levanat - kinematika i dinamika

8/3/2019 Levanat - Kinematika i dinamika

1/86

Fizika za Tehniko veleuilite uZagrebu

Kinematika i dinamika

Ivica Levanat


2/86

Levanat: Fizika zaTVZ Page 2/86Kinematika i dinamika

Nastavni materijali Tehnikog veleuilita u ZagrebuManualia politechnici studiorum Zagrabiensis

Ivica Levanat, Fizika za Tehniko veleuilite u Zagrebu - Kinematika i dinamika,Zajedniki dio programa Fizike za sve odjele Tehnikog veleuilita u Zagrebu,

Zagreb, 2010

Skraeni naziv: Fizika za TVZ Kinematika i dinamika

Ovaj nastavni materijal je recenziran i kategoriziran kao "skripta".

Recenzenti

dr. sc. Nevenko Biliznanstveni savjetnikInstitut Ruer Bokovi

dr. sc. Mladen Movreznanstveni savjetnikInstitut za fiziku


3/86


Predgovor

Na Tehnikom veleuilitu u Zagrebu, jednosemestralni kolegiji "Fizika" predaju sena prvoj godini etiriju studija: elektrotehnike, informatike, raunarstva i graditelj-stva. Ti se kolegiji meusobno razlikuju i po broju sati i po uvrtenim temama.

No, budui da svi imaju zajedniki karakter uvodnog upoznavanja sa fizikalnimveliinama i zakonima, u prvom se dijelu svih kolegija na slian nain (uz manjerazlike u opsegu) obrauju uobiajene teme iz kinematike i dinamike, koje ine okopolovicu ili vie ukupnoga gradiva. Tek nakon toga pojavljuju se razlike u odabirutema za pojedine studije, koje su usklaene s drugim sadrajima tih studija.

Ovaj nastavni materijal obuhvaa sve zajednike teme etiriju studija, u opsegu

koji najblie prati predavanja na elektrotehnikom studiju, gdje se izloene teme inajopirnije obrauju (te ine oko dvije treine programa). Studenti koji solidnosavladaju ovaj dio gradiva ustanoviti e da je ostatak kolegija "Fizika" lakorazumljiv i da se dade brzo nauiti.

Udbenici koji na prikladnoj razini kvalitetno obrauju teme iz ovoga teksta nisurijetkost, ak i ako se ograniimo samo na hrvatsko govorno podruje. Meutim, sastajalita naih studenata, znaajan im je nedostatak da su preopirni. Dugo-godinje iskustvo pokazuje da mnogi studenti radije koriste nasumine kraematerijale sa weba (koji su najee puni pogreaka) ili, u boljem sluaju, kopijetuih biljeki s predavanja (esto neitke i nepotpune).

Stoga je ovaj nastavni materijal zamiljen kao neki razuman, kompromisni saetakpredavanja. Opseg mu je upravo dovoljan da obuhvati osnovne pojmove i zakonekoji se izlau na predavanjima, uz nuna tumaenja i opis odnosa meu njima. Noistovremeno nastoji ostati toliko koncizan da ne premai mnogostruko duljinuosrednjih studentskih pribiljeaka s nadom da e naim studentima baremnadomjestiti sumnjive materijale koje su dosad koristili, a moda ih i motivirati daposegnu za opirnijim udbenikom.


4/86


Sadraj

1 Uvod ........................................................................................... 6

1.1 Fizikalne veliine .............................................................................. 61.2 Mjerne jedinice SI sustav.............................................................. 101.3 Osnovni pojmovi diferencijalnog rauna ............................................ 11

2 Opis gibanja toke .................................................................... 17

2.1 Kako se opisuje gibanje................................................................... 17

2.2 Vektor poloaja .............................................................................. 172.3 Brzina ........................................................................................... 172.4 Ubrzanje ....................................................................................... 20

3 Gibanje po pravcu..................................................................... 23

3.1 Jednoliko gibanje po pravcu............................................................. 233.2 Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu................................................. 243.3 Slobodan pad................................................................................. 25

4 Newtonovi aksiomi ................................................................... 26

4.1 Prvi Newtonov aksiom zakon inercije.............................................. 264.2 Drugi Newtonov aksiom temeljni zakon gibanja ............................... 28

4.3 Trei Newtonov aksiom zakon akcije i reakcije................................. 304.4 Centar masa .................................................................................. 314.5 Zakon ouvanja koliine gibanja ....................................................... 334.6 Fundamentalne sile......................................................................... 33

5 Gibanje po krunici ................................................................... 35

5.1 Linearne i kutne veliine.................................................................. 355.2 Jednoliko i jednoliko ubrzano kruenje .............................................. 375.3 Centripetalno ubrzanje i centripetalna sila ......................................... 39

5.4 Centrifugalna sila ........................................................................... 40

6 Rad i energija ...........................................................................42

6.1 Rad .............................................................................................. 426.2 Snaga ........................................................................................... 44

6.3 Pojam energije i zakon ouvanja ...................................................... 456.4 Kinetika energija........................................................................... 466.5 Potencijalna energija....................................................................... 47

7 Rotacija .................................................................................... 51

7.1 Moment sile ................................................................................... 51

7.2 Dinamika rotacije oko vrste osi ....................................................... 537.3 Ouvanje momenta koliine gibanja.................................................. 55


5/86


7.4 Momenti inercije............................................................................. 567.5 Rotacija i translacija ....................................................................... 58

8 Gibanje u gravitacijskom polju ................................................. 59

8.1 Newtonov opi zakon gravitacije....................................................... 598.2 Polje sile ....................................................................................... 618.3 Rad u gravitacijskom polju............................................................... 64

9 Specijalna teorija relativnosti ................................................... 67

9.1 Apsolutna brzina svjetlosti ............................................................... 679.2 Lorentzove transformacije ............................................................... 699.3 Relativnost prostora i vremena......................................................... 719.4 Ekvivalentnost mase i energije ......................................................... 74

10Harmoniko titranje.................................................................. 78

10.1 Opis harmonikog titranja................................................................ 7810.2 Diferencijalna jednadba harmonikog titranja ................................... 8010.3 Energija harmonikog titranja .......................................................... 82

11Literatura.................................................................................. 84

12Indeks ...................................................................................... 85


6/86


1 Uvod

Formiranju fizike kao znanosti najvie je doprinijelo prouavanje gibanja tijela; a idanas, svaki uvodni teaj fizike poinje upoznavanjem pojmova iz toga podruja jersu potrebni za razumijevanje pojava u drugim granama fizike. Podruje setradicionalno naziva mehanikom, i esto formalno dijeli na kinematiku, dinamiku istatiku. Kinematika opisuje kako se tijela gibaju, dinamika objanjavazato se takogibaju, a statika prouava okolnosti u kojima tijela miruju.

Ovaj tekst je ogranien na jednostavnije koncepte iz kinematike i dinamike krutihtijela. Izlaganje grae uglavnom prati uobiajeni slijed uvodnih teajeva uvisokokolskom obrazovanju, a matematika razina je primjerena tehnikom

studiju.Zbog notorno neujednaenog predznanja kod studenata prve godine, u ovomuvodnom poglavlju kratko su opisane i neke matematike operacije koje se koristeu daljnjem izlaganju (a neke e biti opisane prilikom prvog koritenja).

1.1 Fizikalne veliineNema osobito pametnih definicija koje bi sadravale korisne informacije o tome

koje veliine ubrajamo u fizikalne veline, odnosno to je podruje istraivanjafizike. No, studentima to nije ni potrebno, jer su ve u ranijem kolovanju upoznaliniz fizikalnih veliina, a lako e razumjeti da postoje i mnoge druge veliine koje sus njima povezane, kao i da razvoj fizike proiruje podruja istraivanja i uvodi novefizikalne veliine.

Korisno je, meutim, uoiti da se fizikalne veliine mogu grupirati prema nekimsvojim opim svojstvima. Za potrebe ovoga kolegija osobito je vano razlikovatiskalare i vektore.

Skalari su veliine koje imaju samo samo iznos, npr. masa (m = 3 kg) ili energija(E= -20 J).

Vektori su veliine koje imaju iznos i smjer, i ponaaju se po pravilima vektorskog

rauna, npr. brzina vr

ili sila Fr

. Iznos vektora je pozitivan broj (za razliku odskalara, koji moe biti i negativan), npr. || v

r

= v 3 m/s.

U fizici i tehnici uobiajeno je iznos vektora pisati tako da se samo izostavi strelicasa simbola, npr. iznos vektora brzine v

r

pie se kao v , jer se po upotrebljenom

simbolu (i kontekstu) zna o kojoj se veliini radi (u ovom primjeru o brzini) te da jeto vektorska veliina. U matematici isti simbol moe biti bilo to, pa se iznosvektora obiljeava s || v

r

jer bi samo v moglo oznaavati neku skalarnu veliinu.

Dakako, i u fizici emo ponekad koristiti istu oznaku, npr. || 21 vv

rr

+ za iznos sumedvaju vektora.


7/86


Fr

Vektore grafiki prikazujemo pomou usmjerenih duina, primjerice:gdje smjer duine oznaava smjer vektora sile, a podrazumijeva seda je duljina te duine proporcionalna iznosu sile, to moe biti i tono specificirano,npr. 1 cm =) 1 N (1cm predstavlja 1 N).

Operacije s vektorima

Kao to zbrojiti dvije mase znai izraunati treu masu koja njih dvije moezamijeniti (npr. po uinku na vagu), tako i zbroj dvaju vektora daje trei vektor kojinjih moe zamijeniti (te se esto naziva njihovom rezultantom).

Pravilo vektorskog zbrajanja (Slika 1.1) moda se intuitivno najlake razumije na

primjeru dviju sila ( 1Fr

i 2Fr

) zbrojenih pomou paralelograma (lijeva skica na Slici

1.1).

Smjer rezultante 21 FFvr

+ (koja moe zamijeniti uinak tih dviju sila) je negde

izmeu njihovih smjerova, i to kako bismo i oekivali blie veoj sili 1F

r

, a iznos je u prikazanom primjeru vei od jedne i druge ali manji od zbroja njihovih iznosa.Ostatak Slike 1.1 pokazuje kako se isti rezultat dobija nadovezivanjem vektora, to

je osobito korisno kod zbrajanja vie od dva vektora.

Kod zbrajanja vektora (i drugih operacija s njima) moemo usmjerene duine, kojeih grafiki predstavljaju, po volji translatirati (premjetati kroz prostor tako dasauvaju iznos i smjer), to je oito i uinjeno na Slici 1.1. No, u nekim sluajevima(npr. upravo za sile), mora se usto dodatno razmotriti i poloaj vektora u prostoru(za uinak sile npr. poloaj hvatita, ili samo pravca na kojem sila djeluje ako jetijelo kruto).

U specijalnom sluaju kada su vektorske veliine paralelne, iznos njihova zbrojajednak je zbroju njihovih iznosa ako su u istom smjeru, ili razlici iznosa ako su usuprotnim smjerovima, kako se vidi sa Slike 1.2.

21 FFrr

+

2Fr

21 FFrr

+

2Fr

Slika 1.2. Zbrajanje paralelnih vektora

21 FFrr

+

21 FFrr

+ 21 FF

rr

+

2Fr

2Fr

2Fr

1Fr

1Fr

1Fr

Slika 1.1. Zbrajanje vektora

1Fr

1Fr


8/86


vr

2 vr

vr

vr

4,0

U ostalim sluajevima, iznos zbroja i njegov smjer (kut prema jednom odpribrojnika) moe se sa skice kao to je Slika 1.1 priblino izmjeriti, ili izraunatipomou trigonometrije (kosinusov pouak).

