PENGENALAN KALKULUS

Kursus ini memfokus kepada konsep utama dalam kalkulus , fungsi dan graf,

kefahaman asas kepada had dan teorem had, terbitan dan integral serta pola dan

perhubungan. Teknologi digunakan untuk melakar dan membuat interpretasi graf fungsi.

Pengetahuan adalah maklumat yang diketahui atau disedari oleh seseorang.

Pengetahuan tidak dibatasi pada deskripsi, hipotesis, konsep, teori, prinsip dan prosedur

yang benar atau berguna. Pengetahuan terdiri atas kepercayaan tentang kenyataan juga

mungkin diperoleh berdasarkan pengalaman. Cara lain untuk mendapat pengetahuan ialah

dengan pengamatan dan eksperimen.

Kalkulus adalah satu cabang matematik. Kalkulus telah diwujudkan di sebahagian

besar oleh Newton dan Leibniz, walaupun beberapa idea-idea yang telah digunakan oleh

Fermat dan juga Archimedes. Kalkulus dibahagikan kepada dua bahagian, yang berkait

rapat. Satu bahagian dipanggil "kalkulus pembezaan" dan bahagian yang lain dipanggil

"kalkulus kamiran".

Kalkulus kamiran membayangkan satu bentuk matematik yang mengenal pasti

isipadu, luas dan penyelesaian kepada persamaan. Kalkulus pembezaan adalah satu kajian

terhadap fungsi dan kadar perubahan dalam fungsi apabila pembolehubah diubah. Kalkulus

kamiran menumpukan kepada menentukan jawapan matematik seperti saiz jumlah atau nilai

Kalkulus adalah cabang matematik yang dikembangkan dari algebra dan geometri.

Kalkulus umumya mempelajari perubahan laju (dalam fungsi), seperti halaju, lengkung, dan

isipadu. Perkembangan kalkulus awalnya didukung oleh Archimedes, Leibniz dan Newton

juga Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, dan Wallis. Dasar dari kalkulus adalah

pengamiran, pembezaan dan had.

Luas adalah kuantiti fizik yang menyatakan ukuran suatu permukaan. Unit luas

utama menurut ‘Scale International’ (SI) adalah meter persegi sedangkan menurut sistem

Imperial adalah kaki persegi. Pengukuran luas untuk bentuk-bentuk sederhana boleh

dilakukan dengan menggunakan persamaan Matematik. Contohnya, untuk suatu segiempat,

luas adalah lebar darab tinggi.

Theorem Asas Kalkulus telah dikenali kerana ia menghubungkan dua cabang

kalkulus, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran. Kalkulus pembezaan terhasil

daripada masalah tangen manakala kalkulus kamiran terhasil daripada masalah mencari

luas. Guru kepada Newton di Cambridge, Isaac Barrow (1630 – 1677), menemui dua

masalah dalam kalkulus adalah sangat berkaitan bahkan menyedari pembezaan dan

kamiran adalah proses songsangan.

Theorem Asas Kalkulus menunjukan hubungan songsang yang jelas antara

pembezaan dan kamiran. Newton dan Leibniz menggunakan hubungan antara pembezaan

dan kamiran untuk membina kalkulus sebagai kaedah matematik yang sistematik. Secara

khusus mereka melihat Theorem Asas Kalkulus membolehkan mereka mengira luas dengan

kaedah kamiran adalah mudah tanpa perlu menggunakan limit bagi suatu jumlah.

Cabang kalkulus dipenuhi teori dan aplikasi pengamiran. ‘Differential Calculus’

memfokuskan pada kadar perubahan, seperti kecerunan garis tangen dan halaju. ‘Integral

Calculus’ pula menekankan jumlah sesuatu nilai seperti panjang, luas kawasan dan isipadu.

Penguasaan pelajar dalam Kalkulus Permulaan di peringkat tinggi amat penting bagi

melangkah ke peringkat kalkulus yang lebih tinggi. Kesukaran pelajar dalam penyelesaian

masalah berkaitan kalkulus sering dikaitkan dengan pengetahuan asas yang mereka miliki.

Pengamiran (integration) ialah songsangan bagi pembezaan (differentiation). Jadi,

teknik yang diaplikasikan bagi menyelesaikan soalan yang menuntut penyelesaian berupa

pengamiran adalah berbeza sedikit jika dibandingkan dengan proses pembezaan. Kamiran

ialah satu konsep penting dalam matematik yang bersama dengan pembezaan, membentuk

antara operasi utama dalam kalkulus.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara

berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja pada

waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus, yang juga diterbitkan

oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan pembezaan, satu konsep yang diketahui

umum ketika itu. Terdapat dua jenis pengamiran iaitu pengamiran tentu dan tidak tentu.

Proses pengamiran boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai situasi iaitu

menyelesaikan persamaan lengkung, mencari luas rantau berlorek dan juga isi padu janaan.

