jurnal asimen

8/7/2019 jurnal asimen

1/13

Pertanika J. Soc. ScL & Hum. 9(1): 21 - 33 (2001) ISSN,0128-7702tEl Universili Putra Malaysia Press

Algoritma Pendaraban Nombor Perpuluhan dari PerspektifPelajar Tingkatan Satu

AIDA SURAYA BT. HJ. MD.YU USJabatan Pendidikan

Pakulti Pengajian PendidilwnUniversiti Putra Malaysia

43400 UPM, SCI'dang, Selangor, MalaysiaRata klUlci: Kaedah mengajar nombor perpuluhan l konstruktivismel temu duga klinikall pendidikanguru matematik

ABSTRAKKajian ini membincangkan algoritma pendaraban yang melibatkan nombor perpuluhan dariperspektif pelajar Tingkatan Satu. Data kuali tatif dari kajian kes yang dijalankan berlandaskanleori konstruktivis dikumpul melalui dua sesi temu duga kJinikal. Temu duga melibalkan en


2/13

Aida Suraya Hj. MeL Yunus

tcrhOldap soalan pcndaraban yang melibatkannombor perpllilihan, adalah tidak lTIlinasabah.Hiebert dan Wearne (1986) be'lJendapat kesilapandalam pcnclaraban r.mg melibatkan nomborperpllilihan bcrpunca daripada tiga perkara.Pert..;lma, tidak dapm mengaitkan anl.ara simbalangka, simbol operasi dan konsep yang dirujuk.Kedua, tidak dapal mcmbuat pcrkaitaI1 anLarapetu


3/13

.Algoduna Pendarab;:m Nombor Perpuluhan da.i Perspektif P e l ~ a T Tingkalan SalU

tentang apa yang bcr laku dalam bilik daljahmenunjukkan p e l : : ~ j a r mcmbina pengetahuanberdasarkan pengalaman sendiri (Steffe et al.1983; Cobb 1988) dan ilmu pengetahuan bukanditerima secara pasif melalui deria alaukomunikasi (von Glasersfe ld 1988). Dalamkontcks mengenal pasti konsepsi matematik yangdipunyai pelajar, Steffe dan Cobb (1988)berpendapat metodolog i yang ber landaskanKonstruktivisme sesuai digunakan.

Fokus kajian yang berIandaskan Konstruk-tivisme adalah terhadap pemerihalan kefahaman-an pel ajar dari perspektif pelajar sendiri (Confrey1991). Kefahaman pelajar tentang sesuatuperkara alau fenomena mcnyediakan lanclasanbagi lllcngenal pasti algoritma pendarabannombor perpuluhan yang digllnakan pelajar.Konstruktivisme menganggap pengerahuan yangdipunyai oleh seseorang individu tentang sesuatufenomena, dibina scndiri olch individu lersebutberdasarkan pengalaman yang dipunyainya danbukan didapati dengan hanya membuat replikatenw.ng apa yang diperhatikan dalam duniasebenar (Steffe et al. 1983; Cobb 1988).Penyelidikan malematik yang benll juan untukmengenal pasti konsepsi yang dipunyai pelajaradalah berasaskan andaian bahawa terdapatpengalaman pelajar yang bersifat lazim ataumenjadi kebiasaan bagi mereka (Steffe 1991).Pola tingkah laku pelajar dalam pelbagai komeksyang disediakan dalam kajian ini menyediakanIandasan bagi mengcnal pasti algoritma yangdigunakan pelaja r dal am menda rab nomborperpllluhan.

KAEDAH KAJIANRelm 13enJuh Kajian: & ~ i a n ini merupakan sam k ~ ~ i a n kes. K.ajian kesmerupakan sam b ~ i a n yang mendalam dan telititen tang sesuaLU fenomena dan melibatkanbilangan subjek yang kecil sahaja.Johnson (1980)menjelaskan bahawa kajian kes mempunyaipotensi yAng unik dalam mengumpul maklumatberkaitan dengan pengajaran dan pembelajaran.Menurut Mills (1984) pula, kajian kes yangmembabitkan pengumpulan data melalui temuduga mcmbolchkan pengkaji membuat inferensyang tertentll. Berdasarkan pendapat di alas dankajian lepas yang berasaskan Konstruktivismc(Cobb 1983; Nik Azis 1987; Aida Suraya 1996),pengkaji berpendapat kajian kes merupakankacdah yang paling scsuai bagi kajian yangmemheri llimpuan terhadap algoritma

pendaraban nombor perpuluhan yang digunakanpelajar.Sampel KajianLokasi kajian adalah sebuah sekolah menengahdi scbuah pekan kecil di Selangor. Seramaienam pelajar Tingkatan Saw dipil ih sebagaisubjek kajian berdasarkan dua kriteria mama.Pertama, kepercayaan guru yang mengajarmatemalik bahawa mereka akan melibatkan dirisecara aktif dalam temu duga. Kcdua, preslasimalematik mereka. Dua subjek te lah memperoleh A dalam Matematik UPSR, seorangmendapat B, dua orang mendapat C dan seorangmendapat D.

