KESTABILAN MODEL SATU MANGSA DUA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING III DAN PEMANENAN

STABILITY OF ONE PREY TWO PREDATOR MODEL WITH HOLLING TYPE III FUNCTIONAL RESPONSE AND HARVESTING

Didiharyono, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Hasanuddin

Alamat Koresponden:

Didiharyono Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pegetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 Hp: 082188150380 Email: driadi95@yahoo.com

Abstrak

Dalam tulisan ini, dibahas kestabilan model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan terjadi pemanenan pada populasi kedua pemangsa. Penelitian ini betujuan, untuk mengetahui solusi model mangsa-pemangsa yang mengikuti tipe Holling III dengan menambahkan usaha pemanenan pada populasi kedua pemangsa dan untuk mengetahui keuntungan maksimum dari usaha pemanenan yang optimal pada populasi kedua pemangsa. Kestabilan titik ekuilibrium dilakukan dengan metode pelinearan dan penentuan kestabilan dengan memperhatikan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ekuilibrium dan menggunakan uji kestabilan Hurwitz dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa diperoleh titik interior 푇퐸 (푥, 푦, 푧) yang stabil asimptotik menurut uji kestabilan Hurwitz dan diperoleh keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi atau pemanenan populasi kedua pemangsa. Populasi mangsa pemangsa dapat tetap lestari (bertahan hidup) meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar π = 259,3999 dimana didapatkan keuntungan maksimal terjadi pada puncak permukaan fungsi keuntungan. Kata kunci: Model mangsa pemangsa, pemanenan, titik ekuilibrium, kestabilan dan keuntungan maksimal. Abstract

In this paper, we discussed stability of one prey two predator with Holling type III and will harvesting at second predator population. The research aimed is, to investigate solution the predator prey model with Holling type III functional response with addition effort harvesting two predator populations and to investigate maximum profit from optimal harvesting at two predator populations. Stability of equilibrium point use linearization method and determine the stability by notice the eigenvalues of Jacoby matrix evaluation of equilibrium point and can also be determined using Hurwitz stability test by observing the coefficients of the characteristic equation. The result shows that the obtained an interior point 푇퐸 (푥,푦, 푧)which asymptotic stable according to Hurwitz stability test and find maximum profit of exploitation effort or harvest prey population and two predator populations. Predator-prey population is always exist in their life, although exploitation with efforts harvesting and given maximum profit is π = 259,3999 where to find maximum profit on critical points of surface profit function. Key word: Predator prey model, harvesting, equilibrium point, stability and maximum profit.

PENDAHULUAN

Model matematika merupakan bagian dari matematika terapan, yang digunakan

untuk menjelaskan fenomena alam yang terjadi, serta dapat digunakan untuk memprediksi

perilaku sistem untuk jangka waktu tertentu. Pemodelan matematika pada bidang ekologi

sangat menarik untuk dikaji mengingat banyak sekali faktor-faktor yang mempengaruhi

pertumbuhan dan kehidupan populasi mahluk hidup serta keseimbangan mahluk hidup.

Proses dinamika kehidupan makhluk hidup (organisme) dapat dimodelkan secara matematis

dengan menggunakan persamaan differensial yang melibatkan waktu yang kontinu atau waktu

yang diskrit. Salah satu model matematika yang digunakan dalam menjelaskan fenomena

alam tersebut adalah model populasi mangsa-pemangsa.

Hubungan antara spesies pemangsa dan spesies yang dimangsanya sangatlah erat,

pemangsa tidak akan dapat hidup jika tidak ada mangsa. Selain itu, pemangsa juga berperan

sebagai pengontrol populasi mangsa. Interaksi antar spesies yang terjadi dalam suatu

ekosistem dapat menyebabkan keadaan populasi suatu spesies berubah. Interaksi tersebut

dapat memberikan dampak positif, negatif atau bahkan tidak berpengaruh terhadap spesies-

spesies yang berinteraksi. Salah satu penyebab kepunahan populasi adalah tingkat

pemangsaan terhadap populasi mangsa yang sangat tinggi dan rendahnya tingkat

pertumbuhan mangsa atau rendahnya populasi awal dari populasi mangsa.