Vano je uoiti komutativno svojstvo zbrajanja vektora, tj. da je 2112 FFFF

vrrr

+=+ ,koje se jasno razabire iz prethodnih skica. Neke fizikalne veliine kojima se, osimiznosa, moe pridruiti i smjer (npr. kut zakreta nekog tijela), ne zadovoljavaju tosvojstvo, pa nisu vektori.

Mnoenje vektora sa skalarom (brojem) je jednostavan postupak koji se intuitivno razumijena temelju zbrajanja vektora ( vvv

rvr

2=+ ). Mnoi

se samo iznos vektora s apsolutnom vrijednouskalara, a rezultat je vektor istoga smjera ako jeskalar pozitivan, odnosno suprotnog smjera ako

je skalar negativan.

Oduzeti vektor 2vr

od 1vr

isto je to i dodati suprotni, tj.

)( 2121 vvvvrrrr

+= . No, esto je zgodnije prikazati razliku

kao spojnicu vrhova usmjerenih duina (na skici desno),to se dokazuje iz oigledne jednakosti 1212 )( vvvv

rrrr

=+ .

Komponente vektora u koordinatnom sustavu

Du osi pravokutnog Kartezijeva sustava , y , (na kojima su prikazane mjerne

jedinice za promatranu vektorsku veliinu, npr. njutni, N, za silu) uvedemo

jedinine vektore ir

, jr

, kr

(dakle, || ir

= || jr

= || kr

= 1).

Ako je vektor paralelan s nekom osikoordinatnog sustava, moe ga se zapisati

pomou jednog broja. Npr. sile iFrr

31 = i

iFrr

22 = na Slici 1.3 mogu se zapisati

pomou brojeva 3 i 2 koji mnoe jedinini

vektor ir

. Te brojeve nazivamo skalarnimkomponentama promatranih sila na osi x , ibiljeimo kao =xF1 3N, odnosno =xF2 2 N.

1

Uoite izvjesnu nedosljednost u pisanjumjernih jedinica, koja je uobiajena: kada sekomponenta pie uz jedinini vektor, obino se mjerna jedinica izostavlja radi bolje

preglednosti, npr. iiFF xrrr

311 == (samo ir

3 umjesto 3N ir

).

Ako vektor nije paralelan s nekom osi, rastavljamo ga na vektorske komponente

koje su paralelne s koordinatnim osima, npr. yx FFFrrr

+= na lijevoj strani Slike 1.4

(a ako vektor izlazi iz ravnine x , dodali bismo jo i vektorsku komponentu zFr

).

1 Ostale komponente vektora u ovom primjeru jednake su nuli, jer su sile okomite na osi yiz.

2vr

1vr

21 vvrr

Slika 1.3. iFrr

31 = , iFrr

22 =

2Fr

1Fr

ir

[ ]Nx 0 1


9/86


Tada se svaka vektorska komponenta moe zapisati pomou jedininog vektora,odnosno prikazati pomou skalarne komponente, na onoj osi s kojom je paralelna(isti postupak kao na Slici 1.3).

U primjeru sa Slike 1.4 imamo iFxrr

4= te jFy

rr

2= , pa silu F

r

moemo zapisatikao jiF

rrr

24 = . Njezine su skalarne komponente =xF 4N, =yF -2N, =zF 0.

esto je zgodno vektor zapisati kao ureeni niz skalarnih komponenata (to znai

prvo x-komponenta, pa y, pa z), ovako: ),,( zyx FFFF =r

, to za silu sa Slike 1.4

konkretno znai =Fr

(4N, -2N, 0) . Time se izbjegava nepotrebno pisanje jedininih

vektora koji se podrazumijevaju.

Iz navedenoga vidimo da se vektor moe opisati pomou tri broja (skalara). Ta setvrdnja ne odnosi samo na opis pomou tri skalarne komponente, nego je posve

openita:2 silu Fr

moemo jednako dobro opisati pomou njezinog iznosa i dva kuta

prema koordinatnim osima (kut prema treoj osi moe se izraunati iz ta dva), uovom primjeru pomou naznaenog kuta prema osi x , i kuta od 900 prema osi z.

No kad je iz konteksta jasno da svi promatrani vektori lee u istoj ravnini (npr.ravnini x, ), nema potrebe navoditi sve tri komponente (odnosno oba kuta), pa se

vektori opisuju samo pomou dva broja.Veza izmeu zapisa vektora pomou skalarnih komponenata, i zapisa pomouiznosa i smjera, za vektore u ravnini lako se razabire sa skice na kojoj na kojoj jevektor prikazan.3 U primjeru na lijevoj strani Slike 1.4 vidimo da je:4

cosFFx = , sinFFy = ;22

yx FFF += , tg |/| xy FF= .

2 Dakako, za vektore u trodimenzionalnom prostoru.

3 Nakon minimalnog iskustva, koje e studenti stei na vjebama, komponente se lako zamisle i bezcrtanja.

4 U fizici i tehnici esto koristimo neorijentirane kuteve manje od 90 0, kao na ovoj Slici. Tada predznakekomponenti, te izbor izmeu sinusa i kosinusa odreujemo sa skice.

Slika 1.4. Vektrori u ravnini

ar

br

cr

ir

jr

y

ir

jr

Fr

xFr

yFr


10/86


Kada se vektori prikau pomou skalarnih komponenta, raunske operacije svektorima svode se na raunske operacije s tim skalarima. Na desnoj strani Slike1.4 to je ilustrirarano na primjeru zbrajanja. Nije, dakle, potrebno crtati trokut ili

paralelogram da bismo odredili zbroj bacr

rr

+= , nego samo treba zbrojiti skalarne

komponente: xxx bac += te yyy bac += , to se lako provjeri sa Slike na kojoj se

vidi da je =cr

(4,1), =ar

(1,2) i =br

(3,-1).

Tenzori. U fizici se koriste i kompliciranije veliine od vektora, tj. veliine kojeimaju vie komponenata. Najjednostavnije od njih, koje nazivamo tenzorimadrugoga reda, imaju u trodimenzionalnom prostoru 9 komponenata (uoite da je

239 = ), a koriste se i tenzori viih redova ( n3 komponenata). U tome kontekstu

skalare se moe smatrati tenzorima nultog reda jer imaju 130 = komponentu, a

vektore tenzorima prvog reda jer imaju 331 = komponente.

1.2 Mjerne jedinice SI sustavMjerna jedinica je neki dogovoreni, proizvoljno odabrani, iznos neke fizikalneveliine koji slui za mjerenje te veliine.

Na primjer, jedinica za duljinu metar (m), bila je izvorno definirana (proizvoljnoodabrana) kao desetmilijunti dio udaljenosti od sjevernog pola do ekvatora. (Danas

je definirana kao udaljenost koju svjetlost u vakuumu pree za 1/299 792 458sekundi, gdje je =c 299 792 458 m/s brzina svjetlosti u vakuumu.)

U ranijim razdobljima koristio se vei brojrazliitih jedinica za istu fizikalnu veliinu.tovie, te su jedinice u razliitimpodrujima primjene bile grupirane urazliite sustave. Danas je veina zemalja(ukljuujui Hrvatsku) kao zakonskuobavezu prihvatila koritenje meunarodnogsustava jedinica, tzv. SI sustava (kratica

francuskog naziva Systme International).

SI sustav polazi od sedam temeljnih jedinica(Tablica 1.1) za odabrane fizikalne veliine,iz kojih se izvode jedinice za sve drugeveliine na temelju njihovih definicija ilifizikalnih zakona. Neke se izvedene SI

jedinice piu u obliku koji razotkriva njihovoporijeklo, npr. metar u sekundi (m/s) zabrzinu, dok su za druge usvojeni posebni

nazivi, na primjer, jedinica za silu njutn (N)je skraenica za kgm/s2.

Naziv SimbolFizikalna

veliina

metar m Duljina

kilogram kg Masa

sekunda s Vrijeme

amper AJakost elektrinestruje

kelvin K Temperatura

mol molKoliina(mnoina) tvari

kandela cd Jakost svjetlosti

Tablica 1.1. Temeljne SI jedinice


11/86


Znatno vei ili manji iznosi od SI jedinice obino se piu pomou eksponencijalnogzapisa u bazi 10, ili pomou prefiksa uz jedinicu, npr. F = 3,821108 N = 382,1 MNili r = 1, 5310-8 m = 15,3 nm.5 Najee koriteni dekadski prefiksi navedeni su uTablici 1.2.

Tablica 1.2. Najei prefiksi uz

SI jedinice

Povijest SI jedinica i njihove definicije opisane su u mnogim udbenicima,ukljuujui i literaturu citiranu u ovoj skripti. Precizne i dobro aurirane definicijemogu se nai i u Wikipediji, http://en.wikipedia.org/wiki/SI_base_unit (hrvatskaverzija u vrijeme pisanja ovoga teksta daleko zaostaje za engleskom).

Uz SI jedinice, doputeno je koritenje i nekih drugih uobiajenih jedinica, kao tosu sat (h), elektronvolt (eV) itd.

1.3 Osnovni pojmovi diferencijalnog raunaTono definiranje ak i najelementarnijih veliina u mehanici, ili opisivanje odnosameu njima, nije mogue bez koritenja derivacija i integrala.

Derivacija opisuje kako se brzo mijenja neka funkcija (pa deriviranjem funkcije,npr. )(xf , opet dobijemo funkciju, npr. )(xf ). Tamo gdje je derivacija jednaka 1,

funkcija raste tako da je krivulja na donjoj skici nagnuta pod 450 prema osi x; tamogdje je derivacija vea i nagib je strmiji, pa kaemo da funkcija brzo raste; naslian nain, negativne vrijednosti derivacije opisuju kako brzo funkcija pada.

5 Prilikom pisanja rezultata mjerenja ili rauna podrazumijeva se da su sve navedene znamenkepouzdane (tone) osim moda posljednje, koja moe biti procijenjena (ako nije eksplicitno navedenanepouzdanost, tj. mogua pogreka).

Svakodnevna mjerenja obino ne daju vie od 3 pouzdane znamenke. Naravno da ni rezultati rauna stakvim brojevima ne mogu imati vie pouzdanih znamenki, pa ih neemo ni pisati (bez obzira na tokoliko znamenki "kalkulator pokazuje").

deka- da 101

hekto- h 102

kilo- k 103

mega- M 106

giga- G 109

tera- T 1012

peta- P 1015

deci- d 101

centi- c 102

mili- m 103

mikro- 106

nano- n 109

piko- p 1012

femto- f 1015

brzo raste, 4)( xf sporo raste, 3,0)( xf

sporo pada, 5,0)( xf

)(xf

brzo pada, 2)( xf


12/86


Umjesto apstraktne funkcije )(xf , u fizici emo promatrati konkretne fizikalne

veliine kao funkcije nezavisnih varijabli (koje su takoer fizikalne veliine, najeevrijeme t ili poloaj zadan koordinatama). Npr. )(tv je iznos brzine kao funkcija

vremena, )(xF je iznos sile kao funkcija koordinate , dok je )(tx koordinata kao

funkcija vremena. esto se iz konteksta zna koja je nezavisna varijabla, pa se ona ine navodi, nego samo naziv funkcije, npr. xFv ,, . A deriviranjem jedne fizikalne

veliine u pravilu se dobije neka druga fizikalna veliina, koja onda ima i drugaijinaziv (npr. derivacija brzine po vremenu je ubrzanje).

Opis deriviranja nastavljamo koristei uobiajene apstraktne matematike oznake, i jo emo (kako su studenti navikli) umjesto )(xf pisati )(xy ili, krae, samo .