Pemil ihan pelajar Tingkatan Satu dibuatkerana pada peringkat in i mereka telahdiperkena lkan kepada pendaraban nomborperpuluhan dengan nombor bula[ danp endarab an nombo r perpuluhan dengannombor perpllluhan. Pemil ihan subjek yangmerangkumi pelajar pada aras kebolchanmatemalik yang berbeza, dibuat kerana pengkajimengandaikan subjek yang mempunyai araskebolehan matematik yang berbeza boleh mema-parkan penggunaan a lgor itma pendarabannombor perpuluhan yang berbeza. K . ~ i a n yangberlandaskan Konslfuktivisme memberi tumpuanterhadap konsepsi pelajar dan bukan b e r t t ~ u a nuntuk membuat perbandingan antara sawkumpulan subjek dengan sam kumpulan subjekyang lain.Prosedur KajianAntara metodolog i pengumpli lan data yangdikemukakan Konslruktivisme adalah lemu dugaklinikal. Teknik temu duga klinikal membolehkan pengk'ti i menunus dan menguji andaiantentang pengetahuan matematik yang dipunyaipelajar semasa temu duga dijalankan (Cobb danSteffe 1983). Setiap p e l ~ a r ditemu duga sebanyakdua kali dan setiap sesi temu duga mengambilmasa lebih kurang satti jam.

Semasa scsi ternu duga, pe lajar diberimasalah unluk diselcsaikan dan diminta memberihujah dan rasional terhadap set iap langkahpenyclesaian yang dibuat. Selain percakapanpelajar, lingkah laku bukan lisan seperti menulis,melukis dan melorek juga merupakan dalakajian. Untuk memlldahkan pemerhatianterhadap tingkah laku pe1


4/13

Aida Suraya Hj. Md. Yunus

Diberi 15 x 237 = 3555, nyatakanhasil darab 1.5 x 2.37.

Bahagian 3. Subjek diminta memberi jawapantanpa membuat pengiraan.Contoh:Nyatakan nombor yang 10 kali lebihbesar daripada 8.73.Nyatakan nombor yang 100 kalilebih besar daripada 8.73.

Kajian RintisKajian rintis yang melibatkan dua orang pelajarTingkatan Satu telah dijalankan di sekolah yangsarna. Kajian rintis ini bertujuan untuk (i)melihat kesesuaian soalan temu duga yangdisediakan dari segi isi, cara menyoal dan bahasayang digunakan; (ii) mengumpul maklumatte n tang respons yang mungkin diberikan subjekterhadap soalan yang disediakan; dan (iii)menganggar masa yang diperlukan bagi setiapsesi temu duga. Berdasarkan respons subjek,soalan temu duga dikemas kini dari segi isikandungan, kepadatan isi, bahasa dan caramenyoal.

Contoh: 0.5 x 100.5 x 1002.37 x 100o 0 5 0 00050002370

Bahagian 2. Subjek diminta meletakkan titikperpuluhan pada hasil darab. Tiadapengiraan perlu dilakukan.

Temu Duga PertamaBahagian 1. Soalan seperti 3 x 4.7Tujuan: Mengetengahkan konsep pem-

binaan beberapa kumpulanmengikut saiz tertentu.

Bahagian 3. Soalan seperti 0.25 x 4, 0.75 x 80,0.62 x 100Tujuan: Mengetengahkan algoritma menu-kar perpuluhan kepada bentukpecahan untuk memudahkan p e ngiraan dibuat.

Instrumen KajianInstrumen kajian adalah berbentuk skedul temuduga separa berstruktur. Bagi setiap soalan yangdiberi, pelajar diminta membacakan soalantersebut, menyelesaikannya dan seterusnyadiminta memberi hujah dan rasional terhadaplangkah yang dUalankan.

Menentulwn Tempat Perpuluhan Berdasarhan TempatPerpuluhan Bagi Pe/wliDalam penggunaan algoritma menentukantempat perpuluhan berdasarkan tempatperpuluhan bagi pekali, subjek mendarab duanombor yang diberi dan menentukan tempattitik perpuluhan dalam hasH darab berdasarkanjumlah bilangan tempat perpuluhan dalam pekaliyang melibatkan nombor perpuluhan. Petikanberikut menggambarkan penggunaan algoritmaini (P merujuk kepada penemu duga, M merujukkepada pelajar, nama pelajar bukan namasebenar) .

ANALISIS DATAPenganalisisan data melibatkan tiga peringkat.Pertama, mentranskripsi temu duga kepadabentuk bertulis. Kedua, algoritma pendarabannombor perpuluhan yang digunakan subjek,dikenal pasti berdasarkan tingkah laku yangkonsisten dalam menyelesaikan masalah yangdiberi. Ketiga, analisis antara subjek dibuat bagimengenal pasti algoritma pendaraban nomborperpuluhan yang digunakan pelajar TingkatanSam.

PERBINCANGANTujuh algoritma pendaraban nomborperpuluhan yang digunakan pelajar TingkatanSatu telah dikenal pasti. Beberapa petikan daritranskripsi verbatim pelajar digunakan untukmenghuraikan setiap algoritma yang dibincang-kan. Petikan yang dipilih menggambarkantingkah laku subjek yang konsisten dalam sesitemu duga yang dUalankan.

Soalan seperti 0.5 x 28Mengetengahkan idea pengambilansebahagian dari satu kumpulan.

Bahagian 2.Tujuan:

Temu Duga KeduaBahagian 1. SUbjek diminta membentuk ceritaatau masalah perkataan dari ayat

matematik yang diberi. Misalnya,3 x 4.7, 3.6 x 4, 3.6 X 4.7.Tujuan: Mentafsir makna yang dipunyai olehsubjek ten tang pendaraban yang

melibatkan nombor perpuluhan.

