1

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1. Soleha, S.Si, M.Si

2. Dian Winda Setyawati, S.Si, M.Si Abstrak

Matriks similar dengan suatu matriks diagonal atau dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen sama dengan n. Untuk matriks yang jumlah multiplisitas geometrinya tidak sama dengan n, matriks tersebut tidak dapat didiagonalkantetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan

, yang similar dengan . Untuk mendapatkan matriks , harus mendapatkan matrikssedemikian hingga .

Tugas akhir ini mengkaji cara mendapatkan matriks S dengan menggunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Selain itu juga mengkaji bentuk matriks Jordan, sifat-sifat matriks Jordan, dan aplikasi matriks Jordan pada sistem kontrol waktu diskrit.

Kata kunci : matriks Jordan, vektor-eigen tergeneralisasi, sistem kontrol waktu diskrit

1. Pendahuluan Matriks dan dikatakan

similar jika ada matriks nonsingular P sehingga

Jika matriks mempunyai multiplisitas geometri dari nilai-eigen sama dengan n, dapat didiagonalkan dengan kata lain ada matriks diagonal D yang similar dengan matriks Asehingga

dengan dan sebagai vektor kolom ke-i. adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen untuk [4]. Lalu bagaimana jika multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama dengan ? Apakah tidak ada matriks yang similar dengan ? Ternyata walaupun matriks , multiplisitas geometri darinilai-eigen tidak sama dengan , tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan, yang similar dengan A.Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut

dengan .

2. Nilai-eigen, Vektor-eigen, dan Similaritas Berikut ini diberikan definisi nilai-eigen,

vektor-eigen, dan cara mendapatkannya.

Definisi 2.1 [2] Jika , maka vektor tak-nol pada disebut suatu vektor-eigen dari jika

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai-eigen dari , dan disebut suatu vektor-eigen dari yang bersesuaian dengan .

Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu matriks adalah sebagai berikut.

Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika

Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa diperoleh dengan cara memasukkan nilai ke persamaan

Jika adalah nilai-eigen dari suatu matriks maka multiplisitas aljabar adalah

banyaknya sebagai akar dari persamaan polinomial karakteristik A. Sedangkan multiplisitas geometri adalah dimensi ruang-eigen yang bersesuaian dengan [2].

Definisi 2.2 [4] Misalkan . Untuk suatu nilai-eigen , himpunan dari semua vektor

yang memenuhi disebut ruang-

2

eigen dari yang bersesuaian dengan nilai-eigen . Ingat bahwa setiap elemen tak nol dari ruang-

eigen merupakan vektor-eigen dari dari yang bersesuaian dengan nilai-eigen .

Berikut diberikan teorema yang menghubungkan besarnya nilai dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri.

Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masing-masing nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Pandang persamaan .disebut polinomial karakteristik dari .Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu matriks.

Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan adalah polinomial karakteristik dari

maka

Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan dalam pembahasan yaitu: 1. Matriks Diagonal

Suatu matriks dikatakan diagonal jika .

2. Matriks Segitiga Suatu matriks dikatakan matriks segitiga atas jika . Jika

, maka dikatakan matriks strictly segitiga atas. dikatakan matriks segitiga bawah jika .

Nilai-eigen dari dua matriks yang disebutkan di atas, bisa langsung diketahui. Hal ini tertera pada lema berikut.

Lema 2.1 [2] Jika (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A.

3. Matriks Blok Diagonal Suatu matriks dalam bentuk

dengan dan , dikatakan matriks blok diagonal.

Matriks di atas dapat ditulis sebagai . Persamaan ini

disebut jumlahan langsung dari matriks .

Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks.

Definisi 2.3 [4] Suatu matriks dikatakan similar dengan matriks jika terdapat suatu matriks nonsingular sedemikian hingga

Relasi “B similar A” dinotasikan dengan .

Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana diberikan pada lema di bawah ini.

Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah suatu relasi ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini

a. Refleksif : b. Simetris : maka c. Transitif : dan maka

Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks yang similar dengan matriks diagonal seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.4 [2] Suatu matriks dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks Pyang mempunyai invers sedemikian sehingga adalah suatu matriks diagonal.

Berdasarkan Definisi 2.4 maka dapat dikatakan matriks dapat didiagonalkan jika similar terhadap suatu matriks diagonal. Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada teorema berikut ini.

