matematik kejuruteraan 3 kertas penerangan

Upload: zed-espada

Post on 10-Jul-2015

827 views

Category:

Documents


46 download

TRANSCRIPT

KERTAS PENERANGAN TERHAD TERHAD MATEMATI K KEJURUTERAAN 3 Cetakan Kedua Mac 2011 Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia http ://www.jtm.gov.my/kurikulum Hak Cipta Terpelihara. Dokumen ini diklasifikasikan sebagai TERHAD. Tidak dibenarkan mengeluarmana-manabahagian dalamkandunganBahan PembelajaranBertulis(WIM) dalam apa jua bentuk tanpa keizinan daripada Jabatan Tenaga Manusia (JTM). BahanPembelajaranSEMESTERTIGAinidibangunkanbagikursussepenuhmasadi InstitusiLatihanJabatanTenagaManusia(ILJTM)olehAhliJawatankuasa PembangunanWIMdandisemaksertadiluluskanolehJawatankuasaPemandu Kurikulum untuk tujuan gunapakai bagi semua ILJTM yang terlibat. Kod Pengesahan WIM: WIM/MK 3011/12011/S03/P1 Kod Pengesahan Silibus: SFB/MK 3011/12009/P1 Tarikh Pengesahan WIM: 11 Mac 2011 KANDUNGAN SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM ................................................ i SENARAI SINGKATAN ..................................................................................................... ii KERTAS PENERANGAN MODUL ....................................................................................1 MK 3011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 3 ..............................................................1 GROUP CLUSTERING MODULE .................................................................................2 LE 1 STATISTIK3 LE 2 KEBARANGKALIAN48 iSENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM KLUSTER SUBJEK UMUM MATEMATIK KEJURUTERAAN 3 Ahli Jawatankuasa : 1.Pn Ainin Nisak binti Ahmad Asnawi (Pengerusi Kluster Subjek Umum) ADTEC Shah Alam 2.En Ismail bin Sukeeman (Penolong Pengerusi Kluster Subjek Umum) ADTEC Melaka 3.En Zawawi bin Mohamad ILP Kota Bharu 4.Pn Hii Ching FenADTEC Melaka Urusetia : 1.Pn Norpisah binti JuminBKT, Ibu Pejabat 2.En Ismail bin Mat TahaBKT, Ibu Pejabat Tarikh dibangunkan:6 Julai 9 Julai 2010 Tempat:ADTEC Taiping iiSENARAI SINGKATAN ISINFORMATION SHEET WSWORK SHEET ASASSIGNMENT SHEET KOD KURSUS SEMESTER NO. MODUL KREDIT NO. LE JENIS WIM MK3011-LE2-IS MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 1 KERTAS PENERANGAN MODULMK 3011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 3 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 2 GROUP CLUSTERING MODULE MK 3011-LE1 STATISTIK1.1Pengenalan statistik 1.2Penjadualan dan penyajian data 1.3Pengukuran kecenderungan memusat bagi data tak terkumpul dan data terkumpul 1.4Pengukuran serakan bagi data tak terkumpul dan data terkumpul MK 3011-LE2 KEBARANGKALIAN 2.1Konsep kebarangkalian MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 3 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN 3 KOD DAN NAMA MODUL MK 3011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 3 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE 1 STATISTIK NO. TUGASAN BERKAITAN 1.1PENGENALANSTATISTIK 1.2PENJADUALAN DAN PENYAJIAN DATA 1.3 PENGUKURAN KECENDERUNGAN MEMUSAT BAGI DATA TAK TERKUMPUL DAN DATA TERKUMPUL 1.4 PENGUKURAN SERAKAN BAGI DATA TAK TERKUMPUL DAN DATA TERKUMPUL OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) KENALPASTI DAN FAHAM PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERATUS SUPAYA : 1.DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL. 2.DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL BAGI SUBJEK TERAS. OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI KONSEP DAN PENGIRAAN STATISTIK DALAM PENYELESAIAN MASALAH MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 4 1.1 PENGENALANSTATISTIKStatistik adalah merupakan cabang matematik yang melibatkan kaedah-kaedah pengumpulan, penganalisaan dan penakrifan data atau maklumat yang hendak dikaji dengan lebih terperinci. Hampir semua yang terjadi seharian boleh dianalisa dan dilapor menggunakan statistik seperti pasaran saham, ramalan cuaca, kadar kelahiran dan kematian serta lain-lain lagi.Keputusan yang diperolehi daripada penganalisaan data atau maklumat secara statistik dapat memberi kepercayaan dan bukti tentang kebaikan sesuatu yang dikaji. Statistik mempunyai banyak pengertian. Berikut merupakan beberapa takrifan yang diberikan kepada statistik : 1.1.1Istilah Statistik a)DataData merupakan ukuran atau bilangan mengenai sesuatu yang dikumpul daripada kajian. b)PembolehubahPembolehubah merupakan cirian atau fenomena yang mempunyai nilai berbeza-bezadan menjadi tumpuan dalam kajian. Dibahagikan kepada dua kategori utama iaitu : i)Pembolehubah kualitatif Merupakan pembolehubah yang mewakili taraf, sifat dan kategori. Contohnyajantina, status perkahwinan dan jenis pekerjaan. ii)Pembolehubah kuantitatif Merupakan pembolehubah yang mewakili nilai dalam bentuk angka atau nombor. Statistikmerupakan himpunan faktaberangkaataudatayangmenerangkansesuatu aspek Statistikmerupakansuatubidangyangmengandungipelbagaikaedahyang digunakan bagi memanfaatkan data dalam membuat kesimpulan dan keputusan. MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 5 Pembolehubah kuantitatif terdiri daripada : i)Pembolehubah kuantitatif diskritPembolehubah yang mempunyai nilai yang tepat atau boleh dibilang seperti markah peperiksaan dan saiz kasut.ii) Pembolehubah kuantitatif selanjar Pembolehubahyangmewakiiukuranyangkejituannyabergantungkepadaalatpengukuran seperti tinggi, berat dan masa. c)Populasi Merupakankeseluruhanobjek,individuatauukuranyangmenjaditumpuandalam penyelidikan. Banci merupakan kaedah kajian yang digunakan untuk mengumpul maklumat daripada keseluruhan populasi yang dikaji. d)Sampel Merupakansubsetatausebahagiandaripadapopulasi.Kaedahpengambilansample dikenali sebagai pensampelan. 1.2PENJADUALAN DAN PENYAJIAN DATA 1.2.1Jadual Kekerapan Langkah pertamadalam penganalisaandata adalahpengolahan data mentahdan dipaparkan dalamilustrasiyangmudahdifahami.Kaedahyangpalingmudahsekaliialahdengan menyediakansatujadualkekerapan.Jadualkekerapanadalahjadualyangmenunjukkan bilangankekerapandalamsetiapkelas.Jadualkekerapanbolehdibinaberdasarkanselang kelas yang dipilih. Contoh 1: Data-databerikutmenunjukkanberattiap-tiapkotakberjumlah15kotak.Dengan menggunakansistemgundalah atau tally buatkan satu jadualkekerapanataujadual frekuensibagi berat kotak tersebut. 1313131313 91011139 1112121113 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 6 Penyelesaian Contoh 1: Sistem gundalan atau tally digunakan dimana jumlah berapa banyak kotak yang sama beratnya ditunjukkan. BeratGundalanJumlah 9//2 10/1 11///3 12//2 13//////7 Jumlah besar15 Kaedah di atas adalah asas dalam penganalisaan statistik. Tiap-tiap berat kotak di adalah satu contohpembolehubahdanbiasanyadisimbolkandenganx.Nombor-nombordalamlajur jumlahadalahfrekuensiataukekerapanyangdisimbolkansebagaif.Frekuensisuatu pembolehubahialahjumlahberapakalusatunilaitertentutersebutberlaku.Jumlahsemua frekuensi ialah populasi. Bagi taburan frekuensi diatas, populasi kotak adalah 15 dan biasanya populasi disimbolkan sebagai n. Dengan itu jadual diatas boleh diringkaskan seperti berikut : Berat (x)910111213 Frekuensi (f)21327 Contoh 2:Cubaanda fikirkan bagaimanacarauntukmenyusundata dibawahyangmenunjukkanberat badan setiap pelajar di dalam sebuah kelas? 43 54 71 45 57 74 55 49 52 47 61 58 62 59 68 65 44 60 50 41 70 55 53 49 65 68 48 50 71 55 Untukmenyelesaikanmasalahtersebut,datadatainibolehdisusundalamsebuahjadual kekerapan dengan selang kelas yang tertentu. Selang kelas yang sesuai haruslah dipilih bagiMK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 7 mengumpulkan data didalam beberapakelas.Saiz selang kelasyanghendak dibinamestilah sama dan setiap data hanya boleh dikumpulkan dalam satu selang kelas sahaja. Penyelesaian Contoh 2 : Terdapat beberapa langkah bagi membina jadual kekerapan:i)Menentukanselangkelasbagidata.Tentukannilaidatayangtinggidannilaidata yang terendah dalam set data diatas. Nilai tertinggi data = 74Nilai terendah data = 41 Jika data itu dikumpulkan dalam 7 kelas, saiz setiap selang kelas =5741 74~ Makasaizsetiapselangkelasadalah5danselangkelasnyaadalahseperti berikut,40 44, 45 49, 50 54, 55 59, 60 64, 65 69 dan 70 -74. ii)Menentukan frekuensi bagi setiap kelas. Frekuensi setiap kelas dapat ditentukan dengan menggunakan tanda gundal. JisimGundalanFrekuensi 40 - 44|||3 45 - 49||||5 50 - 54||||5 55 - 59|||| |6 60 - 64|||3 65 - 69||||4 70 - 74||||4 Jumlah30 Had atas, had bawah, sempadan atas dan sempadan bawah selang kelas Perhatikan kelas 40 44 dalam jadual kekerapan di atas. Nombor 40 di kenali sebagai had bawah bagi kelas40 44,manakala nombor44di kenalisebagaihad atas bagi kelas 40 44. MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 8 Sempadanatasdansempadanbawahbagisetiapkelasjugabolehdikenalpasti. Pertimbangkan sempadan atas dan sempadan bagi kelas 45 - 49 Selepasmengetahuisempadan-sempadansesuatukelas,saizsesuatuselangkelas boleh diketahui iaitu: Contoh 3:

