matematik kejuruteraan 4 kertas penerangan

KERT

AS PE

NERA

NGAN

TERHAD

TERHAD

MATEMATIK KEJURUTERAAN 4

Cetakan Kedua Mac 2011

Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia

http ://www.jtm.gov.my/kurikulum

Hak Cipta Terpelihara. Dokumen ini diklasifikasikan sebagai TERHAD. Tidak dibenarkan

mengeluar mana-mana bahagian dalam kandungan Bahan Pembelajaran Bertulis (WIM)

dalam apa jua bentuk tanpa keizinan daripada Jabatan Tenaga Manusia (JTM).

Bahan Pembelajaran SEMESTER EMPAT ini dibangunkan bagi kursus sepenuh masa di

Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia (ILJTM) oleh Ahli Jawatankuasa

Pembangunan WIM dan disemak serta diluluskan oleh Jawatankuasa Pemandu

Kurikulum untuk tujuan gunapakai bagi semua ILJTM yang terlibat.

Kod Pengesahan WIM : WIM/MK 4011/12011/S04/P1

Kod Pengesahan Silibus : SFB/MK 4011/12009/P1

Tarikh Pengesahan WIM : 11 Mac 2011

KANDUNGAN SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM ................................................ i SENARAI SINGKATAN ..................................................................................................... ii KERTAS PENERANGAN MODUL ....................................................................................1

MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4 ..............................................................1 GROUP CLUSTERING MODULE 1 ..............................................................................2

LE1 PEMBEZAAN 3 LE2 PENGAMIRAN 13 LE3 MATRIKS 30

i

SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM

SUBJEK UMUM – MATEMATIK KEJURUTERAAN 4

Ahli Jawatankuasa :

1. Pn Ainin Nisak bt Ahmad Asnawi (Pengerusi Kluster Subjek Umum)

ADTEC Shah Alam

2. En Ismail bin Sukeeman (Penolong Pengerusi Kluster Subjek Umum)

ADTEC Melaka

3. En Chong Kok Ming ILP Bukit Katil

4. En Mohd Zainol Ami Bin Rohibon ADTEC Batu Pahat

5. En Ahmad Fadli Bin Sulaiman ILP Kuantan

Urusetia :

1. Pn. Norpisah binti Jumin BKT, Ibu Pejabat

2. En. Ismail Bin Mat Taha BKT, Ibu Pejabat

Tarikh dibangunkan : 6 Julai – 9 Julai 2010 Tempat : ADTEC Taiping

ii

SENARAI SINGKATAN

IS INFORMATION SHEET

WS WORK SHEET

AS ASSIGNMENT SHEET

KOD KURSUS

SEMESTER

NO. MODUL

KREDIT

NO. LE

JENIS WIM

MK 4 01 1-LE1-IS

KERTAS PENERANGAN

MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4

MK 4011-LE1-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 2

GROUP CLUSTERING MODULE 1 MK 4011-LE1 PEMBEZAAN

1.1 Asas Pembezaan.

1.2 Pembezaan Peringkat Pertama Bagi Hasil Tambah.

MK 4011-LE2 PENGAMIRAN

2.1 Pengamiran Tak Tentu.

2.2 Pengamiran Tentu.

MK 4011-LE3 MATRIKS

3.1 Pengenalan Matriks

3.2 Algebra Matriks

3.3 Songsangan Matriks


INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA

KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA

KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 4

KOD DAN NAMA MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4

PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE1 PEMBEZAAN

NO. TUGASAN BERKAITAN

1.1 ASAS PEMBEZAAN 1.2 PEMBEZAAN PERINGKAT PERTAMA BAGI HASIL TAMBAH

OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO)

KENALPASTI PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH PEMBEZAAN SUPAYA PELAJAR BOLEH :

1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL. 2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL UNTUK SUBJEK TERAS.

OBJEKTIF MEMBOLEH (EO)

DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAH DAN KONSEP PEMBEZAAN SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN.


1. PEMBEZAAN

TUJUAN:

Kertas penerangan ini adalah bertujuan untuk menerangkan mengenai konsep

pembezaan yang merangkumi asas pembezaan dan pembezaan peringkat

pertama bagi hasil tambah.

1.1 ASAS PEMBEZAAN

a) Jika ky , dan k ialah satu pemalar, maka 0dxdy .

