1. Pengenalan

Kalkulus merupakan salah satu bidang matematik yang melibatkan pengiraan atau

perhitungan kuantiti-kuantiuti yang tidak diskrit. Ia mengandungi pembezaan dan pengamilan

yang menggunakan algebra dan geometri koordinat. Manakala Kalkulus Pembezaan pula

melibatkan penentuan kadar perubahan. Pembezaan yang dikenali sebagai ‘differentiation’ atau

‘derivate’ adalah pengukuran bagaimana sebuah fungsi perubahan sebagai

perubahan daripada inputnya. Pembezaan boleh dianggap perubahan sesuatu kuantiti sebagai

tindak balas kepada perubahan dalam kuantiti yang lain. Pembezaan atau terbitan merupakan

suatu ukuran bagi perubahan dalam fungsi y = ƒ (x) berhubung dengan perubahan

pembolehubah bebas. Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh sebuah ungkapan dalam bentuk:

dy=dydxdx

sama seperti jika derivatif dy / dx mewakili keputusan bagi dari kuantiti by dy dx kuantiti. Ianya

juga boleh ditulis sebagai:

df (x) = f ‘ (x) dx

Antara Aplikasi pembezaan yang paling banyak membantu dalam kehidupan seharian

kita ialah pengoptimuman. Pengoptimuman bermaksud penyelesaian

masalah meminimum atau memaksimumkan satu fungsi nyata dengan memilih secara

sistematik nilai pemboleh ubah integer atau nyata di dalam set yang dibenarkan. Perumusan ini,

yang menggunakan fungsi objektif skalar dan bernilai nyata, berkemungkinan adalah contoh

teringkas; pengitlakan teori dan teknik pengoptimuman kepada perumusan yang lain,

merangkumi bidang yang besar dalam matematik gunaan. Dalam erti kata mudahnya,

pengoptimuman bermaksud mencari nilai "terbaik yang tersedia" dari beberapa fungsi objektif

berdasarkan domain yang ditetapkan, termasuk pelbagai jenis fungsi objektif yang berbeza dan

jenis domain yang berbeza (Wikipedia). Masalah pengoptimuman boleh dinyatakan

dalam tatatanda matematik seperti berikut:

Diberi: Satu fungsi f : A   R dari beberapa set A hingga nombor nyata

Cari: Elemen x0 dalam A sehinggakan :

f(x0) ≤ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses peminimuman

f(x0) ≥ f(x) untuk semua x dalam A, untuk proses pemaksimuman

Rajah 1: Kemaksimuman sebuah paraboloid

2. Pengurusan Grafik

Penyelesaian aplikasi pembezaan tentang masalah maksimun dan minimum

3. Penyelesaian Bukan Rutin

6. Sahkan bahawa keputusan anda adalah nilai maksimum atau minimum menggunakan ujian pertama atau kedua derivatif bagi extrema

5. Sebelum melakukan pembezaan, pastikan bahawa persamaan pengoptimuman fungsi hanya satu pemboleh ubah. Kemudian membezakan menggunakan kaedah-kaedah yang terkenal pembezaan.

4. Tuliskan semua persamaan yang berkaitan dengan masalah atau gambarajah. Jelas menunjukkan bahawa persamaan yang anda akan diminta untuk memaksimumkan atau meminimumkan.

3. Tentukan pembolehubah yang akan digunakan dan teliti label gambar anda atau gambar rajah dengan pembolehubah ini. Langkah ini adalah sangat penting kerana ia membawa secara langsung atau tidak langsung kepada penciptaan persamaan matematik.

2. Buat lakaran/gambaran jika sesuai.

1. Baca masalah dan cuba fahami kehendak soalan. Apa yang diberikan? Apa yang boleh didapati?

1. 2x + x + y= 72

3x + y =72

Y = 72-3x

P × L × T

V = 2x(x)(Y)

V = 2x²(72-3x)

V = 144x²6x

dydx

=288 x−6

V min dydx

<0 ,0=288 x−6

0 = 6 (48x – 1)

X = 6 , 48x -1 = 0

48x = 1

X = 1

48

min v = 1

48

2. Perimeter A = RM 3. 00

2x + y = 3

Y = 3 -2x

Luas A = x(y)

A = x(3-2x)

A = 3x – 2x2

dydx

=3−4 x

dydx

=0

0=3−4 x

4x = 3

X = 34

Perimeter B = RM 2.00

2 x+ y=2

y=2−2 x

luasB=x ( y )

¿ x (2−2x )

¿2 x−2x2

dadx

=2−4 x

dadx

=0 ,0=2−4 x

4 x=2

x=24

x=12

34×6 000 ¿4 500

12×6 000=3 000

Luas pagar

A¿ x ( y )

a=4 500 (3 000 )

a=13 500 000cm ²

3. v=13π r2

dvdj

=19πr

dvdt

=8

dvdt

=dvdj×djdt

¿ 19πr ×8 ¿

89πr

Apabila r = 6

dvdt

=89π (6)