Derivacija funkcije )(xy po njezinoj varijabli oznaava se kao )(xy ili kaodx

dy

(izrazi u brojniku i nazivniku su diferencijali, a ita se: "de y" po "de x").6 Mi emo

uglavnom koristiti ovu drugu oznaku. Bez obzira na oznake, derivacija se definirakao limes (tj. granina vrijednost) omjera y kroz x kada x tei prema nuli:

y

dx

dy

x

=

0lim

Neka u 1x funkcija ima vrijednost )( 11 xyy = , slino u 2x (Slika 1.5). Pri promjeni

nezavisne varijable za 12 xxx = , funkcija se promjeni za 12 yyy = .7 Omjer

promjena xy / pokazujeprosjenu brzinu promjene funkcije na intervalu x .8

Naime, unutar intervala, na lijevoj strani Slike 1.5, oito se mijenja brzinapromjene funkcije: u poetku funkcija raste sporije, a potom strmije. Zato emosmanjivati interval x , da funkcija "ne stigne" promijeniti brzinu rasta (lijevastrana Slike, poetak graninog procesa 0x ). Pritom je zgodno poetak inter-vala x obiljeiti sa , a njegov kraj sa xx + , pa e promjena funkcije na tome

6 Sam dyje "diferencijal od y", a dxje "diferencijal od x"; a derivacija je omjer diferencijala.

7 Na lijevoj strani Slike 1.5 smjer promjene je oznaen strelicama: obadvije su pozitivne, jer su strelice u

smjeru porasta varijabli.8 Koliko se povea ili umanji ydokxnaraste za jednu jedinicu.

Slika 1.5. Definiranje derivacije

0x

x

y

x

y

1x 2x

1y

2y

)(xy

)( xxy +

x

x

y

x xx +

)(xy

y )(xy


13/86


intervalu biti ).()( xyxxyy += Pokaimo kako se granini proces ("uzimanje"

limesa) provodi na nekoj jednostavnoj funkciji, npr. 2)( xxy = . Za nju je

xxx

xxx

x

xxx

x

xyxxy

x

y+=

+=

+=

+=

2

)(2)()()( ?222.

emu upitnik iznad posljednjeg znaka jednakosti? Ako bismo iznos intervala htjeli"do kraja" umanjiti, stavili bismo 0=x . No, tada (i samo tada) ne vrijedi "upitni"

znak jednakosti, jer nismo smjeli kratiti s nulom. Uostalom, na intervalu nula nemani promjene funkcije, pa nema smisla ni govoriti o brzini promjene.

Zato je uveden pojam limesa, odnosno graninog procesa. Kaemo da x "teiprema nuli" i promatramo kojoj vrijednosti pri tome "tei" izraz koji sadri x . Ta

se vrijednost zove limes (granina vrijednost) promatranog izraza.

Gornji razlomak postaje "praktino jednak" izrazu x2 (tj. razlikuje se od njega u po

volji dalekoj decimali) ako uzmemo dovoljno mali x (ali ipak razliit od nule, damoemo dijeliti). Zato limes toga razlomka, kada x tei nuli, iznosi x2 . Dakle:

za 2xy = imamo xxxx

y

dx

dy

xx2)2(limlim

00=+=

=

, krae: x

dx

xd2

)( 2= .

Sa stajalita praktine manipulacije to znai: kad ispred izraza napiemo0

limx

, onda

graninu vrijednost dobijamo tako da doista uvrstimo 0=x (ako to daje nekirazuman rezultat, to je uvijek sluaj kad prije uspijemo pokratiti x iz nazivnika).

Opisanim postupkom dobiju se razna pravila deriviranja (koja se ue u Matematici

1). Ovdje navodimo samo dva (bez dokaza) koja emo odmah koristiti:

Imajui na umu da je derivacija konstante nula (zato to nema promjene), iz

gornjih pravila lako vidimo da je derivacija od npr. 53x jednaka 453 x , jer uderivaciji produkta broja 3 s potencijom krepa prvi lan (gdje se derivirakonstanta), pa ostaje samo lan u kojemu konstanta mnoi derivaciju potencije.

Za deriviranje polinoma, treba jo samo primijeniti pravilo da sumu deriviramo lanpo lan (iz intuitivno jasne tvrdnje: limes sume jednak je sumi limesa). Na primjer:

7354)( 235 ++= xxxxxu

)(321520 24 xvxxxdx

du=++= (derivacija od 1xx je 11 0 =x )

Derivacija produkta funkcija

dx

dvuv

dx

du

dx

uvd+=

)(

Derivacija potencije

ndx

xd n=

)( 1nx


14/86


Dobivenu derivaciju funkcije )(xu oznaili smo kao funkciju )(xv , da bismo lake

raspravili pojam integriranja koji uvodimo na primjeru tih dviju funkcija. Ako jefunkcija )(xv derivacija funkcije )(xu , onda je )(xu antiderivacija ili neodreeni

integralfunkcije )(xv . Mi emo koristiti ovaj drugi izraz.

Neodreeni integralfunkcije )(xv obiljeava se dxxv )( , i rauna ovako:

++=++= dxxdxdxxdxxdxxxxdxxv 321520)321520()(2424 .

Razlog za ovakvu oznaku integriranja razjasnit e se kod pojma odreenogintegrala; sada je vano uoiti da se oznaka sastoji od "gliste" na poetku idiferencijala nezavisne varijable na kraju, a funkcija koju integriramo umee seizmeu njih. Potom se primjenjuju ona dva ista pravila kao kod deriviranja (tzv.linearnost operacije): integrira se lan po lan, a konstanta (broj) koja mnoi

funkciju (potenciju) se ne integrira nego samo prepie ("izvadi" se ispred integrala).Nakon toga treba samo obaviti integriranje potencija, kao obrnuti postupak odderiviranja, dakle:

Cn

xdxx

nn +

+=

+

1

1

, uz uvjet9 1n . Tako za gornji integral dobijamo:10

+++= Cxxxxdxxv 354)(235 ,

to je skoro jednako polaznoj funkciji )(xu od koje smo )(xv dobili deriviranjem,

samo zavrava sa "C" umjesto sa "-7". Naime, konstanta "-7" nepovratno je

krepala prilikom deriviranja, ne ostavivi nikakvu informaciju o tome kolika je bila.Zato svakom neodreenom integralu dodajemo na kraju neodreenu aditivnukonstantu C (koja, uostalom, moe biti i nula, ali to ne znamo). Ipak, u daljnojobradi integrala konstanta C esto se dokine ili dobije neko konkretnije znaenje,kako emo vidjeti kasnije.

Mada je ovdje pojam neodreenog integrala uveden pomou derivacije (kaoantideriviranje), spomenimo da se on moe uvesti i posve neovisnom definicijom(dakako, pomou limesa), iz koje se mogu izvesti ista pravila raunanja.

Za razliku od neodreenog integrala, koji je funkcija, odreeni integral je samo

broj. Iako na prvi pogled nee izgledati tako, zajednika rije "integral" govori da sublisko povezani.

Pojam odreenog integrala najlake je razumjeti na primjeru: recimo da konstantnasila iznosa F vue neko tijelo u smjeru svojega djelovanja, npr. du koordinatneosi x. Kako znamo iz srednje kole, ona e vriti rad=silaput. Konkretno, dok

9 Ne samo zato to bi nazivnik bio nula, nego sex-1 ne moe dobiti deriviranjem potencije (x0 je konstat-nta); x-1 dobiva se deriviranjem funkcije lnx.

10

Poetnike esto zbunjuje posljednji i najjednostavniji integral iz sume, dx . Pod integralom je zapravo1, to se ne pie, ali je jednako x0, pa e rezultat integriranja bitix. Ili, vizuelno, "glista jede "d kad sunasamo, pa ostaje samox.


15/86


odvue tijelo iz poloaja =1x 1m do poloaja =2x 4m (put iznosi == 12 xxx 3m),

sila od 2N izvrit e rad == xFW 2N3m=6J.

No, to ako se iznos sile na tome putu mijenja, npr. opisan je funkcijom )(xF ? Ne

znamo koju bismo vrijednost sile trebali uvrstiti u formulu silaput. Ipak, priblinonumeriko rjeenje je oigledno: podijelimo ta 3 metra puta na male komadie,npr. milimetre, i nazovemo ih redom 3000321 ,...,, xxxx (opi naziv pojedinog

komadia ix ). Sila se na pojedinom komadiu ix ne moe puno promjeniti

(moda tek u nekoj decimali koju ne elimo ni pisati), pa uzmemo bilo koju njezinuvrijednost iF iz pojedinog intervala ix . Ukupni rad je priblino jednak zbroju

produkata +++= 300030002211 ... xFxFxFxFW ii . Dakako, moemo raunati jo tonije: svaki gornji komadi ix dodatno podijelimo, npr. na desetinke, i sa

svake desetinke uzmemo neku vrijednost sile, pa sad izraunamo sumu novih

produkata ii xF (kojih ima 30 000). Postupak usitnjavanja puta, te zbrajanja sveveeg broja produkata moemo nastaviti dok uzastopni rezultati ne postanumeusobno jednaki u eljenom broju decimala: to se zove numeriko integriranje.

U mislima, meutim, moemo pretpostaviti da opisano usitnjavanje nastavljamo unedogled: svaki komadi ix "tei" prema nuli, a broj produkata postaje

beskonaan (vei od bilo kojeg broja). Naravno da ne moemo stvarno pisati0= ix (jer bi onda i sve zajedno bilo nula), niti bismo ikad stigli stvarno zbrojiti

beskonano mnogo pribrojnika, nego je opet rije o graninom prijelazu. Izopisanog postupka numerikog integriranja, intuitivno je jasno da svaka sitnija

razdioba daje rezultat sa sve veim brojem tonih znamenki, pa se on po voljipribliava nekoj granici (limesu) sa svim tonim znamenkama, koja se zoveodreeni integrali obiljeava ovako:

== 2

1

0lim

x

x

iix

FdxxFWi

.

Ovdje se vidi da je znak integrala ("glista") nastao kao stilizirani rastegnuti znaksume; a ix pretvorio se u diferencijal dx (kojega je zgodno zamiljati kao

"beskonano mali" interval x ).11 I funkcija )(xF i interval izgubili su indekse " i "

(jer ih je "beskonano", pa ih ne moemo prebrojiti), a umjesto toga navodi sedonja granica (ispod integrala) i gornja granica (iznad integrala) ukupnog intervala

x po kojemu se integrira.

11 U fizici i tehnici, slino izvornim predodbama pionira diferencijalnog rauna, esto diferencijale intui-

tivno zamiljamo kao "beskonano male" intervale. Takav se pristup moe i rigorozno opravdati, tepokazati da je ekvivalentan standardnoj matematikoj analizi, npr. Robinson, A., Non-standard analysis(Revised edition ed.). Princeton University Press, 1996.


16/86


Naravno da smo cijelo razmatranje mogliprovesti za bilo koju funkciju )(xf (a ne

ba za silu) te da pojam integrala nijeogranien na pojam rada (iako emo ga tu

najvie koristiti). tovie, uobiajeno je dase pojam odreenog integrala ilustrira naprimjeru odreivanja povrine ispod dijelakrivulje )(xf od 1x do 2x (skica desno). Tu

povrinu moemo aproksimirati pomouniza pravokutnika koji npr. diraju krivuljuodozdo, a lako se vidi da aproksimacijapostaje sve bolja kada sve vie usitnjavamoosnovice ix tih pravokutnika (te se njihov

broj poveava). Visine pravokutnika mogubiti vrijednosti funkcije )(xfi bilo gdje na

pojedinom intervalu (ovdje na poetku ili nakraju intervala). Granina vrijednost procesa je odreeni integral koji moemozamiljati kao zbroj tako uskih pravokutnika da su postali vertikalne crte od osixdokrivulje:

=2

1

)(

x

x

xfP =

iix

xxfdxi

)(lim0

.

