PENGENALAN

Masalah merupakan suatu situasi apabila seseorang individu atau kumpulan

itu dikehendaki melaksanakan kerja penyelesaiannya. Ia merupakan suatu situasi

yang memerlukan analisis dan sintesis pengetahuan yang telah dipelajari untuk

menyelesaikannya. Penyelesaian masalah juga boleh didefinisikan sebagai satu

proses kognitif di mana maklumat digunakan sebagai usaha mencari cara-cara

yang sesuai bagi mencapai sesuatu matlamaat. Di samping itu , kita juga boleh

mentakrifkan penyelesaian masalah sebagai proses yang terancang untuk mencapai

tujuan yang dikehendaki dalam suatu masalah dengan menggunakan pengetahuan

dan pengalaman yang telah diperolehi. Penyelesaian masalah matematik berayat

bukan setakat mencari jawapan akhir tetapi membabitkan kefahaman dan

penguasaan strategi yang lebih kompleks seperti memahami maksud soalan,

menghubungkan maklumat dengan operasi, menjalankan operasi yang telah

dikenalpasti dan mendapatkan penyelesaian yang dikehendaki.

Masalah Rutin

Masalah rutin merupakan masalah matematik secara mekanikal iaitu

pengiraan. Tujuan masalah rutin adalah untuk melatih para pelatih menguasai

kemahiran asas terutama dalam kemahiran arimetik yang melibatkan empat operasi

dalam matematik iaitu penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian.

Pelajar-pelajar dikehendaki untuk memahami masalah, memilih operasi yang sesuai

seta mempraktikkan algoritma-algoritma yang telah dipelajari. Selain itu, masalah

rutin adalah masalah yang diketahui jalan penyelesaiannya dengan menggunakan

satu strategi mudah. Terdapat banyak fungsi masalah rutin. Antaranya ialah:

memberi latihan dalam ingatan fakta-fakta asas dan langkah-langkah yang

berturutan.

mempertingkatkan kemahiran-kemahiran dalam operasi-operasi asas.

memberi peluang kepada pelajar untuk berfikir tentang perkaitan di antara

sesuatu operasi dan aplikasinya kepada situasi-situasi sebenar.

Apabila menyelesaikan masalah-masalah rutin, pelajar perlu mengenalpasti:

apakah soalannya yang perlu dijawab

fakta-fakta atau nombor-nombor yang perlu digunakan

operasi-operasi matematik yang sesuai digunakan

anggaran nilai penyelesaian

Secara umumnya masalah rutin ini ialah sejenis penyelesaian masalah dalam

matematik yang paling mudah atau asas dan bertujuan untuk memudahkan pelajar

menguasai konsep algoritma. Para pelajar dikehendaki mengaplikasi secara terus

(direct) dengan menggunakan formula matematik, mengikut prinsip matematik,

secara teori dan persamaan.

Masalah Bukan Rutin

Masalah bukan rutin merupakan satu peyelesaian yang unik di mana

memerlukan pelajar mengaplikasikan kemahiran dan konsep atau prinsip dalam

matematik yang telah dipelajari dan dikuasai. Masalah-masalah bukan rutin ini

memerlukan proses-proses yang lebih tinggi berbanding dengan masalah rutin.

Misalnya, proses penyelesaian masalah bukan rutin ini memerlukan satu set aktiviti

yang sistematik. Contohnya, kita harus mempunyai perancangan yang logik

termasuk strategi yang hendak digunakan serta pemilihan kaedah yang sesuai untuk

melaksanakannya.

Kejayaan dalam penyelesaian masalah-masalah bukan rutin bergantung

kepada kebolehan pelajar menggunakan pelbagai strategi penyelesaian masalah

bersama dengan fakta-fakta dan maklumat dalam pertimbangan. Prosedur

menyelesaikannya adalah tidak diketahui pelajar. Masalah-masalah bukan rutin

biasanya diselesaikan dengan pelbagai cara yang memerlukan pemikiran yang

berbeza-beza. Kaedah penyelesaian masalah bukan rutin dalam matematik tidak

boleh dihafal atau tidak seperti mana menjawab soalan yang berbentuk pengiraan.

