PENGHARGAAN.Alhamdulillah, bersyukur ke hadrat Illahi di atas limpah nikmat dankurnia-Nya dapat kami siapkan Kerja Kursus Pendek (KKP) ini dalamtempoh masayang ditetapkan dengan jayanya. Kejayaan initidak akandicapai tanpa bimbingan, bantuan dan kerjasama daripada pihakpensyarah, rakan-rakan dan sesiapa yang terlibat sama ada secaralangsung atau tidak langsung.ekalung penghargaan diucapkan kepada !ncik "oh Piek #ongselakupensyarahsubjek$%!&'()Kalkulus Asas, yangtelahbanyakmemberi tunjuk ajar, sokongan, bimbingan dan kerjasama kepada sayasepanjangprosesmembuat tugasanini. %anpabimbinganbeliau, sayamungkin tidak akan dapat menyiapkan tugasan ini dengan sempurnanya. eterusnya, ucapan terima kasih juga diucapkan kepada rakan-rakan yang banyak membantu saya dalam proses mencari maklumat danmemberi tunjuk ajar kepada saya untuk menyiapkan tugasan ini. egalakerjasamarakan-rakanamatsayahargaidansemogajasa baik merekadiberkati Allah hendaknya. %erima kasih juga diucapkan lagikepada sesiapa yang terlibatdalammenjayakantugasanini samaadasecaralangsungatautidaklangsung.emogasegalajasadanbakti semuayangterlibat dalammenjayakan projek ini akan diberkati Allah. Kepada Allah *%, sayamemohontau+kdanhidayah-Nyasemogausahaini diredhai-Nyadanmemberi man,aatkepadakita. -iharapkanjugahasil tugasanini dapatmemuaskan hati sesiapa yang membacanya.PENGENALANalah satu tujuan ,ungsi adalah untuk me.akili bagaimana perkaraberubah.denganini bermaknaiaadalahsemulajadi untukbergerakkeatas untuk mempertimbangkan konsep kalkulus terhadap kadarperubahan (terbitan) dan pertumbuhan kumulati, (pengkamiran) bersama-samadenganteoremasaskalkulusyangluarbiasayangmemberitahukita baha.a pembe/aan dan pengamiran adalah proses dasarnyasongsang. Kalkulussecaratradisinyamemberi tumpuankepadapenguasaankaedah simbolik untuk pembe/aan dan pengamiran dan digunakan untukmenyelesaikan pelbagai masalah. Ia adalah kedua-dua klimaks matematiksekolahdanpintu masuk kelagi perkembanganteori. Ini kedudukanantara rendah dan matematik canggih ini membolehkan ia akan didekatidengan cara yang berbe/a, dengan pelbagai akibat kurikulum. -i sesetengah negara kalkulus dikaji dalambentuk intuiti, disekolah, dengan konsep had memperkenalkan dinamik dari segi kuantitipembolehubah 0semakin dekat dengan0 nilai tetap mengehadkan.Kurikulumlainmenduduki kedudukanpertengahan, bangunandikedua-dua idea intuiti, tetapi juga menonjolkan de+nisi ,ormal. -rumoyo--o.ns('11() berbandingduaekstrim-bentuk intuiti,di sekolah-sekolah2ritish dan bentuk logik di sekolah 3unani dan mengesahkan penyelidikansebelumnya baha.a pendekatan intuiti, memberikan kesan-kesansampingan yang bertembung dengan takri, ,ormal dalam cara yang akandibincangkan kemudian dalamhal ini bab, sementara menunjukkanbaha.apendekatanyang,ormal menekankanlogiktetapi memberikangambaran yang kurang konsep.4ungsi merupakanantaraperkaraasasdalammemahami sesuatukonsep dalam kalkulus. Apabila kita ingin menyelesaikan sesuatu masalahdalam alam yang nyata ini, kita cernakan masalah tersebut dalam bahasamatematik iaitu mungkin dalam bentuk ,ungsi. Apabila ,ungsi telah terbentuk, maka ia tertakluk kepada si,at 5 si,atsesuatu ,ungsi tersebut. %erdapat ,ungsi yang selanjar dan tidak selanjar,adajuga,ungsi yangtidakselanjartetapi mempunyai had. 6lehyangdemikian, had juga penting bagi kita untuk memahami perbe/aanpengamiran.7ika diingat kembali, kita telah menggunakan ,ungsi semasa diperingkat sekolah menengah lagi. Kita juga ketahui apabila memasukkansesuatu nilai ke dalam ,ungsi, ,ungsi tersebut akan memberikan sesuatunilai kepada nilai yang telah dimasukkan.