3 ⊆ 𝑃′ℤ3.

Ambil sebarang [𝑣] ∈ ℤ3. Akan ditunjukkan [𝑣] ∈ 𝑃′ ℤ3.

Jika [𝑣] = 0 , maka

[𝑣] = 0 = 0 0 = (0. 1−1) 0 ∈ 𝑃′ℤ3

Jika [𝑣] ≠ 0 , maka

𝑣 = 1 𝑣 = (1. 1−1) 𝑣 ∈ 𝑃′ℤ3

Jadi, ℤ3 ⊆ 𝑃′ℤ3.

Dari (a) dan (b), diperoleh 𝑃′ℤ3 = ℤ3, yang berarti ℤ3 mempunyai balikan di ℤ3.

Dengan demikian, ℤ3 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind.

Selanjutnya, akan ditunjukkan ℤ3(5)−1 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind.

Akan ditunjukkan ℤ3(5)−1 adalah suatu ℤ-modul, dengan

ℤ3(5)−1 = 𝑥

5 𝑥 ∈ ℤ3

Misalkan

𝑎 ∈ ℤ3 5 −1 ⇒ 𝑎 = 𝑥

5, 𝑥 ∈ ℤ3

𝑏 ∈ ℤ3 5 −1 ⇒ 𝑏 = 𝑦

5, 𝑦 ∈ ℤ3

a. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ3(5)−1. Akan ditunjukkan 𝑎 − 𝑏 ∈ ℤ3(5)−1.

𝑎 − 𝑏 = 𝑥

5−

𝑦

5=

𝑥 − [𝑦]

5=

𝑥 − 𝑦

5∈ ℤ3(5)−1

b. Ambil 𝑟 ∈ ℤ dan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ3(5)−1.

Akan ditunjukkan 𝑟 𝑎 + 𝑏 = 𝑟𝑎 + 𝑟𝑏.

𝑟 𝑎 + 𝑏 = 𝑟 𝑥

5+

𝑦

5

=𝑟

1 𝑥 + 𝑦

5

= 𝑟 𝑥 + 𝑦

5

= 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦

5

= 𝑟𝑥

5+

𝑟𝑦

5

= 𝑟 𝑥

5+ 𝑟

𝑦

5

= 𝑟𝑎 + 𝑟𝑏

c. Ambil 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ dan 𝑎 ∈ ℤ3(5)−1.

Akan ditunjukkan 𝑝 + 𝑞 𝑎 = 𝑝𝑎 + 𝑞𝑎.

𝑝 + 𝑞 𝑎 = 𝑝 + 𝑞

1

𝑥

5

= 𝑝 + 𝑞 𝑥

5

= 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥

5

= 𝑝𝑥

5+

𝑞𝑥

5

= 𝑝 𝑥

5+ 𝑞

𝑥

5

= 𝑝𝑎 + 𝑞𝑎

d. Ambil 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ dan 𝑎 ∈ ℤ3(5)−1.

Akan ditunjukkan 𝑝𝑞 𝑎 = 𝑝 𝑞𝑎 .

𝑝𝑞 𝑎 = 𝑝𝑞

1

𝑥

5

= 𝑝𝑞 𝑥

5

= 𝑝 𝑞𝑥

5

= 𝑝 𝑞𝑥

5

= 𝑝 𝑞 𝑥

5

= 𝑝 𝑞𝑎

e. Ambil 𝑎 ∈ ℤ3(5)−1.

Akan ditunjukkan 1𝑎 = 𝑎.

1𝑎 =1

1

𝑥

5=

1𝑥

5=

𝑥

5= 𝑎

Jadi, ℤ3(5)−1 adalah suatu ℤ-modul.

Setiap submodul tak nol dari ℤ3(5)−1 mempunyai balikan di ℤ3(5)−1.

Ambil sebarang ℤ-submodul tak nol 𝐴 dari ℤ3(5)−1.

Akan ditunjukkan 𝐴 mempunyai balikan di ℤ3(5)−1.

Misalkan 𝑆 adalah himpunan dari semua unsur regular di ℤ, maka 𝑆 = ℤ − 0 Misalkan 𝑇 = 𝑡 ∈ ℤ − 0 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ ℤ3 ⇒ 𝑚 = 0 . Ini berarti 𝑇 = ℤ − 3ℤ.

Definisikan

𝐴′ = 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 𝑥𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1

1. Akan ditunjukkan 𝐴′ adalah suatu ℤ-modul.

a. Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴′. 𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1

−1 ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan

𝑥𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1

𝑦 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2𝑡2−1 ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ, dengan

𝑦𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1

Perhatikan bahwa, karena 𝑟1𝑡2 − 𝑟2𝑡1 ∈ ℤ dan 𝑡1𝑡2 ∈ ℤ − 3ℤ, maka

𝑥 − 𝑦 = 𝑟1𝑡1−1 − 𝑟2𝑡2

−1 = 𝑟1𝑡2 − 𝑟2𝑡1 (𝑡1𝑡2)−1 ∈ ℤ𝑇−1.

Selanjutnya, akan ditunjukkan (𝑥 − 𝑦)𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1.

Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 𝐴.

Akan ditunjukkan 𝑝 ∈ ℤ3(5)−1.

𝑝 ∈ 𝑥 − 𝑦 𝐴 ⇒ 𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛, 𝑛 ∈ 𝐴.

Karena 𝑥𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1, 𝑦𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1, dan ℤ3(5)−1 adalah suatu ℤ-modul,

maka

𝑝 = 𝑥 − 𝑦 𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ 𝐴

Sehingga diperoleh (𝑥 − 𝑦)𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1.

Jadi, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴′.

b. Ambil 𝑎 ∈ ℤ dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦.

𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1 ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

𝑦 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑦 = 𝑟2𝑡2−1 ∈ ℤ𝑇−1, untuk suatu 𝑟2 ∈ ℤ, 𝑡2 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎1−1 (𝑟1𝑡1−1 + 𝑟2𝑡2

−1)

= 𝑎1−1 𝑟1𝑡2 + 𝑟2𝑡1 (𝑡1𝑡2)−1

= (𝑎 𝑟1𝑡2 + 𝑟2𝑡1 ) (𝑡1𝑡2)−1

= ( 𝑎𝑟1𝑡2 + 𝑎𝑟2𝑡1)(𝑡1𝑡2)−1

= 𝑎𝑟1𝑡1−1 + 𝑎𝑟2𝑡2

−1

= 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦.

c. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥.

𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

𝑎 + 𝑏 𝑥 = ( 𝑎 + 𝑏 1−1)(𝑟1𝑡1−1)

= ( 𝑎 + 𝑏 𝑟1)𝑡1−1

= (𝑎𝑟1 + 𝑏𝑟1)𝑡1−1

= 𝑎𝑟1𝑡1 + 𝑏𝑟1𝑡1 (𝑡1𝑡1)−1

= 𝑎𝑟1𝑡1−1 + 𝑏𝑟1𝑡1

−1

= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥

d. Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ dan 𝑥 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎(𝑏𝑥).

𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎𝑏 1−1 𝑟1𝑡1−1 = 𝑎𝑏𝑟1 𝑡1

−1 = 𝑎1−1 𝑏𝑟1𝑡1−1 = 𝑎(𝑏𝑥)

e. Ambil 𝑥 ∈ 𝐴′. Akan ditunjukkan 1𝑥 = 𝑥.

𝑥 ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑥 ∈ ℤ𝑇−1 ⇒ 𝑥 = 𝑟1𝑡1−1, untuk suatu 𝑟1 ∈ ℤ, 𝑡1 ∈ 𝑇 = ℤ − 3ℤ

Dengan demikian,

1𝑥 = 1( 𝑟1𝑡1−1) = 𝑟1𝑡1

−1 = 𝑥

Jadi, 𝑃′ adalah suatu ℤ-modul.

2. Klaim: 𝐴′𝐴 = ℤ3(5)−1.

a. Akan ditunjukkan 𝐴′𝐴 ⊆ ℤ3(5)−1.

Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝐴′𝐴. Akan ditunjukkan 𝑝 ∈ ℤ3(5)−1.

𝑝 ∈ 𝐴′𝐴 ⇒ 𝑝 = 𝑎′𝑎, untuk 𝑎′ ∈ 𝐴′, 𝑎 ∈ 𝐴.

Perhatikan bahwa

𝑎′ ∈ 𝐴′ ⇒ 𝑎′𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1 sehingga

𝑝 = 𝑎′𝑎 ∈ 𝑎′𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1

Jadi, 𝐴′𝐴 ⊆ ℤ3(5)−1.

b. Akan ditunjukkan ℤ3(5)−1 ⊆ 𝐴′𝐴.

Ambil sebarang 𝑞 ∈ ℤ3(5)−1. Akan ditunjukkan 𝑞 ∈ 𝐴′𝐴.

𝑞 ∈ ℤ3(5)−1 ⇒ 𝑞 =[𝑥]

5, untuk suatu [𝑥] ∈ ℤ3.

𝑞 =[𝑥]

5 = 1

[𝑥]

5∈ 𝐴′𝐴, dengan

1 = 1. 1−1 ∈ ℤ𝑇−1 dan 1𝐴 ⊂ ℤ3(5)−1 ⇒ 1 ∈ 𝐴′

[𝑥]

5=

[𝑥 .1]

5= 𝑥

[1]

5∈ 𝐴, karena

𝑥 = 𝑥. 1−1 ∈ ℤ𝑇−1 dan [1]

5∈ ℤ3(5)−1, ada

[𝑥]

5∈ ℤ3(5)−1, sehingga

1[𝑥]

5=

[1𝑥]

5=

[𝑥]

5=

[𝑥1]

5= 𝑥

[1]

5, untuk suatu 𝑥 ∈ ℤ.

Jadi, ℤ3(5)−1 ⊆ 𝐴′𝐴.

Dari (a) dan (b), diperoleh 𝐴′𝐴 = ℤ3(5)−1, yang berarti 𝐴 mempunyai balikan di

ℤ3(5)−1. Dengan demikian, ℤ3(5)−1 merupakan ℤ-modul Dedekind.

