Laporan Aplikasi Konsep Pembezaan di dalam Kehidupan Harian

Kalkulus adalah satu disiplin matematik yang luas serta berpelbagaian, yang

merupakan hasil kajian manusia sejak beberapa kurun dahulu. Jadi, senarai

terperinci nama ahli-ahli matematik yang memberikan sumbangan dalam bidang

kalkulus sudah tidak dapat dikaji semula. Walau bagaimanapun, masih terdapat

beberapa nama ahli matematik yang perlu dinyatakan apabila membincangkan

sejarah kalkulus. Antara tokoh-tokoh yang terkenal dalam usaha mewujudkan

bidang kalkulus adalah Archimedes, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz.

Secara amnya, bidang kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus

kamiran dan kalkulus pembezaan. Kedua-dua cabang tersebut mempunyai

hubungan yang rapat. Kalkulus pembezaan merupakan hasil daripada kajian garis

tangen suatu lengkung, dan gerakan suatu objek yang jatuh. Berikutan daripada

kewujudan kalkulus pembezaan, banyak teori dan teorem telah pun diterbit dan

digunakan secara meluas untuk menyelesaikan masalah-masalah matematik dan

praktikal. Kalkulus pembezaan mempunyai pelbagai kegunaan termasuk

menganalisis perubahan kecil sesuatu fungsi, melakar graf, menerbit formula

kaedah Newton, menyelesai masalah pengoptimum, mengawal paras inventori, dan

menganalisa keanjalan permintaaan dalam bidang ekonomi.

Dalam kalkulus, pembezaan atau terbitan merupakan suatu ukuran bagi

perubahan dalam fungsi y = ƒ (x) berhubung dengan perubahan pembolehubah

bebas. Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh sebuah ungkapan dalam bentuk

sama seperti jika derivatif dy / dx mewakili keputusan bagi dari kuantiti by dy dx

kuantiti. Satu juga boleh menulis

Istilah yang tepat dari ungkapan seperti bergantung pada konteks aplikasi dan

tahap simpulan matematik diperlukan. Dalam matematik moden rawatan yang ketat

ini, jumlah dx dan dy hanya pembolehubah-pembolehubah riil tambahan yang boleh

1

dimanipulasi seperti itu. Domain dari pembolehubah-pembolehubah ini dapat

mengambil makna geometri tertentu jika pembezaan ini dianggap sebagai bentuk

pembezaan tertentu, atau signifikansi analitis jika pembezaan ini dianggap sebagai

hampiran linear dengan peningkatan fungsi. Dalam aplikasi fizikal, pemboleh ubah

dx dan dy sering terhad sangat kecil ("sangat kecil").

Berdasarkan beberapa rujukan daripada pelbagai sumber dinyatakan disini

contoh-contoh aplikasi konsep pembezaan di dalam kehidupan seharian.

Contoh 1

Seorang pengilang tin makanan perlu menentukan bentuk tin yang

paling ekonomi.Dia perlu menjimatkan kepingan logam yang digunakan untuk

membuat tin bagi isipadu kandungan yang telah ditetapkan terlebih dahulu.

Dengan mengaplikasikan kalkulus,

1. Tetapkan isipadu kandungan bagi tin.

2. Tulis rumus bagi luas permukaan dan isipadu tin yang mempunyai tapak

berbentuk ;

(i) segitiga sama

(ii) segiempat sama

(iii) bulatan.

3.Tentukan ukuran optimum bagi setiap bentuk tin.

4.Pilih bentuk tin yang paling optimum.

2

Bentuk 1

- Luas permukaan, A =√34r2h

- Isipadu, V =√32r2+3 rh

- Nilai isipadu yang ditetapkan ialah 400 ml

Nilai isipadu 400 ml = 400 cm³

Luas segitiga, A = √s √s−a√s−b √s−c

= √s √s−r √s−r √s−r

s = r+r+r2

= 3 r2

Dari itu, luas segitiga, A = √ 3 r2 √ r2 √ r2 √ r2 =

√34r2

Isipadu prisma segitiga, V = √34r2h

3

Luas permukaan prisma segitiga, A = (luas tapak) + 3(luas permukaan segiempat)

= 2(√34r2) + 3rh

A =√32r2+3 rh

V =√34r2h

400 = √34r2h

1600 =√3 r2h

h = 1600

√3 . r2--------------------- Persamaan 1

A = √32r2+3 r ( 1600

√3 . r2)

= √32r2+ 4800

√3 . r

dAdr

= √3 r−4800√3 r2

Jika dAdr

= 0

√3 r−4800√3 r2

= 0

3r³ - 4800 = 0

3r³ = 4800

r³ = 1600

r = 11.7 cm

Gantikan r = 11.7 cm dalam persamaan 1

4

h =1600

√3 .(11.7)2

= 6.7 cm

Dari itu, nilai r = 11.7 cm dan h = 6.7 cm.

