linear law

Tingkatan 5 – Vektor Matematik Tambahan

30th March 2015 - NZSK

1 Rajah 1 menunjukkan trapezium ABCD.

Rajah 1

Diberi bahawa AB→

= 2y~

, AD→

= 10x~

, AE→

= 1

2 AD

→ dan BC

→ =

9

10 AD

→.

(a) Ungkapkan AC

→ dalam sebutan x

~ dan y

~.

[2 markah]

(b) Titik F terletak di dalam trapezium ABCD dengan keadaan 2EF

→ = kAB

→ dan k ialah pemalar.

(i) Ungkapkan AF

→ dalam sebutan k, x

~ dan y

~.

(ii) Seterusnya, jika titik-titik A, F dan C adalah segaris, cari nilai k.

[5 markah]

2 Rajah 2 menunjukkan sisi empat ABCD. Pepenjuru-pepenjuru BD dan AC bersilang di titik F. Titik E terletak

pada AD.

Rajah 2

Diberi bahawa AE→

= 1

5 AD

→, BF

→ =

1

2 BD

→, AB

→ = x

~ and AE

→ = y

~.

(a) Ungkapkan dalam sebutan x~

dan y~

(i) DB→

(ii) AF→

[3 markah]

(b) Diberi DC

→ = kx

~ − y

~ dan AF

→ = hAC

→ , dengan keadaan h dan k ialah pemalar, cari nilai h dan k.

[4 markah]



3 Rajah 3 menunjukkan segi tiga ABC. Garis lurus AE bersilang dengan garis lurus BF di D.

Rajah 3

Diberi bahawa AF→

= 5FC→

, BE→

= 5EC→

, AB→

= 8x~

dan AC→

= 4y~

.


dan y~

(i) BC→

(ii) AE→

[3 markah]

(b) Diberi AD

→ = hAE

→ dan AD

→ = AF

→ + kFB

→, dengan keadaan h dan k ialah pemalar, cari nilai h dan k.

[5 markah]

4 Rajah 4 menunjukkan sisi empat PQRS. PTS dan TUR adalah garis lurus.

Rajah 4

Diberi bahawa PQ→

= 18x~

, PT→

= 7y~

, SR→

= 36x~

− 14y~

, PT→

= 1

3 PS→

dan TU→

= 1

3 TR→

.


dan y~

.

(i) QS→

(ii) TR→

[3 markah]

(b) Tunjukkan bahawa titik-titik Q, U dan S adaalh segaris.

[3 markah]

(c) Jika |x

~| = 3 dan |y

~| = 5, cari |QS

→|.

[2 markah]



5 Rajah 5 menunjukkan segi tiga PQR. Titik S terletak pada PQ dan titik T terletak pada QR. Garis lurus PT

bersilang dengan garis lurus RS pada titik U.

Rajah 5

Diberi bahawa PQ→

= x~

, PR→

= y~

, PS→

= 2

3 PQ

→ dan QT

→ =

5

6 QR

→.


dan y~

[4 markah]

(i) RS→

[3 markah]

(ii) PT→

[3 markah]

(b) Diberi PU

→ = hPT

→ dan RU

→ = kRS


Ungkapkan PU→

(i) dalam sebutan h, x~

dan y~

.

(ii) dalam sebutan k, x~

dan y~

.

(c) Seterusnya, cari nilai h dan k.

6 Rajah 6 menunjukkan segi tiga PQR. Titik S terletak pada PR dan titik T terletak pada PQ. Garis lurus QS

bersilang dengan garis lurus RT pada titik U.

Rajah 6

Diberi bahawa ∠PRQ = 90°, PR→

= 5x~

, RQ→

= 6y~

, PR→

: SR→

= 4 : 1 dan PQ→

: PT→

= 5 : 1.


dan y~

.

(i) QS→

(ii) RT→

[3 markah]

(b) Dengan menggunakan RU

→ = hRT

→ dan QU

→ = kQS


[5 markah]

(c) Diberi |x

~| = 2 unit dan |y

~| = 5 unit, cari |PQ

→|.

[2 markah]



Answer:

1 (a) AC→

= AB→

+ BC→

= AB→

+ 9

10 AD

→

= 2y~

+ 9

10 (10x

~)

= 9x~

+ 2y~

(b) (i) AF→

= AE→

+ EF→

= 1

2 AD

→ +

k

2 AB→

= 1

2 (10x

~) +

k

2 (2y

~)

= 5x~

+ ky~

(ii) AC→

= λAF→

9x~

+ 2y~

= λ(5x~

+ ky~

)

9 = 5λ

λ = 9

5

2 = λk

= 9

5 k

k = 10

9

2 (a) (i) DB→

= DA→

+ AB→

= −5AE→

+ AB→

= x~

− 5y~

(ii) AF→

= AB→

+ BF→

= AB→

+ 1

2 BD

→

= AB→

+ 1

2 (−DB

→)

= x~

+ 1

2 (5y

~ − x

~)