Teorema 2.3 [5] Misal i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika

jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n.ii. Jika multiplisitas geometri dari masing-

masing nilai-eigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A dapat didiagonalkan.

iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masing-masing multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat didiagonalkan.

Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas matriks blok diagonal.

Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilai-eigen dengan multiplisitas

, dan berbeda maka similar terhadap matriks dengan bentuk

3

dengan adalah matriks segitiga atas dengan semua elemen diagonalnya sama dengan

.

Berikut ini diberikan sifat-sifat yang dimiliki dua matriks similar.

Teorema 2.5 [4] Misalkan . Jika A dan B similar, maka keduanya mempunyai rank, determinan, dan polinomial karakteristik yang sama.

Lema 2.3 [4] Misal matriks dan . Jika

adalah jumlahan langsung dari A dan B maka C dapat didiagonalkan jika dan hanya jika A dan Bdapat didiagonalkan.

3. Bentuk Kanonik JordanMatriks Jordan adalah jumlahan langsung

dari matriks blok Jordan. Suatu matriks Jordan yang similar dengan matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan. Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat diketahui dengan mudah.

Berikut ini diberikan definisi blok Jordan.

Definisi 2.5 [4] Suatu blok Jordan Jk(λ) adalah matriks segitiga atas dengan bentuk

ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal;

muncul k kali pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan . Matriks Jordan

adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

Dengan mungkin sama dan nilai tidak perlu berbeda.

4. Sifat-sifat Matriks Jordan terhadap Similaritas Sebelum menuju sifat-sifat matriks Jordan

terhadap similaritas, terlebih dahulu perlu membuktikan lema berikut.Lema 4.1 [4] Diberikan dan blok Jordan

Maka

(i). dan

(ii). jika (iii). untuk

dan (iv).dengan adalah matriks identitas, adalah vektor satuan basis standar ke-i dan

.Bukti : (i). Dengan induksi, akan dibuktikan

Untuk matriks berukuran

Anggap benar untuk matriks berukuran

Sekarang cek untuk matriks

(ii). Dengan induksi, akan dibuktikan ,

Untuk matriks berukuran maka pasti sama

dengan 0. Anggap benar untuk matriks berukuran

Jadi Sekarang cek untuk matriks berukuran

4

Sehingga

(iii). Akan dibuktikan untuk

Bukti:

hanya akan mempunyai nilai saat bertemu dengan kata lain hanya yang

mempunyai nilai. Matriks berukuran yang hanya elemen ke yang sama dengan satu adalah

.(iv). Akan dibuktikan

Bukti :

Lema di atas akan digunakan untuk

pembuktian Teorema 4.1.2 berikut ini Teorema 4.1 [4] Misalkan adalah matriks strictly segitiga atas. Terdapat sebuah matriks nonsingular dan bilangan bulat

dengan dan sedemikian sehingga

Bukti: Pembuktian akan dilakukan dengan induksi. Jika Anggap benar untuk matriks berukuran yaitu matriks matriks strictly segitiga atas terdapat matriks nonsingular sedemikian hingga

dengan , dan

Perhatikan bahwa tidak ada blok jordan pada diagonal J yang berukuran lebih besar dari sehingga berdasarkan Lema 4.1.1 (ii) maka

Sekarang akan dibuktikan untuk matriks berukuran n. Dimisalkan

dengan , dan adalah matriks strictly segitiga atas. Pandang persamaan di bawah ini

Dengan mempartisi menjadi yaitu dan dan berdasarkan persamaan serta partisi pada ruas kanan dari , maka persamaan dapat ditulis sebagai berikut

Sekarang pandang similaritas dari matriks tersebut yaitu

Ada dua kemungkinan nilai berdasarkan atau .

5

(i) Jika maka

dengan

adalah blok Jordan berukuran dengan diagonal utama nol. Gunakan sifat untuk , secara rekursif dapat ditunjukkan bahwa untuk

Untuk

Untuk

Karena , terlihat bahwa paling banyak dalam langkah pada similaritas ini, nilai di luar diagonal pada akhirnya akan sama dengan nol. Dapat disimpulkan bahwa

(ii) Jika , maka menunjukkan bahwa similar terhadap matriks

Dengan similaritas,

Sehingga dapat pula disimpulkan bahwa similar terhadap matriks

Berikut akan dicari matriks yang similar dengan matriks B. Misalkan matriks tersebut adalah

Akan dibuktikan dengan induksi. Untuk matriks berukuran .Dianggap benar untuk yaitu terdapat matriks nonsingular sedemikian hingga

Dengan adalah matriks Jordan dengan elemen diagonal nol.