Banyak peneliti yang mengembangkan model Lotka-Volterra dengan menambahkan

beberapa asumsi. Srinivasu dkk., (2001) mengkaji model Lotka-Voltera dengan mengontrol

system pemamenan dari model tersebut dan Kar (2003) mengkaji model Lotka-Voltera

dengan menambahkan pengaruh waktu tunda pada pemanenan yang selektif. Kemudian

Zhang dkk., (2011) mengkaji model Lotka Voltera dengan fungsi respon tipe Holling III pada

interaksi antara mangsa-pemangsa dengan usaha pemanenan konstan pada populasi mangsa.

Agarwal dkk., (2012) dan Jiang (2013) mengembangkan model tersebut dengan

menambahkan usaha pemanenan konstan pada populasi mangsa pemangsa. Model tersebut

tetap dikembangan oleh Liu dkk., (2012) dan Wang dkk., (2012) yang konsen mengkaji usaha

pemanenan populasi mangsa dengan menyertakan mangsa pelarian (refuge). Selanjutnya,

pada penelitian Zhao dkk., (2013) melihat efek atau pengaruh mangsa pelarian (refuge)

terhadap keadaan awal populasi mangsa

Oleh karena itu, penulis menganalisis model Lotka-Voltera dengan fungsi respon tipe

Holling III pada populasi satu mangsa dan populasi dua pemangsa dengan asumsinya bahwa

populasi kedua pemangsa merupakan populasi yang sangat bermanfaat bagi kehidupan

manusia, sehingga terjadi pemanenan. Penelitian ini betujuan, untuk mengetahui solusi model

mangsa-pemangsa yang mengikuti tipe Holling III dengan menambahkan usaha pemanenan

pada populasi kedua pemangsa dan untuk mengetahui keuntungan maksimum dari usaha

pemanenan yang optimal pada populasi kedua pemangsa.

BAHAN DAN METODE

Secara umum kerangka penelitian ini dimulai dengan konstruksi model, tahapan

penyelesaian yang mencakup penentuan titik ekuilibrium, melinearisasi model, analisis

kestabilan titik ekuilibrium, kemudian melakukan simulasi numerik. Adapun variabel

penelitian adalah menganalisis kestabilan model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi

respon tipe Holling III dan terjadi pemanenan pada populasi kedua pemangsa. Software

komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Maple.

HASIL

Model populasi satu mangsa dan dua pemangsa dengan fungsi respon yang

mengikuti tipe Holling III diberikan pada persamaan (1) berikut 2 2 2

1 22 21 2

dx rx x xPx m y m zdt K a x a x

2

1 121

dy xm y Qy c yzdt a x

(1)

2

2 222

dz xm z Sz c yzdt a x

dimana 1 2Q b E dan 2 3S b E . Dari model (1) diperoleh lima titik ekuilibrium yaitu

1( , , )TE x y z , 2 ( , , )TE x y z , 3( , , )TE x y z , 4 ( , , )TE x y z , dan 5 ( , , )TE x y z

2 2 2 22 5 2 5 1 5 1 5

5 2 22 2 5 1 1 5

, ,( ) ( )

m x Sa Sx m x Qa Qxx

c a x c a x

dimana, x5 merupakan akar-akar dari

persamaan 푟푍 푐 푐 − 푟퐾푍 푐 푐 + (−푚 퐾푆푐 + 푚 퐾푚 푐 + 푚 퐾푐 푚 −푚 퐾푐 푄 +

푟푎 푐 푐 + 푟푎 푐 푐 )푍 + (−푟퐾푎 푐 푐 − 푟퐾푎 푐 푐 )푍 + (−푚 퐾푆푎 푐 −푚 퐾푐 푄푐 +

푟푎 푎 푐 푐 )푍 − 푟퐾푎 푎 푐 푐 .