24 Pertanikaj. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001


5/13

Algoritma Pendaraban Nombor Perpuluhan dari Perspektif Pelajar Tingkaran Satu

Petikan I(Subjek: Sarah, mendapat C dalamMatemalik UPSR)

P: Kira 0.5 X 0.4?M: (Membuat pengiraan panjang, mendapathasil 020 dan kemudiannya meletakkan titik

perpuIuhan unLUk memperoleh jawapan0.20)P: Bagaimana Sarah tentukan titik perpuluhan?M: SoaIan itu ada 0.5 dan 0.4, ada dua titik

perpu luhan. Jad i, langkau dua kali(menunjukkan cara peralihan titikperpuluhan dibuat pada jawapan).

P: So alan ini pula, 2.37 X 10. Di mana titikperpuluhan?M: (Membuat pengiraan. Melelakkan titik perpuluhan pada hasil darab yang diperolehi).23.70

P: Kenapa di situ?M: Sebab 2.37 ini ada dua angka sebelum titik

perpuluhan.Pelikan 2(Subjek: Mokhtar, mendapal B dalamMatematik UPSR)

P: Cuba soalan ini. 0.5 X 0.23?M: (Membuat pengiraan panjang, mendapathasil 01150, mengira lempal perpuluhan

dalam pekali dan meletakkan titik perpu-luhan empat tempat ke kid dad akhir).

O. 5 0x O. 2 3I 5 0I 0 0

0 0 0o . 1 I 5 0

P: Kenapa Mokhtar buat 0.50 x 0.23?M: Saya tambah 0 untuk 0.5 ini untuk mencu-

kupkan soalannya, supaya senang didarabdengan nambar di bawah im.

P: Bila dah dapat jawapan bagaimana?M: Saya langkau dua dari kanan (merujuk

pekali) .P: Kenapa buat jawapannya empat langkau?M: Sebab dah didarab.P: Cuba soalan ini 0.23 x 0.5.M: (Mendarab 0.23 dengan 0.5 dan mengha-silkan jawapan 0.115). 0.115.

P: Macam mana letak litik itu?M: 0.23 ada dua titik perpuluhan, 0.5 ada sam

titik perpuluhan jadi langkau tiga titikperpuluhan.

P: Kenapa Mokhtar tak letak 0.50 untuk soalan ini.M: Bila nambor yang muIamula kurang titikperpuluhan dari nambor yang kedua.

Selain Sarah dan Makhtar, dalam kontekstertentu, Nadiah, Hamdan dan Zahari jugamenggunakan algorilrna ini. Algaritma ininampaknya paling kerap digunakan oleh pelajardalam mendarab nombor perpuluhan.Mengetepikan Tilik Perpuluhan dan MendarabNombor Bulat DahuluAJgoritma mengetepikan titik perpuluhan danmendarab nambor bulat dahulu digunakandalam mendarab nombor perpllluhan dengannombor bulat,jllga nambor perpuluhan dengannombor perpuIuhan. Pelajar mendarab namborperpuluhan yang diberi, tanpa mengambil kiratempat perpuluhannya dan memasukkan titikperpuluhan pada hasil darab yang diperoleh.Penggunaan algoritma ini perlll digabungdengan algoritma menentukan tempat per-puluhan berdasarkan tempat perpuIuhan bagipekali. Petikan berikut menggambarkanpenggunaan algoritma ini.

Petikan 3(Subjek: Nadiah, mendapat A dalamMatematik UPSR)P: Kira 0.5 X 4?M: Jawapannya 2.P: Macammana dapat 2?M: Sifar itu saya ketepikan dahulu. Saya darab5 dengan 4, dapal 20. Lepas illl saya letak

titik perpuluhan. 0.5, tit ik perpuluhannyaialah satu nombor perpuIuhan. Jadijawapannya 2.0.P: Kalau 0.03 x 0.20?M: Kena buat 20 kali 3.P: Kenapa bual 20 kali 3?M: Saya kelepikan O.P: Tapi 0 sebelum 3 itu, kenapa diketepikan?M: Sebab bila didarab, kita dapat 0 juga, jadi

tak diperlukan. Jawapannya 0.006.P: Bagaimana dapat 0.006?M: 20 kali 3, 60. Di sini (merujuk nombor 0.03

dan 0.20) ada empat titik perpuluhan, jadiPertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No. I 2001 25


6/13


kira eli belakang empat (menunjukkanpemindahan titik perpuluhan).

P: Kenapa tak kira sifar yang akhir?M: Sebab tak ada nilai.

Pelikan 4(Subjek: Hamdan, mendapa, A dalamMatematik UPSR)

P: Kira 0.4 x 0.3?M: Saya dapat 0.12 sebab 4 x 3 = 12, lepas itusaya tentukan titik perpuluhan dengan

gerakkan ciua angka ke belakang.

penggunaan algoritma ini, pelajar perlumembuat pertimbangan sarna ada soa1an itulebih mudah diselesaikan dalam bentuk asal atauditukar kepada bentuk peeahan. Beberapa soalanlain yang baleh diselesaikan menggunakanalgoritma inijuga ditanya seperti 0.75 x 80, 0.62x 100, tetapi pel.jar tidak menggunakanalgoritIna ini untuk menye1esaikan soa1antersebut.