Oleh itu, pelajar dikehendaki menggunakan kemahiran secara kritis dan kreatif

dalam penyelesaian masalah bukan rutin. Terdapat pelbagai seba masalah-masalah

bukan ruitn yang harus digunakan dalam program matematik sekolah rendah:

mengembangkan penggunaan strategi-strategi penyelesaian masalah

membekalkan peluang kepada pelajar untuk memikirkan pelbagai cara

penyelesaian, berkongsi kaedah-kaedah penyelesaian masalah dengan

pelajar-pelajar lain dan mengembangkan keyakinan diri dalam penyelesaian

masalah matematik

mendorong pelajar untuk menikmati keindahan dan logik yang wujud dalam

matematik

mengembangkan kemahiran-kemahiran berfikir secara kritis berbanding

dengan hafalan petua, peraturan dan fakta tanpa kefahaman

CONTOH-CONTOH MASALAH RUTIN

1. Harga kos bagi sebuah televisyen berjenama ialah RM 2800. Seorang jurujual

telah menjual televisyen tersebut dengan harga RM 3400. Cari untung yang

diperolehi oleh jurujuakl tersebut?

2. Berapakah biji guli yang terdapat dalam 4 kotak jika setiap kotak

mengandungi 5 biji guli?

3. Harga bagi 3 buah buku cerita ialah RM 12. Berapakah harga bagi 10 buah

buku cerita yang sama jenis?

4. Berapakah yang perlu ditambah kepada hasil darab lima dan empat untuk

mendapat jawapannya tiga puluh?

5. Cari jumlah : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

6. Cikgu Aiman ada 176 batang pembaris. Dia memberikan 26 batang pensel

kepada Ali. Baki pensel itu dibahagikan secara sama rata kepada Bahrul,

Chong dan Danish. Berapakah bilangan pensel yang diterima oleh Danish?

7. Tukarkan 4 kg kepada unit gram?

CONTOH-CONTOH MASALAH BUKAN RUTIN

8. Bapa William membeli 25 biji jeli kepada William. Selepas itu, dia

memberitahu William bahawa dia boleh guna 3 pembungkus jeli untuk tukar

kepada 1 jeli yang baru. Berapakah jumlah jeli telah dimakan oleh William?

9. Seorang bakeri mahu menyusun beberapa tart di atas dulang pembakar. Jika

dia letak 5 tart dalam satu dulang pembakar, dia akan mempunyai 1 tart yang

lebih. Namun jika dia letak 7 tart dalam suatu dulang pembakar, dia akan

mempunyai 1 dulang kosong. Berapa banyak tart dan dulang yang dia

mempunyai?

10.Dalam kejohanan bola keranjang, setiap kumpulan akan bertanding dengan

setiap kumpulan lain sekali sahaja. Jika dalam kejohanan bola keranjang

tersebut terdapat 7 kumpulan, berapakah permainan yang akan diadakan

bagi semua kumpulan?

STRATEGI-STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH

Strategi Teka dan UjiStrategi ini adalah cara termudah tetapi ianya memerlukan tekaan yang bijak dan

penyemakan yang tersusun untuk membawa kepada jawapan atau penyelesaian.

Teka dan uji memerlukan kita membuat tekaan tentang penyelesaian terlebih dahulu

dan kemudahan menguji untuk melihat sama ada betul atau tidak, Proses ini diulang

sehingga jawapan yang betul ditemui. Segala tekaan dan uji atau cuba jaya tidak

dibuat secara rambang atau rawak sahaja.

Strategi Mencari PolaPelajar perlu diberikan beberapa contoh spesifik tentang masalah itu kemudian

melihat sama ada munculnya sesuatu pola yang mencadangkan penyelesaian pada

sesuatu masalah itu dan dapat membuat generalisasi itu untuk mendapatkan

penyelesaian.