Titik 푇퐸 merupakan suatu titik yang terjadi pada oktan pertama (titik interior) jika

5 0x , 21 5 0a x dan 2

2 5 0a x yaitu keadaan dimana ketiga komponen titik tersebut

bernilai positif. Oleh karena itu, analisis kestabilan hanya dilakukan pada titik 푇퐸 . Dari

metode linearisasi dan uji kestabilan Hurwitz, diperoleh titik 푇퐸 (푥, 푦, 푧) stabil asimptotik.

Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan nilai parameter dari penelitian

lain yang relevan dengan penelitian ini, yaitu K = 1000, r = 1,5, a1 = 0,3, a2 = 0,2, b1 = 0,2, b2

= 0,4, c1 = 0,05, c2 = 0,03, m1 = 1,4, m2 = 1,6, serta pemanenan optimal E2 = 1 dan E3 = 0,

sehingga diperoleh titik (956,5085255; 39,99998834; 3,999990819) dan juga memberikan

keuntungan maksimal yaitu sebesar 259.3999maks . Dengan menggunakan metode

linearisasi diperoleh persamaan karakteristik푓(휆) = 휆 + 4,0695휆 + 5,2721 + 2,1516.

Dari persamaan karakteristik diperoleh 푝 = 2,1516, 푝 = 5,2721, 푝 = 4,0695. Karena

푝 ,푝 , 푝 > 0, dan 푝 푝 − 푝 > 0 maka menurut uji kestabilan Hurwitz, titik 푇퐸 stabil

asimptotik. Gambar 1, 2, dan 3 pada lampiran memperlihatkan perilaku kurva solusi masing-

masing populasi terhadap waktu (tahun) di sekitar titik ekuilibrium dengan nilai awal

푁 (0) = 950, 푁 (0) = 36, dan 푁 (0) = 3.

PEMBAHASAN

Penelitian menunjukkan bahwa model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi

respon tipe Holling III memiliki lima titik ekuilibrium yang salah satunya merupakan titik

interior yang stabil asimptotik berdasarkan uji kestabilan Hurwitz dan pemanenan pada

populasi kedua pemangsa memberikan keuntungan yang maksimal. Model populasi satu

mangsa dan dua pemangsa dengan fungsi respon yang mengikuti tipe Holling III diberikan

pada Persamaan (2) berikut: 2 2

1 22 21 2

1- - -dx x x xrx m y m zdt K a x a x

2

1 1 121

- -dy xm y b y c yzdt a x

(2)

2

2 2 222

- -dz xm z b z c yzdt a x

Suatu asumsi bahwa kedua populasi pemangsa yang ditinjau merupakan populasi

yang sangat bermanfaat bagi kehidupan manusia, maka kedua populasi tersebut selanjutnya

dieksploitasi dengan pemanenan pada masing-masing ukuran populasi. Dengan pertimbangan

tersebut model Persamaan (2) dikembangkan menjadi, 2 2

1 22 21 2

1dx x x xrx m y m zdt K a x a x

2

1 1 1 221

dy xm y b y c yz E ydt a x

(3)

2

2 2 2 32 22

dz xm z b z c yz E zdt a x

Keterangan

x, y, z : Ukuran populasi mangsa, pemangsa pertama dan pemangsa kedua

r : Laju pertumbuhan intrinsik

E2, E3 : Usaha Pemanenan pada populasi pemangsa pertama dan pemangsa kedua

m1 dan m2 : Laju kelahiran pemangsa pertama dan pemangsa kedua

a1 dan a2 : Konstanta kejenuhan pemangsa pertama dan pemangsa kedua

b1 dan b2 : Laju kematian pemangsa pertama dan pemangsa kedua

c1 : Mengukur laju konsumsi pemangsa pertama oleh pemangsa kedua

c2 :Mengukur konversi pemangsa pertama yang dikonsumsi pemangsa kedua ke

dalam laju reproduksi pemangsa kedua

Titik ekuilibrium 푇퐸 (푥, 푦, 푧) model (1) diperoleh dengan menyelesaikan = 0,

= 0, dan = 0, dengan melinearisasi model (4) dengan menggunakan matriks Jacobi

1 1 1

2 2 2

3 3 3

f f fx y zf f fx y zf f fx y z

A

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran 3 x 3, maka dapat digunakan