No, osobito je korisno svojstvo odreenog integrala to da se on vrlo jednostavnomoe izraunati iz neodreenog integrala (zbog ega njihovi nazivi i sadrezajedniku rije "integral"). Dokaz te tvrdnje preputamo kolegiju Matemetika 2, aovdje samo pokazujemo kako se to radi. Stvar se najlake shvati na primjeru:

33,23

1

3

8

3

1

3

2

3

332

1

32

1

2 ===

=

xdxx .

U prvom koraku izraunamo neodreeni integral podintegralne funkcije, ovdje 2x

(kao da na "glisti" nema donje i gornje granice). Rezultat 3/3x upiemo u uglatuzagradu (bez aditivne konstante C, jer bi se i tako oduzela u narednom koraku).

Uz desnu stranu zagrade12 prepiemo granice integriranja. U narednom koraku, uneodreeni integral iz zagrade uvrstimo najprije gornju granicu, pa od togaoduzmemo neodreeni integral u koji smo uvrstili donju granicu. To je sve.

Spomenimo na kraju da nije mogue svaku funkciju derivirati ili integrirati, madaesto samo u nekom dijelu njihova podruja definicije. To znai da tu ne postojegranine vrijednosti (limesi) pomou kojih su te operacije definirane. A ak i kadaderivacije ili integrali postoje, za mnoge funkcije ne mogu se izraunati pomouanalitikih pravila ("formula"), nego samo numeriki (priblino).

12 Alternativno, moe se umjesto zagrade pisati samo vertikalna crta na mjestu desne zagrade.

)(xf

)(xf

)(xf

1x 2x

P


17/86


2 Opis gibanja toke

2.1 Kako se opisuje gibanjeGibanje toke u cijelosti je opisano (u nekom referentnom sustavu) ako u svakomtrenutku znademo njezine koordinate.

Potpuni opis gibanja tijela u naelu zahtijeva da se opie gibanje svake njegovetoke. No, za kruto tijelo dovoljno je pomou koordinata opisati gibanje samo jednenjegove toke; ostale toke mogu samo rotirati oko nje, a rotacija se dade opisatiza sve toke zajedno. Najjednostavnije je analizirati gibanje tijela tako da se opiegibanje njegovog centra masa, plus rotacija tijela oko njega.

Toka koja se zove centar masa (za praktine potrebe na Zemlji se podudara steitem tijela) i rotacija tijela opisani su u kasnijim poglavljima. U ovom poglavljuopisuje se samo gibanje toke.

2.2 Vektor poloajaGibanje toke moemo opisati tako da u nekom referentnom sustavu, npr. uKartezijevom koordinatnom sustavu, zadamo njezine koordinate kao funkcije

vremena:x(t),y(t), z(t). Te Kartezijeve koordinate moemo smatrati komponentamausmjerene duine )(trr

, za koju se koristi naziv vektor poloaja ili radij-vektor

toke.

Slika 2.1. Vektor poloaja toke

),,( zyxr =r

(Na slici je prikazano samo gibanje u

ravninixy).

Vektor poloaja je, dakako, i sam funkcija vremena: to je usmjerena duina kojoj jepoetak u ishoditu koordinatnog sustava, a zavretak ("strelica) prati toku nanjezinom gibanju po promatranoj putanji.

2.3 BrzinaBrzina je vektorska funkcija vremena. Njezin smjer je smjer gibanja toke, pa leina tangenti na putanju. Njezin iznos opisuje kako brzo toka prelazi put.

)(trr

)(ty

)(tx


18/86


Uobiajena definicija brzine iz osnovne kole "preeni put u jedinici vremena vrlo nepotpuno opisuje brzinu: to je samo broj koji je jednak iznosu prosjenebrzine u toj jedinici vremena. Ako se iznos brzine ne mijenja (jednoliko gibanje), onse doista rauna tako da se put podijeli s vremenom u kojemu je prijeen. Ako se

pak mijenja, takvim dijeljenjem dobije se iznos prosjene brzine u promatranomvremenskom intervalu.

Openita i tona definicija brzine temelji se na pojmu derivacije, budui da samoderivacija neke funkcije detaljno opisuje kako se brzo mijenja ta funkcija.

Kod raunanja iznosa promjenjljive brzine jasno je da e prosjena brzina u nekommalom vremenskom intervalu utoliko bolje opisivati trenutnu brzinu ukoliko je tajinterval krai. Stoga je oigledno da treba promatrati graninu vrijednost (limes)omjera puta i vremena

t

s

t

0lim ,

gdje je s komadi puta preen u vremenskom intervalu t izmeu trenutka t itrenutka tt + . Ta granina vrijednost (za sve krae vremenske intervale nakontrenutka t) definira iznos brzine u trenutku t:

Definicija iznosa brzine:

Iznos brzine je derivacija puta po vremenu:dt

dsv = .

Dok iznos brzine opisuje kako brzo toka prelazi put, brzina kao vektorska veliina,koja ima i iznos i smjer, opisuje kako se brzo mijenja poloaj toke. Stoga se onadefinira pomou vektora poloaja:

Definicija vektora brzine:

Brzina je derivacija vektora poloaja po vremenu:dt

rdv

r

r

= .

Ta vektorska jednadba zamjenjuje tri skalarne jednadbe, koje na analogan nainpovezuju skalarne komponente promatranih vektora. U Kartezijevim koordinatama:

dt

dxvx = ,

dt

dyvy = ,

dt

dzvz = .

Detaljnije obrazloenje definicije vektora brzine, kao i usklaenost s definicijomiznosa brzine, lako se razabiru iz Slike 2.2. U trenutku t toka prolazi kroz poloaj

)(trr

, a nakon vremenskog intervala t kroz poloaj )( ttr +r

. U tom je

vremenskom intervalu prela put prikazan lukom s , a promjenu njezina poloajaprikazuje vektor )()( trttrrrrr

+= koji je tetiva tome luku (lijeva strana Slike


19/86


2.2). Prema definiciji, vektor brzine je granina vrijednostt

r

t

r

0lim (naznaka

graninog prijelaza 0t prikazana je na desnoj strani skice).

Iz skice se vidi da u limesu 0t vektor rr

postaje sve manja tetiva sve manjeg

luka, sve vie se priljubljuje uz luk, pa njegov smjer tei tangenti na putanju upoloaju )(tr

r

, s kojom i treba biti paralelan vektor brzine u trenutku t.

Pritom se i iznos vektora rr

(duljina tetive) sve manje razlikuje od duljine luka s

(to se najlake moe dokazati raunanjem omjera luka i tetive na nekoj krunici,za sve manje sredinje kuteve.) To znai da u limesu 0t luk vie nije vei od

tetive, nego je

|(|lim0

rt

r

)s= ili, pomou diferencijala: || rdr

ds= .

Iz toga slijedi i puna usklaenost definicije vektora brzine s definicijom iznosabrzine:

|| vvr

dt

ds

dt

rd==

||r

.

Jedinica za brzinu mjeri, kao i kod svake druge vektorske veliine, samo njezin

iznos, pa je oigledno da je osnovna SI jedinica s

m.

Iznos brzine moe se, dakako, izraunati i iz skalarnih komponenata vektora brzine,

222

yyx vvvv ++= , to se esto koristi pri raunanju preenog puta. Budui da je

iznos brzine derivacija puta, put kao funkcija je antiderivacija ili neodreeni integraliznosa brzine, a ako se rauna put od trenutka 1t do trenutka 2t onda je to

odreeni integral:

=

2

1

t

t

vdts .

Slika 2.2. Uz definiciju brzine

s

rr

)( ttr +r

)(trr

s

rr

)( ttr +r

)(trr

0t


20/86


2.4 UbrzanjeUbrzanje (ili akceleracija) je vektorska veliina koja opisuje kako se brzo mijenjavektor brzine, pa stoga ukljuuje i promjenu iznosa i promjenu smjera brzine.

Definicija vektora ubrzanja:

Ubrzanje (akceleracija) je derivacija brzine po vremenu:dt

vda

r

r

= .

Ta vektorska jednadba zamjenjuje tri skalarne jednadbe, koje na analogan nainpovezuju skalarne komponente promatranih vektora. U Kartezijevim koordinatama:

dtdva xx = , dt

dva yy = , dt

dva zz = .

Osnovna SI jedinica za ubrzanje je2s

m, budui da se rauna kao omjer promjene

brzine i vremenskog intervala.

Za bolje razumijevanje pojma ubrzanja, kao i za mnoge primjene kod gibanja pokrivulji, korisno je rastaviti vektor ubrzanja na tangencijalnu i normalnukomponentu. U tu svrhu pogledajmo kako se mijenja brzina toke koja se giba pokrivulji (Slika 2.3).

U trenutku t uoimo toku na poloaju )(trr

gdje ima brzinu )(tvr

. Na tome mjestu

uvedemo koordinatni sustav tangente i normale (t,n) tako da tangenta13 tbude usmjeru brzine, a normala n prema "udubljenom" dijelu putanje.14 U nekomkasnijem trenutku tt + brzina ima drugaiji iznos i smjer, )( ttv +

r

, Slika 2.3.a

lijevo. Na desnoj strani Slike 2.3.a naznaili smo da emo promatrati limes 0t .

13

Iako se koristi isti simbol kao i za vrijeme, to ne bi smjelo izazvati zabunu.14 Ravninu normale definira promjena brzine v

r

(zajedno s brzinom )(tvr

) u limesu 0t .

Slika 2.3.a. Promjena brzine

0t

t

)( ttv +r

)(tvr

)( ttr +r

)(trr

nt

)( ttv +r

)(tvr

)( ttr +r

)(tr

r

n


21/86


Na Slici 2.3.b precrtane su samo brzine sa Slike 2.3.a (i koordinatni sustav), i totako da je )( ttv +

r

translatirana u istu poetnu toku koju ima )(tvr

, radi

oduzimanja (obje uveane 2 puta).

Na lijevoj strani Slike 2.3.b nacrtana je promjena brzine u intervalu t kao razlika)()( tvttvv

rrr

+= , a potom rastavljena na tangencijalnu komponentu tvr

i

normalnu komponentu nvr

. Na desnoj strani Slike 2.3.b prikazane su te dvije

komponente promjene brzine na poetku graninog prijelaza 0t . U oba sluajase vidi da tv

r

samo mijenja iznos brzine. No, tek na desnoj strani slike se razabire

da e nvr

u limesu samo zakretati smjer brzine, pa e tvr

opisivati ukupnu

promjenu iznosa brzine. Naime, kut izmeu vektora tvtvrr

+)( i vektora )( ttv +r

postaje sve manji, pa oni postaju krakovima jednakokranog trokuta, dakle teejednakom iznosu.15

Ako opisani rastav promjene vr

uvrstimo u definiciju akceleracije, dobijamo rastav

ukupne akceleracije na tangencijalnu i normalnu komponentu:

Budui da u limesu 0t komponenta tvr

opisuje ukupnu promjenu iznosa

brzine, imamo definiciju:

Tangencijalna akceleracija opisuje kako se brzo mijenja iznos brzine:dt

dvat = .

15 Naravno da pritom i ukupna promjena brzine tei nuli, ali se moe pokazati da "jednakokranost"dolazi "bre" do izraaja. To neemo formalno pokazivati, ve se ograniavamo na grafiku sugestiju.