Contoh 1

Bezakan yang berikut terhadap x :

i. 8y

ii. 32)( xf

iii. 19.0k

Penyelesaian

i. 8y

0dxdy

ii. 32)( xf

0)(' xf

iii. 19.0k

0dxdk


b) Jika nxy , maka 1 nnxdxdy .

Contoh 2


i. 4xy

ii. 5 xy

iii. xy

iv. 2

1x

y

Penyelesaian

i. 4xy

144 xdxdy

34xdxdy

ii. 5 xy

155 xdxdy

65 xdxdy @ 6

5x

iii. xy

21

xy

1

21

21

xdxdy

21

21

xdxdy @

x21


iv. 2

1x

y

2 xy

122 xdxdy

32 xdxdy @ 3

2x

c) Jika naxy , maka 1 nanxdxdy .

Contoh 3


i. 45xy

ii. 31

32

xy

iii. 252x

y

iv. 353

xy

Penyelesaian

i. 45xy

1445 xdxdy

320xdxdy


ii. 31

32

xy

1

31

31

32

x

dxdy

34

92

xdxdy

iii. 252x

y

2

52 xy

12252 x

dxdy

3

54 x

dxdy @ 35

4x

iv. 353

xy

31

5

3

xy

31

53

xy

1

31

31

53

x

dxdy

34

51

xdxdy


d) Jika maka , maka

Contoh 4


i. 4523 xy

ii. 6345 xy

iii. 374

2

x

y

Penyelesaian

i. 4523 xy

25243 14 xdxdy

35224 xdxdy

ii. 6345 xy

33465 16 xdxdy

53490 xdxdy

iii. 374

2

x

y

3742 xy

47432 13 xdxdy

47424 xdxdy @

47424

x


1.2 PEMBEZAAN PERINGKAT PERTAMA BAGI HASIL TAMBAH

Pertimbangkan dua fungsi dalam x , iaitu xp dan xq , dan katakan

xqxpxf . Maka, )]([)]([)]([ xqdxdxp

dxdxf

dxd

.

Contoh 5


i. 754 3 xxy

ii. 9131 4

2 xxx

y

iii.

iv.

v.

Penyelesaian

i. 754 3 xxy

0534 13 xdxdy

512 2 xdxdy

ii. 9131 4

2 xxx

y

913 2

142 xxx

0)21(43)2(

121

1412 xxx

dxdy

21

33

21122

xxx


iii.

iv. )

v.


SOALAN : 1. Bezakan terhadap x :

a) -8

b) x74

c) x

4

d) 5x

e) 63x

f) 4

61 x

g) 52

5

x

h) 376x

i) 4435 xxy

j) 6

1419 xy

k) 1723

5

xx

xy

l) )5( 3 xxy

m) 232 xy

n) 3754 xy


o) 323

4 69

xxy

p) 2

54

38

xxxy

q) x

xxy )5)(4(

RUJUKAN :

1. Matematik STPM (Tulen), Sukatan S & T, Pelangi, 1995. 2. Matematik Tambahan KBSM , Yee Cheng Teik Federal Publication 3. Matematik Tambahan tingkatan 4 & 5, Pelangi , Khoo Cheng 4. Matematik Tambahan , Sukses Lengkap Pustaka Delta Pelajaran Sdn Bhd 5. Matematik Asas Jilid 1 , UTM 6. Nota Panduan Politeknik






PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE2 PENGAMIRAN


2.1 PENGAMIRAN TAK TENTU 2.2 PENGAMIRAN TENTU


KENALPASTI PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH PENGAMIRAN SUPAYA PELAJAR BOLEH :



DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAH DAN KONSEP PENGAMIRAN SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN.


2. PENGAMIRAN

TUJUAN:

Kertas penerangan ini adalah bertujuan untuk menerangkan mengenai konsep

pengamiran yang merangkumi pengamiran tak tentu dan pengamiran tentu.