Nyatakan had bawah, had atas, sempadan bawah dan sempadan atas bagi setiap kelas dalam jadual berikut

Penyelesaian Contoh 3: Saiz selang kelas = sempadan atas-sempadan bawah Umur (thn)0 - 910 - 1920 - 2930 39 40 - 4950 - 59 Umur (thn)Had bawahHad atasSempadan bawah Sempadan atas 0 909-0.59.5 10 - 1910199.519.5 20 - 29202919.529.5 30 - 39303929.539.5 40 - 49404939.549.5 50 - 59505949.559.5 Sempadan atas= Had atas kelas (45 49) + had bawah kelas selepasnya (50-54) 2 =49 + 50 2 =49.5 Sempadan bawah = Had bawah kelas (45 49) + had atas kelas sebelumnya (40-44) 2 = 45 + 54 2 = 44.5 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 9 1.2.2Carta bulatan / pai Suatu carta bulatan boleh ditunjukkan mewakili maklumat statistik. Carta pai merupakan suatu bulatan yang dibahagikan kepada beberapa sector yang luasnya adalah menurut kadarkekerapan kelasnya dalam ukuran sudut atau peratusan.

Contoh 4: Berdasarkan data dalam jadual di bawah, binakan carta bulatan. Jadual gred yang diperolehi oleh 128 orang pelajar dalam kursus statistik pada tahun 2010. GredBilanganPeratus A129.38 B3325.78 C3426.56 D3325.78 F1612.50 Penyelesaian Contoh 4: Langkah 1 : Kira peratus dan darjah bagi setiap Gred. PeratusGred A =X 100 = 9.38% Darjah Gred A =X 360 = 33.77 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 10 Langkah 2 : Binakan jadual seperti di bawah. GredBilanganPeratus ( % )Darjah ( o ) A129.3833.77 B3325.7892.81 C3426.5695.62 D3325.7892.81 F1612.5045 Langkah 3 : Binakan carta bulatan berdasarkan pembahagian dalam darjah ( o ). 1.2.3Carta bar Dalam satu carta bar, tiap-tiap bar dilukiskan dengan lebar yang sama, sama ada secara tegak atau mendatar. Ketinggiannya atau panjangnya adalah setara dengan nilai frekuensi yang diwakilinya. Contoh 5: Gambarkan taburan frekuensi dalam jadual di bawah secara carta bar. x01234567 f125710854

MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 11 Penyelesaian Contoh 5: Perkara-perkara berikut mesti diberikan perhatianuntuk melukis carta bar / palang : -Bar/palang diselangselikan dengan ruang kosong yang sama lebarnya. -Tiap-tiap bar/palang mestilah sama lebar. -Titik permulaan setiap paksi mestilah dimulakan dengan sifar. -Gambaran yang baik akan diperoleh jika semua bar/palang tersebut yang dilukis disusun dengan tertib. f1257108540246810121 2 3 4 5 6 7 8 9f Perhatian : Paksi x mengambarkan pembolehubah manakala paksi y mewakili frekuensi. 1.2.4Histogram Taburan frekuensi juga boleh digambarkan secara histogram dimana frekuensi dalam tiap-tiap kelas atau sela diwakili oleh segiempat tepat. Untuk melakar histogram, perlu diketahui bilangan kelas, lebar kelas, selang kelas, sempadan kelas serta kekerapan sesuatu kelas. Histogram berbeza dengan carta palang keranai.Tidak terdapat ruang diantara dua segiempat tepat yang bersebelahan ii.Paksi-x dalam histogram mestilah merupakan satu garis nombor MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 12 Contoh 6:Taburan dibawah menunjukkan jumlah rintangan mengikut kelasnya. Gambarkan data-data tersebut dalam histogram Rintangan (ohm)101520253035 Frekuensi312201564 Penyelesaian Contoh 6: f 20 16 12 8

4 x 101520 25 3035Perhatian :Paksi x mengambarkan pembolehubah manakala paksi y mewakili frekuensi. MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 13 Contoh 7 : Pembinaan Histogram Berikut adalah data-data panjang 40 cengkerang sejenis siput dipantai (mm). Gambarkan data-data tersebut dengan menggunakan histogram.

919252381920132327 12262124151717273123 18202514182226281429 21192623281634223025