Slika 2.3.b. Promjena brzine

t

)( ttv +r

)(tvr

n

t

)( ttv +r

)(tvr

n

vr

tvr

nvr

tvr

nvr

0t

ntn

t

t

ttaa

t

v

t

v

t

va

rr

rrr

r

+=

+

=

=

000limlimlim .

tar

nar


22/86


Budui da u limesu 0t komponenta nvr

opisuje samo promjenu smjera

brzine, imamo definiciju:

Normalna akceleracija opisuje kako se brzo mijenja smjer brzine:k

nr

va

2

= .

Navedene formule mogu se izravno dobiti deriviranjem brzine, ako je napiemo kao

produkt iznosa brzine v i jedininog vektorav

vr

koji pokazuje smjer brzine:

+=

=

v

v

dt

dv

v

v

dt

dv

v

vv

dt

d

dt

vdrrrr

.

U prvom pribrojniku oito dobijamo iznos tangencijalnog ubrzanja, ta (pomnoen

jedininim vektorom smjera brzine, kao to i treba). No, taj rezultat je biooigledan i iz prethodnog grafikog razmatranja.

Iz drugog pribrojnika moe se dobiti iznos normalnog ubrzanja kn rva /2= , ali bi

trebalo unaprijediti matematika znanja naih studenata preko njihovih prosjenihpotreba. Umjesto toga, pozivamo se na izvod centripetalnog ubrzanja u poglavlju"Gibanje po krunici", gdje se dokazuje da je rvacp /

2= .

Odnos izmeu centripetalne i normalne akceleracije moemo razumjeti pomouSlike 2.4. Intuitivno je jasno da se svaka krivulja na nekom dovoljno malom dijeluluka moe aproksimirati dijelom krunice koja krivulju "ljubi" (latinski, doslovno:oskulira) na tome mjestu. Radijus te oskulatorne krunice oznaava se sa kr i

naziva radijusom zakrivljenosti krivulje. Normalna akceleracija na tome mjestu nakrivulji mora biti jednaka centripetalnoj akceleraciji na pripadnoj oskulatornojkrunici.

kr

Slika 2.4. Oskulatorne krunice


23/86


3 Gibanje po pravcu

Gibanje po pravcu ili pravocrtno gibanje najjednostavniji je, ali i osobito vaansluaj gibanja. Budui da u tom sluaju ni brzina ni ubrzanje ne mogu proizvoljnomijenjati smjer, esto se moe zanemariti njihov vektorski karakter kako se toobino ini u srednjoj koli (ali treba razumjeti ogranienja takvog pristupa).

Najee se jednolikima nazivaju ona gibanja kod kojih je iznos brzine konstantan(npr. po pravcu, po krunici itd.) pa nemaju tangencijalne akceleracije. Tada seubrzanima nazivaju gibanja koja imaju tangencijalnu akceleraciju (razliitu odnule).16 Najjednostavniji sluaj tih ubrzanih gibanja predstavljaju jednoliko ubrzanagibanja, kod kojih je tangencijalno ubrzanje konstantnog iznosa pa iznos brzine

dobija jednaki prirast (ili pad) svake sekunde.17

Za opis gibanja po pravcu, zgodno je pravac pretvoriti u koordinatnu os (npr. os x),na kojoj e poloaj toke biti opisan samo jednom koordinatom kao funkcijomvremena. U trenutku kad ukljuimotopericu ( 0=t ), toka je upoloaju )0(x za koji emo koristiti

oznaku 0x , a u nekom prozvoljnom

trenutku t ima poloaj )(tx koji

moemo krae pisati samo kao x .

I vektor brzine i vektor akceleracije imaju, dakako, samox-komponentu, koja se od njihovih iznosa ( v ili a ), po

definiciji pozitivnih, razlikuje u tome da e biti negativna zavektore usmjerene suprotno od osix.

3.1 Jednoliko gibanje po pravcuKod jednolikog gibanja po pravcu, brzina ima stalno isti iznos (a ismjer u koji emo postaviti i smjer osi x), pa su funkcije kojeopisuju ovisnost akceleracije, brzine i poloaja o vremenu osobito

jednostavne. To da je brzina konstantna moemo pisati i kao

xx vv 0= (umjesto .konstvx = ), gdje je xv0 kraa oznaka za

poetnu brzinu )0(xv . Preeni put od trenutka 0=t do trenutka t

jednak je razlici poloaja, tj. 0xxs = (budui da se toka gibala

16 U drugaijem kontekstu, ponekad se ubrzanima nazivaju gibanja koja imaju bilo kakvu akceleraciju; utom sluaju, i jednoliko gibanje po krivulji (krunici) ubraja se u ubrzana gibanja zbog normalne(centripetalne) akceleracije.

17 U ovome kontekstu termin "ubrzano gibanje" openito obuhvaa i sluaj usporenoga gibanja, mada seu konkretnom sluaju moe precizirati da se radi o usporenom gibanju.

x10

t0=t

)(tx 0)0( xx

dt

dxvx = ,

dt

dva xx =

0=xa

.konstvx =

0xtvx x +=


24/86


stalno u pozitivnom smjeru osix), pa posljednja relacija u gornjem okviru znai istoto i vts = (uvaavajui da je kod opisanog gibanja vvx = ). Put se, dakako, tako

rauna zato to pri konstantnoj brzini prelazimo jednake udaljenosti svake sekunde.

Formalno smo navedenu funkciju poloaja mogli dobiti i integriranjem brzine.Budui da je brzina derivacija poloaja, poloaj je neodreeni integral brzine:

Konstantu integracije interpretiramo tako da uvrstimo 0=t u rezultat Ctvx x += ,

to daje Cx =)0( , odnosno 0xC= (formalno se kae da je to poetni uvjet).

3.2 Jednoliko ubrzano gibanje po pravcuJednoliko ubrzano gibanje po pravcu odreeno je zahtjevom da je akceleracijakonstantna (i nije nula). Vektori akceleracije i brzine lee na istom pravcu (inae bitijelo skretalo), ali ne moraju biti u istom smjeru. Pravac je koordinatna osx, pa oniimaju samo x-komponente.

Budui da je akceleracija derivacija brzine, brzinu dobijamo kao neodreeni integralakceleracije:

Konstantu integracije opet interpretiramo tako da uvrstimo 0=t u rezultatCtav xx += , to daje (poetni uvjet) Cvx =)0( , odnosno xvC 0= . Odatle je

konano: xxx vtav 0+= .

Nadalje, budui da je brzina derivacija poloaja, funkcija poloaja je neodreeniintegral brzine:

Sada opet uvrstimo 0=t u dobijeni rezultat Ctvt

ax xx ++= 0

2

2, to daje Cx =)0( ,

odnosno 0xC= , te konano imamo 002

2xtvt

ax x

x ++= .

dt

dxvx = Ctv

tadtvtdtadtvtadtvx xxxxxxx ++=+=+== 0

2

002

)(

dt

dva xx = Ctadtadtav xxxx +===

dt

dxvx = Ctvdtvdtvx xxx +===


25/86


Tako dobijamo izraze analogne onima kod jednolikoggibanja po pravcu (tovie, vidi se da ove formule prelaze uizraze za jednoliko gibanje po pravcu ako se uvrsti 0=xa ).

No, ovdje ne moemo openito smatrati da je razlika izmeutrenutnog i poetnog poloaja ( 0xx ) jednaka preenom

putu s , jer je tijelo i pri konstantnoj akceleraciji moglo

promijeniti smjer brzine u suprotni, kao npr. u najvioj tokivertikalnog hitca uvis (koji je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu uz konstantnoubrzanje sile tee). Iz istog razloga nije openito mogua zamjena skalarnekomponente i iznosa brzine ( tj. vvx )

Ipak, esto je praktinije koristiti skalarne srednjokolskeizraze za jednoliko ubrzano gibanje po pravcu, samo trebarazumjeti da se u tom sluaju tijelo mora cijelo vrijeme gibati

na istu stranu. Tada se smjer osixi smjer brzine podudaraju,pa je vvx = . Isto vrijedi i za akceleraciju ako brzina raste.

Jedino za usporeno gibanje moramo usvojiti dogovor da je"akceleracija a negativan broj".

Za usporedbu s kasnije opisanim gibanjem po krunici, vano je uoiti da kodgibanja po pravcu nema normalne akceleracije, pa je taa

rr

= . Kod jednolikog i

jednoliko ubrzanog gibanja po krunici (ili krivulji) mogu se koristiti slini izrazi kaokod pravca, ali se tamo mora precizirati da iznos brzine (pa stoga i preeni put)ovise samo o tangencijalnoj akceleraciji.

3.3 Slobodan padAko moemo zanemariti otpor zraka, ili jo bolje ako bismo izveli pokus uvakuumiranoj prostoriji vidjeli bismo da sva tijela padaju s jednakim ubrzanjem.Obino se pod nazivom slobodan padpodrazumijeva takvo (idealizirano) gibanje,mada se u nekim prilikama isti naziv odnosi na padanje u zraku uz uvaavanjeotpora zraka (to se lako razabire iz konteksta).

Tijelo koje pada dobija ubrzanje od svoje teine (definiramo je u iduem poglavlju),za koje se koristi naziv akceleracija slobodnog pada, g

r

(naziv podrazumijeva

zanemarivanje otpora zraka). Na raznim mjestima na povrini Zemlje (ukljuujui ivisinske razlike od nekoliko km), g varira u rasponu od samo oko 0,5% (opirnije

u poglavlju o gravitaciji), pa se esto koristi zaokrueni prosjeni iznos od 9,81m/s2.

Tijela vee gustoe i kompaktnog oblika (metalna kugla, kamen itd.) doista se upadu gibaju vrlo priblino jednoliko ubrzano, s akceleracijom g

r

, prvih nekoliko

sekundi (nekoliko desetaka metara) nakon to ih ispustimo. No, otpor zraka raste s

brzinom, i nakon malo dueg padanja ak i kod takvih tijela praktino zaustavidaljnje ubrzavanje (npr. za ovjeka ubrzanje prestaje oko brzine od 200 km/h).

.konstax =

xxx vtav 0+=

00

2

2xtvt

ax x

x ++=

Na istu stranu:

0vatv +=

tvta

s 02

2+=


26/86


4 Newtonovi aksiomi

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fierisecundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. (Isaac Newton, PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica, London, 1687.)

U prijevodu: "Zakon II: Promjena gibanja uvijek je proporcionalna sili koja djeluje, ideava se u smjeru pravca djelovanja sile.

A moe i ovako: Mala moja, primi ti na znanje, sila masi daje ubrzanje. (Navodnavarijanta iz veernjih teajeva osnovne kole u 50-tim godinama prolog stoljea.)

Zajedniko obiljeje Newtonovog izvornog teksta i pjesmice iz veernjih teajeva

jest da se ni jedna ni druga formulacija temeljnog zakona gibanja ne moguneposredno primijeniti u proraunima gibanja tijela.

Newton je, dakako, u daljnjem tekstu Principa pojanjavao znaenje ovoga zakona,i primjenjivao ga u tumaenju gibanja.18 Njegova je ogromna povijesna zasluga da

je, pored ostaloga, sa svoja tri zakona gibanja (koje esto nazivamo aksiomima)zapravo postavio temelje fizikalne znanosti kakvu danas poznajemo.

No, mi se ovdje neemo baviti povijesnim razvojem fizikalnih koncepata. Zato eformulacije Newtonovih aksioma slijediti praksu standardnih dananjih udbenika:da budu precizne i izravno primjenjljive na proraune gibanja tijela.

Newtonovi aksiomi povezuju kinematike veliine koje se odnose na gibanje tijela(brzinu i akceleraciju) sa silama koje na tijelo djeluju. Budui da razliite toketijela mogu imati razliite brzine i akceleracije a i sile mogu djelovati na razliitimmjestima na tijelu odmah nakon prikaza aksioma pokazati emo da se brzine iakceleracije, o kojima aksiomi govore, odnose na centar masa tijela, bez obzira napoloaj hvatita sile.