Wikipedia menjelaskan secara lebih mendalam mengenai kamiran dan terbitan yang

merupakan asas kalkulus. Kedua-duanya boleh diguna pakai dalam pelbagai bidang sains

dan kejuruteraan. Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila

kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus (fundamental theorem of

calculus). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan.

Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada

kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan

sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal diselesaikan

dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa dengan tepat melalui

kalkulus yang diberi nama infinitesimal calculus ini. Kerja-kerja Newton dan Leibniz ini

akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk kamiran diambil secara langsung

dari kerja Leibniz.

Kalkulus telah wujud sejak zaman purba dan, dalam bentuk yang paling mudah dan

digunakan untuk mengira. Kepentingannya dalam dunia matematik dalam mengisi

kekosongan menyelesaikan masalah yang kompleks apabila matematik mudah tidak boleh

memberi jawapan. Apa yang orang tidak sedar ialah kalkulus diajar kerana ia digunakan

dalam kehidupan seharian di luar bilik darjah sekolah tinggi dan kolej.

Kalkulus mempunyai banyak aplikasi dunia sebenar. Apabila ada masalah yang lebih

kompleks untuk menyelesaikan atau ia melibatkan bentuk yang luar biasa atau saiz, kalkulus

menjadi alat untuk tiba pada penyelesaian. Sebagai contoh, jika terdapat bumbung besar

yang akan dibina seperti bumbung yang dibina melebihi stadium sukan, pereka akan

menggunakan aplikasi kalkulus untuk merancang saiz dan kekuatan struktur. Bagi seorang

profesional yang cuba untuk menentukan kerja, luas, kelantangan, kecerunan, atau luas

permukaan, kalkulus akan banyak membantu.

Sebagai contoh, kalkulus adalah penting untuk mengenal pasti perjalanan jarak

kereta dengan gerak balas pecutan. Hubungan antara kedudukan, halaju, dan pecutan

membentuk salah satu tema penting dalam kalkulus pembeza. Kita akan mendapati bahawa

hubungan ini juga merupakan aplikasi penting kamiran, terutama dalam kes-kes di mana

salah satu kuantiti berubah dengan masa. Melalui idea asas kalkulus pembeza ini, keadaan

yang paling mudah di mana anda boleh membaca bacaan speedometer apabila anda

memandu pada kelajuan yang sama seluruh jarak. Kemudian, anda boleh menggunakan

formula, kelajuan sama dengan jarak dibahagikan dengan masa.

Kemudian kalkulus juga diperlukan dalam mencari sesuatu luas. Berdasarkan

contoh, kalkulus adalah sangat penting dalam mengira luas padang atau ladang. Dengan

menggunakan kalkulus, kita boleh menjimatkan masa dan tenaga untuk mengira luas itu.

Tambahan pula, bagi rantau bentuk tidak teratur, kita tidak boleh menggunakan kaedah

integrasi tetapi cara yang paling mudah adalah skala panjang, kemudian memecahkan ia ke

dalam segiempat tepat yang sama lebar dan mengira jumlah kawasan tersebut. Dalam idea

asas kalkulus kamiran ini, bentuk yang paling mudah untuk mengira luas ialah dengan

menggunakan segi empat tepat. Luas tersebut merupakan panjang segi empat didarab

dengan lebarnya. Sebagai contoh, "batu persegi" adalah ukuran untuk mengukur ukuran

sebidang tanah. Untuk mengira luas rantau yang lebih rumit, kita bina rantau ini ke dalam

bentuk segiempat tepat kecil yang banyak.

Walaupun matematik kalkulus mungkin kelihatan tidak relevan dan tidak diperlukan,

jika kita fikir semula akan hal ini kita akan menyedari bahawa mempelajarinya adalah satu

kepuasan. Kita akan mengetahui keindahan sebenarnya apabila kita memahami keupayaan

alat ini sangat kuat untuk menggambarkan asal usul persekitaran kita. Bagi saya, tiada apa

yang lebih seronok daripada pembelajaran matematik kalkulus. Istilah "Kalkulus" sering

membuat pelajar matematik gementar dalam berada ketakutan kerana reputasinya sebagai

kursus yang sukar untuk diajar di sekolah-sekolah hari ini. Kalkulus memainkan peranan

yang besar di universiti-universiti dan juga mata pelajaran penting kepada pelajar kolej

dalam bidang ekonomi, sains, perniagaan, kejuruteraan, sains komputer, dan sebagainya.

Masyarakat perlu sedar bahawa jika kalkulus ini bukan sebahagian daripada subjek

matematik, kita tidak akan menikmati semua teknologi yang popular hari ini seperti kereta,

telefon bimbit, komputer, motosikal, dan lain-lain mata pelajaran Matematik boleh dianggap

menjadi sumber dunia moden hari ini.