Petikan 7(Subjek: Nadiah, mendapat A dalamMatematik UPSR)

Menambah Secara BerulangAlgoritma menambah seeara berulang digunakanpelajar dalam menyelesaikan masalah pendaraban nombor perpuluhan dengan nombor bu1at.Algoritma ini adalah berasaskan pembinaanbeberapa kumpulan mengikut saiz tertentu.Dalam kajian ini, Nadiah menggunakana1goritma ini dalam beberapa konteks yangdisediakan dalam temu duga. Petikan berikutmenggambarkan penggunaan algoritma ini.

Petikan 5(Subjek: Nadiah, mendapat A dalamMatemalik UPSR)

P: Boleh gambarkan 0.5 x 4?M: Tak pasti, saya cuma tahu wang dan pecahan.P: Pecahan macam mana?M: 0.5 baleh juga t.P: Kenapa tu?M: 0.5 adalah 5/10 = t (menulis persamaan

ini) .P: Macam mana dapat hasil darab bila darab

4?1 1 1 IM: Kita tambah ajalah, '2 + 2 + '2 + 2'

Pet ikan 8(Subjek: Hamdan, mendapa, A dalam

Matematik UPSR)

M: 0.5 = t, kalau dibahagi dua, sama dengan0.5.

P: 0.25 x 8?M: (Memberi jawapan secara spontan) 2.P: Cepat dapat, bagaimana Hamdan kira?

1 IM: '4 = 0.25, '4x 8 = 2.

bagaimana?0.25 itu Hamdan dapal '4Satu bahagi empat , 0.25.

P:M:

P: Selesaikan 0.5 X 4?M: 2 sebab t kali 4.

Kenapa 1. kali 4 '2 .:Petikan 6(Subjek: Nadiah, mendapat A dalam

Matematik UPSR)

Menulwr Salah Satu Pekali Kepada Bentuk PecahanAlgoritma menukar salah satu pekali kepadabentuk peeahan digunakan apabi la pekal imelibatkan nombor perpuluhan seperti 0.5 dan0.50, yang boleh ditukarkan oleh pelajar denganmudah kepada bentuk pecahan. Dalam

P: Cuba bina masalah perkataan bagi 3.6 X 4?M: Mak suruh be Ii 3.6 kg. tepung, kemudian

abang saya kata tak cukup, jadi dia beli lagi3.6 kg., ayah beli 3.6, adik beli 3.6, kemudiandijumlahkan.

P: Kenapa dijumlahkan, bukan didarab?M: Maksud darab ialah sesuatu im ditambah

seeara ulang-ulang.

P: (Merujuk soalan 0.5 x 4). Maeam manadapat hasil darab bila darab 4?. .11 1 1M: Kita tambah aplah, '2 + '2 + '2 + 2'

26 PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001


7/13

AJgoritma Pcndaraban Nombor Perpuluhan dari Perspelaif Pelajar Tingkatan SaLU

lWengalihkan Titik Perpuluhan ke Kanan BerdasarkanTempat '1,tik P


8/13


Pelikan 13(Subjek: Fairuz, mendapat D dalamMatematik UPSR)

P: 0.75 x 0.4?M: (Membual pengiraan seperti dalam bahagiankiri di bawah dan kemudian membuat pen-

giraan baru di sebelah kanan)7 548 5 5 diturunkan~ kerana tiadapekali dibawahnya.

ox 07 54 0ox 0

2. 8 0 2/ \17 x 4 = 281 '15-X-0-=-0

17 x 4 = 281

2.85 dan 5 diturunkan. Kalau nak tambahkano selepas 4 nanti jawapannya lain, jadi sayatak tambah sifar. 5 darab 0, 7 darab 4 sarnadengan 28. 5 diturunkan sebab bawah diatiada nombor lagi.

Petikan berikut rnemaparkan bahawaalgoritrna mendarab nombor perpuluhan yangdigunakan Fairuz lebih tertumpu kepadapenyusunan titik perpuluhan supaya sebaris danbilangan ternpat perpuluhan pacta dua nomborperpuluhan yang didarab tidak scmestinyadisamakan.

P: Buat soalan ini (merujuk 0.5 x 28)?M: Tak boleh. Saya tak dapat nak bayangkan

bagaimana nak buat.Fairuz juga tidak menganggap pendaraban324 x 567 dengan 3.24 x 5.67 sebagaiberkailan. Petikan berikul menggambarkantingkah lakunya.

Dalam kes ini, Fairuz nampaknya lidakmenganggap 10 sebagai satu nombor per-puluhan, wataupun dia menambah litik sebelumnombor tersebul. Sekiranya Fairuz menganggapalgoritma mendarab nombor perpuluhan adalahsarna dengan algoritma menambah dua nomborperpuluhan, maka fokusnya adalah unlukmenyusun lilik perpuluhan agar sebaris .Kemungkinan Fairuz menganggap dia tidakmembual sebarang perubahan pada nilai nombor10 tersebul dengan hanya menambah tilikperpuluhan sebelum nombor yang diberi. lnidapat dilihat dari petikan berikut. Dalam konteksini, Fairuz tidak menukar 28 kepada 2.8 keranadia mungkin menganggap 28 dan 2.8 sebagaiberbeza. Berdasarkan tingkah lakunya dalamkonteks lain, Fairuz akan mendarab 5 dengan 8dan 0 dengan 2 semasa mendarab 0.5 dengan2.8, tetapi dalam konleks ini dia tidak mengubah28 kepada 2.8.