(4.6)

Karena similar dengan dan

similar dengan maka

similar dengan .

Teorema 4.2 [4] Misalkan adalah matriks real. Terdapat suatu matriks nonsingular

sedemikian sehingga

dan .

Bukti: Berikut ini akan dibuktikan bahwa .Dari Teorema 2.4 didapatkan bahwa setiap

matriks kompleks yang mempunyai nilai-eigen dengan multiplisitas dan

berbeda, similar dengan matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama similar dengan matriks Jordan.

6

Misalkan matriks segitiga atas dengan elemen diagonal utama p adalah dan misalkan

adalah matriks strictly segitiga atas sedemikian hingga

Dari Teorema 4.1 diketahui bahwa . akan dibuktikan dengan kata lain

akan dibuktikan .

karena setiap matriks kompleks similar dengan matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama dan matriks tersebut similar dengan matriks Jordan maka setiap matriks kompleks similar dengan matriks Jordan.

5. Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi

Suatu matriks , dengan jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen tidak sama dengan n, maka tidak similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektor-eigennya tidak sama dengan Tetapi matriks tersebut similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektor-eigen tergeneralisasi.

Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen tergeneralisasi dengan tingkat dari A yang berpadanan dengan jika dan hanya jika

dan

Perhatikan jika , definisi ini menjadi dan , di mana ini

merupakan definisi vektor-eigen.

Misalkan adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan tingkat , maka vektor-eigen tergeneralisasi tersebut dapat ditentukan dari persamaan berikut.

yang dapat dituliskan sebagai

Himpunan vektor disebut rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang .

Berikut ini akan dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang dari nilai-eigen yang sama adalah vektor bebas linear.

Teorema 4.3 [3] Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang maka adalah bebas linear.

Bukti: Akan dibuktikan vektor-eigen tergeneralisasi

adalah vektor bebas linear. Dengan kata lain akan dibuktikan untuk

,

hanya mempunyai 1 penyelesaian yaitu

Pembuktian akan dilakukan dengan iterasi. Iterasi 1 Kalikan kedua ruas dengan

Berdasarkan Definisi 4.2.1 bahwa diperoleh

karena maka dapat disimpulkan bahwa . Dengan mensubstitusikan hasil ini ke (4.10) diperoleh persamaan berikut

(4.11)

Iterasi 2 Kalikan kedua ruas dengan

7

Berdasarkan Definisi 4.1 bahwa diperoleh

karena maka dapat disimpulkan bahwa . Dengan mensubstitusikan hasil ini ke diperoleh persamaan berikut

Kalikan kedua ruas dengan dan akan diperoleh kembli persamaan

sehingga .Dengan mengulangi langkah-langkah tersebut, akhirnya didapatkan kesimpulan

Sehingga terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi adalah vektor bebas linear.

Setelah terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dari nilai-eigen yang sama merupakan vektor bebas linear, selanjutnya akan dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai-eigen yang berbeda juga bebas linear.

Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.

Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, misalkan mempunyai nilai-eigen dengan

jadi mempunyai satu rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang sedangkan .Misalkan vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan adalah dan vektor-eigen yang bersesuaian dengan

adalah . Akan dibuktikan bahwa

adalah bebas linear dengan kata lain akan dibuktikan bahwa

hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu

Pandang lagi persamaan Kalikan kedua ruas dengan

Berdasarkan Definisi 4. 1 bahwa diperoleh

Karena maka oleh sebab itu

Kalikan dengan

sehingga

maka

Kalikan dengan

sehingga

maka

Dan seterusnya hinga diperoleh

Karena maka

8

Karena maka

Dan seterusnya hingga diperoleh

Dari Teorema 4.3 diperoleh

sehingga bebas linear.

Sekarang asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan

nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari , maka nilai-eigen dari A adalah

Berikut ini akan dibahas dua kasus yaitu untuk dan

.

4.2.1Untuk kasus di mana

adalah hanya ada satu vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen , akibatnya hanya ada satu blok Jordan yang bersesuaian dengan nilai-eigen berulang ini.

Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari serta , maka ada matriks Jordan

dan

dengan adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan

adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen sedemikian hingga

Bukti: Dari

Dari maka memenuhi persaman berikut

Vektor-eigen bersesuaian dengan nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditentukan dari

Kemudian dengan menggabungkan persamaan

dengan , yaitu

diperoleh

Karena dan

maka persamaannya menjadi

4.2.2 Karena kita berasumsi bahwa matriks

memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari dan

, maka ada vektor-eigen yang bebas linear yang bersesuaian dengan sehingga terdapat blok Jordan yang bersesuaian dengan nilai-eigen .

9

Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear, terlebih dahulu akan dibuktikan sifat berikut.

Lema 4.2 [3] Diberikan ruang null dari , maka

Bukti: ruang null dari dengan kata lain

memuat semua yang memenuhi .

Akan dibuktikan dengan kata lain akan dibuktikan jika maka

berarti Dengan mengalikan kedua ruas dengan

diperoleh

Berarti

Sekarang akan ditunjukkan cara untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear.

Kita misalkan multiplisitas aljabar dari adalah dan misalkan

maka

maka

maka

maka

maka

Dari nilai null dapat diketahui jumlah vektor yang bebas linear yaitu

vektor-eigen

vektor-eigen

vektor-eigen Sehingga

Berikut ini akan dijelaskan bagaimana menentukan banyaknya blok Jordan dan ukuran blok Jordan yang bersesuaian dengan .i. Jika maka terdapat

blok jordan yang bersesuaian dengan .ii. Jika dan

dengan panjang rantai dengan

maka ukuran blok Jordan yang bersesuaian dengan adalah

.

Teorema 4.6. Jika maka terdapat dan dimana kolom-kolom merupakan vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan sedemikian hingga

Bukti:Tanpa mengurangi keumuman anggap bahwa

mempunyai nilai-eigen nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari dan

sehingga artinyaterdapat s blok Jordan pada matriks Jordan. Misalkan panjang rantai dengan

maka bisa diperoleh Rantai pertama

diperoleh

maka

Rantai kedua

diperoleh

maka

Rantai ke-s

10

diperoleh

maka

Vektor-eigen bersesuaian dengan nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditetukan dari

Kemudian dengan menggabungkan persamaan vektor-eigen tergeneralisasi sebelumnya dengan persamaan vektor-eigen di atas menjadi satu, yaitu

Misalkan rantai vektor sebagai

Diperoleh

Atau sehingga

6. Keberagaman Sistem Kontrol Waktu Diskrit

Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh

Misalkan didefinisikan vektor keadaan baru

dengan adalah matriks nonsingular. Substitusikan persamaan ke persamaan

, diperoleh

Kalikan kedua ruas dengan

Misal didefinisikan

dan maka persamaan dapat ditulis ulang sebagai

Dengan cara yang sama,

Misalkan dan maka persamaan menjadi

Hal ini menunjukkan bahwa sistem pada persamaan ekivalen dengan persamaaan sistem dan .

7. Keteramatan Sistem Kontrol Waktu Diskrit

Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh

dengan waktu yang merupakan bilangan bulat

11

vektor keadaan, vektor output, matriks anggota matriks anggota

Solusi dari

Setelah mendapatkan solusi sistem pada persamaan , bisa didefinisikan sifat keteramatan dari sistem tersebut. Definisi 4.2 Suatu sistem dinamakan teramati jika setiap keadaan awal

dapat ditentukan dari .Dengan menggunakan , kita

mendapatkan syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan seperti yang dijelaskan pada lema berikut ini. Lema 4.3 [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan pada persamaan

adalah

7.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keteramatan

Selain dengan cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan apakah suatu sistem teramati atau tidak. Yaitu dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jordan.

Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh . Jika semua vektor-eigen berbeda, dan

sebuah matriks transformasi mentransformasikan ke bentuk matriks diagonal, sedemikian hingga

dengan adalah nilai-eigen berbeda dari . Sistem teramati jika dan hanya jika tidak ada kolom dari matriks yang semua elemennya nol.

Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jordan:

Sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika

a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,

b. Kolom yang bersesuaian dengan baris pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua,

c. Elemen dari masing-masing kolom yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.