Do tada moemo privremeno zamiljati da se aksiomi odnose samo na tijelozanemarive veliine, koje moemo dobro prikazati samo jednom tokom. Takvatijela emo zvati esticama19 (npr. kod definicije centra masa).

4.1 Prvi Newtonov aksiom zakon inercijeTek u doba Galileja i Newtona, fizika se definitivno oslobaa Aristotelove zablude da

je za gibanje tijela potrebna sila koja ga odrava. Taj fundamentalni preokret naj-

18 Ali nije promijenio izvornu formulaciju ni u narednim izdanjima Principa.

19

Pojam "materijalna toka" neemo koristiti u ovome tekstu. Iskustvo pokazuje da mnogi studentiimaju problema s razumijevanjem toga koncepta. Oni bi nauili napamet fizikalne zakone formulirane zamaterijalnu toku, a da nikada ne shvate kakve to veze ima sa stvarnim tijelima.


27/86


preciznije formulira prvi Newtonov aksiom, poznat i pod nazivima "zakon tromostiili "zakon inercije.

Prvi Newtonov aksiom:

Ako na tijelo ne djeluje sila, tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po

pravcu.

Ako se aksiom primijeni u nekom sustavu vezanom za povrinu Zemlje, on znai datijelo koje je mirovalo ostaje mirovati, a da se tijelo koje se gibalo nastavlja

jednoliko pravocrtno gibati, sve dok neka sila to ne promijeni. Dakako, na Zemlji seovaj drugi sluaj zapravo ne opaa, jer su tijela stalno izloena djelovanju razliitihsila (teina, trenje, otpor zraka itd) koje ometaju jednoliko pravocrtno gibanje.

No, bilo gdje u svemiru daleko od nebeskih tijela, lako bi se mogao izravnimopaanjem potvrditi zakon inercije. tovie, izraz "stanje mirovanja ili jednolikog

gibanja po pravcu oznaava samo jedno fizikalno stanje, zbog relativnosti gibanjau klasinoj fizici (kao i u specijalnoj teoriji relativnosti). Da bi se uope odredilabrzina tijela (ukljuujui i sluaj da tijelo miruje), potrebno je najprije odabratireferentni sustav u odnosu na koji se ona mjeri. Na se vidljivi svemir sastoji odgalaksija i njihovih nakupina koje se globalno meusobno udaljavaju (i jo kojekako"lokalno gibaju), dakle sva se nebeska tijela kreu, i nijedno se ne moe odabratiza univerzalni referentni sustav.

Treba, ipak, spomenuti da novija precizna mjerenja mikrovalnog zraenja kojeproima cijeli svemir omoguavaju odreivanje brzine tijela u odnosu na to

zraenje. U okvirima ope teorije relativnosti, tako se moe ustanoviti preferiranisustav za mjerenje brzine. No, to ne utjee na koncept relativnosti gibanja uklasinoj mehanici, na temelju kojega se razvijala i opa teorija relativnosti.

Moramo, meutim, razlikovati dvije klase referentnih sustava jer fizikalni zakoninemaju u njima isti oblik. Sustavi u kojima vrijedi gore navedeni oblik zakonainercije nazivaju se (po definiciji) inercijalnim sustavima, i oni se jedan u odnosu nadrugoga mogu gibati samo jednoliko pravocrtno.

Drugu klasu ine sustavi kao to je npr.tramvaj koji koi: u takvom sustavu nee tijelopreputeno samo sebi ostati da miruje (npr.lopta koja je stajala na podu), nego eubrzavati u suprotnom smjeru od ubrzanjasustava (ljudima u tramvaju koji koi izgledakao da i njih i loptu neka sila vue naprijed).20Takvi se sustavi nazivaju ubrzanima ilineinercijalnima, a prividna sila21 koja izaziva

20 Iz vanjskog inercijalnog sustava, dakako, vidimo da se lopta samo nastavila jednoliko gibati, dok setramvaj poeo zaustavljati.

21 Kae se jo i pseudosila (lana sila), budui da se iz vanjskog inercijalnog sustava ta sila ne opaa (jerse ne opaa ubrzanje lopte).

tramvr

tramar

inF

r

m

Slika 4.1. Ubrzani sustav


28/86


opisano ubrzanje unutar sustava naziva se inercijalnom silom inFr

. (Na Slici 4.1

oznaena je inercijalna sila koju promatra vidi kao uzrok ubrzavanja lopte.)

Sustavi vezani uz povrinu Zemlje, u kakvima ivimo, nisu posve inercijalni, ali su

odstupanja vrlo mala toliko mala da nisu ometala otkrivanje fizikalnih zakona uobliku u kojem vrijede u inercijalnim sustavima.

injenicu da tijelo u inercijalnom sustavu ustraje u zateenom stanju gibanja, svedok neka vanjska sila to stanje ne pone mijenjati, pripisujemo njegovoj masi, tose moe upotrijebiti za njezinu definiciju:

Masa (ili tromost, ili inercija) je svojstvo tijela da se opire promjeni gibanja.

4.2 Drugi Newtonov aksiom temeljni zakon gibanjaUobiajeno je za drugi Newtonov aksiom koristiti dvije formulacije.

Prva je fromulacija striktno govorei netona, ali su pogreke zanemarivo male pribrzinama daleko manjim od brzine svjetlosti ( cv


29/86


Ako na tijelo djeluje vie sila, njihov zbroj moe biti jednak nuli, pa tijelo needobivati akceleraciju. To je npr. sluaj kod tijela oslonjenih ili uvrenih napodlogu, to detaljnije izuava statika.

Bilo da sila uope nema ili je njihov zbroj nula, prema drugom Newtonovomaksiomu tijelo nema akceleracije, pa je u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja popravcu. To znai da bi se moglo smatrati kako je prvi aksiom (zakon inercije)zapravo sadran u drugom aksiomu kao njegov specijalni sluaj. Ipak, zakoninercije navodi se izdvojeno iz barem dva razloga.

Gledano u povijesnom kontekstu, Newton prvim aksiomom naglaava Galilejevespoznaje (za to mu je i odao priznanje) kojima se znanost toga vremena odvaja odaristotelijanskih zabluda o fizici. No, vaniji je razlog to to zakon inercijepredstavlja polazite za definiranje inercijalnih sustava: tek kad su sustavi takodefinirani, mogu se formulirati ostali aksiomi i drugi zakoni klasine fizike koji e u

njima vrijediti.

Inercijalne sile, koje se javljaju u ubrzanim sustavima, zahtijevale bi drugaijuformulaciju klasinih zakona. Iako ih promatra iz inercijalnog sustava ne vidi, onesu u ubrzanom sustavu realne sile sline teini tijela, i s njima se mora raunati.

Npr., sa Slike 4.1 vidimo da je inercijalna sila na loptu tramin amFr

r

= (dakle,

proporcionalna masi), zato da bi iz vanjskog inercijalnog sustava bila akceleracijalopte nula.22 Ipak, promatra iz tramvaja zna da nema nebeskog tijela koje bi loptuprivlailo na tu stranu, i ne zna kako bi na tu silu primijenio zakon akcije i reakcije.Ukratko, on zna da se nalazi u ubrzanom sustavu, pa ak i kolika je akceleracija

njegovog sustava (suprotna je akceleraciji lopte u odnosu na tramvaj). Dakle, zarazliku od brzine, akceleracija sustava nije relativna (ne odreuje se premaproizvoljnom vanjskom referentnom sustavu).

Za drugu, tonu, formulaciju drugoga Newtonovog aksioma potrebno je definiratipojam koliine gibanja tijela:

Koliina gibanja (ili impuls23) je umnoak mase i brzine, vmprr

= .

Simbol pr

je samo oznaka za taj umnoak: gornja formula nije nikakav zakon

fizike, nego samo definicija fizikalne veliine i dogovor o simbolu. Koliina gibanja jejedna od fundamentalnih veliina u fizici, i pomou nje se drugi Newtonov aksiommoe formulirati u punoj openitosti:

Drugi Newtonov aksiom, opa i tona fromulacija:

Brzina promjene koliine gibanja jednaka je sili koja na tijelo djeluje:dt

pdF

r

r

= .

Veza s ranijom, priblino tonom formulom, dobije se uvrtavanjem (i deriviranjem)umnoka mase i brzine umjesto simbola p

r

:

22

Ukupna akceleracija lopte je trama

r

u odnosu na tramvaj i trama

r

+ kojom je tramvaj nosi.23 Naziv "koliina gibanja" uobiajen je u udbenicima, dok fiziari uglavnom koriste termin "impuls".


30/86


dt

vdm

dt

dmv

dt

vmdF

r

r

r

r

+==)(

.

Ako bismo masu tijela mogli smatrati konstantnom, njezina bi derivacija po

vremenu bila jednaka nuli, pa bismo dobili zakon gibanja u ranije navedenomobliku am

dt

vdmF

r

r

r

== .

Meutim, specijalna teorija relativnosti (Pogavlje 9) pokazuje da masa raste s

brzinom tijela:

2

0

2

1c

v

mm

= (gdje je 0m masa mirovanja),

pa se u naelu ne moe izostaviti lan s njezinom derivacijom. Ipak, taj je porastvrlo mali ako brzina tijela v nije jako blizu brzine svjetlosti c. Npr. za brzinu tijela od

3000 m/s imamo m = 1,00000000005 m0 , to je u standardnim tehnikimprimjenama nemjerljivo poveanje mase. To znai da je u podruju takvih i manjih

brzina posve dovoljna formula amFr

r

= .

4.3 Trei Newtonov aksiom zakon akcije i reakcijeUmjesto dosta rairene formulacije "svaka akcija uzrokuje po intenzitetu jednaku isuprotno usmjerenu reakciju, za primjenu je prikladnija dulja formulacija koja

detaljnije opisuje meudjelovanja dvaju tijela.Trei Newtonov aksiom:

Ako jedno tijelo djeluje silom na drugo tijelo, onda i to drugo tijelo djeluje na ono

prvo silom jednakog iznosa i na istom pravcu ali u suprotnom smjeru.

Sile, dakle, postoje samo u parovima, kao meudjelovanje tijela, a koju od njihnazvati akcijom odnosno reakcijom esto je posve proizvoljno.

Iako je 2112 FFrr

= (uz dogovor da je 12Fr

sila kojom tijelo 1 djeluje na tijelo 2, i

obrnuto), ne moemo smatrati da se te suprotne sile ponitavaju i to zato to

djeluju na razliita tijela, na koja mogu imati i vrlo razliit uinak. Lake tijelo edobiti vee ubrzanje, a tvre tijelo manju deformaciju. Primjerice, kod udarcaakom u trbuh ak i ne pomiljamo na to da je i trbuh djelovao na aku silom istogiznosa.

Jedino ako promatramo meudjelovanje dvaju tijela koja su unutarnji dio nekogsustava, a zanima nas samo gibanje sustava kao cjeline, unutarnja meudjelovanjane utjeu na to gibanje, te moemo smatrati da se u tome pogledu ponitavaju.


31/86


4.4 Centar masaRazmotrimo proizvoljni sustav estica, koje mogu ali i ne moraju biti povezane utijelo, npr. neki volumen molekula plina, ili sve atome koji sainjavanju neko kruto

tijelo. Pretpostavljamo da su estice dovoljno malog volumena tako da se poloajsvake estice moe opisati samo jednom tokom,24 odnosno radij-vektorom. Tadabrzina i akcelracija iz Newtonovih aksioma imaju jednoznani smisao derivacija tihvektora.