Strategi menggunakan gambar rajahDalam strategi menggunakan gambar rajah ini, biasanya maklumat atau situasi

soalan ditunjukkan dalam bentuk gambar rajah. Dengan carai ini, dapat

memudahkan dan menolong pelajar untuk mengenalpasti hubungan di antara

kuantiti yang dinyatakan dalam bentuk lebih mudah dan jelas. Dalam proses

penyelesaian masalah dalam matematik boleh dilaksanakan dalam pelbagai jenis

pendekatan penyelesaian masalah. Dalam pemerhatian ini, sesetengah pelajar lebih

suka menggunakan pendekatan gambar rajah untuk menyelesaikan masalah dalam

matematik.

Strategi membina jadual

Strategi ini membabitkan pelajar menyenaraikan secara teratur semua masalah

yang mungkin dalam jadual sehingga jawapan yang dikehendaki itu diperolehi, ianya

dapat digunakan dalam merumuskan data atau membantu pelajar melihat corak

atau pola maklumat. Membuat jadual adalah berguna apabila kita tidak dapat

menterjemahkan sesuatu masalah ke dalam bentuk ayat matematik.

PENYELESAIAN MASALAH – MODEL POLYA

Menurut Noor Shah Saad (2005: 182), Model Polya merupakan model penyelesaian

masalah matematik yang dibina oleh George Polya. George Polya telah

memperkenalkan satu model penyelesaian masalah dalam bukunya ‘How to solve it’

yang memberi tumpuan teknik penyelesaian masalah yang menarik dan juga prinsip

pembelajaran matematik dapat dipindahkan sebaik sahaja. Model ini membabitkan

empat fasa utama iaitu:

1. Memahami dan mentafsir sesuatu masalah.

2. Merancang / membentuk rancangan penyelesaian.

3. Melaksanakan penyelesaian.

4. Menyemak semula.

1. Memahami dam Mentafsir Sesuatu Masalah

Pada peringkat ini, murid akan dibimbing untuk mengenal pasti kata-kata kunci dan

menerangkan masalan. Murid juga hendaklah mengaitkan dengan masalah lain

yang serupa dengan melukis gambahrajah dan bertanyakan beberapa soalan.

Dalam Sinopsis: Bgaimana Memperoleh Kecermelangan Dalam Matematik? Di

peringkat ini murid dibimbing untuk memahami item-item yang dikenalpasti dan item

yang hendak dicari atau dijawab. Dalam memahami dan mentafsir masalah yang

dikemukakan Polya, beliau mengatakan langkah awal dalam penyelesaian masalah

ialah murid perlu memahami dahulu masalah yang diberikan. Murid perlu mengenal

pasti:

a) Apakah yang diberikan, apa dia entiti-entiti, nombor-nombor, bentuk-bentuk

perkaitan dan nilai-nilai yang terlibat?

b) Apakah yang perlu dicari? Di sini guru telah mambantu murid memahami masalah

dengan menyoal beberapa yang telah disediakan. Berikut adalah beberapa perkara

yang boleh dijadikan panduan kepada pelajar untuk memahami masalah yang

komplek iaitu:

Tanya soalan

Terangkan maslah dengan perkatan sendiri.

Kaitkan dengan masalah lain yang hampir sama.

Fokus pada bahagian yang penting.

Buat model.

Lukis rajah.

2. Merancang Strategi penyelesaian

Selepas murid memahami soalan tersebut, guru membimbing murid untuk

merancang strategi yang sesuai dengan permasalahan yang diberi. Terdapat

beberapa jenis stratagi penyelesaian mengikut Polya. Antara ialah membuat

simulasi, melukis gambahrajah, membuat carta, mengenal pasti pola, cuba jaya,

menggunakan analogi dan sebagainya. Dalam langkah ini, penyelesaian pelajar

perlu mengenal pasti:

a) Apakah operasi yang terlibat.

b) Apakah heuristik/ algoritma yang diperlukan.