Penyelesaian Contoh 7 : Pembinaan Histogram Langkah langkah untuk melukis histogram daripada data tersebut diatasadalah seperti berikut :- i)Bina jadual kekerapan dengan menentukan selang kelas dan frekuensi Data-data tersebut dikumpulkan dalm 7 kelas, = 34 8 = 4, maka selang kelasnya 7adalah 8 11, 12 15, 16 19, 20 23, 24 27, 28 31, 32 35 ii)Menentukan sempadan bawah dan sempadan atas bagi setiap selang kelas iii)Memilih skala yang sesuai pada paksi-x untuk mewakili selang kelas atau sempadan kelas atau titik tengah selang kelas dan paksi-y untuk mewakili kekerapan iv)Lukis segiempat tepat yang lebarnya sama dan tingginya berkadaran dengan kekerapan Berikut adalah jadual kekerapan, sempadan bawah dan sempadan atas yang terhasil. KelasFrekeunsi Sempadan bawah Sempadan atas 8 1127.511.5 12 15511.515.5 16 19815.519.5 20 231019.523.5 24 - 27923.527.5 28 31527.529.5 32 - 35129.535.5 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 14 Histogram boleh dibina daripada jadual kekerapan ini. 1.2.5Poligon Kekerapan Poligon Kekerapan ialah graf yang menyambungkan titik tengah selang kelas pada hujung setiap segiempat tepat dalam sebuah histogram yang lebar setiap segiempat tepatnya sama. Poligon kekerapan biasanya dilukis berdasarkan histogram dan jadual kekerapan. Poligon kekerapan lazimnya ditutup dengan cara menambah satu kelas dengan kekerapan 0 sebelum kelas pertama dan selepas kelas terakhir.Melukis poligon kekerapan daripada jadual kekarapan Berikut merupakan panduan untuk melukis poligon kekerapan daripada histogram: i.Tandakan titik tengah pada hujung setiap segiempat tepat dalam histogram. Untuk mendapatkan titik tengah adalah seperti berikut : ii.Kemudian tambahkan satu kelas dengan kekerapan 0 sebelum kelas pertama dan selepas kelas terakhir. Tandakan titik tengah bagi kedua-dua kelas itu.iii.Sambungkan setiap titik tengah dengan lurus. Titik tengah = had atas + had bawah 2 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 15 Contoh 8: Lukis satu poligon kekerapan daripada jadual kekerapan di bawah. Penyelesaian Contoh 8: Tambahkan satu kelas dengan kekerapan 0 sebelum kelas pertama dan satu lagi selepas kelas terakhir. Kemudian cari titik tengah bagi setiap selang kelas. MarkahFrekuensi 40 - 4910 50 - 595 60 - 6920 70 - 7915 80 895 MarkahFrekuensi Titik Tengah 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 0 10 5 20 15 5 0 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 16 Pilih skala yang sesuai pada paksi-x untuk mewakili selang kelas dan paksi-y untuk mewakili kekerapan. Plotkan setiap pasangan nilai titik tengah dan kekerapan yang sepadan pada graf. Kemudian, lukiskan garis lurus yang menyambungkan setiap titik yang telah diplotkan. Melukis poligon kekerapan daripada histogramBerikut merupakan panduan untuk melukis poligon kekerapan daripada histogram: i.Tandakan titik tengah pada hujung setiap segiempat tepat dalam histogram. titik tengah bagi setiap selang kelas ii.Tambahkan satu kelas dengan kekerapan 0 sebelum selang kelas pertama dan selepas selang kelas kelas terakhir. Tandakan titik tengah bagi kedua-dua kelas itu.iii.Sambungkan setiap titik tengah dengan lurus MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 17 Contoh 9 Lukiskan histrogram dan poligon kekerapan bagi data-data dibawah: Jisim badan (kg) Kekerapan 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 0 3 4 7 11 10 5 0 Penyelesaian contoh 9 Langkah 1 : Bina histogram dengan menentukan saiz selang kelas, sempadan atas dan sempadan bawah bagi setiap selang kelas Langkah 2 : Tentukan titik tengah setiap selang kelas Jisim badan (kg) Kekerapan Sempadan bawah Sempadan atas Titik tengah 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 0 3 4 7 11 10 5 0 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5 42 47 52 57 62 67 72 77 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 18 Langkah 3 : sambungkan setiap titik tengah dengan satu garis lurus seperti di bawah 1.2.6Lengkung Frekuensi Melanggok atau Ogif Kekerapan longgokan bagi suatu data atau selang kelas dalam jadual kekerapan ialah hasil tambah kekerapannya dengan jumlah kekerapan semua data atau selang. Graf bagi kekerapan longgokan ini dinamakan ogif. Biasanya, sempadan atas digunakan untuk melukis ogif. Contoh 10 Lukis ogif berdasarkan daripada jadual kekerapan data tidak berkumpul dibawah : Bilangan radio yang dijual setiap hari Kekerapan 1 2 3 4 5 6 6 4 2 8 7 3 44.549.5 54.559.564.5 69.5 74.5024681012Jisim Berat (kg)KekerapanMK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 19 Penyelesaian Contoh 10: i)Tambahkan satu kelas dengan kekerapan longgokan 0 sebelum selang kelas pertama. Kemudian, cari sempadan atas bagi setiap kelas. Bilangan radio yang dijual setiap hari Sempadan atasKekerapanKekerapan longgokan 0 1 2 3 4 5 6 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 0 6 4 2 8 7 3 0 6 (0 + 6) 10 (6 + 4) 12 (10 + 2) 20 (12 + 8) 27 (20 + 7) 30 (27 + 3) ii)Pilih skala yang sesuai pada paksi -x untuk mewakili sempadan atas dan paksi -y untuk mewakili kekerapan longgokan. Setiap nilai (sempadan atas dan kekerapan longgokan) merupakan satu titik pada satah Cartesan. iii)Plotkan graf dengan menyambungkantitik-titik itu dengan satu lengkungan yang licin 051015202530351 2 3 4 5 6 7Bil. RadioKekerapan longgokan MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 20 Contoh 11 : Jadual di bawah menunjukkan markah yang diperolehi oleh 68 orang pelajar di dalam suatu ujian Statistik (data terkumpul ). Lukiskan ogif bagi data yang diberi itu. Markah (%) Kekerapan longgokan 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 74 75 - 79 3 8 15 26 37 48 56 62 65 68 Penyelesaian Contoh 11: i.Tambahkan satu kelas dengan kekerapan longgokan 0 sebelum kelas pertama. Kemudian, cari sempadan atas bagi setiap kelas. Markah (%) Sempadan atas Kekerapan longgokan 25 - 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 74 75 - 79 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5 0 3 8 15 26 37 48 56 62 65 68 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 21 ii.Pilih skala yang sesuai pada paksi -x untuk mewakili sempadan atas dan paksi -x untuk mewakili kekerapan longgokan. Plotkan graf. iii.Kemudian, sambungkan titik-titik itu dengan satu lengkungan yang licin. 1.3PENGUKURAN KECENDERUNGAN MEMUSAT BAGI DATA TAK TERKUMPUL DAN DATA TERKUMPUL Sukatan kecenderungan memusat ialah ukuran purata yang menunjukkan ukuran pusat sesuatu taburan data dan ianga merupakan ssas pengukuran dalam statistik. Terdapat tiga ukuran yang akan memberikan kedudukan pusat data iaitu MIN, MEDIAN, MOD. Min.Ditakrifkan sebagai purata bagi semua nilai-nilai dalam populasi atau sampel. Median Ditakrifkan sebagai nilai cerapan ditengah apabila semua cerapan tersebut disusun mengikut turutan. Sekiranya terdapat dua titik tengah, maka median ialah purata bagi dua nilai tengah itu. MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 22 Mod Ditakrifkan sebagai cerapan yang kekerapannya adalah tertinggi dalam suatu set data. Kelas mod ialah kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi. 1.3.1Pengukuran kecenderungan memusat bagi data tidak terkumpul Min Min adalah purata satu kumpulan data Min,x== nx ModNilai yang paling kerap berulang dalam sekumpulan data MedianNilai yang berada ditengah-tengah kumpulan data setelah data disusun mengikut tertib menaik Median, m = 21 + nT dimana,T = sebutan atau cerapan n = bilangan data 21 + nT= cerapan ke 21 + n Contoh 12 : Bagiset data berikut4,7,3,7,2,5,3 dan 7, carikan a)min b)mod c)median Penyelesaian contoh 12 : a) Min taburan data diatas adalah, x =nx= 75 . 487 3 5 2 7 3 7 4=+ + + + + + + b)Mod = nilai yang paling kerap berulang = 7 (berulang sebanyak 3 kali) c)Median, m = 21 + nT Bilangan data, n = 8 ,Jumlah nilai data Bilangan data MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 23 maka median berada di cerapan ke 21 8 += 4.5 Susunkan data mengikut magnitud menaikiaitu 2, 3, 3, 4, 5, 7, 7,7 Maka median = Contoh 13 : Berikut adalah data-data yang diperolehi bagi satu sample pembolehubahx untuk sepuluh orang dewasa6312759234. Kirakan min, mod dan median bagi data-data tersebut. Penyelesaian Contoh 13 : a)min,x =nx= 2 . 4104 3 2 9 5 7 2 1 3 6=+ + + + + + + + + b)mod = 2 dan 3 c)1,2,2,3,3,4,5,6,7,9 median = cerapan ke 21 10 + =cerapan ke 5.5 =5 . 324 3=+ 23345777 1223345679 5 . 425 45 . 4=+= T5 . 324 35 . 4=+= T MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 24 Contoh 14 : Bagi data3, 6, 11, 4, 8, 14, 21, tentukan median. Penyelesaian contoh 14 : 3, 4, 6, 8, 11, 14, 21 dimana bilangan data, n = 7 median = cerapan ke 21 7 + = cerapan ke 484 = T= 8 1.3.2Pengukuran kecenderungan memusat bagi data terkumpul Min Min,x= ffx dimana, x = nilai data (data tidak terkumpul) atau titiktengah (data terkumpul) f = kekerapan Mod Nilai data dengan kekerapan tertinggi Kelas mod bagi data terkumpul berselang kelas adalahselang kelas dengan kekerapan yang tertinggi. Mod bagi data terkumpul berselang kelas diberikan oleh titik persilangan pepenjuru-pepenjuru pada bar yang tertinggi. Median(data terkumpul tidak berselang kelas) Median, m = 21 + nT dimana,T = cerapan n = fMedian(data terkumpul berselang kelas) Median, m =cffnLml(((((

+2 dimana, L = sempadan bawah kelas/sela median n = jumlah kekerapan lf= kekerapan longgokan sebelum kelas / sela median mf= kekerapan kelas / sela median c = saiz selang kelas 3468111421 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 25 Contoh 15 : Bilangan anak per keluarga untuk 50 keluarga di sebuah kampung telah dikumpulkan dalam jadual taburan kekerapan berikut. Bilangan anak012345 Bilangan keluarga48161363 Hitungkan (a) mod, (b) median dam (c) min bagi taburan ini Penyelesaian contoh 15 : a)Mod = 2 orang b)Median = 21 + nT = 5 . 2521 50T T =+ c)Min Bil. Anak Bil. Keluarga Kekerapan melonggok 0 44 1812 21628 31341 4647 5350 Data dengan kekerapan tertinggi Cerapan ke 25.5 di selang kelas ketiga ditentukan dengan mendapatkan kekerapan melanggok bagi setiap selang kelas. Maka nilai median adalah 2 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 26 Min,x=orang 36 . 250118= Bil. AnakBil. Keluarga fx 0 40 188 21632 31339 4624 5315 Ef = 50E = 118 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 27 Contoh 16 : Jadual kekerapan berikut menunjukkan tinggi sekumpulan pelajar.(a) Nyatakan kelas mod. (b) Anggarkan mod tinggi pelajar bagi taburan dengan melukis histogram. Tinggi (cm)150-154155-159160-164165-169170-174 Kekerapan437106 Penyelesaian Contoh 16 : (a)Kelas mod = 165 169 iaitu selang kelas dengan kekerapan tertinggi (b)Anggaran mod tinggi pelajar daripada histogram, mod = 166.8 cm

mod Kelas mod 149.5 154.5 159.5 164.5 174.5 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 28 Contoh 17 : Jadual kekerapan dibawah adalah bilangan buah durian yang gugur di dusun Pak Ali. Kirakan min, median dan mod bagi bilangan buah durian tersebut.