Za definiranje i opis svojstava centramasa dovoljno je promotriti sustav odsamo tri takve tokaste mase

1m , 2m , 3m na Slici 4.2 (a poopenje na

vie estica je oigledno). U nekom

koordinatnom sustavu (koji nijeprikazan) njihov poloaj odreen jepripadnim radij-vektorima. Unutarsustava estice mogu meusobnodjelovati parovima unutarnjih sila (od

kojih je ovdje opisan samo par 31Fr

, 13Fr

radi bolje preglednosti slike). Usto, nasvaku esticu mogu djelovati i vanjskesile (koje potjeu izvan sustava): one su za pojedinu esticu zbrojene u rezultantu,

a te rezultante su oznaene simbolima 1vFr

, 2vFr

, 3vFr

.

Za svaku esticu napisati emo drugi Newtonov aksiom, navodei sve prikazane sileeksplicitno.

Te emo tri jednadbe potom zbrojiti, priemu e se unutarnje sile dokinuti, jer je

12Fr

= 21Fr

, 13Fr

= 31Fr

, 23Fr

= 32Fr

.

Tako dobijamo jednadbu u kojoj imamosamo vanjske sile na lijevoj strani, teakcelaracije svih estica na desnoj:

Sumu vanjskih sila odmah moemorazumijeti kao ukupnu vanjsku silu koja djeluje na sustav. Da bismo razumjelisumu iiam

r

, moramo najprije definirati centar masa sustava ili tijela.

24

Umjesto sustava estica, moemo tijelo u mislima razdijeliti na komadie vulumena, provesti graniniprijelaz 0V kojim dobijamo tokaste mase, pa zbrajanje estica postaje integriranje po volumenuodnosno masi tijela.

1rr

03rr

2rr

1m

3m

2m 13F

r

31Fr

1vFr

3vF

r

2vFr

Slika 4.2. Sustav od 3 estice

1131211 amFFFvr

rrr

=++

2232122 amFFFvr

rrr

=++

3323133 amFFFvr

rrr

=++

332211321 amamamFFF vvvrrr

rrr

++=++

+


32/86


gdje je m ukupna masa sustava, a zbraja se po svim esticama sustava ili tijela

ili, alternativno, integrira po ukupnoj masi tijela.25

Napiimo sada definiciju centra masa za one tri estice sa Slike 4.2.

Prvo je pomnoimo sa m da se rijeimo razlomka:Crmrmrmrmrrrr

=++ 332211

Deriviranjem te jednadbe po vremenu dobijamo:Cvmvmvmvm

rrrr

=++ 332211

Slino, deriviranje ove druge jednadbe daje: Camamamamrrrr

=++ 332211

Dobiveni rezultat pokazuje da sume produkata po esticama moemo zamijeniti jednim produktom koristei centra masa: jednako za koordinate, brzine iakceleracije u sustavu.

Tako druga jednadba pokazuje da se ukupna koliina gibanja ne mora raunatikao zbroj koliina gibanja svih estica

Cvmvmvmvmprrrrr

=++= 332211 , ve je jednaka

produktu mase sustava i brzine njegovog centra masa:

A trea jednadba otkriva da je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav(formula ispod Slike 4.2) jednak produktu mase sustava i akceleracije njegovogcentra masa:

To se, dakako, odnosi i na specijalni sluaj da sustav estica ini tijelo, ime smo

dokazali uvodnu tvrdnju iz ovog poglavlja. Dakle, bez obzira gdje na tijelu siledjeluju, one daju ubrzanje njegovom centru masa prema drugom Newtonovom

aksiomu. Istovremeno, te iste sile mogu tijelu davati i kutno ubrzanje oko centramasa, o emu govorimo u poglavlju o rotaciji.

25 Nakon zamiljene razdiobe tijela na komadie 0V , integriranjem se provodi zbrajanje popripadnim diferencijalima mase, dm . Primjer takvog integriranja prikazan je u poglavlju 7.3.

Cvi amFr

r

=

m

dmr

m

rm

rii

C

==

rr

r

npr: m

xdm

m

xmx

ii

C

==

Centar masa je toka C odreena radij-vektorom

Cvmprr

=


33/86


4.5 Zakon ouvanja koliine gibanjaGornje dvije relacije omoguuju da i precizniji oblik drugog Newtonovog aksioma,

zakon o promjeni koliine gibanja, tj. dt

pd

Fvi

r

r

=

, lake interpretiramo pomoucentra masa.

Napose, u sluaju da nema vanjskih sila, kaemo da je sustav izoliran (ili jeizolirano promatrano pojedinano tijelo). Tada je 0/ =dtpd

r

, pa se koliina gibanja

ne mijenja, tj. vrijedi zakon njezinog ouvanja:

Zakon ouvanja koliine gibanja:U izoliranom sustavu ukupna koliina gibanja je konstantna.

Tada e se centar masa sustava ili tijela gibati jednoliko pravocrtno (ili mirovati).

Zakoni ouvanja imaju fundamentalnu teorijsku ulogu u fizici. Npr. u klasinojmehanici se pokazuje da ouvanje energije proizlazi iz homogenosti vremena,ouvanje koliine gibanja iz homogenosti prostora, a ouvanje momenta koliinegibanja iz izotropnosti prostora.

No, jednako su vani i u svakodnevnim primjenama. Npr. zakon o ouvanju koliinegibanja koristit ete na vjebama u rjeavanju zadataka sa sudarima. Ovdjemoemo samo spomenuti kako taj zakon objanjava gibanje rakete. Ako gledamo iz

sustava centra masa u kojemu raketa i njezino gorivo u poetnom trenutku miruju, jasno je da e raketa u pogonu dobiti onoliku koliinu gibanja koliku njezinoizbaeno gorivo dobije u suprotnom smjeru. Odatle slijedi da moemo troiti manjegoriva ako mu dademo veu brzinu.

4.6 Fundamentalne sileDosadanja istraivanja pokazuju da sve sile koje na Zemlji opaamo moemosvesti na samo nekoliko fundamentalnih sila. Za njih su uobiajeni slijedei nazivi:

1. Gravitacijska sila,

2. Elektromagnetska sila,

3. Slaba nuklearna sila, te

4. Jaka nuklearna sila.

Prve dvije su odavno poznate i lako se opaaju i na velikim udaljenostima. Drugedvije se opaaju samo na malim udaljenostima, otprilike u razmjerima atomske

jezgre, otkrivene su tek u prolom stoljeu (i dobile su prilino nematovita imena).Jaka nuklearna sila snano djeluje meu kvarkovima esticama od kakvih sugraeni protoni i neutroni pa dakle i meu protonima i neutronima. Slaba djeluje


34/86


meu kvarkovima i leptonima (od kojih je ope poznat samo elektron) pa se opaanpr. kod beta radioaktivnog raspada.

Uoite da su do prije par stoljea elektrina i magnetska sila promatrane kao posve

nezavisne sile. Tek su u 19. stoljeu do kraja opisane veze meu njima, i postalo jejasno da se radi o razliitim manifestacijama jedne te iste sile.

Na slian nain (mada malo kompliciraniji), povezane su sredinom 20. stoljeaelektromagnetska i slaba nuklearna sila, te je uveden i zajedniki naziv elektroslabasila.

Od tada se, dakako, istrauje mogunost da su sve etiri gore navedene silezapravo samo razliite manifestacije jedne univerzalne kozmike sile. Danas jeopenito prihvaena teorija da zadnje tri s popisa (sve osim gravitacije) doistaimaju zajedniko ishodite. One se manifestiraju kao jedinstvena sila, ali samo primnogo veim gustoama energije nego to ih danas nalazimo u prirodnom okoliu.

Gravitacijska se sila od ostalih izdvaja svojom specifinom prirodom koju je otkrilaopa teorija relativnosti. Zbog toga su malo vjerojatni izgledi da bi se s njima mogla"ujediniti", iako ima i takvih teorijskih pokuaja.


35/86


5 Gibanje po krunici

5.1 Linearne i kutne veliineBudui da je gibanje po krunici usko povezano s rotacijom (bilo da rotiraju tijela iliapstraktne veliine, npr. vektori), korisno je odmah uvesti kutne veliine u njegovopis. Ako promatramo gibanje neke estice po krunici, lako vidimo vezu izmeuputa s koji ona pree i kuta za koji se zakrene radij-vektor r

r

povuen iz sreditakrunice do te toke (na Slici 5.1 opisan je samo iznos radij-vektora, r, tj. radijuskrunice):

Kut mjerimo kao omjer luka i radijusa, npr. za s = 1cm i r = 2cm imamo = s/r= 0,5 u radijanima.26 Odatle je, naravno, s = r. Ostale dvije jednadbe sa Slike5.1 dobijamo deriviranjem prve po vremenu. Deriviranjem puta po vremenu (nalijevoj strani) dobijamo iznos brzine v, a daljnjim deriviranjem iznosa brzinedobijamo tangencijalnu akceleraciju at. Istim deriviranjem na desnoj strani

jednadbi (gdje je rkonstanta) dobijamo kutnu brzinu te kutnu akceleraciju

(koje su definirane analogno pripadajuim linearnim veliinama):

Jedinica za kutnu brzinu je s-1, a za kutnu akceleraciju s-2. Kao to linearnu brzinumjerimo metrima u sekundi (m/s), tako kutnu mjerimo radijanima u sekundi samo to se umjesto radijana pie "1, pa jedinica ima oblik 1/s=s-1 (i slino zaakceleraciju).

26 To moemo itati kao "0,5 radijana, ali radijan oito nije jedinica koju emo pisati uz broj, jer su secentimetri u omjeru luka i radijusa pokratili.

s

r

s = r

v = r

at= r

Slika 5.1. Veze linearnih i kutnih veliina

r

v, at

,

Kutna brzinadt

d = Kutna akceleracija

dt

d =


36/86


Iako ni preeni put, ni kut zakreta, ne moemo smatrati vektorima,27 kutnu brzinui kutno ubrzanje moemo "pretvoriti u vektore, tj. jednoznano im pridruiti smjertako da zadovoljavaju pravila vektorskog rauna, to je osobito korisno kod opisarotacije. Zamislimo da je estica na Slici 5.1 toka nekog tijela koje rotira (a i da je

radij-vektor skup toaka toga tijela). Tijelo se zakree u smislu naznaenom naslici, "suprotno od kazaljke na satu (s naeg motrita). No, to nije vektorski smjer,

jer mu ne moemo pridruiti usmjerenu duinu koja bi npr. ostala stalna kodkonstantne kutne brzine. Jedina nepomina duina vezana uz tijelo koje rotira kaona Slici 5.1 jest os rotacije, tj. okomica na sliku koja prolazi kroz sredite krunice.

Stoga je jedino mogue rjeenje da vektor kutne brziner

bude paralelan sa osi

rotacije. On, dakle, stoji okomito na Sliku 5.1 (tj. na krunicu po kojoj se tokagiba), a smjer mu je dogovorno odabran tako da gleda prema nama ako jekruenje "suprotno od kazaljke na satu.

Jo je jednostavnije vektor kutne brzine opisati tzv.pravilom desne ruke: ako savijeni prsti desne rukepokazuju smjer kruenja bilo da se toka giba po kruniciili kruto tijelo rotira oko vrste (nepomine) osi ondaisprueni palac pokazuje smjer vektora

r

(koji,

podrazumijeva se, mora biti okomit na ravninu kruenja).

Za tako opisani vektor kutne brziner

moe se definirati vektor kutne akceleracijer

kao njegova derivacija po vremenu (istog smjera kod ubrzavanja, suprotnog kod

usporavanja). I relacije izmeu brzina i akceleracija (sa Slike 5.1) mogu se takoer

prevesti u vektorski oblik za gibanje po krunici(a i za rotaciju oko vrste osi):

Znakom " (ita se "eks) oznaavamo vektorski (ili vanjski) produkt dvajuvektora. To je jedna od dviju uobiajenih operacija mnoenja vektora (a drugaoperacija mnoenja jeskalarni produkt). Rezultatvektorskog mnoenja jevektor (a rezultat skalarnogmnoenja vektora je skalar).