2.1 PENGAMIRAN TAK TENTU

a) Pengamiran suatu pemalar k terhadap x ialah

Contoh 1 Kamirkan setiap yang berikut terhadap x :

i. 9

ii. 21

Penyelesaian

i. cxdx 99

ii. cxdx 221


b) Pengamiran nax , di mana 1n , maka

Contoh 2 Kamirkan setiap yang berikut terhadap x :

i. 6x

ii. 43x

iii. 5

1x

iv. 423x

Penyelesaian

i. cxcxdxx

716

7166

ii. cxcxdxx

53

1433

5144

iii. cx

cxcxdxxdxx

4

4155

5 41

4151

iv. cx

cxcxdxxdxx

3

3144

4 21

323

1423

23

23


c) Pengamiran dengan kaedah penggantian

Di beri dxbaxy n)( dengan a, b dan n sebagai pemalar dan

1n .

Maka, .)( nbaxdxdy

Gantikan .baxu

Maka, nu

dxdy

dan adxdu

Dengan menggunakan rumus rantai, dxdu

dudy

dxdy

audxdudxdy

dudy

n

Kamirkan dudy

terhadap u,

.dua

uyn

Jadi, ,)( dua

udxbaxn

n dengan baxu

cnau n

)1(

1

Maka, cna

baxdxbaxn

n

1

1


Contoh 3

i. dxx 3)35(

ii. dxx 5)76(3

iii. dx

x 4)42(1

Penyelesaian

i. dxx 3)35(

Gantikan 35 xu

cx

cu

cu

duudxx

20)35(

20

1351

535

4

4

13

33

ii. dxx 5)76(3

Gantikan 76 xu

cx

cu

cu

duu

duudxx

1276

12

621

2

63)76(3

6

6

5

5

55

Kaedah Lain,

cx

cxdxx

20)35()13(5

)35()35(

4

133

Kaedah Lain,

cx

cxdxx

12)76(

)15(6)76(3)35(

6

153


iii. dx

x 4)42(1

Gantikan 42 xu

cx

cu

cu

duu

dxxdxx

3

3

3

4

44

)42(61

61

321

2

)42()42(

1

2.2 PENGAMIRAN TENTU

a) Jika xfxg

dxd

, Maka ba

b

axgxf agbg

Contoh 5

i.

1

1

2 )1( dxx

ii. 5

13 )1( dx

x

iii. 2

0

)46( dxx

iv. 4

1

)5)(1( dxxx

Kaedah Lain

cx

cx

cx

dxxdxx

3

3

14

44

)42(61

6)42(

)14(2)42(

)42()42(

1


Penyelesaian

i.

1

1

2 )1( dxx =1

1

12

12

xx

=

3)1()1(

3)1(1

33

= )34(

32

= 2

ii. 5

13 )1( dx

x=

5

1

3dxx

=5

1

13

13

x

= 5

1

2

2

x

=

2)1(

2)5( 22

=21

501

=

2512

iii. 2

0

)46( dxx =2

0

2

42

6

xx

= 202 43 xx

= )0(4)0(3)2(4)2(3 22

= 404


iv. 4

1

)5)(1( dxxx = 4

1

2 )56( dxxx

=4

1

23

533

xxx

=

)4(5)4(3

34 2

3

-

)1(5)1(3

31 2

3

=37

320

= 9

b) Halaju dan Pecutan

Halaju (v), ialah kadar perubahan jarak (s) dengan masa (t), iaitu

dtdsv

Pecutan (a) ialah kadar perubahan halaju (v) terhadap masa (t)

dtdva

Jika suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu garis lurus dari satu titik tetap O pada masa t saat ialah s meter dengan halaju dan pecutan zarah tersebut masing-masing ialah v 1ms dan a 2ms .

Maka hubungan antara halaju dan pecutan ialah:

dan

dan


Contoh 6

Satu objek dicampakkan ke bawah daripada sebuah helikopter pada masa sifar 0t . Objek itu mempunyai halaju tv 1013 1ms . Jika objek itu mencecah tanah selepas 10 saat, apakah jarak helikopter daripada tanah pada masa st 10 ?

Penyelesaian :

Selesaikan dengan menggunakan kaedah kamiran tentu. Had bagi t adalah daripada 0 hingga 10 saat. Oleh yang demikian, jarak helikopter daripada tanah

6300)10(5)10(13

51013

)1013(

2

10

0

2

10

0

tt

dtt

Dengan itu, ketinggian helikopter pada 10 saat ialah 630 meter.

c) LUAS DAN ISIPADU

Mencari luas rantau antara lengkung dengan paksi-x yang dibatasi oleh ax dan bx .