Bil. buahFrekuensi 6-102 11-154 16-2010 21-2511 26-306 31-357 Jumlah40 Penyelesaian Contoh 17 : a)Min dikira dengan menggunakan rumus berikut,. Kirakan titik tengah bagi setiap selang kelas, Titik tengah = 2bawah had atas had + Bil. buahFrekuensi (f) Titik Tengah (x) fx 6-102816 11-1541352 16-201018180 21-251123253 26-30628168 31-35733231 Jumlah40900 x=5 . 2240900= =ffx MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 29 b) kirakan nilai median dengan rumus berikut, C i)Tentukan kedudukan median = cerapan 202402T T Tn= = = selang kelas 21 - 25 Bil. buahKekerapanKekerapan melonggok 6-1022 11-1546 16-201016 21-251127 26-30633 31-35740 Jumlahf = n = 40 ii)Tentukan sempadan bawah sela median, L = (had bawah sela median + had atas sebelumnya) 2 =5 . 20220 21=+

iii)Dapatkan jumlah kekerapan, n = Ef= 40 iv)Tentukan kekerapan longgokan sebelum sela median, lf = 16 v)Tentukan kekerapan sela medianmf= 11, dan vi)Tentukan saiz selang kelas, c = 5 Se la median MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 30 Maka nilai median bagi data diatas adalahMedian =cffnLml(((((

+2 = 32 . 22 511162405 . 20 =(((((

+biji durian Nilai median juga boleh diperolehi dengan menggunakan ogif. Untuk melakarkan ogif, sempadan atas bagi setiap sela mestilah dikira sebelum diplotkan diatas kertas graf. Bil. buahKekerapanKekerapan melonggokSempadan atas 1 - 5005.5 6-102210.5 11-154615.5 16-20101620.5 21-25112725.5 26-3063330.5 31-3574035.5 Plotkan paksi x mewakili pembolehubah iaitu bilangan buah durian dan paksi y mewakili kekerapan longgokan. ATAU MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 31 Graf Kekerapan melonggok026162733400510152025303540455.5 10.5 15.5 20.5 25.5 30.5 35.5Bil. buahKekerapan melonggok Median = nilai pada kekerapan longgokkan ke 2ndaripada ogif. = nilai pada kekerapan longgokkan 240= 20 =~ 22 biji durian c) Kelas mod adalah 21 25 biji durian (nilai kekerapan yang tertinggi) Bil. buahKekerapan 6-102 11-154 16-2010 21-2511 26-306 31-357 Mod Median = 22 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 32 1.4PENGUKURAN SERAKAN BAGI DATA TAK TERKUMPUL DAN DATA TERKUMPUL Pengukuran serakan ialah satu ukuran darjah penyerakanuntuk menentukan sejauh mana nilai-nilai data disebarkan daripada nilai puratanya. Terdapat beberapa jenis sukatan serakan iaitu : a)Julat Julat bagi suatu set data ialah suatu sukatan serakan yang merujuk kepada beza antara nilai tertinggi dengan nilai terendah data itu. b)Kuartil Kuartilmembahagisatusetdatayangdisusunmengikuttertibmenaikkepadaempat bahagian sama banyak i)kuartilpertamaQ1,ialahsatunilaiyangmembahagisemuacerapanyang kurang daripada median kepada dua bahagian yang sama banyakii)kuartilkedua(median)Q2,ialahsatunilaiyangmembahagisemuacerapan kepada dua bahagian yang sama banyakiii)kuartilketigaQ3,ialahsatunilaiyangmembahagisemuacerapanyanglebih besar daripada median kepada dua bahagian yang sama banyak c)Julatantarakuartilmerujukkepadabezaantarakuartilketigadengankuartilpertama suatu sukatan serakan. d)Varians = ( )nx x2 Dimana x= min n = bilangan data e)Sisihan piawai =Varians MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 33 1.4.1Julat, kuartil dan julat antara kuartil bagi data tidak terkumpul Contoh 18 : Cari julat bagi data berikut, 4, 6, 7, 8, 2, 11,15, 10 Penyelesaian contoh 18 : Julat = 15 2 = 13 Contoh 19: Carikan kuartil pertama dan ketiga bagi set data berikuti)2,6,8,3,10,5 ii)6,2,4,12,9,15,8,16 Penyelesaian contoh 19 : i)Data disusun mengikut tertib menaik: Maka, nilai kuartil pertama, Q1 = 3 dan kuartil ketiga, Q3 = 8 ii)Data disusun mengikut tertib menaik Maka, kuartil pertama 526 41=+= Qdan kuartil ketiga 5 . 13215 123=+= Q Contoh 20 Carikan julat antara kuartil bagi set data 6, 8, 5, 9, 12, 1, 4, 7, 15 (235) (6810) Q1 Q2/ M Q3 (2468)(9121516) Q1Q2/ MQ3 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 34 Penyelesaian contoh 20 Data disusun mengikut tertib menaik Maka kuartil pertama 5 . 425 41=+= Qdan kuartil ketiga 6 . 10212 93=+= QJulat antara kuartil = Q3 Q1 = 10.5 4.5 = 6 1.4.2 Julat, kuartil dan julat antara kuartil bagi data terkumpul Julat titik tengah selang kelas tertinggi titik tengah selang kelas terendah Kuartil pertama Q1 cffnLQlQ(((((

+114 L = sempadan bawah selang kelas Q1 n = jumlah kekerapan lf= kekerapan longgokan sebelum kelas Q1 1 Qf= kekerapan kelas Q1 c = saiz selang kelas Kuartil ketiga Q2 cffnLQlQ(((((