-e+nisi ,ungsi merupakan undang 5 undang yangmenghubungkaitkan satu ahli dalam set A kepada hanya satu ahli sahajadalam set 2.satu ahli dalam set A kepada hanya satu ahli sahajaxf ( xf ' xf 8 xf & x(x'x8x&x9TUGASAN 1'.'7ika ,(:) dan g(:) adalah dua ,ungsi sedemikian rupa sehinggalimxc f ( x) =0 dan limxc g( x)=, apakah yang boleh anda katakan mengenailimxc ( f ( x) g( x) )=?Jawapan 7ika merujuk limxc f ( x) =0, menunjukkan baha.a nilai ,ungsi ,(:) melalui ( apabila ditunjukkan dalam gra,.4ungsi yang menunjukkan baha.a ,(:) melaui ( adalah ,ungsi garis lurus. ;ontoh gra, garis lurus:$anakala, limxc g( x)= menunjukkan baha.a nilai ,ungsi g(:) akan menghampiri < apabila ditunjukkan dalam gra,. 4ungsi yang menunjukkanlimxc g( x)= adalah salingan. ;ontoh gra, ,ungsi salingan seperti=$anakala, mengenailimxc ( f ( x) g( x) )=?, saya menggunakan teorempendaraban. -imana limxc f ( x) =L dan limxc g( x)=M, 6leh itu=( f ( x) g( x) )=limx c >limxc f ( x)?>limxc g( x)? @ "$$aka, bagi limxc ( f ( x) g( x) )=?, saya menganggarkan baha.a Ana!an 1,(:) @: A 12g(:) @ 12 x+1' @ : A 128: A ' @ (:@ 12: @ 127ika ,(:) @ : A 12 dan g(:)@ 12 x+1 , oleh itu c@ 12( f ( x) g( x) )=limx12 >limx 12f ( x)?>limx 12g( x)?@(x+12) (12 x+1 )@ 12#asil daripada pendaraban dua ,ungsi telah menghasilkan nilailimx 12[ f ( x) g( x) ]=12.Ana!an "#,(:) @&: A 8 g(:) @ 13 x+2' @ &: A 8 &: A 8 @ (:@ 23: @ 237ika ,(:) @ &: A 8 dan g(:)@ 13 x+2 , oleh itu c @ 23( f ( x) g( x) )=limx23 >limx 23f ( x)?>limx 23g( x)?@ 13 x+2(3 x+2) )@ '#asil daripada pendaraban dua ,ungsi telah menghasilkan nilailimx 23[ f ( x) g( x) ]=1.Ana!an $,(:) @: A 8 g(:) @ 1x+2' @ : A 8 : A 8 @ (:@ 2: @ 27ika ,(:) @ : A 8 dan g(:)@ 1x+2 , oleh itu c @ 2( f ( x) g( x) )=limx2 >limx 2 f ( x)?>limx 2 g( x)?@ 1x+2( x+2) )@ '#asil daripada pendaraban dua ,ungsi telah menghasilkan nilailimx 2 [ f ( x) g ( x) ]=1.Ana!an %,(:) @B- &: g(:) @ 173 x' @ B - &: B - &:@ (:@ 73: @ 737ika ,(:) @ B - &: dan g(:)@ 13 x7 , oleh itu c @ 73( f ( x) g( x) )=limx 73 >limx 73f ( x)?>limx 73g( x)?@ 13 x7(3 x7) )@ '#asil daripada pendaraban dua ,ungsi telah menghasilkan nilailimx 73[ f ( x) g ( x) ]=1.&ES'(PULAN2erdasarkan keempat-empat anggaran di atas, saya dapat membuatkesimpulan baha.a nilai had c merupakan nombor nyata dan nilai bagihadcjugabergantungkepadapersamaan,ungsi ,(:). $anakala, hasildarab ,ungsi ,(:) dan g(:) akan mendapat 12 jika ,ungsi h(:) tidak samadengan penyebut g(:) manakala jika ,ungsi h(:) sama dengan penyebutg(:), hasil darab,ungsi h(:)dang(:)akanmendapat'. #al ini keranasetiap ,ungsi yang dipilih oleh saya dapat dihapuskan satu sama lain. Apayang saya maksudkan disini ialah ,ungsi bagi f ( x) yang saya pilih dapatdibahagikan dengan ,ungsig(x).aya memilih ,ungsi-,ungsi yangmempunyai bentuk yang lebih kurang sama supaya dapat memudahkansaya untuk mendarab kedua ,ungsi tersebut. elain itu, pemilihan ,ungsiyang dibuat oleh saya dalamcontoh yang telah ditunjukkan adalahsupaya saya dapat mencari nilai xc dengan mudah.'