Catatan :

Maka Luas = dxxfb

a

a

b

y

xz0

xfy

0

y

x

Luas disebelah bawah paksi-x bernilai negatif

Luas disebelah atas paksi-x bernilai positif


Contoh 7

Cari luas rantau berlorek bagi setiap rajah berikut

Penyelesaian

i. Luas rantau berlorek = dxxxdxxx )4

0 24(

4

0 )4(

= 4

03

322

xx

= 3

6432

= 3

32 unit2

ii. Luas rantau berlorek = 5

1 )5)(1.( dxxx

= dxxx )56(5

1

2

= 5

1523

3

3

xxx

=

53

312575

3125

= 332

unit2

Maka, luas kawasan berlorek = = = unit²

i. y = x(4 – x) 0 4

y

x

ii. y y = (x-1)(x-5) 5 x 0 1 5

Nota : Luas yang bernilai negatif bermakna rantau itu terletak di bahagian bawah paksi-x. Nilainya perlu dijadikan positif dengan mengenakan modulas ke atas nilai yang diperolehi.


Mencari luas rantau antara lengkung dengan paksi-y yang dibatasi oleh ay dan by .

Maka, luas rantau yang berlorek adalah =

Contoh 8

Cari luas rantau yang berlorek bagi setiap rajah berikut

i)

Penyelesaian :

Luas rantau berlorek = dyydyx 2

1

22

1 4 =

2

1

3

12

y

=121

128

= 127 unit2

y

x 0

b

a

x = f(y)

y

x 0

2

1


ii)

Penyelesaian :

Luas rantau berlorek = 3

1

2 )54( dyyy

= 3

1

23

523

yyy

=

52

3115189

= 38

Maka, luas rantau berlorek = = unit²

33

1

0

y

x

Nota : Luas yang bernilai negatif bermakna rantau itu terletak di bahagian kiri paksi-y. Nilainya perlu dijadikan positif dengan mengenakan modulas ke atas nilai yang diperolehi


Mencari isipadu yang dijanakan apabila suatu rantau diputarkan 360 sekitar paksi x.

Maka isipadu janaan = a

0

2dxy

Contoh 9

Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan

melalui 360 sekitar paksi-x.

Penyelesaian

Isipadu janaan = 2

0

2dxy

= 2

0 dx )x2(

= dx x 22

0

= 2

0

2

2x2

= )04(

= 4 unit3

y

0 x a

y

x 2 0

y2=2x


Mencari isipadu yang dijanakan apabila suatu rantau diputarkan 360 sekitar paksi y.

Maka isipadu janaan= a

dyx

0

2

Contoh 10

Cari isipadu yang dijanakan apabila rantau berlorek berikut diputarkan

360 sekitar paksi y.

Penyelesaian

Isipadu janaan =

2

0

2

0

2 dy4ydyx

= 2

0ydy

4

= 2

0

2

2y

4

=

02

24

2

= 2

unit3

.

y

x

y=4x2

0

2

y

a

x

X2


SOALAN :

2 3dt

3 x dx9

4 x dx 2

5 4 3x dx

6 52

4x

7 dx

x 2)74(1

8 dxx

x )2(

9 3

2

2 )12( dxxx

10

2

1

2 )4( dxxx

11 2

1

)46( dxxx

12

4

12)2(

1 dxx

13 Satu zarah, P, bergerak di sepanjang suatu lurus supaya sesarannya, s meter, dari satu titik tetap O atas garis ini diberi oleh 23 tts dengan t ialah masa dalam saat selepas melalui O . Cari

a) halaju P apabila t = 2,

b) nilai-nilai t apabila P berhenti untuk seketika,

c) pecutan P apabila t = 4.


14 Cari luas rantau berikut:

15 Cari isipadu yang terjana

.

x

y

2 0

y=2x(x-2)

y

x

y=6x2

0

3


RUJUKAN :

7. Matematik STPM (Tulen), Sukatan S & T, Pelangi, 1995. 8. Matematik Tambahan KBSM , Yee Cheng Teik Federal Publication 9. Matematik Tambahan tingkatan 4 & 5, Pelangi , Khoo Cheng 10. Matematik Tambahan , Sukses Lengkap Pustaka Delta Pelajaran Sdn Bhd 11. Matematik Asas Jilid 1 , UTM 12. Nota Panduan Politeknik






PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE3 MATRIKS


3.1 PENGENALAN MATRIKS 3.2 ALGEBRA MATRIKS 3.3 SONGSANGAN MATRIKS


KENALPASTI PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH MATRIKS SUPAYA PELAJAR BOLEH :



DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI DAN MEMAHAMI KONSEP MATRIKS SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN.