+3343 L = sempadan bawah selang kelas Q3 n = jumlah kekerapan lf= kekerapan longgokan sebelum kelas Q3 3 Qf= kekerapan kelas Q3 c = saiz selang kelas Julat antara kuartilQ3-Q1 Menentukan kuartil pertama, kedua dan ketiga daripada Ogif Q1 = nilai pada kekerapan longgokanke 4n daripada ogif Q2 = nilai pada kekerapan longgokanke 2n daripada ogif (1456)(7)(891215) Q1Q2 Q3 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 35 Q3 = nilai pada kekerapan longgokanke 43n daripada ogif Contoh 21 : Jadual berikut menunjukkan diameter 120 alas bebola yang dihasilkan oleh sebuah mesin. Carikana)julatb)julat antara kuartil Diameter (mm)Kekerapan 4.718 4.820 4.924 5.026 5.118 5.214 Penyelesaian contoh 21: a)Julat = diameter kekerapan tertinggi diameter kekerapan terendah = 5.2 4.7= 0.5 mm b)Dapatkan kekerapan longgokan dan tentukan kuartil pertama dan kuartil ketigaDiameter (mm)KekerapanKekerapan longgokan 4.71818 4.82038 4.92462 5.02688 5.118106 5.214120 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 36 Kuartil pertama,mm T T T Qn8 . 44 425 . 301 120 11= = = =+ + Kuartil ketiga,mm T T T Qn1 . 54 475 . 90) 1 120 ( 3 ) 1 ( 33= = = =+ + Maka julat antara kuartil = Q3 Q1 = 5.1 4.8 = 0.3 mm Contoh 22 : Jadual kekerapan berikut menunjukkan taburan kekerapan bagi tinggi 200 anak pokok durian. Bagi data-data tersebut caria)julat b)median c)kuartil pertama d)kuartil ketiga e)julat antara kuartil Tinggi (cm)Kekerapan 85-89 90-94 95-99 100-104 105-109 110-114 115-119 120-124 4 14 21 34 61 44 15 7 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 37 Penyelesaian contoh 22 : a)Julat = (titik tengah selang kelas tertinggi) (titik tengah selang kelas terendah) =|.|

\| + |.|

\| +289 852124 120 = 122 + 87 =35 cm b)Median atau Q2 Tinggi (cm)KekerapanKekerapan longgokan 85-89 90-94 95-99 100-104 105-109 110-114 115-119 120-124 4 14 21 34 61 44 15 7 4 18 39 73 134 178 193 200 Kedudukan median = cerapan 10022002T T Tn= = = selang kelas 105-109 Median =cffnLml(((((

+2 =5617322002104 105(((((

+((

+ = 104.5+2.21 = 106.71 cm MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 38 c)Kuartil pertama Kedudukan median = cerapan 5042004T T Tn= = = selang kelas 100-104 Q1= cffnLQlQ(((((

+114 =534394200299 100(((((

+((

+ =99.5 + 1.62 =101.12 cm d)Kuartil ketiga Kedudukan median = cerapan 1504) 200 ( 343T T Tn= = = selang kelas 110 114 Q3= cffnLQlQ(((((

+3343 =5441344) 200 ( 32109 110(((((

+((

+ =109.5 + 1.82 =111.32 cm e)Julat antara kuartil = Q3 Q1 = 111.32 101.12 = 10.2 cm MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 39 Contoh 23 : Tinggi (cm)Kekerapan 151-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180 7 29 15 6 2 1 Jadual kekerapan di atas menunjukkan tinggi, kepada cm yang terdekat, bagi sekumpulan pelajar. Lukis ogif bagi data itu. Daripada ogif itu, cari: a)julat b)median c)kuartil pertama d)kuartil ketiga e)julat antara kuartil Penyelesaian contoh 23 :Kira sempadan atas dan kekerapan longgokan bg data-data tersebut Tinggi (cm)Sempadan atas KekerapanKekerapan longgokan 146-150 151-155 156-160 161-165 166-170 171-175 176-180 150.5 155.5 160.5 165.5 170.5 175.5 180.5 0 7 29 15 6 2 1 0 7 36 51 57 59 60 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 40 Plotkan ogif dengan paksi x untuk pembolehubah tinggi dan paksi y merujuk kepada kekerapan longgokan. a)Julat = Titik tengah kelas tertinggi titik tengah kelas terendah = 178-153 = 25 cm b)Median =30260T T =maka, daripada ogif median = 159.0 cm c)Kuartil pertama, Q1 = 15460T T =maka , daripada ogif = 157.5 cm d)Kuartil ketiga, Q3= 454) 60 ( 3T T = , maka daripada ogif = 163.0 cm e)Julat antara kuartil = 163 157.5 = 5.5 cm MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 41 1.4.3Sisihan min Data tidak terkumpul | | x x x x x xnn + + + ....12 1 dimanax= min n = bilangan cerapan Data terkumpul berselang kelas ( ) x x ff1