Luas permukaan = √32

(11.7)2+3 (11.7)(6.7)

= 167. 66 + 235. 17

= 402. 83 cm²

Bentuk 2

- Luas permukaan, A = 2r² + 4rh

- Isipadu, V = r²h

- Nilai isipadu yang ditetapkan ialah 400 ml.

Nilai isipadu 400 ml = 400 cm³

V = r²h

400 = r²h

h = 400 ------------------------persamaan 1 r²

A = 2r² + 4r (400) r²

5

= 2r² + 1600 r²

dA= 4r - 1600dr r²

JikadA = 0dr

4r – 1600 = 0r²

4r³ - 1600 = 0

4r³ = 1600

r³ = 400

r = 7.4 cm

Gantikan r = 7.4 cm dalam persamaan 1

h = 400 (7.4)²

= 400 54.76

= 7.3 cm

Dari itu, nilai r = 7.4 cm dan 7.3 cm

Luas permukaan = 2r² + 4rh

= 2(7.4)² + 4(7.4)(7.3)

= 325.6 cm²

Bentuk 3

6

- Luas permukaan, A = 2π r2+2 πrh- Isipadu, V = π r2h- Nilai isipadu yang ditetapkan ialah 400 ml

Nilai isipadu 400 ml = 400 cm³

V = π r2h

400 = π r2h

h = 400

π . r2-------------------- Persamaan 1

A = 2π r2+2 πr ( 400

π . r2)

= 2π r2+ 800

r

dAdr

= 4 πr−800

r2

7

JikadAdr

= 0

4 πr−800r2

= 0

4 π r3−800=0

4 π r3= 800

r³ = 8004 π

r³ = 200π

r = 4 cm

Gantikan r = 4 cm dalam persamaan 1

h = 400

π . (4 )2

= 8 cm

Dari itu, nilai r = 4 cm dan h = 8 cm

A = 2π r2+2 πrh

= 2π (4)2+2 π (4 )(8)

= 100.53 + 201. 06

= 301. 59 cm²

ANALISIS DAPATAN KAJIAN

8

Bentuk Luas Permukaan Nilai r Nilai h

Prisma Segitiga 402.83 cm³ 11.7 cm 6.7 cm

Kubus 325.60 cm³ 7.4 cm 7.3 cm

Silinder 301.59 cm³ 4 cm 8 cm

Jadual 1

Berdasarkan Jadual 1 di atas, hasil kajian saya menunjukkan luas permukaan, nilai r

dan nilai h pada ketiga-tiga bentuk. Saya tidak memilih bentuk prisma segitiga dan

kubus sebagai bentuk tin makanan paling optimum kerana berdasarkan kajian dan

analisa saya, luas permukaan yang terdapat pada bentuk prisma segitiga adalah

nilai yang tidak optimum kerana nilai 402.83 cm³ adalah nilai yang cukup tinggi dan

kos kepingan logam juga turut sama dipengaruhi oleh luas permukaan. Begitu juga

dengan bentuk kubus.Nilai luas permukaan yang terdapat pada bentuk kubus tidak

begitu optimum berbanding dengan bentuk silinder.Selain itu, apabila saya melawat

ke beberapa buah pasar raya terdekat, saya dapati bahawa kebanyakan tin-tin

makanan yang dikeluarkan oleh pengilang makanan lebih gemar menggunkan

bentuk silinder ataupun bentuk kuboid.Bagi bentuk prisma segitiga pula hanya

terdapat pada bentuk coklat “tubleron” manakala bentuk kubus pula tidak pernah

digunakan sebagai bentuk tin makanan.

Walaupun begitu, bentuk prisma segitiga dan kubus yang dihasilkan

adalah stabil berdasarkan nilai ukuran lebar, r yang terdapat pada kedua-dua bentuk

tersebut. Dari segi aspek pembungkusan pula, bentuk prisma segitiga dan bentuk

kubus tidak menghasilkan ruang yang banyak kerana bentuknya yang tidak

melingkar dan hal ini akan dapat menjimatkan kos penghantaran dan kos

9

pembungkusan. Bentuk silider pula, di antara kelebihan yang terdapat pada bentuk

ini ialah bentuk ini stabil mengikut nilai ukuran diameter dan tinggi yang sesuai

seperti mana nilai ukuran optimum yang saya perolehi bagi bentuk ini.Kos kepingan

logam juga dapat dikurangkan kerana luas permukaan bentuk ini lebih kecil

berbanding luas permukaan bentuk kubus dan prisma segitiga.

Namun begitu, bentuk silinder yang saya pilih sebagai bentuk paling

optimum juga mempunyai kelemahan. Dari segi aspek pembungkusan, bentuk

silinder banyak menghasilkan ruang kosong di antara satu tin dengan tin yang lain.