3.0 MATRIKS

TUJUAN:

1) Takrifkan dan mengenal matriks, tatatanda matriks, peringkat matriks,

jenis-jenis matriks : matriks baris, matriks lajur, matriks sifar, matriks

segiempat sama, matriks pepenjuru, matriks identiti, matriks simetri,

matriks sama dan matriks transposisi .

2) Selesaikan masalah algebra matriks yang melibatkan operasi tambah,

tolak dan darab.

3) Selesaikan masalah songsangan matriks.

3.1 PENGENALAN MATRIKS

Matriks adalah nombor-nombor yang diatur dalam baris dan lajur untuk

membentuk susunan segiempat tepat. Biasanya dilambangkan dengan

huruf besar tebal atau huruf besar yang digariskan di bawah, misalnya A

atau A.

Peringkat Matriks

Suatu matriks A yang mempunyai m baris dan n lajur dikenal sebagai

matriks berperingkat m x n, contohnya matriks berikut :

Matriks diatas mempunyai 2 baris dan 3 lajur. Maka peringkat matriks ini

ialah 2 x 3.

Contoh:

Baris 1

Baris 2

Lajur 1 Lajur 2 Lajur 3


Berikan peringkat matriks di bawah:

047933663194

Penyelesaian: Matriks di atas mempunyai empat baris dan tiga lajur. Oleh itu peringkat matriks

adalah matriks 4 x 3.

Unsur Matriks Setiap nombor di dalam matriks itu dikenali sebagi unsur. Secara amnya, unsur-

unsur pada baris ke-i dan lajur ke-j bagi matriks A diwakili oleh aij.

A =

3.2 JENIS-JENIS MATRIKS

Matriks Baris - Matriks baris ialah matriks yang berperingkat 1 x n.

Berikut ialah beberapa contoh matriks baris bagi n yang berlainan:

Matriks Lajur - Matriks lajur ialah matriks yang berperingkat n × 1.

Unsur a i j Baris Lajur


Berikut ialah beberapa contoh matriks lajur bagi n yang berlainan:

Matriks Sifar, Om x n , adalah satu matriks yang semua unsurnya sifar.

Berikut ialah contoh-contoh matriks sifar bagi peringkat yang berlainan.

000000

32 xO ,

000000000

33 xO

Matriks Segiempat Sama ialah matriks yang berperingkat m x n dan m =

n, iaitu bilangan baris dan lajur yang sama

229450

x

33503471092

x

Matriks Identiti In, ialah matriks segiempat sama, yang mempunyai

unsur pepenjuru utamanya bersamaan dengan 1 manakala semua unsur

lainnya sifar, iaitu

,100010001

,1001

32

II

Matriks pepenjuru ialah matriks segiempat sama yang mempunyai

semua unsur di atas dan di bawah pepenjuru utamanya adalah sifar.

4433

22

1000030000200002

100010005

1002

xx

x


Matriks segitiga atas merupakan suatu matriks segiempat sama yang mempunyai unsur di bawah pepenjuru utamanya adalah sifar.

nn

n

n

n

xx

aaaaaaaaaa

0333

22322

1131211

3322 300

410213

1032

Matriks segitiga bawah merupakan suatu matriks segiempat sama yang mempunyai unsur di atas pepenjuru utamanya adalah sifar.

nnnnx

x

aaa

aaa

21

2221

11

3322 342

011003

1302

0

3.3 MATRIKS SAMA

Dua matriks A dan B ialah matriks sama jika kedua-dua matriks tersebut

mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur yang sepadan juga

adalah sama.

Jika matriks

dcba

A dan matriks

nmlk

B , maka matriks A

dan B adalah sama jika unsur mclbka ,, dan nd

Contoh : Tentukan samada matriks di bawah adalah sama:

i)

ii)

iii)


Penyelesaian:

i) Matriks A dan matriks B adalah sama kerana mempunyai peringkat

yang sama dan pasangan unsur yang sepadan juga adalah sama.

ii) Matriks C dan matriks D adalah sama kerana mempunyai peringkat

yang sama dan pasangan unsur yang sepadan juga adalah sama.

iii) Matriks E dan matriks F adalah BUKAN merupakan matriks sama

kerana peringkat kedua-dua matriks tidak sama.