dimanax= min n = jumlah kekerapan Contoh 24 : Cari sishan min bagi data berikut 2, 9, 6, 5, 8 Penyelesaian Contoh 22: Min,658 5 6 9 2=+ + + += x Sisihan min,| | x x x x x xnn + + + = ...12 1 | || |22 1 0 3 4516 8 6 5 6 6 6 9 6 251=+ + + + = + + + + = Contoh 25 : Cari sisihan min bagi taburan kekerapan berikut : KelasKekerapan0 44 5 94 10 1420 15 1610 20 242 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 42 Penyelesaian Contoh 25 : Kelas Kekerapan (f) Titik tengah (x) fxx x x x f 0 442810.2541 5 947285.2521 10 1420122400.255 15 1910171705.2547.5 20 242224410.2519.5 f = 40490134 Min x= ffx=25 . 1240490=Sisihan min =( ) 35 . 340134 1= = x x ff 1.4.4Varians dan sisihan piawai Varian adalah merupakan sukatan min kuasa dua sisihan daripada min dan diwakilkan dengan simbol o atau s. Sisihan piawai merupakan punca kuasa dua varians dengan simbol o atau s. Jenis DataVarians, Sisihan Piawai Data tidak terkumpul ( )22xnx dimana2x = hasil tambah setiap nilai cerapan x = min n = bilangan cerapan ( )22xnx MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 43 Data terkumpul (jadual kekerapan) ( )22xffx x = nilai data x = min ( )22xffx Data terkumpul ( )22xffx x = titik tengah x = min ( )22xffx Contoh 26 : Cari varians dan sisihan piawai bagi data berikut 1,7,2,5 Penyelesaian Contoh 24: Min,75 . 341545 2 7 1= =+ + += = nxx79 5 2 7 12 2 2 2 2= + + + =x ( ) 685 . 5 ) 75 . 3 (479,2222= = = xNxs VariansSisihan piawai, s = 38 . 2 685 . 5 = Contoh 25 : Jadual kekerapan berikut menunjukkan titik tengah diameter tiub alaterima televisyen yang diterima dari pembekal A. Kirakan varians dan sisihan piawainya. Diameter (x)121416182022 Kekerapan6222831103 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 44 Penyelesaian contoh 25 : Diameter (x) Kekerapan (f)fxxfx 12672144864 14223081964312 16284482567168 183155832410040 20102004004000 223664841452 =100 f=1652 fx 278362= fx Min =52 . 161001652= =ffx Varians, o=( )22xffx=( )252 . 1610027840 = 5.499 Sisihan piawai =34 . 2 499 . 5 = = Varians Contoh 26 : Jadual di bawah menunjukkan taburan markah bagi Ujian Statistik yang diperolehi oleh 140 orang pelajar. Hitungkan min dansisihan piawai. Markah30-3940-4950-5960-6970-7980-89 Bil pelajar483546316 PenyelesaianContoh 26: Markah Bil. Pelajar (f) Titik Tengah (x) fxxfx 30-39434.5138.01190.254761.00 40-491844.5801.01980.2535644.50 50-593554.51907.52970.25103958.75 60-694664.52967.04160.25191371.50 70-793174.52309.55550.25172057.75 80-89684.5507.07140.2542841.50 1408630550635 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 45 Min,x=64 . 611408630= =ffx Sisihan piawai, s =( ) 56 . 11 6 . 133 ) 64 . 61 (140550635222= = = xffx MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 46 LATIHAN SOALAN 1 Jadual 1 menunjukkan berat 40 orang pelajar Bengkel Elektrik Semester 4 ILP Kota Bharu Berat (kg)Kekerapan 30-345 35-396 40-449 45-498 50-547 55-595 Jadual 1 a ) Berdasarkan jadual 1 di atas, bina satu jadual kekerapan yang mengandungi sempadan bawah,sempadan atas, titik tengah dan kekerapan longgokan. b) Cari min bagi data di atas. c) Lukis satu histogram berdasarkan jadual di atas. d) Lukis poligon kekerapan daripada histogram di atas. SOALAN 2 Cari min, mod dan median bagi set data yang berikut : 19, 17, 20, 16, 19, 15, 16, 19, 20 SOALAN 3 Tentukan varians dan sisihan piawai bagi set data berikut : Jisim (kg)Kekerapan, f 51-554 56-605 61-658 66-7014 71-759 MK3011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 47 SOALAN 4 50 ekor kambing yang berada di dalam satu kandang ditimbang dan berat setiap ekor dicatatkan. Hasil timbangan itu ditunjukkan di dalam jadual berikut : Berat (kg)Bilangan 5 91 10 144 15 196 20 247 25 2910 30 3412 35 396 40 442 45 491 50 541 Bina satu ogif daripada jadual yang diberikan di atas dan kemudian cari (a) julat (b) median (c) kuartil pertama (d) kuartil ketiga (d) julat antara kuartil RUJUKAN : 1.NurAzahAbdulManaf,MazlanMohamadAbdulHamed(2000),Statistik,Universiti Teknologi Malaysia, Skudai, ISBN 983-52-0172-2 2.NorAzuraMdGhani,RudzahTalib,AsasMatematik1A,UiTMShahAlam,Universiti Teknologi Mara. 3.LanFooHuat,YongKienCheng(2005),SiriTeksReferensMatematikTambahan, PEARSON Malaysia Sdn Bhd, ISBN 983-74-3291-8 4.Tiew Eyan Keng (1994), Nota Peperiksaan SPM Matematik, Persekutuan PRESTON Sdn Bhd, ISBN 967-917-354-2 MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 48 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM MATEMATIK KEJURUTERAAN3 KOD DAN NAMA MODUL MK 3011 KONSEP KEBARANGKALIANPENGALAMAN PEMBELAJARAN LE 2 KEBARANGKALIAN NO. TUGASAN BERKAITAN 2.1RUANG SAMPEL 2.2PERISTIWA 2.3 UJIKAJI RAWAK OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO) JELASKANKONSEPDANPRINSIPKEBARANGKALIANDENGAN MENGGUNAKANKAEDAHPERBINCANGANDANEKSPERIMEN SUPAYA PELAJAR BOLEH : 1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANGBERKAITAN DENGAN BETUL. 2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DIBENGKEL UNTUK SUBJEK TERAS. OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAHDAN KONSEP KEBARANGKALIAN SERTA BOLEH MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN. MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 49 2.0KEBARANGKALIAN TUJUAN: Kertaspeneranganiniadalahbertujuanuntukmenerangkanmengenaikonsep kebarangkalian yang merangkumi ruang sampel, peristiwa dan ujikaji rawak. 