Vektorski produkt bar

r

je

vektor okomit na ravninukoju tvore ta dva vektora, anjegovu orijentaciju (na slici: gore ili dolje) odreujemo pravilom desne ruke.

27 Osim u limesu prema nuli.

Vektorske veze zar

i r

:rvrrr

=

ratrrr

= pri emu je

dt

d

r

r

=

r

bar

r

bar

r

ar

br

br

ar


37/86


Iznos vektorskog produkta dvaju vektora jednak je povrini pravokutnika koji oni

odreuju kad se prikau usmjerenim duinama povuenima iz iste toke, tj. || bar

r

sinab= . Iznos je oito nula za paralelne vektore, a najvei za okomite (i tada jejednak ab ).

Pravilo desne ruke, koje slui samo da se ustanovi na koju stranu "gleda produkt(jer ve znamo da mora biti okomit na oba vektora), navodi se u vie varijanti.Prema ilustraciji na gornjoj slici: prvi prst (palac) u smjer prvog vektora izprodukta, drugi prst (kaiprst) u smjer drugog vektora (bar priblino, jer kutizmeu ta dva prsta ne moe biti puno vei od pravoga, dok kut izmeu dvavektora moe ii do 1800) i tada trei prst (srednjak) pokazuje na koju stranugleda produkt (ako ga blago savijemo, priblino okomito na palac i kaiprst).

Vano svojstvo vektorskog produkta je da je antikomutativan, )( baabr

rr

r

= , tj.

zamjena redoslijeda vektora koje mnoimo daje produkt u suprotnom smjeru(provjerite primjenom pravila desne ruke!).

Nakon ove definicije i opisa vektorskog produkta(nekima moda poznatih iz srednje kole), lako

je provjeriti navedene vektorske veze zar

i r

.Prema definiciji koja im je prethodila, vektor

r

stoji okomito na krunicu i gleda prema nama(to je simboliki naznaeno kruiem s tokomu sredini, kao da vidimo vrh vektorske strelice).Vektor v

r

stoji okomito i nar

i na rr

, i to po

pravilu desne ruke za jednadbu rvrrr

= . Usto,r

i rr

zatvaraju pravi kut, tako da je rv = . Iz

toga neposredno slijedi i veza za akceleraciju,ratrrr

= , budui da su u sluaju ubrzavanja i kutna i tangencijalna akceleracija u

smjeru pripadnih brzina, a u sluaju usporavanja su obje u suprotnom smjeru.

5.2 Jednoliko i jednoliko ubrzano kruenjeJednoliko gibanje po krunici

Definirano je konstantnim iznosom brzine. Opisuju ga relacije sline onima zajednoliko gibanje po pravcu:

0=

.konst=

0 += t

0=ta

.konstv =

vts =

ili

rr

,

r

v, at,


38/86


Konstantni iznos brzine ekvivalentan je tvrdnji da je tangencijalna akceleracijajednaka nuli. Kod linearnih veliina uobiajeno je raunati samo preeni put (a ne ipoloaj na krunici). Poetni poloaj toke na krunici (ili rotirajueg radij-vektora)obino se opisuje poetnim kutom 0)0( , dok kut )( t (ili krae samo )

oznaava poloaj u trenutku t.

Jednoliko gibanje po krunici je periodino gibanje, tj. gibanje koje se pravilnoponavlja. Period je najkrae vrijeme nakon kojega se neka periodina pojava

poinje ponavljati(oznaava se velikom slovom T); kod jednolikog gibanja pokrunici, period je vrijeme jednoga ophoda. Frekvencija (ili uestalost) je broj

perioda u jedinici vremena Tf /1= ; umjesto slova f esto se upotrebljava i grko

slovo ni (), koje se slabo razlikuje od latininog slova "v u kurzivu ( v ), pa ga

zato ovdje neemo koristiti.

Konstantni iznos brzine moe se uvijek raunati kao omjer preenoga puta ivremenskog intervala, a kod jednolikog gibanja po krunici zgodno je za vremenskiinterval uzeti jedan period T. Tako se dobije nekoliko oiglednih relacija kojepovezuju gore navedene veliine:

rT

rv

==

2gdje je f

T

2

2== .

Jednoliko gibanje po krunici esto se

koristi prilikom opisa razliitihperiodinih pojava kod kojih se nepojavljuje "stvarno kruenje (npr.openito kod harmonikog titranja, aspecijalno kod izmjeninih napona istruja). Dok se r zakree konstantnombrzinom tako da je 0 += t (oba

kuta mjerimo od osi x), projekcijanjegova vrha na os x (koordinata

cosrx = ) oito titra du osixkao:

Kad se koristi za opis titranja, veliinaf2= naziva se krunom

frekvencijom, dok se )( 0 +t naziva

fazom, a sam 0 poetnom fazom (ili

faznim pomakom).

cosrx = )( 0 +t

r

0

x

Slika 5.2. Veza izmeu jednolikog

kruenja i harmonikog titranja


39/86


Jednoliko ubrzano gibanje po krunici

Definirano je konstantnim iznosom tangencijalne odnosno kutne akceleracije, aizrazi koji ga opisuju analogni su onima za jednoliko ubrzano gibanje po pravcu:

Kod linearnih veliina (lijevi okvir), oigledna razlika u odnosu na gibanje po pravcuje ta umjesto a . Naravno, i kod pravca se zapravo radi o tangencijalnoj akceleraciji

jer samo ona odreuje iznos brzine, ali je na pravcu taa = , pa to nije potrebno (ni

uobiajeno) isticati.

5.3 Centripetalno ubrzanje i centripetalna silaGibanje po krunici je najjednostavniji sluaj gibanja po krivulji, pa se tu najlakeizrauna normalno ubrzanje, za koje se na krunici iz oiglednih razloga eekoristi naziv centripetalno (= prema sreditu) ili radijalno ubrzanje.

Izvod centripetalne akceleracije dodatno se pojednostavnjuje ako promatramojednoliko gibanje po krunici, jer se tada ukupna promjena brzine sastoji samo odpromjene smjera. U vremenskomintervalu t zakrene se radijus (a i nanjega okomita brzina) za kut .Promjena brzine 12 vvv

rrr

= je tetiva

luka =vl

(desna strana Slike 5.3),

pa e u limesu t0 biti jednakog

iznosa. Zato je:

vdt

dv

t

v

t

vaa

ttcp ==

=

==

00lim

||lim

r

Koristei vezu rv = , moemo izraz za

iznos centripetalne akceleracije pisatina vie naina:

r

vrvacp

22 ===

.konstat =

0vtav t +=

tvta

s t 02

2+=

ili

.konst=

0 += t

00

2

2

++= tt

1rr

2rr

1vr

2v

r

vr

l

2vr

1v

r

vvv == 21

Slika 5.3. Izvod

centripetalnog ubrzanja


40/86


Smjer vektora cpar

oito je okomit na vr

, u suprotnom

smjeru od rr

, dakle prema sreditu krunice (zamislitena krunici sa Slike 5.3 granini prijelaz 0). Nije

teko provjeriti iz pravila vektorskog mnoenja (skicadesno) da se centripetalna akceleracija moe zapisati ikao

vacprrr

= .

Iako je izvod za centripetalnu akceleraciju proveden na primjeru jednolikog gibanjapo krunici, isti se rezultat dobije i kad brzina nije konstantng iznosa. Umjestododatnim crteima, pokazat emo to koritenjem vektorskog rauna. Izraunajmoukupnu akceleraciju deriviranjem28 brzine u obliku rv

rrr

= :

Dobiveni izraz za normalnu (centripetalnu) akceleraciju slijedi iz jednoznanostirastava ukupne akceleracije na tangencijalnu i normalnu komponentu: budui dasmo u rezultatu deriviranja prvi pribrojnik prepoznali kao ta

r

, dugi mora biti nar

.

Da bi tijelo dobijalo centripetalnu akceleraciju, mora na njega djelovati premasreditu krunice po kojoj se giba sila koja se naziva centripetalnom silom. Taj

naziv ne opisuje porijeklo (vrstu) sile, nego njezinu funkciju. Kod satelita koji kruioko Zemlje, funkciju centripetalne sile ima Zemljina gravitacijska sila. Kodautomobila koji se giba u zavoju horizontalne ceste tu funkciju vri sila trenja. Kadkamen sveemo uetom, pa ga vrtimo u horizontalnoj ravnini, funkcijucentripetalne sile ima komponenta napetosti ueta koja ga vue prema sreditukrunice. U svakom sluaju kad se tijelo giba po krunici na njega djeluje sila (ilikomponenta ukupne sile) cpF

v

usmjerena prema sreditu krunice, koja iznosi

r

vmrmmaF cpcp

22 === .

5.4 Centrifugalna silaMeutim, promatra koji se nalazi u sustavu koji se giba po krunici (kao to je npr.automobil u zavoju, ili stolica na ringipilu) osjea i inercijalnu silu koja na sva tijelau sustavu djeluje u suprotnom smjeru od akceleracije sustava. To je centrifugalna

sila cpcf amFr

r

= , po iznosu jednaka centripetalnoj sili. Ako promatra miruje u

28

Deriviranje vektorskog produkta provodi se kao i kod produkta skalarnih funkcija (osim to trebazadrati redoslijed faktora zbog antikomutativnosti) budui da se vektorski produkt moe prikazati kaosuma produkata skalarnih komponenata (i jedininih vektora koji su konstantni).

vrdt

rd

rdt

d

dt

rd

dt

vd

a

rrrr

r

rr

rrrr

r

+=+=

==

)(

nt aaarrr

+= van

rrr

=

r

cpar

vr


41/86


odnosu na sustav (ovjek sjedi u stolici ringipila), on e rei da se centrifugalnasila (koja ga vue van) i centripetalna sila(kojom ga stolica gura prema sreditu krunice)ponitavaju.

Naravno, ako gledamo izvana (stojimo poredringipila), centrifugalna sila uope ne postoji.Na ovjeka djeluje samo centripetalna sila(kojom ga stolica gura prema osi vrtnje) kojamu skree brzinu u smjeru kruenja. Ako bismopresjekli ue kojim je stolica vezana za os vrtnje, ovjek ne bi odletio u suprotnomsmjeru od osi vrtnje (kamo ga, prema njegovom osjeaju, vue centrifuga), nego bise nastavio gibati po tangenti na krunicu (zadravajui smjer brzine prema zakonuinercije).29

No, ovakvo tumaenje iz vanjskog, inercijalnog, sustava nimalo ne umanjujerealnost centrifugalne sile u rotirajuem sustavu. To emo najbolje razumjeti akoimamo na umu da se mi (svi ljudi vezani uz povrinu Zemlje) nalazimo u jednomtakvom rotirajuem sustavu (dodue, s malom kutnom brzinom, jedan okretaj nadan), pa nam je teina manja od Zemljine gravitacijske sile upravo onoliko kolikonas centrifuga vue od Zemljine osi prema van to se najjae opaa na ekvatoru(detaljnije u poglavlju o gravitaciji).

29 Ovdje smo izostavili uinak Zemljine gravitacije. Moete zamisliti da je ringipil negdje u svemiru, ilidodati teinu i slobodan pad na prethodni opis.

cpFr

cpcf FFrr

= vr


42/86

Levanat: Fizika zaTVZ Page 42/86Kinematika i dina

levanat - kinematika i dinamika

Documents