3.4 MATRIKS TRANSPOSISI

Jika ditukar ganti baris dengan lajur matriks A yang berperingkat

m x n, kita mendapat satu matriks yang baru berperingkat n x m. Matriks

ini dinamakan matriks transposisi atau transposisi matriks asal dan ia

dilambangkan sebagai AT.

Jika A =

3231

2221

1211

aaaaaa

maka AT =

232221

131211

aaaaaa

Oleh itu, jika A =

106612

002 maka matriks tranposisi untuk A,

AT =

160010622

Perhatikan bahawa baris pertama menjadi lajur pertama, baris kedua menjadi

lajur kedua dan seterusnya.


Tranposisi bagi matriks transposisi memberi matriks asal A iaitu,

(AT)T = A

Sifat-sifat Matriks Transposisi

( AT )T = A

(kA)T = k ( AT)

( A + B )T = AT + BT

(AB)T = BTAT

3.5 ALGEBRA MATRIKS

3.5.1 Penambahan Matriks

Dua matriks, A dan B, hanya boleh ditambah jika kedua-dua matriks itu

mempunyai peringkat yang sama. Penambahan matriks akan

menghasilkan matriks lain yang juga berperingkat yang sama.

Katakan A = (aij) dan B = (bij) berperingkat sama, iaitu m x n.

Maka, A + B = (aij) + (bij) = (bij + aij), dan A + B juga berperingkat

m x n.

Contoh:

Katakan,

21122222

32,1

1,

1020

,10

21

DCBA

Dapatkan

i) A + B,

ii) B + C

iii) C + D


Penyelesaian :

i)

10

2010

21BA

1100

)2(201

0001

ii) Peringkat B ialah 2 X 2 dan peringkat C ialah 2 X 1. Kedua-dua

matriks tidak boleh ditambah kerana peringkat matriks tidak sama.

iii) Peringkat C ialah 2 X 1 dan peringkat D ialah 1 X 2. Kedua-dua

matriks tidak boleh ditambah kerana peringkat matriks tidak sama.

Nota : Dua matriks A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn dikatakan sama jika aij = bij

bagi semua i =1, …, m, j =1, …, n

Sifat-sifat Penambahan Matriks Katakan A, B, C, O berperingkat sama. Maka,

A + B = B + A

A + (B + C ) = (A + B) + C

A + O = O + A = A


3.5.2 Penolakan Matriks

Dua matriks, A dan B, hanya boleh ditolak jika kedua-dua matriks itu

mempunyai peringkat yang sama. Penolakan matriks akan menghasilkan

matriks lain yang juga berperingkat yang sama.

Katakan A = (aij) dan B = (bij) berperingkat sama, iaitu m x n.

Maka, A-B = (aij) - (bij) = (bij - aij), dan A - B juga berperingkat m x n

Contoh: Diberi,

21122222

32,1

1,

1020

,10

21

DCBA

Dapatkan

i) A – B

ii) B – A

iii) C – D

Penyelesaian:

i)

10

2010

21BA

1100

)2(201

20

41

ii)

1021

1020

AB

)1(100

2210

2041

iii) Kedua-dua matriks tidak boleh ditolak kerana peringkat matriks

tidak sama.


Sifat-sifat Penolakan Matriks

A – B = B – A tetapi A – B = – (B – A)

A – (B + C) = A – B – C tetapi A – (B – C) = A – B +C

3.5.3 Pendaraban Matriks dengan Skalar

Pendaraban matrks dengan suatu skalar ialah pendaraban setiap unsur

dalam matriks dengan skalar tersebut.