2.1Pengertian kebarangkalian Kebarangkalian adalah kemungkinan atau kesempatan pada sesuatu keadaan yang akan atau telah berlaku. Teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam bidang seperti statistik, matematik,kewangan,sainsdanfalsafahuntukmendapatkesimpulanberkaitan kebarangkalian peristiwa terjadi dan mekanik dasar sistem kompleks. a) Ruang Sampel Eksperimenmenghasilkankesudahan-kesudahanyangberlainan.Contohnya,lambungan sekepingduitsyilingmenghasilkanduakesudahanyangmungkiniaitu[gambar,angka]. Lambungan sebiji dadupulamenghasilkan enamkesudahan yang mungkiniaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Setsemuakesudahanyangmungkinbagisesuatueksperimendikenalisebagairuang sampeldan ditandadengan simbol S. Ahli-ahliruang sampeldikenali sebagaiunsur.Bilangan unsur dalam ruang sampel S ditanda dengan n(S). Contoh 1 Dua keping duit syiling dilambungkan. Tuliskan ruang sampel bagi eksperimen ini. Penyelesaian Dengan menggunakan G untuk menandakan gambar dan A untuk angka, maka ruang sampel S ialah:S = {GG, GA, AG, AA} Bilangan unsur dalam ruang sampel ialah 4 dan ditulis sebagai n(S)=4. MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 50 Contoh 2 Tentukan ruang sampel bagi setiap uji kaji yang berikut dengan menggunakan tatatanda set (a) Sekeping duit syiling dilambung dua kali berturut-turut. (b) Dua biji dadu dilambung secara serentak. (c) Dua huruf dipilih secara rawak daripada huruf-huruf perkataan RIA. Penyelesaian (a) Katakan G mewakili gambar dan A mewakili angka. Ruang sampel={ GG, GA, AG, AA } (b) Ruang sampel = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } (c) Ruang sampel ={ (R,I), (R,A), (I,R), (I,A), (A,R), (A,I) } b) Peristiwa Peristiwaialahsuatusubsetbagiruangsampel.Peristiwamerupakansetkesudahanyang memenuhi syarat-syarat tertentu. Peristiwa dilabelkan sebagai E1 E2 dan seterusnya. Contoh 3 Apabila sebiji dadu adil dilambungkan, ruang sampel ialah S= {1,2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6. Katakan E1 ialah peristiwa 'nombor yang muncul ialah genap', maka E1 ={2, 4, 6} dan n(E1)= 3.Katakan E2 ialah peristiwa 'nombor yang muncul melebihi 4', maka E2={5,6} dan n(E2) = 2. MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 51 Contoh 4 WAR GA TU A Rajah di atas menunjukkan lapan bijiguliyangbertanda dengan huruf. Guli-guli itudimasukkan kedalamsebuahkotak.Wahidmengeluarkansebijigulisecararawakdaripadakotakitu. Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat-syarat berikut. (a) Huruf vokal dikeluarkan. (b) Huruf konsonan dikeluarkan. Penyelesaian Ruang sampel = { A, G, R, T, U, W } (a) A, U(b) G, R, T, W c) Ujikaji Rawak UJIKAJI Satuprosesyangapabiladilaksanakan,akanmenghasilkansatudanhanya satu keputusan yang diperolehi daripada banyak cerapan. Siri-siripercubaanyangmenghasilkansemuayangmungkindengansetiap cubaan menghasilkan set kesudahan tertentu, MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 52 Contohnya, ujikaji melambung dadu dan ujikaji melambung sekeping duit syiling. Kebarangkalian Suatu Peristiwa dan Ujikaji Rawak AndaikanSsebagairuangsampelyangmengandunginkesudahanyangsama kemungkinannya. Kebarangkalian bagi peristiwa E, ditulis sebagai P(E) diberi oleh: ) () () (S nE nE P = Nilaiskalakebarangkalianialahdiantara0 hingga1.Nilaikebarangkalian0mewakiliukuran kemungkinan yang mustahil berlaku, manakala 1 pula mewakili ukuran kemungkinan yang pasti akanberlaku.Nilaikebarangkalianyangmenghampiri0bagisesuatuperistiwabererti kemungkinan berlakunya peristiwa berkenaan adalah tipis, manakala, nilai-nilai kebarangkalian yang menghampiri 1 bererti kemungkinan berlakunya peristiwa berkenaan adalah tinggi. Denganmenentukansejauhmanakahkemungkinansesuatuperistiwaituakanberlakuatau tidak. Keputusan ini amat berguna dalam membuat keputusan. Sebagaicontoh,katakansahabatandamemberitawaranuntukmembelisejumlahsaham daripada syarikatnya. Berdasarkan kepada rekod-rekod lepas, didapati dalam tempoh 10 tahun hanya2tahunsahajasyarikattersebutmendapatkeuntungan.Persoalannya,adakahanda akanmelaburdalamsyarikattersebut?KemungkinanbesarjawapanandaadalahTIDAK keranakebarangkalian(kemungkinan)syarikattersebutmendapatkeuntunganadalahrendah iaitu 2/10 sahaja. Contoh 5 Cari kebarangkalian bagi peristiwa E1 dan peristiwa E2 dalam Contoh 3. Penyelesaian Ruang sampel S ={1, 2, 3, 4, 5, 6},n(S) = 6. = bilangan kesudahan peristiwa E bilangan kesudahan S MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 53 E1={2,4,6}, n(E1)=3 E2 ={5, 6}, n (E2)=2 3162) () () (22= = =S nE nE PContoh 6 Sekepingkadterupdicabutsecararawakdaripadakotakyangmengandungi52kepingkad terup. Sekotak kad terup itu mengandungi 4 keping nombor 8 dan 26 keping kad terup merah. Cari kebarangkalian bahawa (a) kad terup itu ialah lapan, dan (b) kad terup itu ialah merah. Penyelesaian.Andaikan A: peristiwa kad terup ialah lapan B: peristiwa kad terup merah dicabut Sekotak kad terup itu mengandungi 4 keping nombor 8 dan 26 keping kad terup merah. Jadi,n(A)= 4; n(B) = 26; n(S)=52 31524) () () ( = = =S nA nA P215226) () () ( = = =S nB nB P Contoh 7 Sebuah beg mengandungi 10 biji guli merah. Sebiji guli dikeluarkan secara rawakdaripada beg itu. Cari kebarangkalian bahawa guli yang dikeluarkan itu adalah (a) merah, (b) kuning. Penyelesaian (a) Semua 10 biji guli dalam beg adalah merah. Peristiwa guli merah dikeluarkan pasti berlaku.JadiP(guli merah) = 1. (b) Tidak ada guli kuning dalam beg itu. Peristiwa guli kuning dikeluarkan tidak mungkin berlaku. Jadi, P(guli kuning) = 0. MK3011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 54 SOALAN : 1.Sepuluh biji bola dinomborkan dari 1 hingga 10 dan diletakkan di dalam sebuah kotak. Nombor 1 hingga 4 adalah bola berwarna merah manakala nombor 5 hingga 10 adalah bola berwarna biru. Sebijiboladiambilsecararawakdaripadakotaktersebut.Apakahkebarangkalianbahawabola yang diambil: a.berwarna biru. b.berwarna merah. c.mempunyai nombor melebihi 6. 2.Satuhurufdipilihsecararawakdaripada6huruf{A.B.C.D.E,F}.Carikebarangkalianbagi setiap peristiwa berikut: a.Huruf ialah A. b.Huruf ialah vokal. c.Huruf itu bukan A, B atau D. 3 Sebijidadudilambungsebanyakduakali.Carikebarangkalianbahawa5munculpada lambungan pertamadan nombor ganjil muncul pada lambungan kedua. 4.Dua biji dadu yang adil dilambung secara serentak, kirakan kebarangkalian mendapat jumlah 7 padakedua-dua dadu tersebut. RUJUKAN : 1.Mahayudin Matematik Statistik T; Siri Teks STPM; Soon Chin Loong, Tong Swee Foong & Lau Too Kya; Pearson Malaysia Sdn. Bhd.(2002). 2.Matematik Tambahan SPM; Leong Kai Hoong, Yip Chee Yin; Longman Malaysia Sdn. Bhd.(1994). 3.Algebra Asas; Mustafa Mamat, Zarina Ibrahim; Dewan Bahasa Dan Pustaka(1995).4.Matematik STPM; Quek Suan Goen, Leng Ka Man, Yong Ping Kiang; Federal Publication (1994). 5.Aljabar II; Che Rahim Che The, Mazlan Mohamad Abd Hame; Universiti Teknologi Malaysia, Skudai, Johor (1997).