persamaan det( ) 0 A I yang biasa disebut persamaan kateristik dari A, yaitu3 2

2 1 0( )f a a a . Menurut kriteria kestabilan Routh-Hurwitz titik T5 stabil

asimptotik jika dan hanya jika 0 0,a 2 0,a dan 2 1 0 0,a a a (Jeffries, 1989).

Karena pada posisi titik keseimbangan 5 ( , , )TE x y z pada Persamaan (4.3) terjadi

usaha pemanenan yang dikenakan pada populasi mangsa dengan asumsi bahwa 1 2 0b E

dan 2 3 0b E , serta dengan memisalkan 1 2Q b E dan 2 3S b E , maka 5TE menjadi

2 2 2 2* 2 5 2 5 1 2 1 4 1 5 2 35 5 2 2

2 1 2 5 1 2 1 5

( )( ) ( )( ), ,

( ) ( )m x S a x b E m x Q a x b E

TE xc b a x c b a x

.

Titik keseimbangan * * * *5 ( , , )TE x y z yang stabil asimptotik dihubungkan dengan

persoalan penerimaan total (TR), biaya total (TC) dan keuntungan maksimal ( ). Untuk

keperluan analisis unit harga untuk stok populasi y dan populasi z dinyatakan sebagai 2p dan

3p . Biaya total diasumsikan proporsional hasil tangkapan dengan usaha pemanenan 2E dan

3E dengan koefisien 22c dan 33c . Menurut Toaha (2013) fungsi penerimaan total (TR)

dinyatakan sebagai berikut

* *2 2 3 3

( ) ( )TR TR y TR zp E y p E z

(4)

Selanjutnya, substitusi nilai *y dan *z ke dalam Persamaan (4) sehingga diperoleh,

2 22 22 2 5 2 1 2 3 1 5 3 2 3 322 32 2

2 1 1 22 1 2 5 1 2 1 5

( ) ( ).

( ) ( )p m x p Sb E p m x p Qb E p Qp STR E E

c b c bc b a x c b a x

(5)

Fungsi biaya total (TC) dinyatakan sebagai,

22 2 33 3TC c E c E (6)

Selanjutnya, fungsi keuntungan didefinisikan sebagai penerimaan total dikurangi biaya total

yaitu

TR TC (7)

Dengan mensubstitusikan nilai TR pada Persamaan (5) dan nilai TC pada Persamaan (6)

sehingga akan diperoleh,

2 2 2 22 2 5 2 1 22 2 1 2 5 2 3 1 5 3 2 33 1 2 1 5 322

22 22 12 1 2 5 1 2 1 5

233

1 2

( ) ( )

( ) ( )

p m x p Sb c c b a x E p m x p Qb c c b a x Ep SE

c bc b a x c b a xp Q

Ec b

Karena titik ekuilibrium * * * *5 ( , , )TE x y z bergantung pada usaha pemanenan yang dilakukan

maka fungsi keuntungan bergantung kepada usaha pemanenan. Untuk menentukan nilai usaha

pemanenan yang memberikan keuntungan maksimal, maka perlu ditentukan titik kritis usaha

pemanenan. Berdasarkan Persamaan (8) maka diperoleh turunan pertama yaitu

2 22 2 5 2 1 22 2 1 2 5 2

222 2 12 1 2 5

2 23 1 5 3 2 33 1 2 1 5 3

323 1 21 2 1 5

( ) 2( )

( ) 2( )

p m x p Sb c c b a x p S EE c bc b a x

p m x p Qb c c b a x p Q EE c bc b a x

(9)