Jika A =

dcba

dan k ialah skalar,

maka hasil darab kA = k

dcba

=

kdkckbka

Contoh :

Katakan, 432110

21

BdanA . Dapatkan

i) 3A

ii) B41

Penyelesaian :

i)

10

2133A

1303

2313

30

63


ii) 432141

41

B

4

413

412

411

41

1

43

21

41

Sifat-sifat Pendaraban Matriks dengan Skalar

Katalah A, B, O berperingkat m x n dan k, k1, k2 skalar.

k(A+B ) = kA + kB

(k1 + k2)A = k1A+ k2A

(k1k2)A = k1(k2 A)

1.A = A

0.A = O


3.5.4 Pendaraban Matriks dengan Matriks

Dua matriks hanya boleh didarabkan jika bilangan lajur matriks pertama

sama dengan bilangan baris matriks kedua.

Jika A ialah matriks m x n dan B adalah matriks p x q, maka hasil darab

AB hanya boleh dilakukan jika n = p dan peringkat matriks yang terhasil

adalah m x q.

Contoh :

A =

987654321

dan B =

321

,

Maka A x B = C

Peringkat matriks :

Kaedah mendarab 2 matriks

Jika A =

mnm

n

n

aa

aaaaaa

..........::::

::

1

22221

11211

dan B =

jkj

k

k

bb

bbbbbb

........::::

....

....

1

22221

11211

matriks m x n matriks j x k

3 x 3 3 x 1 3 x 1

=


dimana c11 = a11 x b11 + a12 x b21 + a13 x b31+ ……… + a1n x bj1

c12 = a11 x b12 + a12 x b22 + a13 x b32 + ……… + a1n x bj2

c21 = a21 x b11 + a22 x b21 + a23 x b31 + ……… + a2n x bj1

dan seterusnya sehingga

cmk = am1 x b1k + am2 x b2k + am3 x b3k + ……… + amn x bjk

Contoh : Dapatkan hasildarab matriks berikut:

i)

1002

2311

02

ii)

201

231612

iii)

121

312

iv)

213

1002

v)

02

3211

23


Penyelesaian :

i)

2612

04

)1(2)0(3)0(2)2(3)1)(1()0(1)0)(1()2(1

)1(0)0(2)0(0)2(2

1002

2311

02

ii)

3

14)2(2)0)(3()1(1)2)(6()0(1)1(2

201

231612

iii) 7)1)(3()2(1)1(21

21

312

iv)

213

1002

tidak boleh didarabkan kerana bilangan lajur matriks matriks pertama

berbeza dengan bilangan baris matriks kedua.

v)

426

)0)(3()2(2)0)(1()2(1

)0(2)2(3

02

3211

23

Sifat-sifat Pendaraban Matriks dengan Matriks

AB≠BA A(BC) = (AB)C

A(B+C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

A × I = I × A, dengan A dan I berperingkat n × n


3.6 SONGSANGAN MATRIKS

Jika A, B adalah matriks segiempat sama dan I adalah matriks identiti

dengan keadaan AB = BA = I, maka A adalah songsangan kepada B dan

boleh ditulis sebagai B-1.

Walaubagaimanapun tidak semua matriks segiempat sama mempunyai

songsangan. Matriks yang nilai penentunya sifar tidak mempunyai

songsangan. Ia disebut Matriks Singular.

Songsangan matriks boleh diperolehi dengan rumus berikut :

Jika matriks

dcba

A maka

acbd

bcadA 11

Contoh :

Dapatkan songsangan bagi matriks

8521

Penyelesaian :

1528

)5)(2()8(11

8521 1

1528

1081

= 21

1528


SOALAN

1. Nyatakan peringkat setiap matriks yang berikut

i)

302

ii)

1028

973 iii)

181

21

41

iv)

134121

v) 5

2. Berikan definisi beserta contoh bagi setiap matriks yang berikut

i. Matriks sifar

ii. Matriks identiti

iii. Matriks pepenjuru

3. Selesaikan soalan dibawah

a) 424201

b)

2104

302

543

a) 112317

b)

7353

397915

2

e)

0204

3120

f)

0219

3122

4. Diberi matriks A

6543

dan B

64

yx

, dan matriks A = B dapatkan nilai bagi x

dan y.


5. Diberi

35

42A dan 383 B , dapatkan TA dan TB

6. Cari songsangan bagi matriks

9632

MK4011-LE3-IS PINDAAN : 1 MUKASURAT 47

RUJUKAN:

1. Nota Internet-www.quicmath.com

2. Algebra Asas, Mustafa Mamat & Zarina Ibrahim, Dewan Bahasa dan Pustaka (1995)

matematik kejuruteraan 4 kertas penerangan

Education