Berikut adalah beberapa heuristic/ strategi yang perlu dikembangkan kepada pelajar

semasa pengajaran pembelajaran penyelesaian masalah matematik iaitu:

Teka dan uji/ cuba jaya

Membina model

Memudahkan masalah

Mencari pola/ corak

Membina jadual

Uji kaji dan simulasi

Kerja secara songsang/ bekerja ke belakang

Menyaisat semua kemungkinan

Mengenal pasti ‘subgoal’

Membuat analogi

Menyusun data/ maklumat

Pemberi pelbagai bentuk masalah matematik kepada pelajar akan membentuk

keyakinan mereka dalam pengendalian masalah-masalah tersebut. Dalam

merancang strategi kita perlu juga:

a) pertimbangan beberapa heuristic/ strategi/ algoritma

b) Bandingkan dengan masalah yang hampir sama

3. Melaksanakan strategi penyalesaian

Sebaik sahaja penyelesaian masalah telah dirancang, murid boleh melaksanakan

strateginya untuk menyelesaikan masalah. Dalam hal ini. Murid-murid hendaklah

menghuraikan langkah-langkah penyelesaiannya secara bersistematik untuk

mendapat jawapan yang betul. Untuk malaksanakan heuristic/strategi penyelesaian

perlu dibuat berdasarkan kepada perancangan yang telah dirancang pada awalnya,

iaitu:

Terjemahkan makluamt yang diberi itu kapada bentuk matamatik.

Laksanakan heuristic atau strategi di langkah peracangan dan jalankan

semua proses dan pengiraan yang terlibat.

Semak setiap langkah heuristic/ strategi yang digunakan.

4. Menyemak semula penyelesaian

Akhirnya, murid boleh menyemak semula penyelesaian tersebut untuk menentukan

sama ada jawapannya munasabah atau tidak. Di samping itu, murid boleh

menyemak jawapan dengan mencari cara yang lain untuk menyelesaikan masalah

matematik yang sama atau menggunakan cara songsang seperti jawapan yang

diperoleh daripada operasi bahagi boleh disemak dengan operasi darab. Semasa

menyemak semula, beberapa perkara perlu diberi perhatian supaya cara

penyelesaian masalah yang dilaksanakan oleh pelajar adalah logik walaupun

strategi yang digunakan berbeza-beza. Berikut adalah perkara-perkara yang perlu

diberi perhatian semasa penyemakan iaitu:

a) Semak semua makluamt penting yang telah dekenal pasti.

b) Semak pengiraan.

c) Pertimbangkan penyelesaian yang logik.

d) Lihat penyelesaian yang lain.

e) Baca semula soalan dan Tanya diri sendiri sama ada kita benar-benar telah

menjawab soalan.

CONTOH-CONTOH PENYELESAIAN MASALAH DENGAN MENGGUNAKAN MODEL POLYA Soalan 1:Kiki berjalan dari kedai runcit A ke kedai buku B. Dia mengambil masa sebanyak 1 jam 25 minit berjalan dari kedai runcit A ke restoran C. Selepas itu, dia berjalan lagi dari restoran C ke kedai buku B dengan memakan masa sepanjang 25 minit. Dia tiba di kedai buku B pada 2:45PM. Bilakah dia meninggalkan kedai runcit A?

Langkah 1: Memahami masalah

Apa yang telah difahami daripada soalan dan yang perlu mencari?

- Kiki mengambil masa sebanyak 1 jam 25 minit berjalan dari kedai runcit A

ke restoran C

- Kiki berjalan lagi dari restoran C ke kedai buku B dengan memakan masa

sepanjang 25 minit.

- Dia tiba di kedai buku B pada 2:45PM.

- Kita perlu mencari bilakah Kiki meninggalkan kedai runcit A.