Titik kritis dari persamaan (4.8) diperoleh dengan mengambil persamaan (9) yang

sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh titik kritis ( *2E , *

3E ) yaitu:

a. Dari 2

0E

, diperoleh 2 2

2 1 5 2 1 22 2 1 2 52 2

2 2 5

( ( ))2 ( )

p m x p Sb c c b a xE

p S a x

b. Dari 3

0E

, diperoleh 2 2

3 1 5 3 2 33 1 2 1 53 2

3 1 5

( ( ))2 ( )

p m x p Qb c c b a xE

p Q a x

Nilai-nilai usaha pemanenan E2 dan E3 memberikan titik keseimbangan * * * *5 ( , , )TE x y z tetap berada pada keadaan yang stabil asimptotik serta memberikan

keuntungan maksimal dari hasil eksploitasi ketiga populasi tersebut. Fungsi keuntungan dari

ketiga populasi tersebut yang bergantung pada 2E dan 3E dimana keuntungan maksimal

terjadi pada puncak dari permukaan fungsi keuntungan.

KESIMPULAN DAN SARAN

Model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan

pemanenan pada populasi kedua pemangsa menunjukkan bahwa diperoleh titik interior

푇퐸 (푥,푦, 푧) yang stabil asimptotik menurut uji kestabilan Hurwitz dan diperoleh keuntungan

maksimal dari usaha ekploitasi atau pemanenan populasi kedua pemangsa. Populasi mangsa

pemangsa dapat tetap lestari (bertahan hidup) meskipun dieksploitasi dengan usaha

pemanenan dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar 259.3999maks

dimana didapatkan keuntungan maksimal terjadi pada puncak (titik kritis) dari permukaan

fungsi keuntungan. Untuk penelitian selanjutnya, dapat menambahkan berbagai pertimbangan

asumsi lainnya misalkan dengan asumsi menambahkan pengaruh waktu tunda dan usaha

pemanenan untuk melihat perubahan dinamika populasi organisme.

DAFTAR PUSTAKA

Agarwal, M. and R. Pathak. (2012). Persistence and optimal harvesting of prey-predator model with Holling Type III functional response. International Journal of Engineering, Science and Technology Vol. 4, No. 3 : 78-96

Jeffries, C. (1989). Mathematical modeling in ecology. Boston: Birkhauser. Jiang, Q. and J. Wang. (2013). Qualitative analysis of a harvested predator-prey system with

Holling type III functional response. Advances in difference equations a Springer Open Journal: 249-258

Kar, T.K., 2003. Selective Harvesting in a Prey Predator Fishery With Time Delay. Mathematical And Computer Modelling. 38:449-458.

Liu, X. and Y. Xing. (2012). Qualitative Analysis for a Predator Prey System with Holling Type III Functional Response and Prey Refuge. Hindawi Publishing Corporation Discrete Dynamics in Nature and Society Volume 2012, Article ID 678957.

Srinivasu, P.D., Ismail, S., and Naidu, C.R. (2001). Global dynamics and controllability of a harvested prey-predator system. Journal Biological System, 9(1): 67-79

Toaha, Syamsuddin. (2013). Pemodelan Matematika Dalam Dinamika Populasi. Makassar: Dua Satu Press.

Wang, J. and Liqin Pan. (2012). Qualitative analysis of a harvested predator-prey system with Holling-type III functional response incorporating a prey refuge. Advances in difference equations Springer Open Journal: 96-112

Zhang, X., Xu, R., dan Gan, Q. (2011). Periodic Solution in a Delayed Predator Prey Model with Holling Type III Functional Response and Harvesting Term. World Journal of Modelling and Simulation. Vol. 7 No. 1: 70-80

Zhao, J., Zhao, M. and Yu, H. (2013). Effect of Prey Refuge on the Spatiotemporal Dynamics of a Modified Leslie-Gower Predator-Prey System with Holling Type III Schemes. Journal entropy, 15: 2431-2447

LAMPIRAN

Gambar 1 Perilaku kurva solusi populasi mangsa (x)

Gambar 2 Perilaku kurva solusi populasi pemangsa kedua (y)

Gambar 3 Perilaku kurva solusi populasi pemangsa pertama (z)