Petikan 11(Subjek: Fairuz, mendapat D dalam

Matematik UPSR)

Petikan 12(Subjek: Fairuz, mendapat D dalam

Matematik UPSR)P: Diberi 324 x 567 = 183708 (merujuk kad

yang mengandungi pendaraban tersebut),cari hasil darab 3.24 X 5.67 (dinyatakansecara benulis)?

M: (Membuat penyelesaian seperti berikut).1 23 2 4

x 5 6 71 6 4 8

P: Bagairnan Fairuz mendarab?M: Darab terus alas ke bawah (merujuk 4 x 7,

2 x 6 dan 3 x 5) .P: Titiknya bagaimana?M: Ikul turutan.

Mengalihlu", Titik Pcrpuluhan ke Kiri Dalam HasilDamb Berdasarkan Tempat Titik Pcrpuluhan Bag!PekaliApabila diberi konteks di mana d i g i t ~ d i g i t dalamhasH darab disenaraikan dan subjek hanya perIumenentukan tempat titik perpuluhan, semuaenam subjek pada mulanya hanya menumpukankepada bilangan t empa ' perpu luhan yangdiperlukan, bermula dari kiri, dalam jawapanyang disediakan, walaupun digit-digit yang ditulisdalam jawapan melebihi bilangan yangdiperlukan. Apabila dilanya dengan lebih lanjuttentangjawapan yang diberi, empat orang subjekmenyemak jawapan menggunakan algoritmayang rnereka biasa gunakan dan rnemperolehjawapan berbeza. Bagaimanapun, dua orangsubjek berikut hanya memberi perhatianlerhadap tempat titik perpuluhan, lanpamengambil kira digit-digit yang diperlukan dalamhasil darab.



9/13

AJgoritma Pendaraban Nombor Perpuluhan dari Perspektif Pelajar Tingkatan Satu

Petikan 14(Subjek: Zahari, mendapat C dalam

Matematik UPSR)P: ( M e n ~ u k saalan pada kertas berikut). Kalau

2.37 x 10 = 0 2 3 7 0 dan2.37 x 100 = 0 2 3 7 0, di mana nak lelaktitik perpuluhan unlukjawapanjawapan ini?M: Yang mula-mula letak 237.0. Yang kedua

lelak 23.70.2.37 x 10 = 0 2 3 72.37 x 100 = 0 2 3 7 0

P: Kenapa 2.37 x 10 = 237.0 dan 2.37 x 100 =23.7?M: Sebab 100, langkau dua dari sebelah kiri.

Petikan 15(Subjek: Sarah, mendapat C dalamMalemalik UPSR)

P: (Merujuk saalan yang ditulis pada kerlas).Kalau 0.5 x 10 = 0 0 5 0 0, di mana nak letaktitik perpuluhan (merujuk hasil darab)?

M: (Meletakkan lilik sebelum sifar akhir).P: Kenapa di situ?M: Jawapannya 0050.0 sebab selepas satu angka(merujuk pengiraan digit dari akhir) saya

letak titik itu.P: Kalau 0.5 X 100 (merujuk kerlas bertulis 0.5

x 100 = 0 0 5 0 OJ?M: Sarna juga.P: Jadi unluk 0.5 x lO,jawapannya sarna dengan

0.5 x 100, iai lu 0050.0.M: (Angguk).P: Kalau diringkaskan jadi apa?M: 50.P: Sarna tak, 0.5 x 10 dan 0.5 x 100, dua-dua

jawapannya 50.M: Sarna sebab 0 pergi depan 5., 0 itu pergisebelah kiri kalau buat dalam bentuk lazim.

Selain algori tma pendaraban nomborperpuluhan yang telah dikenal pasti, terdapatbeberapa dapatan lain berkaitan pendarabannombor perpuluhan yang diperoleh dan kajian ini.Pe/ajar Tidal< Dapat Membuat Pengiraan CeliapMisalnya, bagi saalan 0.62 x 100, mengalihkantitik perpuluhan untuk mem-peroleh hasH darab

62 atau menukar 0.62 kepada bentuk pecahan62/100 untuk memudahkan pendaraban dengan100, baleh dianggap sebagai mengira dengancekap. Bagi saalan 0.75 x 80 pula, adalah lebih

Icekap untuk menukar 0.75 kepada pecahan "4untuk didarab dengan 80. Dalam kajian ini,semua pelajar mengira dalam bentuk lazjrn untukmenyelesaikan kedua-dua soalan.PelajaT Tidal< Dapat Membuat Anggaran JaruapanMisalnya, Nadiah yang menggunakan algoritmamenukar salah satu pekali kepada bentukpecahan dalam beberapa konteks yangdisediakan telah menyelesaikan 0.5 X 4 dengan

Imen ambah "2 secara berulang, sebanyak empatkali (Petikan 7). Bagaimanapun, dia menganggarhasil darab 0.5 X 148 sebagai 5. Dalam konteks

Iini, dia tidak mengambil setengah atau 2daripada 148.

Petikan 16(Subjek: Nadiah, mendapat A dalamMatematik UPSR)

P: Anggarkan jawapan bagi 0.5 X 148.M: 5.00 sebab 5 dengan I sarna dengan 5, 4 x5 dan 8 x 5 ada 100 kat belakang. Jadi

jawapannya 5.P: Jadi 500, kemudian letak litik perpuluhan

pada clua tempat perpuluhan (merujukjawapan yang ditulis)?