8. Keterkontrolan Sistem Kontrol Waktu Diskrit

Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh

dengan waktu yang merupakan bilangan bulat vektor keadaan, vektor kontrol, matriks anggota matriks anggota

Untuk selanjutnya, sistem yang dinyatakan dengan persamaan (4.22) dinotasikan sebagai sistem . Solusi dari dapat diselesaikan menggunakan metode rekursi yaitu

Mengulangi prosedur ini, didapatkan

Setelah mendapatkan solusi sistem ,bisa didefinisikan sifat keterkontrolan dari sistem tersebut.

Definisi 4.3 Suatu sistem dinamakan terkontrol jika untuk setiap keadaan awal

dan keadaan akhir , terdapat dan vektor kontrol sedemikian hingga

solusi dalam persamaan menjadi .

Dengan menggunakan definisi yang diberikan, kita akan mendapatkan syarat untuk keadaan keterkontrolan.

Lema 4.4 [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keterkontrolan pada persamaan

adalah

Bukti: Akan dibuktikan jika sistem terkontrol maka

. Misal dan . Karena terkontrol, maka terdapat dan

sedemikian hingga

12

Artinya

.Jika jelas

. Jika,

. Jadi .

Akibatnya .

Dengan kata lain

Akan dibuktikan jika maka

sistem terkontrol. Karena solusi dari persamaan adalah

kita mendapatkan

Karena adalah matriks , kita dapatkan bahwa masing-masing dari matriks

adalah matriks . misalkan

Matriks disebut matriks keterkontrolan. Jika rank matriks keterkontrolan adalah , maka untuk sebarang keadaan dan , terdapat sebuah rangkaian sinyal kontrol

yang memenuhi persamaan . sehingga jika rank dari matriks keterkontrolan adalah , maka sistem

terkontrol

8.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keterkontrolan Selain dengan cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan

apakah suatu sistem terkontrol atau tidak. Yaitu dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jordan.

Teorema 4.7 [6] Jika matriks adalah matriks diagonal maka sistem terkontrol.

Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh (4.28). Jika semua vektor-eigen berbeda, maka mungkin untuk menemukan matriks transformasi

seperti

Perhatikan bahwa jika nilai-eigen berbeda maka vektor-eigen berbeda. Bagaimanapun, kebalikannya tidak benar. Perhatikan juga bahwa kolom ke i dari matriks adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen ke i

. Misalkan didefinisikan

maka persamaan (4.28) menjadi

Misalkan didefinisikan

maka,

Jika pada matriks yang berukuran terdapat vektor baris nol, maka variabel keadaan yang bersesuaian dengan kolom tersebut tidak dapat dikontrol oleh setiap . Oleh sebab itu, syarat untuk keadaan keterkontrol adalah bahwa, jika vektor-eigen berbeda, maka sistem dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika tidak ada vektor baris nol dalam . Hal ini penting

13

untuk dicatat bahwa untuk menerapkan syarat ini pada keadaan terkontrol, kita harus mengubah matriks ke dalam bentuk diagonal. Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jordan. Sebagai contoh, jika mempunyai nilai-eigen dan mempunyai

vektor-eigen yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari adalah

Submatriks berukuran dan pada diagonal utama disebut blok Jordan.

Andaikan mungkin untuk menemukan matriks transformasi sehingga

Jika kita definisikan

maka

Syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem

dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika

a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,

b. Elemen dari vektor baris yang bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol,

c. Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.

9. Kesimpulan Berdasarkan analisis yang telah dilakukan,

dapat diambil kesimpulan yaitu 1. Matriks strictly segitiga atas similar

dengan matriks Jordan 2. Sebarang matriks real similar dengan

matriks Jordan

3. Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang maka

adalah bebas linear. 4. Vektor-eigen tergeneralisasi dari dengan

vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.

5. Untuk sebarang terdapat yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-eigen (tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga

6. Matriks adalah matriks Jordan, sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang

bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Kolom yang bersesuaian dengan baris

pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua,

c. Elemen dari masing-masing kolom yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.

7. Jika matriks adalah matriks Jordan, syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika

a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,

b. Elemen dari vektor baris yang bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol,

c. Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol

10.Daftar Pustaka 1. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar

Linear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.

2. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.

3. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing.

4. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990. Matrix Analysis. Cambridge University Press.

5. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company.

6. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time Control Systems Second Edition. Prentice-Hall International, Inc.