1.1. KONSEP HAD

Pertimbangkan y = f(x) merupakan suatu fungsi. Dimana c dan L merupakan suatu nilai nyata, apabila x menghampiri c tetapi tidak semestinya tertakrif pada c, f(x) akan menghampiri L;

Contoh 1 : Diberi fungsi f : di mana hadx→3

f ( x ) = hadx→3

x + 4 =? Kaedah Jadual:

x 2.8 2.9 2.99 3.01 3.1 3.2

f(x) = x+4 6.8 6.9 6.99 7.01 7.1 7.2

Kaedah Algoritma:

hadx→3

f ( x ) = hadx→3

x + 4 =3 + 4 = 7

Contoh 2 : Cari hadx→2

√ x + 7

Penyelesaian:

hadx→2

f ( x ) = hadx→2

√x + 7 =√2+7=√9=3

Contoh 3 : Cari hadx→1

x2 + 2 x + 1x + 1

Penyelesaian:

hadx→1

x2 + 2 x + 1x + 1

=12

+2(1)+11+1

= 42=2

Latihan 1 :

Cari had bagi fungsi berikut :

Apabila x menghampiri c, f(x) akan menghampiri suatu nombor L.Pernyataan ini boleh ditulis sebagai;

hadx→ c

f (x ) = L

(a)hadx→3

(2x + 5)

(b)

hadx→4

(x2

+ 3 )

(c)

hadx→2

2x − 2

x2

+4

(d)hadx→1

√2x + 2

1.1.1 Teknik Menilai Had

Had boleh dinilai menggunakan penggantian terus. Jika penggantian gagal, ianya

memberikan limx→c

f ( x )=00

. Jadi anda boleh gunakan

i) Teknik penghapusanii) Mengrationalkan ungkapan

1.1.1.1 Teknik Penghapusan

Contoh 3 :

Carihadx→ 1

x2−6 x+5x−1

Penggantian terus memberikan 00

, oleh itu faktorkan

hadx→1

x2−6 x+5x−1

=( x−5 )(x−1)

(x−1)=x−5

hadx→1

x2−6 x+5x−1

=hadx→ 1

( x−5 )=1−5=−4

1.1.1.2 Mengrationalkan ungkapan

Mengrationalkan ungkapan ialah mendarabkan fungsi dengan konjugat

Contoh 4 :

Cari hadx→3

√x−√3x−3

Penggantian terus memberikan 00

hadx→3

√x−√3x−3

● √x+√3x+3

= x−3( x−3 ) (√x+√3 )

¿ 1

√x+√3untuk x ≠3

hadx→3

√x−√3x−3

=hadx→3

1√x+√3

= 12√3

1.1.2 Kriteria bagi kewujudan had

Suatu lengkungan yang dtunjukkan adalah graf fungsi f. Suatu nombor c pada paksi- x dan had L pada paksi-y. Apabila x menghampiri c pada paksi-x, f(x) menghampiri L pada paksi-y.

Terdapat tiga kes;

Kes Satu : f ( c ) = L

Kes Dua: f tidak tertakrif pada c

Kes Tiga : f tertakrif pada c , tetapi f ( c ) ≠ L

Walau bagaimana pun semua kes menunjukkan;

hadx→ c

f (x ) = L

Rajah dibawah menunjukkan had semasa x menghampiri 2.

y

2

3

y y

xxx

111

222

οο

00

•

2)1(

dan

1

f

xf

2,2

3

2,1

x

xxf 2,1 xxf

0

Dalam semua kes di atas kita boleh tulis bahawa : hadx→2

f (x ) = 1

Contoh 5 :

Lengkapkan jadual di bawah dan anggarkan nilai hadnya.

(a)hadx→2

x2 − 4x − 2

Kaedah Jadual :

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

f(x) 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1

Kaedah Algoritma:

hadx→2

x2 − 4x − 2

= hadx→2

( x+2 )( x−2)x−2

=hadx→2

( x+2)=2+2=4

x

f(x)

ο4

2 xx

f(x)

f(x)

f

Graf Fungsi.

(b)hadx→−1

x2 + 2x + 1x + 1

=

Kaedah Jadual:

x -0.9 -0.99 -0.999 -1.001 -1.01 -1.1

f(x) 0.1 0.01 0.001 -0.001 -0.01 -0.1

Kaedah Algoritma:

hadx→−1

x2 + 2x + 1x + 1

= hadx→−1

( x+1)( x+1)x+1

= hadx→−1

( x+1)=−1+1=0

(c)hadx→2

|x−3| =

Kaedah Jadual:x 1.8 1.9 1.99 2.01 2.1 2.2

f(x) 1.2 1.1 1.01 0.99 0.9 0.8

Kaedah Algoritma

hadx→2

|x−3|=|2−3|=|−1|= 1

Graf fungsi f(x):

(d)

¿¿g ( x ) = ¿¿

x 1.9 1.99 1.999 2 2.1 2.2

f(x) 0.3448 0.3344 0.3334 0.333 0.3226 0.3125

hadx→2

g( x )=0 .3

3

3

f(x)

x