Download - kalkulus
Laporan Aplikasi Konsep Pembezaan di dalam Kehidupan Harian
Kalkulus adalah satu disiplin matematik yang luas serta berpelbagaian, yang
merupakan hasil kajian manusia sejak beberapa kurun dahulu. Jadi, senarai
terperinci nama ahli-ahli matematik yang memberikan sumbangan dalam bidang
kalkulus sudah tidak dapat dikaji semula. Walau bagaimanapun, masih terdapat
beberapa nama ahli matematik yang perlu dinyatakan apabila membincangkan
sejarah kalkulus. Antara tokoh-tokoh yang terkenal dalam usaha mewujudkan
bidang kalkulus adalah Archimedes, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz.
Secara amnya, bidang kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus
kamiran dan kalkulus pembezaan. Kedua-dua cabang tersebut mempunyai
hubungan yang rapat. Kalkulus pembezaan merupakan hasil daripada kajian garis
tangen suatu lengkung, dan gerakan suatu objek yang jatuh. Berikutan daripada
kewujudan kalkulus pembezaan, banyak teori dan teorem telah pun diterbit dan
digunakan secara meluas untuk menyelesaikan masalah-masalah matematik dan
praktikal. Kalkulus pembezaan mempunyai pelbagai kegunaan termasuk
menganalisis perubahan kecil sesuatu fungsi, melakar graf, menerbit formula
kaedah Newton, menyelesai masalah pengoptimum, mengawal paras inventori, dan
menganalisa keanjalan permintaaan dalam bidang ekonomi.
Dalam kalkulus, pembezaan atau terbitan merupakan suatu ukuran bagi
perubahan dalam fungsi y = ƒ (x) berhubung dengan perubahan pembolehubah
bebas. Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh sebuah ungkapan dalam bentuk
sama seperti jika derivatif dy / dx mewakili keputusan bagi dari kuantiti by dy dx
kuantiti. Satu juga boleh menulis
Istilah yang tepat dari ungkapan seperti bergantung pada konteks aplikasi dan
tahap simpulan matematik diperlukan. Dalam matematik moden rawatan yang ketat
ini, jumlah dx dan dy hanya pembolehubah-pembolehubah riil tambahan yang boleh
1
dimanipulasi seperti itu. Domain dari pembolehubah-pembolehubah ini dapat
mengambil makna geometri tertentu jika pembezaan ini dianggap sebagai bentuk
pembezaan tertentu, atau signifikansi analitis jika pembezaan ini dianggap sebagai
hampiran linear dengan peningkatan fungsi. Dalam aplikasi fizikal, pemboleh ubah
dx dan dy sering terhad sangat kecil ("sangat kecil").
Berdasarkan beberapa rujukan daripada pelbagai sumber dinyatakan disini
contoh-contoh aplikasi konsep pembezaan di dalam kehidupan seharian.
Contoh 1
Seorang pengilang tin makanan perlu menentukan bentuk tin yang
paling ekonomi.Dia perlu menjimatkan kepingan logam yang digunakan untuk
membuat tin bagi isipadu kandungan yang telah ditetapkan terlebih dahulu.
Dengan mengaplikasikan kalkulus,
1. Tetapkan isipadu kandungan bagi tin.
2. Tulis rumus bagi luas permukaan dan isipadu tin yang mempunyai tapak
berbentuk ;
(i) segitiga sama
(ii) segiempat sama
(iii) bulatan.
3.Tentukan ukuran optimum bagi setiap bentuk tin.
4.Pilih bentuk tin yang paling optimum.
2
Bentuk 1
- Luas permukaan, A =√34r2h
- Isipadu, V =√32r2+3 rh
- Nilai isipadu yang ditetapkan ialah 400 ml
Nilai isipadu 400 ml = 400 cm³
Luas segitiga, A = √s √s−a√s−b √s−c
= √s √s−r √s−r √s−r
s = r+r+r2
= 3 r2
Dari itu, luas segitiga, A = √ 3 r2 √ r2 √ r2 √ r2 =
√34r2
Isipadu prisma segitiga, V = √34r2h
3
Luas permukaan prisma segitiga, A = (luas tapak) + 3(luas permukaan segiempat)
= 2(√34r2) + 3rh
A =√32r2+3 rh
V =√34r2h
400 = √34r2h
1600 =√3 r2h
h = 1600
√3 . r2--------------------- Persamaan 1
A = √32r2+3 r ( 1600
√3 . r2)
= √32r2+ 4800
√3 . r
dAdr
= √3 r−4800√3 r2
Jika dAdr
= 0
√3 r−4800√3 r2
= 0
3r³ - 4800 = 0
3r³ = 4800
r³ = 1600
r = 11.7 cm
Gantikan r = 11.7 cm dalam persamaan 1
4
h =1600
√3 .(11.7)2
= 6.7 cm
Dari itu, nilai r = 11.7 cm dan h = 6.7 cm.
