7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

1/10

MODUL VI

KALKULUS

BENTUK PENYELESAI INTEGRAL

6.1 Dengan menggunakan intega! Pa"ia!

bentuk rumus integral parsial :

= duvuvdvu

a. dxxx ln

misal : dxx

duxu1

ln ==

23

3

2 xdxxvdxxdv ===

= duvuvdxxx ln

= dxx

xxx1

.3

2ln

3

22

32

3

Cxx

Cxxx

+

=

+

=

3

2ln

3

2

3

2

3

2ln

3

2

23

23

23

b. dxex x2

misal : dxxduxu 22 ==xxevdxedv ==

= duvuvdxex x 2

( ) Ceexex

dxxeex

xxx

xx

+=

= .2

2.

2

2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 1

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

2/10

atau : Ceexex xxx ++ 2.22

( ) Cxxedxex xx ++= 2222

c. xdxSin2

=

misal Sinxu= maka Cosxdu=

Sinxdxdv= maka = Sinxdxdv atau v = - Cos x

xdxSin2

= - Sin x Cos x + xdxCos2

= - Sinx Cosx + dxxSin )1( 2

= - Sinx Cosx + dxxSindx .2

=- Sinx Cosx + x - xdxSin2

pindahkan xdxSin2

kekiri

2 xdxSin2

= - Sinx Cosx + x atau

xdxSin2

= - Sin x Cos x + x

6.# $aa Pemi"a!an %

a. ( ) + dxx 1042 gunakan teorema 2misal : 42 += xu

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

Cuduu += 1110 111.

2

1

2

1. atau

( ) Cx ++= 114222

1

b. + dxxx 223

3.)2(

misal u = x3

+ 2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 2

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

3/10

du = 3 x 2 dx

+ dxxx 223

3.)2( = duu2

= 33/1 u + c = !3 " x 3 + 2 # 3 + c

c. dxe x210misal : xu 2=

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

CeCedue

xuu

+=+=

2

552

1

.10

d. 32xdx

misal : 32 = xu

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

Cuu

du

u

du+== ln2

1

2

121

atau

Cx + 32ln2

1

e. dxx21

cos

misal : xu2

1=

dudx

dxdu

2

2

1

=

=

= duuduu cos22.cos "rumus $#

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 3

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

4/10

Cx

Cu

+=

+=

21sin2

sin2

%. + dxxx

13

2

( ) += dxxx 2

132

1

misal : 13 +=xu

dux

dx

dxxdu

2

2

3

1

3

=

=

dux

ux2

212

31.

Cuduu +== 21

21

.2.3

1

3

1

( ) Cx ++= 13

2 3

g. dxxtan

= dxx

x

cos

sin

misal : cosxu=

dux

dx

dxxdu

sin

1

sin

=

=

=

u

dudu

xu

x

sin

1.

sin

Cu+= ln atau

Cx+= cosln

h. + dxxx 223

3.)2(

misal u = x 3 + 2

du = 3 x 2 dx

+ dxxx 223 3.)2(

= duu2

=3

3/1 u + c = !3 " x3

+ 2 #3

+ c

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 4

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

5/10

i.

dxe

x210

misal : xu 2=

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

CeCedue xuu +=+=

2552

1.10

&. 32xdx

misal : 32 = xu

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

Cuudu

u

du

+== ln212121

atau

Cx + 32ln2

1

k. dxx21cos

misal : xu2

1=

l. + dxxx 223

3.)2(

misal u = x 3 + 2

du = 3 x 2 dx

+ dxxx 223

3.)2( = duu2

= 33/1 u + c = !3 " x 3 + 2 # 3 + c

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 5

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

6/10

m. dxe x210

misal :xu

2=

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

CeCedue xuu +=+=

2552

1.10

. dx

Maka du = dx dan v =

Sehingga dx = 3/2

!engan "#oses $ang sa%a hasil integ#al $ang kanan

Misal u = dan

Maka du = 2 x dx dan v =

Sehingga dx = 3/2

= 3/2 &

!engan "#oses $ang sa%a hasil integ#al kanan

Misal u = x dan

Maka du = dx dan v =

Sehingga dx = 3/2

= 3/2 & '

= ( 3/4 3/2 & x '

= ( 3/4 3/4 x 3/) * c

n. . xdxSin2

=

misal Sinxu= maka Cosxdu=

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS +

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

7/10

Sinxdxdv= maka = Sinxdxdv atau v = - Cos x

xdxSin2

= - Sin x Cos x + xdxCos2

= - Sinx Cosx + dxxSin

)1(

2

= - Sinx Cosx + dxxSindx .2

=- Sinx Cosx + x - xdxSin2

pindahkan xdxSin2

kekiri

2 xdxSin2

= - Sinx Cosx + x atau

xdxSin2

= - Sin x Cos x + x

o. dxxtan

= dxx

x

cos

sin

misal : cosxu=

duxdx

dxxdu

sin

1

sin

=

=

=

u

dudu

xu

x

sin

1.

sin

Cu+= ln atau

Cx+= cosln

p. + dxxx 223

3.)2(

misal u = x3

+ 2

du = 3 x 2 dx

+ dxxx 223

3.)2( = duu2

= 33/1 u + c = !3 " x 3 + 2 # 3 + c

'. dxxtan

= dxx

x

cos

sin

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS ,

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

8/10

misal : cosxu=

du

x

dx

dxxdu

sin

1

sin

=

=

=

u

dudu

xu

x

sin

1.

sin

Cu+= ln atau

Cx+= cosln

%. + dxxx

13

2

( ) += dxxx 2

132

1

misal : 13 +=xu

dux

dx

dxxdu

2

2

3

1

3

=

=

dux

ux 22

1

2

31.

Cuduu +== 21

21

.2.3

1

3

1

( ) Cx ++= 13

2 3

g. dxxtan

= dxx

x

cos

sin

misal : cosxu=

dux

dx

dxxdu

sin

1

sin

=

=

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS )

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

9/10

=

u

dudu

xu

x

sin

1.

sin

Cu+= ln atau

Cx+= cosln

h. + dxxx 223

3.)2(

misal u = x 3 + 2

du = 3 x 2 dx

+ dxxx 223

3.)2( = duu2

= 33/1 u + c = !3 " x 3 + 2 # 3 + c

i. dxe x210misal : xu 2=

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

CeCedue xuu +=+=

255

2

1.10

&. 32xdx

misal : 32 = xu

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

Cuu

du

u

du+== ln2

1

2

121

atau

Cx + 32ln2

1

k.

dxx

2

1cos

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS -

7/23/2019 Modul 06 Kalkulus I

10/10

misal : xu2

1=

l. + dxxx 223

3.)2(

misal u = x 3 + 2

du = 3 x 2 dx

+ dxxx 223

3.)2( = duu2

= 33/1 u + c = !3 " x 3 + 2 # 3 + c

m. dxe x210misal : xu 2=

dudx

dxdu

2

1

2

=

=

CeCedue xuu +=+=

2552

1.10

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS 10