Langkah 2: Merancang strategi

Bagaimana menyelesaikan masalah ini?

- Strategi kerja secara songsang boleh digunakan dari masa Kiki tiba kedai

buku B. Tolak masa yang telah diambil olehnya berjalan dari restoran C ke

kedai buku B. Selepas itu, tolak masa yang diambil untuk berjalan dati

kedai runcit A ke restoran C.

Langkah 3: Menyelesaikan masalah

- Bermula pada pukul 2:45 pm. Ini ialah masa Kiki sampai ke kedai buku B.

- Tolak 25 minit, Ini ialah masa yang diambil untuk berjalan dari restoran C

ke kedai buku B iaitu pada pukul 2:20 pm.

- Tolak 1 jam 25 minit. Ini ialah masa yang diambil untuk berjalan dari kedai

runcit A ke restoran C.

- 2:25pm – 25 minit – 1 jam 25 minit = 12:55pm

Jawapan: Kiki meninggalkan kedai runcit A pada pukul 12:55 pm.

Langkah 4: Menyemak semula

Kita boleh menyelesaikan masalah dengan menggunakan jawapan iaitu

12:55pm.

12:55 pm + 1 jam 25 minit + 25 minit = 2:25 pm

Soalan 2:Ali dan Bobby telah bersama-sama telah membeli 12 buah buku. Ali membeli 2 buah

buku lebih daripada Bobby. Berapa buah buku telah setiap orang daripada mereka

membeli?

Langkah 1: Memahami masalah

Apa yang perlu mencari?

- Kita perlu tahu keseluruhannya mereka telah membeli 12 buah buku.

- Kita juga perlu tahu Ali membeli 2 buku lebih daripada Bobby.

Langkah 2: Merancang strategi

Bagaimana menyelesaikan masalah ini?

- Strategi teka dan uji boleh digunakan dengan mencari dua nombor yang

mempunyai jumlan 12 dan perbezaan 2. Jikalau tekaan kali 1 tidak betul,

cubalah dua nombor yang lain.

Langkah 3: Menyelesaikan masalah

Tekaan 1:

Ali= 8 buku

Bobby=4 buku

Uji:

8+4=12

8-4=4 (Ali membeli 4 buah buku yang lebih)

Kedua- dua nombor ini tidak betul.

Tekaan 2:

Ali= 7 buku

Bobby=5 buku

Uji:

7+5=12

7-5=2 (Ali membeli 2 buah buku yang lebih)

Kedua- dua nombor ini betul.

Jawapan: Ali membeli 7 buah buku manakala Bobby membeli 5 buah buku.

Langkah 4: Menyemak semula

(12 buah buku – 2 buah buku) ÷2orang = 5 buah buku seorang pada mulanya

.Ali membeli 2 buah buku yang lebih daripada Bobby. Jadi

Ali membeli

= 5 buah buku seorang + 2 buah buku yang lebih

= 7 buah buku

Manakala Bobby masih sama iaitu membeli

= 5 buah buku.

Jawapan yang Ali membeli 7 buah buku manakala Bobby membeli 5 buah buku

adalah betul.

CONTOH SOALAN DAN LANGKAH PENYELESAIAN MASALAH BUKAN RUTIN

Soalan 1:Bapa William beli 25 biji jeli kepada William. Selepas itu, dia memberitahu William bahawa dia boleh guna 3 pembungkus jeli untuk tukar kepada 1 jeli yang baru. Berapakah jumlah jeli telah dimakan oleh William?

Langkah 1: Memahami masalahi) 25 biji jeli

ii) Boleh guna 3 pembungkus jeli untuk tukar kepada 1 jeli yang baru

iii) Jumlah jeli telah dimakan pleh William.