Luas permukaan = √32
(11.7)2+3 (11.7)(6.7)
= 167. 66 + 235. 17
= 402. 83 cm²
Bentuk 2
- Luas permukaan, A = 2r² + 4rh
- Isipadu, V = r²h
- Nilai isipadu yang ditetapkan ialah 400 ml.
Nilai isipadu 400 ml = 400 cm³
V = r²h
400 = r²h
h = 400 ------------------------persamaan 1 r²
A = 2r² + 4r (400) r²
5
= 2r² + 1600 r²
dA= 4r - 1600dr r²
JikadA = 0dr
4r – 1600 = 0r²
4r³ - 1600 = 0
4r³ = 1600
r³ = 400
r = 7.4 cm
Gantikan r = 7.4 cm dalam persamaan 1
h = 400 (7.4)²
= 400 54.76
= 7.3 cm
Dari itu, nilai r = 7.4 cm dan 7.3 cm
Luas permukaan = 2r² + 4rh
= 2(7.4)² + 4(7.4)(7.3)
= 325.6 cm²
Bentuk 3
6
- Luas permukaan, A = 2π r2+2 πrh- Isipadu, V = π r2h- Nilai isipadu yang ditetapkan ialah 400 ml
Nilai isipadu 400 ml = 400 cm³
V = π r2h
400 = π r2h
h = 400
π . r2-------------------- Persamaan 1
A = 2π r2+2 πr ( 400
π . r2)
= 2π r2+ 800
r
dAdr
= 4 πr−800
r2
7
JikadAdr
= 0
4 πr−800r2
= 0
4 π r3−800=0
4 π r3= 800
r³ = 8004 π
r³ = 200π
r = 4 cm
Gantikan r = 4 cm dalam persamaan 1
h = 400
π . (4 )2
= 8 cm
Dari itu, nilai r = 4 cm dan h = 8 cm
A = 2π r2+2 πrh
= 2π (4)2+2 π (4 )(8)
= 100.53 + 201. 06
= 301. 59 cm²
ANALISIS DAPATAN KAJIAN
8
Bentuk Luas Permukaan Nilai r Nilai h
Prisma Segitiga 402.83 cm³ 11.7 cm 6.7 cm
Kubus 325.60 cm³ 7.4 cm 7.3 cm
Silinder 301.59 cm³ 4 cm 8 cm
Jadual 1
Berdasarkan Jadual 1 di atas, hasil kajian saya menunjukkan luas permukaan, nilai r
dan nilai h pada ketiga-tiga bentuk. Saya tidak memilih bentuk prisma segitiga dan
kubus sebagai bentuk tin makanan paling optimum kerana berdasarkan kajian dan
analisa saya, luas permukaan yang terdapat pada bentuk prisma segitiga adalah
nilai yang tidak optimum kerana nilai 402.83 cm³ adalah nilai yang cukup tinggi dan
kos kepingan logam juga turut sama dipengaruhi oleh luas permukaan. Begitu juga
dengan bentuk kubus.Nilai luas permukaan yang terdapat pada bentuk kubus tidak
begitu optimum berbanding dengan bentuk silinder.Selain itu, apabila saya melawat
ke beberapa buah pasar raya terdekat, saya dapati bahawa kebanyakan tin-tin
makanan yang dikeluarkan oleh pengilang makanan lebih gemar menggunkan
bentuk silinder ataupun bentuk kuboid.Bagi bentuk prisma segitiga pula hanya
terdapat pada bentuk coklat “tubleron” manakala bentuk kubus pula tidak pernah
digunakan sebagai bentuk tin makanan.
Walaupun begitu, bentuk prisma segitiga dan kubus yang dihasilkan
adalah stabil berdasarkan nilai ukuran lebar, r yang terdapat pada kedua-dua bentuk
tersebut. Dari segi aspek pembungkusan pula, bentuk prisma segitiga dan bentuk
kubus tidak menghasilkan ruang yang banyak kerana bentuknya yang tidak
melingkar dan hal ini akan dapat menjimatkan kos penghantaran dan kos
9
pembungkusan. Bentuk silider pula, di antara kelebihan yang terdapat pada bentuk
ini ialah bentuk ini stabil mengikut nilai ukuran diameter dan tinggi yang sesuai
seperti mana nilai ukuran optimum yang saya perolehi bagi bentuk ini.Kos kepingan
logam juga dapat dikurangkan kerana luas permukaan bentuk ini lebih kecil
berbanding luas permukaan bentuk kubus dan prisma segitiga.
Namun begitu, bentuk silinder yang saya pilih sebagai bentuk paling
optimum juga mempunyai kelemahan. Dari segi aspek pembungkusan, bentuk
silinder banyak menghasilkan ruang kosong di antara satu tin dengan tin yang lain.