= 1

2 x~

+ 5

2 y~

(a) DC→

= DA→

+ AC→

kx~

− y~

= −AD→

+ 1

h AF→

= −5y~

+ 1

h (

1

2 x~

+ 5

2 y~

)

= 1

2h x~

+ (5

2h − 5)y

~

5

2h − 5 = −1

h = 5

8

k = 1

2h



= 1

2 (

8

5 )

= 4

5

3 (a) (i) BC→

= BA→

+ AC→

= −8x~

+ 4y~

(ii) AE→

= AB→

+ BE→

= AB→

+ 5

6 BC

→

= 8x~

+ 5

6 (−8x

~ + 4y

~)

= 4

3 x~

+ 10

3 y~

(a) AD→

= AF→

+ kFB→

hAE→

= AF→

+ kFB→

h( 4

3 x~

+ 10

3 y~

) = 5

6 AC

→ + k(FA

→ + AB

→)

4

3 hx

~ +

10

3 hy

~ =

5

6 (4y

~) + k(

5

6 CA

→ + AB

→)

= 10

3 y~

+ k[5

6 (−4y

~) + 8x

~]

= 10

3 y~

− 10

3 ky

~ + 8kx

~

= 8kx~

+ (10

3 −

10

3 k)y

~

4

3 h = 8k

h = 6k −−−− (1) 10

3 h =

10

3 −

10

3 k −−−− (2)

Gantikan (1) ke dalam (2), 10

3 (6k) =

10

3 −

10

3 k

20k = 10

3 −

10

3 k

70

3 k =

10

3

k = 1

7

h = 6(1

7 )

= 6

7

4 (a) (i) QS→

= QP→

+ PS→

= QP→

+ 3PT→

= −18x~

+ 3(7y~

)

= −18x~

+ 21y~



(ii) SR→

= TR→

− TS→

= 36x~

− 14y~

∴ TR→

= 36x~

(b) SU→

= ST→

+ TU→

= −TS→

+ 1

3 TR→

= −14y~

+ 1

3 (36x

~)

= 12x~

− 14y~

SQ→

= PQ→

− PS→

= 18x~

− 3(7y~

)

= 18x~

− 21y~

= 3

2 (12x

~ − 14y

~)

= 3

2 SU→

Oleh tu, Q, U and S adalah segari.

(c) |QS→

|2 = |QP→

|2 + |PS→

|2

= (18|x~

|)2 + (21|y~

|)2

= [18(3)]2 + [21(5)]2

= 13941

|QS→

| = 118.1 unit

5 (a) (i) RS→

= PS→

− PR→

= 2

3 PQ

→− PR

→

= 2

3 x~

− y~

(ii) PT→

= PQ→

+ QT→

= x~

+ 5

6 QR

→

= x~

+ 5

6 (QP

→ + PR

→)

= x~

+ 5

6 (−x

~ + y

~)

= 1

6 x~

+ 5

6 y~

(b) (i) PU→

= hPT→

= h(1

6 x~

+ 5

6 y~

)

= 1

6 hx

~ +

5

6 hy

~

(ii) PU→

= PR→

+ RU→

= y~

+ kRS→

= y~

+ k(2

3 x~

− y~

)

= 2

3 kx

~+ (1 − k)y

~



(c) 1

6 h =

2

3 k

h = 4k −−−− (1) 5

6 h = 1 − k −−−− (2)

Gantikan (1) ke dalam (2), 5

6 (4k) = 1 − k

13

3 k = 1

k = 3

13

Gantikan k = 3

13 ke dalam (1),

h = 4(3

13 )

= 12

13

6 (a) (i) QS→

= RS→

− RQ→

= 1

4 RP→

− RQ→

= 1

4 (−5x

~) − 6y

~

= −5

4 x~

− 6y~

(ii) RT→

= RQ→

+ QT→

= RQ→

+ 4

5 QP

→

= RQ→

+ 4

5 (RP

→ − RQ

→)

= 6y~

+ 4

5 (−5x

~ − 6y

~)

= −4x~

+ 6

5 y~

(b) RU→

= hRT→

QU→

= kQS→

QU→

= RU→

− RQ→

kQS→

= hRT→

− RQ→

k(−5

4 x~

− 6y~

) = h(−4x~

+ 6

5 y~

) − 6y~

−5

4 kx

~ − 6ky

~ = −4hx

~ + (

6

5 h − 6)y

~

−5

4 k = −4h

k = 16

5 h −−−− (1)

−6k = 6

5 h − 6 −−−− (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),

−6(16

5 h) =

6

5 h − 6

−102

5 h = −6



h = 5

17

k = 16

5 h

= 16

5 (

5

17 )

= 16

17

(c) |PQ

→|2 = |PR

→|2 + |RQ

→|2

= (5|x~

|)2 + (6|y~

|)2

= [5(2)]2 + [6(5)]2

= 1000

|PQ→

| = 31.62 unit

linear law

Documents