Langkah 2: Merancang strategiBagi soalan ini, strategi penyelesaian masalah yang rancang untuk digunakan ialah

strategi:

i) Membina jadual

ii) Menggunakan gambar rajah

Langkah 3: Melaksanakan strategi

Strategi 1: Membina jadual

Pembungkus jeli yang boleh ditukar kepada jeli

baruJeli baru yang boleh

dimakan Pembungkus jeli

25 jeli (yang sedia ada) 25 (lepas makan)

253

=8 ,+1 8 jeli (yang ditukar daripada 25 pembungkus jeli)

8 (lepas makan)+ 1 (pembungkus jeli yang lebih daripada dahulu itu )

93=3 3 jeli (yang ditukar daripada 9

pembungkus jeli) 3 (lepas makan)

33=1 1jeli (yang ditukar daripada 3

pembungkus jeli)

Jumlah jeli yang telah dimakan 25 + 8 + 3 + 1 = 37

i) Pada mulanya, William mempunyai 25 jeli. Selepas makan semua, dia

mempunyai 25 pembungkus jeli.

ii) Lepas itu, dia menggunakan 25 pembungkus jeli tersebut menukar 9 biji

jeli yang baru kerana 3 pembungkus baru boleh bertukar kepada 1

pembungkus jeli yang baru.

iii) 9 biji pembungkus jeli tersebut masih boleh ditukar lagi kepada 3 jeli yang

baru.

iv) Lepas makan 3 biji jeli tersebut, 3 pembungkus jeli tersebut boleh

menukar kepada 1 jeli yang baru.

v) Jadi jumlah jeli yang dimakan oleh Willian ialah 25+8+3+1=37.

Jawapan 37 adalah betul.

Strategi 2: Menggunakan gambar rajah

= Pembungkus jeli

(25 jeli) + (9 jeli + (3 jeli + (1 jeli = 37 jeli dimakan

yang baru) yang baru) yang baru)

Tambah semua , jawapannya ialah 37.

Penjelasan: 1) Pada mulanya, William mempunyai 25 jeli. Selepas makan semua, dia

mempunyai 25 pembungkus jeli.

2) Lepas itu, dia menggunakan 25 pembungkus jeli tersebut menukar 9 biji jeli

yang baru kerana 3 pembungkus baru boleh bertukar kepada 1 pembungkus

jeli yang baru.

3) 9 biji pembungkus jeli tersebut masih boleh ditukar lagi kepada 3 jeli yang

baru lagi.

4) Lepas makan 3 biji jeli tersebut, 3 pembungkus jeli tersebut boleh menukar

kepada 1 jeli yang baru.

5) Jadi jumlah jeli yang dimakan oleh Willian ialah 25+8+3+1=37.

6) Jawapan 37 adalah betul.

Langkah 4: Menyemak semulaWilliam mempunyai 25 jeli.

253

=9 , 25 pembungkus jeli ditukar kepada 9 biji jeli yang baru.

93=3 , 9 pembungkus jeli boleh ditukar kepada 3 pembungkus jeli yang baru.

33=1 , 3 pembungkus jeli boleh ditukar kepada 1 pembungkus jeli yang baru.

25+9+3+1 = 37

Jawapan jumlah jeli yang telah dimakan oleh William ialah 37 biji jeli.

Pilihan Kaedah PenyelesaianMelalui kedua-dua strategi dia atas, didapati kedua-duanya dapat menghasilkan

jawapan yang betul walaupun menggunakan strategi yang berbeza. Namum begitu

di antara kedua-dua strategi tersebut, kami telah memilih satu strategi yang lebih

berkesan iaitu strategi menggunakan gambar rajah.

JustifikasiStrategi menggunakan gambar rajah dipilih kerana dengan menggunakan strategi ini

untuk menyelesaikan soalan ini dapat menarik minat orang untuk memahami soalan

itu. Pada masa yang sama, memori ingatan orang juga dapat diasah kerana otak

manusia lebih mudah meningati sesuatu perkara itu yang mempunyai gambar rajah.

Oleh itu, kami memilih strategi menggunakan gambar rajah dalam penyelesaian

masalah ini.