M: Sebab anggaran jawapan lebih besardaripada I , nambar bulat. Jadi, saya lelak 5sebab 1 x 5 = 5, kemudian ambil nomborbelakang 4 x 5 dan 8 x 5.Saalan 0.5 x 4 dan 0.5 x 148 berbeza dari

aspek saiz nombor yang digunakan. Selarasdengan dapalan Nesher (1988) dan Vergnaud(1988), bemuk kuantiti yang terbabit mungkinmempengaruhi konsepsi pelajar tentang situasipendaraban yang diberi. Jika dilihat berdasarkanpandangan Hiebert dan Wearne (1986) pula,pelajar tidak dapat membuat pertimbanganlen tang saiz nombor yang dijangkakan bagi hasHdarab, sama ada lebih daripada 5, datamlingkungan 50an atau ratusan.Anggaran Zahari pula merupakan pengiraanmental yang dibuat tanpa menulis. Dia mengiradan membayangkan algoritma pendaraban yangperlu dijalankan untuk memberikan jawapan.

PertanikaJ. Soc. Sci. & Hum. VoL 9 No.1 2001 29


10/13


Walaupun jawapan yang diberi agak tepat, diasebenarnya tidak membuat anggaran, tctapisekadar membuat pengiraan tanpa menulissahaja.

Petikan 17(Subjek: Zahari, mendapat C dalamMatematik UPSR)P: Cuba anggar jawapan untuk 3.6 x 4?M: 14.4 tapi kalau anggar dapat 14.P: Macam mana anda anggar?M: Darab.P: Macam mana dapat 14?M: Darab. 6 X 4 = 24, ambil 2 tu naik atas, 4 X3 12, 12 + 2 14.Pelajar Tidah Dapat Membuat Perkaitan antaraPenyataan Pendaraban Nombor Bulat yang DibeJidengan Pendaraban Nombor Perpuluhan yang PerluDiselesaihanBila diberi soalan seperti :Jika 7 X 34 = 238, cari0.7 x 3.4?', semua subjek menyelesaikannyadengan menggunakan algoritma mereka sendiriyang mclibatkan penukaran soalan kepadabentuk lazim d an men jala nk an pengiraanpanjang. Di sini, pclajar tidak nampak perkaitanan tara algori tma penda raban nombo r bulatdengan algoritma pendaraban dengan nomborperpuluhan.Pelajar Tida" Membuat ReJle"si Terhadap Algoritma)'ang DijalankanMereka tidak dapat mem bcri rasional terhadaplangkah yang dibuat, seperti ken ap a perlumengalihkan titik dua t empat perpuluhan kekanan. Misalnya dalam Pelikan 9, Nadiah lidakdapat memberi rasional lerhadap langkah yangdijalankan. Dalam kanteks ini, pelajar sebenarnyamenghafal algarilma tersebut tanpa menaakulkenapa sesuatu langkah boleh dijalankan.Menurut Nesher dan Peled (1986) dan Resnicket at. (1989), perkara ini berpunca daripadakurangnya pengetahuan pelajar ten tang konseppendaraban nombor perpuluhan dan akibatnya,mereka hanya menghafal petua yang diberi.Mahna Pendaraban Nombor Perpuluhan TerlumJ)u"epada Model Kumpulan SetaraKebanyakan pelajar memberi makna kepadapendaraban nombor perpuluhan denganmenggunakan model kumpulan setara

(contohnya, crupat objck, scmuanya sarna saiz).Nampaknya pelajar tidak mengaplikasikan tigamodel l ain bagi pendaraban nombor bulat yangdirumuskan Greer (1992) kepada pendarabannombor perpuluhan. Subjek da lam kajian inihanya dapat memberi makna kepada penyataanyang nlelibatkan satu nambor perpuluhan dansatu nombor bulat , tetapi mereka t idak clapatmembcr i makna kepada pcnyataan yangmel ibatkan dua nombor perpuluhan. Antaracontoh yang diberi, apabila diminta membentukmasalah berdasarkan penyataan pcndaraban samnombar perpuluhan dcngan saW nombor bulat,subjek memberi I'espons seperti berikut:Nadiah: Hari ini saya belanja $4.70, esok $4.70

dan hari seterusnya pun $4.70.Sarah: Jarak an tara rumah Ali kc rumah Sivaialah 4.7 meter. Ali berulang-aliksebanyak tiga kali. Bcrapa jauhkahperjalanan Ali?Fairuz: Ahmad membcli sebiji kek dan dipotong3.6 untuk diberi kepada 4 orang

Zahari: En. Ahmad membeli empat jcnis kainyang berukuran 3.6 meter setiap satti.Berapa meterkah kain yang hendakdibelinya?

Dalam kcs pcndaraban yang melibatkan duanombor pcrpniuhan, p e h ~ j a r tidak dapatmembentuk sebarang masalah berayat.

RUMUSAN DAN CADANGANBcberapa rumusan dan eadangan, clalam bentukimplikasi kepada pengajaran, ba lch dibua tberdasarkan perlaknan pelajar semasa mendarabnombor perpuluhan dalam k < - ~ i a n ini.RumusanTujuh algoritma pcndaraban yang melibatkannombor perpuluhan telah dikenal pasti dalamkajian ini. Dalam kebanyakan situasi pendarabanyang disediakan, pelajar menggunakan algoritmamenentukan tcrupat perpuluhan berdasarkanterupat perpuluhan bagi pekali. Algoritmamcnambah seem'a berulang digunakan pelajardalam pendaraban nombor perpuluhan dengansatu nombor bulat yang mempunyai saiz kccil.Algoritma mengetepikan titik pcrpull lhan danmcndarab nombor bulat dahulu pcrlu digunakanbersarna algoritma menentukan tcmpatperpuluhan bcrdasarkan tempat perpuluhan bagipekali.