.8jika h(:) dan g(:) adalah dua ,ungsi sedemikian rupa sehinggalimxc h( x)= dan limxc g( x)=, apakah yang anda boleh perkatakan mengenai limxc (h( x)g( x) )C7ika diperhatikan kedua-dua ,ungsi h(:) dan g(:) menghampiri ke < dan apabila ditunjukkan dalam gra, kedua-dua ,ungsi h(:) dan g(:) adalah salingan. Apabila dilakar akan membentuk=2agi menyelesaikan masalahlimxc (h( x)g( x) ), saya menggunakanteorem penambahan dan pembe/aan, dimanalimxc f ( x) =Ldanlimxc g( x)=Mlimxc [ f ( x) g ( x) ] @ limxc f ( x) limx c g( x)@ " $6leh itu,seperti langkah pada soalan '.' saya akan menganggar nilaihad,ungsi h(:) dan g(:).Ana!an 17ika h(:) @ 5x dan g(:) @ 1x+2h(:) @ 5xg(:) @ 1x+2: @ ( :A 8 @ ( : @ - 87ika lihat daripada ,ungsi salingan di atas, nilai had bagi ,ungsi h(:) dang(:) tidak sama. 6leh itu, ,ungsi tersebut tidak boleh melakukanpenolakan menggunakan teorempenambahan dan pembe/aan. 2agimemastikanbaha.akesimpulana.al sayabetul atautidak, sayaakanmelakukan anggaran semula terhadap nilai had ,ungsi h(:) dan g(:).Ana!an "7ika h(:) @ 16 x+3 dan g(:) @ 15 xh(:)@ 16 x+3g(:) @ 15 x+1 D: A & @ (E: A ' @ ( : @ 12: @ 15Nilai had h(:) dan g(:) tidak sama. Aplikasi teori tidak dapat dijalankanAna!an $7ika h(:) @ 15 x dan g(:) @ 1xh(:) @ 15 xg(:) @ 1xE: @ ( : @ ( F @(Nilai had h(:) dan g(:) sama. Aplikasi teori dapat dijalankan.limx0 [ h( x)g( x) ] @ limx0 h( x)limx 0 g(x)@ limx015 xlimx 01x@ 45 xAna!an %7ika h(:) @ 15+x dan g(:) @ 15xh(:)@ 15+xg(:)@ 15xEA : @ ( E 5 :@(: @ -E: @ ENilai had h(:) dan g(:) tidak sama. Aplikasi teori tidak dapat dijalankan.&esimpulan$erujuk kepada keempat-empat anggaran di atas, saya melihat nilai had ,ungsi h(:) dan g(:) akan sama apabila kedua-dua ,ungsi adalah persamaan yang sama atau penyebut kedua-dua ,ungsi darab dengan : seperti dalam anggaran &. Nilai had h(:) dan g(:) tidak akan sama jika kedua-dua ,ungsi tidak menggunakan persamaan yang sama. -isamping itu, saya memilih ,ungsi-,ungsi yang mempunyai bentuk yang lebih kurang sama supaya dapat memudahkan saya untuk membe/akan kedua ,ungsi tersebut. elain itu, pemilihan ,ungsi yang dibuat oleh saya dalam contoh yang telah ditunjukkan adalah supaya saya dapat mencari nilaixc dengan mudah.*alaubagaimanpun, nilai had ,(:) dan g(:) adalah nombor nyata.TUGASAN "8.' Kajikan ,ungsi berikut=4(:) @ |x|( x+1)2 Nyatakan domain dan julat bagi ,ungsi ,(:) Kenalpastikan titik-titik ekstremum relati,, titik lengkuk balas dan asimptot bagi ,(:), Kaji perilaku lengkung pada jiranan setiap titik gentingnya dengan membina jadual koordinat ,ungsi 2erdasarkan angka-angka dalam jadual anda, huraikan perilaku lengkung tersebut dengan jelas agar menunjukkan ke,ahaman anda yang baik tentang konsep-konsep titik maksimum relati,, titik minimum relati,, titik lengkuk balas dan asimptot dalam konteks ,ungsi ,(:)Jawapany @ |x|( x+1)2) -9 -& -8 -' ( ' 8 & 9y 49348 ( 1429316425$erujuk pada jadual di atas, kita dapat mencari domain dan julat bagi ,ungsi ,(:). -imana domain bagi ,(:) adalah nilai : pada :-a:is manakala julat ,ungsi ,(:) adalah nilai y pada y-a:is. 6leh itu dapat disimpulkan baha.a=-omain=