Hal ini akan meningkatkan kos pembungkusan seterusnya kos penghantaran

produk.

Sebagai kiesimpulannya, saya memilih bentuk silinder untuk

dijadikan sebagai bentuk tin makanan yang paling optimum.Saya memilih bentuk

silinder kerana luas permukaannya adalah lebih kecil berbanding dengan bentuk

prisma segitiga dan bentuk kubus. Hal ini akan menjimatkan kos kepingan logam

yang digunakan untuk membuat tin tersebut dan inilah yang dimahukan oleh setiap

pengeluar produk makanan. Jika dilihat pada nilai ukuran pada bentuk silinder, nilai

4 cm dan 8 cm adalah ukuran paling optimum kerana tin makanan yang akan

dihasilkan nanti tidak terlalu lebar yang mempunyai nilai diameter 8 cm berbanding

nilai r pada bentuk prisma segitiga yang berukuran 11.7 cm. Manakala bentuk

silinder yang dihasilkan juga tidak terlalu tinggi kerana berukuran 8 cm.

Contoh 2

10

12 cm

Rajah di atas menunjukkan sebuah akuarium hemisfera yang dibeli oleh Fauzi di

sebuah kedai akuarium dengan keadaan jejari 12cm. Apabila seekor ikan

peliharaannya dimasukkan ke dalam akuarium tersebut didapati bahawa tahap air

dalam akuarium h cm meningkat pada kadar 0.100 . Memandangkan akuarium ini

berbentuk hemisfera, Azmi telah menghitung kadar perubahan kawasan permukaan

air yang paling atas pada ketika h=6.

Pertama sekali kita mesti dapatkan luas permukaan air. Jadi

andaikan jejari permukaan air sebagai r cm dan A sebagai luas.

Daripada PQR seperti dalam gambar rajah di atas dengan menggunakan

Teorem Phytagoras.

(12-h)2 + r2 =122

144-24h+h2+r2 =144

-24h+h2+r2 =0

11

12-h

Kawasan permukaan air yang paling atas

tapak

h cm

12

12

R

h cmh

r

r2 =24h-h2

A =πr2

=π(24h-h2)

Sebelum dapatkan kadar perubahan kawasan air, Azmi perlu mencari

pembezaan terhadap luas,A

A =π(24h-h2)

dA/dh =π(24-2h)

kadar perubahan yang dinyatakan oleh Azmi ialah 0.100cms-1

Jadi pembezaannya ialah:

dh/dt=0.100cms-1 

Maka perubahan kawasan permukaan air ialah:

dA/dt = dA/dh x dh/dt

= π(24-2h)x(0.100)

gantikan h sebagai 6 = π[24-2(6)]x(0.100)

= 1.2π

Jadi kadar perubahan luas kawasan permukaan air setelah dimasukkan ikan ialah

1.2π

Contoh 3

Pada suatu petang, Naim dan Kamal telah mandi di sebuah tasik

berdekatan rumah mereka. Naim telah melihat Kamal yang sedang menyelam ke

12

dasar tasik mengeluarkan gelembung udara. Apa yang peliknya, gelembung udara

yang dikeluarkan oleh Kamal semakin membesar apabila menghampiri permukaan

air tasik seperti ditafsirkan dalam silinder pada rajah di bawah. Untuk membuktikan

kebenaran ini Isma telah menggunakan konsep pembezaan untuk mencari kadar

peningkatan isipadu air apabila jejari gelembung air ialah 1.5cm. Isma telah

mengandaikan jejari gelembung air mengembang pada kadar 0.04cm s-1.

Untuk mengira kadar perubahan isipadu kita perlu tahu isipadu sfera

memandangkan gelembung udara berbentuk sfera.

Jadi isipadu sfera ialah 4/3 πj3 di mana j ialah jejari. Kadar perubahan isipadu

sfera diwakili oleh dV/dt dan diwakili dV/dj apabila mengalami perbezaan.

V = 4/3πj3

dV/dj = 4πj2

untuk mendapatkan kadar perubahan isipadu gelembung udara, isipadu sfera

yang telah mengalami proses pembezaan itu tadi mestilah didarabkan

dengan kadar peningkatan jejari gelembung udara.

Jadi kadar peningkatan jejari gelembung udara diwakili oleh. Jadi

menggunakan rumus aturan rantai kita dapat mencari kadar perubahan

isipadu gelembung udara:

13

dV/dt = dV/dj x dj/dt

= 4πj2 x 0.04

= 4π(1.5)2 x 0.04 (gantikan j=1.5)

= 0.36π cm3s-1

Rumus aturan rantai ialah suatu rumus yang digunakan untuk mengira

terbitan komposisi dua atau lebih fungsi dalam kalkulus. Maka hasil pengiraan

di atas dapatlah diketahui bahawa kadar perubahan isipadu gelembung udara

adalah 0.36π cm3s-1.

14