11/13

Algoritma Pcndaraban Nombor Pcrpuluhan dad Perspektif Pelajar Tingkat;l.n S;l.tu

Algoritma mengalihkan titik perpuluhan kekanan berdasarkan tClllpat titik perpuillhan bagipekali diaplikasikan dalam pendaraban nOlllborpcrpuluhan dengan nombor bulat dalalll kuasala , manakala algoritrna menukar salah salU pekalikcpada bel1luk pecahan pula d igunakan bagipcndaraban yang melibatkan nomborperpuillhan yang boleh d ituka rkan kcpadabentuk pecahan dcngan mudah dan melibatkanpekali kedua nombor kecil. Algoriuna menyusuntitik perpuluhan supaya sebaris dan mendarabdigit pada lempa t perpuluhan yang sepadanctipindahkan secara terus dari algoritma menambah n om bo r p erp ulu ha n. Algoritmamengalihkan titik perpuluhan ke kid dalam hasildarab berdasarkan tilik perpllilihan bagi pekalipula diaplikasikan apabila digit-digit dalam hasildamb dibcri.

Hasil kajian juga mendapali, dalammendarab nombor pcrpuluhan, p e l ~ a l ' tidakdapat membllat pengiraan cekap, tidak dapatmembual angga ran j awapan , tidak dapatIllcmbuat pcrkaitan antara peny ataan pendaraban nombor bulat yang d iber i d enganpendaraban nombor perpu luhan yang perludiselesaikan, tidak membuat refleksi terhadapalgoritma yang dijalankan dan makna yang dibedtentang pendaraban nom b ar pe rpu lu ha ntertumpli kepada model kumpulan sctara.Implikasi kepada PengajaranDapatan kajian in i membawa beberapa implikasiterhadap pengajaran pend araban nom barperpuluhan. \Valaupun algoritma mencntukanlempat perpuluhan berdasarkan tcmpatperpuluhan bagi pekali sesuai dalam pelbagaikonteks pendaraban nombor perpuluhan, pelajarharus d idedahkan kcpada rasional kelupapenentuan tcmpat titik perpuluhan bolch dibuatberdasarkan jumlah tempat pcrpuluhan bagikcdua-dlla pekali, Contohnya, semasa mcmperkena lk an kon scp penda ra ba n nom bo rpcrpuluhan, guru balch menggunakan bahankonkr it untuk menunjukkan makna 0.5 x 0.3,iaitu mengambil 0.5 bahagian dar ipada 0.3bahagian yang akan menghasilkan hanyasetengah daripada 0,3 bahagian yang ada. Guruperlu merangsang pelajar untuk menyatakanhasil yang dipcrolehi dalam bentuk pcrpuluhan.Setelah beberapa kcs mudah pendaraban danhasil darab ditunjukkan, p e l ~ a r perlu dibimbinguntuk membuat kes impulan secara induktiftentang hasil darab yang diperoleh dengan

penurnpuan khusus d iber i kepada b il angantempat perpuluhan dalam pekali dan dalam hasHdarab. Sclepas itu, barulah guru beralih kepadapenggunaan algoritma menen tukan tempa tperpuluhan berdasarkan terupal perpuluhan bagipekali.Selain menunjukkan perkaitan antaraproscdur dengan koosep, pelajar perIu dibimbinguntuk berketrampilan dalam menilai logikjawapan yang diperolchi. Misalnya, dalammendarab 6.75 x 4.35, pelajar harus dirangsanguntuk menganggar bahawa jawapannya adalahantara 24 (iaitu 6 X 4) dan 35 (7 X 5). Denganitu, pelajar yang boleh mendarab dua nomborbulat dengan tepat tidak akan mcnghadap imasalah dalam menenLukan sarna adajalYapannya adalah 2.93635, 29.3635, 293.625atau 2936.25. Melihat logik jawapan juga bo1ehmengurangkan penggunaan algo';tlTIa menyusuntitik perpull1han sl1paya sebaris dan mendarabdigit pada tempat perpllluhan yang sepadan.

Menyusur makna penambahan dan pendaraban nombor perpuluhan menggunakan bahankonkrit mungkin mengurangkan penggunaanalgar itma menyusun titik perpuluhan supayasebaris dan mendarab digit pada tempatperpuluhan yang sepadan yang dipindahkansecara te rus dar i algoritma menambah nomborperpull1han. Sebelum langkah ini dijalankan,algoritma pelajar dalam menambah dan mendarab nombor bu]at perIll juga dikenal pasti.

Penekanan terhadap perkaitan an taranombar bulat, nombor pecahan dan nomborperpuluhan perIu dibuat oleh guru. Penguasaanperkaitan antara nombor memperkembangannumber sense dalam diri pelajar. Misalnya, dalamkes 0,5 x 148, lebih mudah untuk memperolehjalYapannya jika 0.5 diambil sebagai t. Dalamkes 0.75 X 0.75 pula, 1ebih mudah untukmendarab dcngan ;:e dan menukarkan hasilnyakepada bentllk perpuluhan. Dengan kala lain,pelajar perlu dibimbing untuk melihat sesuatusoalan dad perspektif yang berbeza danmempenimbangkan algoritma termudah untukmenyelesaikannya. Topik yang berkaitan dengannom bar bulat, nom bar pecahan dan nomborperpuluhan diaja r s ec ara bera singan. Maka,dalam topik nombor perpuluhan, pelajar akanhanya memfokus kcpada sesua tu nomborperpuluhan dalam bentuk yang diberi dan lidakakan mcmpcnimbangkan penukaran nombortersebu t kepada bentuk lain dalam memperoleh

PCrlaoikaj. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001 31


12/13

Aida Suraya Hj. Md. Yun us

penyelesaian. Dengan itu, guru perlu mengetengahkan pendekatan ini sebagai pengiraanyang lebih cekap.