Selanjutnya, ℤ3(5)−1 disebut ℤ-modul hasil bagi dari ℤ3.

KESIMPULAN

Modul hasil bagi dari modul Dedekind adalah modul Dedekind dengan langkah-

langkah pengkonstruksian modul hasil bagi sebagai berikut:

Misalkan 𝑅 adalah suatu gelanggang komutatif dengan unsur satuan, 𝑆 adalah

himpunan multiplikatif dari semua unsur reguler di 𝑅, 𝑀 adalah suatu 𝑅-modul, dan 𝑇 = 𝑡 ∈ 𝑆 𝑡𝑚 = 0, untuk suatu 𝑚 ∈ 𝑀 ⇒ 𝑚 = 0 . Pada 𝑀 × 𝑇, didefinisikan suatu relasi

ekivalen yaitu untuk sebarang (𝑚, 𝑠) dan (𝑚1, 𝑠1) di 𝑀 × 𝑇,

𝑚, 𝑠 ~ 𝑚1, 𝑠1 ⇔ 𝑚𝑠1 = 𝑠𝑚1 maka relasi ini merupakan relasi ekivalen.

Didefinisikan kelas ekivalen dari (𝑚, 𝑠), ditulis [𝑚, 𝑠], dengan

𝑚, 𝑠 = (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑀 × 𝑇 𝑚, 𝑠 ~(𝑎, 𝑏) Didefinisikan himpunan 𝑀𝑇−1 = 𝑚, 𝑠 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑇 dengan operasi penjumlahan

dan perkalian skalar pada 𝑀𝑇−1 sebagai berikut.

𝑚, 𝑠 + 𝑚1, 𝑠1 = 𝑚𝑠1 + 𝑠𝑚1, 𝑠𝑠1 𝑟, 𝑡 𝑚, 𝑠 = [𝑟𝑚, 𝑡𝑠]

Selanjutnya, himpunan 𝑀𝑇−1 adalah suatu 𝑅𝑇−1-modul. Definisikan homomorfisma 𝑅-modul,

𝜑: 𝑀 → 𝑀𝑇−1 dengan pengaitan

𝜑(𝑚) ↦ [𝑚𝑢, 𝑢] , ∀𝑚 ∈ 𝑀,

𝑀𝑇−1 dinamakan 𝑅-modul hasil bagi dari 𝑀 oleh 𝑇.

Jika 𝑀 adalah R-modul Dedekind, maka 𝑀𝑇−1 yang didefinisikan seperti di atas

merupakan suatu 𝑅𝑇−1-modul Dedekind.

Sebagai contoh, ℤ3(5)−1 merupakan suatu ℤ-modul hasil bagi dari ℤ3, dengan ℤ3 dan

ℤ3(5)−1 merupakan suatu ℤ-modul Dedekind.

SARAN

Pada artikel ini dikaji konstruksi pembahasan modul atas daerah Dedekind. Pembaca

yang berminat dapat menyelidiki lebih lanjut penelitian ini, misalnya memperluas

pembahasan pada semesta yang lebih umum, yaitu modul atas gelanggang. Selain itu, dari

hasil ini juga dapat digunakan untuk menelaah lebih lanjut mengenai kaitan antara modul

Dedekind dan modul Hereditery Noetherian Prime (HNP).

DAFTAR RUJUKAN

Adkins, W. A. dan Weintraub, S. H. 1999. Algebra:An Approach via Modul Theory. New

York: Springer-Verlag.

Arifin, A. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.

Dummit, D. S. and Foote, R. M. 2004. Abstract Algebra. New Jersey: Prentice.

Gallian, J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra (Seventh Edition). United State of

America: Heath and Company.

Garminia, H., P. Astuti, and Irawati, 2008, Modul Hasil Bagi dari Modul Dedekind, Jurnal

Matematika dan Sains,13: (4), 114-117.

Gilbert, J. dan Gilbert, L., 2009. Elements of Modern Algebra (Seventh Edition). United State

of America: Brooks/Cole.

Goodearl, K. R., 1974, Localization and Splitting in Hereditary Noetherian Prime rings,

Pasific J. Math., 55:(1), 137-151.

Lam, T. Y. 1999. Lectures on Modules and Rings. New York: Springer-Verlag.

Lam, T. Y. 2001. A First in Noncommutative Rings (Second Edition). New York: Springer-

Verlag.

Lang, S., 2002, Algebra (Third Edition). New York: Springer-Verlag.

Matsumura, H., 1986, Commutative Ring Theory. New York: Cambridge University Press.

May, J.P. Notes on Dedekind Rings. (Online), 1-11,

(http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/Dedekind.pdf), diakses 3 November 2012.

Passman, D. S. 2004, A Course in Ring Theory, United State of America: AMS Chelsea

Publishing.

Roman, S. 2005. Graduate Text In Mathematics: Advance Linear Algebra. United State of

America: Springer.

Artikel oleh Erlina Tri Susianti ini

telah diperiksa dan disetujui pada tanggal 17 Mei 2013

Pembimbing

Dra. Santi Irawati, M.Si, Ph.D

NIP 19650729 199103 2 002