Hal ini akan meningkatkan kos pembungkusan seterusnya kos penghantaran
produk.
Sebagai kiesimpulannya, saya memilih bentuk silinder untuk
dijadikan sebagai bentuk tin makanan yang paling optimum.Saya memilih bentuk
silinder kerana luas permukaannya adalah lebih kecil berbanding dengan bentuk
prisma segitiga dan bentuk kubus. Hal ini akan menjimatkan kos kepingan logam
yang digunakan untuk membuat tin tersebut dan inilah yang dimahukan oleh setiap
pengeluar produk makanan. Jika dilihat pada nilai ukuran pada bentuk silinder, nilai
4 cm dan 8 cm adalah ukuran paling optimum kerana tin makanan yang akan
dihasilkan nanti tidak terlalu lebar yang mempunyai nilai diameter 8 cm berbanding
nilai r pada bentuk prisma segitiga yang berukuran 11.7 cm. Manakala bentuk
silinder yang dihasilkan juga tidak terlalu tinggi kerana berukuran 8 cm.
Contoh 2
10
12 cm
Rajah di atas menunjukkan sebuah akuarium hemisfera yang dibeli oleh Fauzi di
sebuah kedai akuarium dengan keadaan jejari 12cm. Apabila seekor ikan
peliharaannya dimasukkan ke dalam akuarium tersebut didapati bahawa tahap air
dalam akuarium h cm meningkat pada kadar 0.100 . Memandangkan akuarium ini
berbentuk hemisfera, Azmi telah menghitung kadar perubahan kawasan permukaan
air yang paling atas pada ketika h=6.
Pertama sekali kita mesti dapatkan luas permukaan air. Jadi
andaikan jejari permukaan air sebagai r cm dan A sebagai luas.
Daripada PQR seperti dalam gambar rajah di atas dengan menggunakan
Teorem Phytagoras.
(12-h)2 + r2 =122
144-24h+h2+r2 =144
-24h+h2+r2 =0
11
12-h
Kawasan permukaan air yang paling atas
tapak
h cm
12
12
R
h cmh
r
r2 =24h-h2
A =πr2
=π(24h-h2)
Sebelum dapatkan kadar perubahan kawasan air, Azmi perlu mencari
pembezaan terhadap luas,A
A =π(24h-h2)
dA/dh =π(24-2h)
kadar perubahan yang dinyatakan oleh Azmi ialah 0.100cms-1
Jadi pembezaannya ialah:
dh/dt=0.100cms-1
Maka perubahan kawasan permukaan air ialah:
dA/dt = dA/dh x dh/dt
= π(24-2h)x(0.100)
gantikan h sebagai 6 = π[24-2(6)]x(0.100)
= 1.2π
Jadi kadar perubahan luas kawasan permukaan air setelah dimasukkan ikan ialah
1.2π
Contoh 3
Pada suatu petang, Naim dan Kamal telah mandi di sebuah tasik
berdekatan rumah mereka. Naim telah melihat Kamal yang sedang menyelam ke
12
dasar tasik mengeluarkan gelembung udara. Apa yang peliknya, gelembung udara
yang dikeluarkan oleh Kamal semakin membesar apabila menghampiri permukaan
air tasik seperti ditafsirkan dalam silinder pada rajah di bawah. Untuk membuktikan
kebenaran ini Isma telah menggunakan konsep pembezaan untuk mencari kadar
peningkatan isipadu air apabila jejari gelembung air ialah 1.5cm. Isma telah
mengandaikan jejari gelembung air mengembang pada kadar 0.04cm s-1.
Untuk mengira kadar perubahan isipadu kita perlu tahu isipadu sfera
memandangkan gelembung udara berbentuk sfera.
Jadi isipadu sfera ialah 4/3 πj3 di mana j ialah jejari. Kadar perubahan isipadu
sfera diwakili oleh dV/dt dan diwakili dV/dj apabila mengalami perbezaan.
V = 4/3πj3
dV/dj = 4πj2
untuk mendapatkan kadar perubahan isipadu gelembung udara, isipadu sfera
yang telah mengalami proses pembezaan itu tadi mestilah didarabkan
dengan kadar peningkatan jejari gelembung udara.
Jadi kadar peningkatan jejari gelembung udara diwakili oleh. Jadi
menggunakan rumus aturan rantai kita dapat mencari kadar perubahan
isipadu gelembung udara:
13
dV/dt = dV/dj x dj/dt
= 4πj2 x 0.04
= 4π(1.5)2 x 0.04 (gantikan j=1.5)
= 0.36π cm3s-1
Rumus aturan rantai ialah suatu rumus yang digunakan untuk mengira
terbitan komposisi dua atau lebih fungsi dalam kalkulus. Maka hasil pengiraan
di atas dapatlah diketahui bahawa kadar perubahan isipadu gelembung udara
adalah 0.36π cm3s-1.
14