Perkaitan an tara hasil darab yang melibatkan'nombor sama' dalam bentuk nombor bulat,nombor pecahan dan nombor perpuluhan perludiperlihatkan kepada pelaJar. Kaitan antara situasipendaraban seperti 5 X 62, 5/10 x 62/100, 0.5 x0.62 dan 0.05 x 0.062 perltl dijelaskan supayapel"liar boleh menggunakan hasH darab yangdiperolch dalam satu situasi kepada situasi yanglain. Algoritma mengalihkan titik perpuluhankc kanan berdasarkan tempat titik perpuluhanbagi pekal i yang di


13/13

Algoritma Pendaraban Nombor Perplllllhan dari Perspektif Pelajal' Tingkatan Sam

Knowledge: The Case of Mathematics, disuntingoleh J. Hiebert , pp. 199-223. NJ: LawrenceErlbaum Assoc.

. J O H N S O ~ , D. C. 1980. The research process. DalamResearch in Nfathematics Education, disunting olehRJ. Shumway, pp. 29-46. Reston, Va: NCTMInc.

KBIENTERIAN PE:"lDIDIKAN. 1998. Huraian SukatanPelajaran Matematik KU1ikulwu Bersepadu SekolahRendah. Kuala Lumpur: Dewan Bahasa danPustaka.

MIUS, R. 1984. Mathematics modelling using a casestudy approach. Dalam Proceedings of the FifthInlenzalional Congress on Mathematics Education,disunting oleh M. Cons. Adelaide, Australia.

MULLlGAN,j. T. dan M. C. MITClIEL\IOItf.. 1997, Youngchildren's intuitive models of multiaplicationand division, Journal for Research in MathematicsEducation 28(3): 309-330.

NESHER, P. 1988. Mul tipl icat ive schoo l wordproblems: Theore tic al ap pro ac he s a ndempirical findings. Dalam Number Concepts andOpemtion-s in the J\1.iddle Grades, disunting otehJ. Hiebert dan M. Behr, pp. 19-40. Hillsdale,NJ: Erlbaum.

N.SI-IER, p, dan I. PEUD. 1986. Shifts in reasoning.Educational Studies in Mathematics 17(1}: 67-80,

NnU\zIS NIK PA, 1987. Children's fractional schemes,Ph.D Dis se fl at ion, University of Georgia,Athens,

NIK AZIS NIK PA. 1989, Satu persepsi tentangdiagnosis dan pemul ihan dalum pendidikanmatematik dan sains. Masalah Pendidikan 13:91-105.

PUTNA:.\l, R, T" M. L ~ \ t P E R T dan P. L PETERSON, 1990,Alternative perspectives on knowingmathematics in elementary schools. DalamReview of Research in Education 16, disuntingoleh C. B. Cazden, pp 57-150. Washington:American Educational Research Association.

REsr\lCK, L. B., P. NESIlER, F, LEONARD, M, lvIA.CONE,S. O ~ I A . ~ S O : " l dan I. PELED, 1989, Conceptualbasis of arithmetic errors: The case of decimalfmction. Journal for Research in MathematicsEducation 20(1): 8-27.

STEFFE, L.P. 1991. The constructivist teachingexperiment: Illustrations and implications.Dalam Radical Constructivism in MathematicsEducation, disuming oteh E. Von Glasersfeld,pp. 177-194, Netherlands: Kluwer AcademicPublishers,

STEFFE, L.P. dan P. COBB, 1988, Construction ofArithmetical Meanings and Strategies. New York:Springer Verlag,

STEFFE, L.P., E. VON GLASERSFELD,j. RICHARDS. dan P,COBB. 1983. Chiltbm's Counting 1)pes: Philosophy,Theory and Application. New York: Praeger.

STERNBERG, R. j. dan W. SALTER. 1982. Conceptionsof intelligence, Dalam Handbook of HumanIntelligence, disunting oleh R. J. Sternberg, pp.102143. New York: Camblidge University Press.

V E R G ~ A U D . G. 1988. Multiplicative structures, DalamNumber Concepts and operatiolls in th MiddleGrades, disunting oleh J. Hiebert dan M. Behr,pp. 141-162. Hillsdale, NJ: Erlbaul11.

V O GlASERSFllD, E. 1987. Learning as a constructiveactivity. Dalam Problnns of Representation in theTeaching and Leaming ofMathematics, disuntingoleh C.Janvier, pp. 3-17. Hilisdale,1'Ij: Erlbaum.

VON GLASERSFELD, E. 1988. Environment and com-munication, Kenas kerja yang dibemangkandi Sixth International Conference on MathematicsEducation, Budapest. Hungary.

(Diterima: 14 Mac 2000)

PerranikaJ. Soc. Sci. & Hum. Vol. 9 No.1 2001 33

jurnal asimen

Documents