¿ 163π

¿ 163

(3.142 )

r=16.76

4. πj=2πj h

¿ π j2h

80=π j2h

80

π j2=h

h=80πj ²

A=πj ²+2 πjh

A=π j2+2 πj( 80

π j2 ) A=πj ²+ 160

j

A=π j2+160 j−1

dAdj

=2πj−160 j−2

¿2π−160j ²

luas A min=dAdy

<0

dAdy

=2πj−160j ²

160

j2=2πj

1602π

= j ³

j ³=80π

j=( 80π )⅓

j=8.4883cm

5. v=4 x3−26 x2+40x

dvdx

=0 ,dvdx

=12 x−52 x+40

¿2 (6 x−26 x+20 )

¿ (3 x−10 ) ( x−1 )

3 x−10=0

3 x=10

x=103

x−1=0x=1

Max v = x= 1

6. Contoh Soalan Dan Penyelesaianya

Contoh 1:

Seorang Pengurus sebuah kompleks 80-unit apartmen cuba untuk membuat keputusan

tentang berapa sewa akan dikenakan untuk setiap apartmen. Melalui Pengalaman telah

menunjukkan bahawa sewa yang kenakan ialah sebanyak RM200, dan biasanya

keseluruhan unit akan penuh. Pada unit purata tambahan akan kekal kosong bagi setiap

RM20 setiap peningkatan dalam sewa. Cari sewa yang harus dikenakan supaya mendapat

hasil atau pulangan yang maksimun.

Nombor bilangan

meningkat RM20

Kadar sewa Bilangan yang

diduduki

Jumlah pendapatan

0 200 80 16000

1 220 79 17380

2 240 78 17820

3 260 77 20020

. . . .

. . . .

. . . .

.

X 200 + 20x 80 – x (200+20x)(80 – x)

(200+20 x )(80−x)

16000−200x+1600 x−20 x ²

v=−20 x2+1400 x+16000

dvdx

=−40 x+1400

x (−40x+1400)

dvdx

=0 , x=0 ,−40 x+1400=0

−40x=−1400

x=−1400−40

x=1400

40

x=35

Oleh itu, kadar sewa yang patut dikenakan ialah:

200+20 x

200+20 (35 )

¿200+700

¿900

Oleh itu, pulangan yang maksimun:

35+10=45

900 x

900 ( 45 )

= 40500

Contoh 2:

Sebuah kotak berbentuk segiempat tepat mempunyai tapak berukuran 4 xcm panjang

dan x cm lebar. Diberi jumlah panjang semua tepi kotak itu ialah 40 cm. Cari nilai x

apabila v mempunyai nilai maksimum dan isipadu kotak, v=40 x ²−20 x ³ .

v=40 x2−20 x3dvdx

=80 x−60 x2vmaksimum apabiladvdx

≅ 0 ,0=80x−60x2

0=x (80−60 x ) x=0@80−60 x=0

60 x=80 x=6080

¿ 43

7. Kepentingan Aplikasi Pembezaan

Pembezaan amat membantu kita dalam memudakan kehidupan kita dan membantu

dalam pengenalan kepada pelbagai perkara baru dalam matematik dan yang utama

dalam kehidupan harian kita. Pembezaan dapat diaplikasikan dalam pebagai bidang.

Antaranya adalah:

a) Bidang Ekonomi

Pembezaan dapat membantu kita mengenali keuntungan yang dianggarkan dalam

penjualan sesuatu barang atau modal yang perlu dikeluarkan dalam membuat

sesuatu barang berdasarkan jumlah kuantitinya. Dimana Pembezaan membantu

sesuatu peniaga untuk membuat keputusan dalam perniagaannya berdasarkan

anggaran yang dibuat berdasarkan persamaan yang dibuat menggunakan

pembezaan. Oleh itu, kita dapat mencari dan mengelakkan kerugian yang mungkin

berlaku dalam sesuatu perniagaan. Malah kita juga dapat menganggarkan sama

ada sesuatu perniagaan itu akan laris atau tidak berdasarkan pembinaan graf dan

menganggarkan keputusan yang boleh berlaku dalam masa depan. Ini amat

membantu dalam ekonomi terutamanya pada para usahawan. Disamping itu juga,

pembezaan digunakan dalam menganggarkan nilai maksimum dan minimum

dalam sesuatu perkara. Sebagai contoh adalah menganggarkan kuuntungan

tertinggi dalam sesuatu ataupun juga kuantiti maksimum danminimum yang boleh

digunakan bagi mengelakkan kerugian. Manakala dalam pembinaan bangunan,

seseorang usahawan perlu tahu kuantiti bahan yang digunakan dan pembezaan

membantu dalam mencari nilai maksimum atau minimum bagi memastikan kualiti

pengeluarannya adalah terjamin dan dalam masa yang sama kita tidak mengalami

kerugian. Bukan itu sahaja, penggunaan tenaga kerja serta bahan juga boleh

dianggarkan menggunakan pembezaan ini. Oleh itu, secara keseluruhannya,

penggunaan pembezaan dalam ekonomi adalah tidak dapat dielakkan

dan semestinya dapat membantu kita dalam meningkatkan kualiti keusahawanan

seseorang itu dan membantu dalam membuat keputusan.

b) Bidang Kejuruteraan

Semasa zaman Isaac Newton lagi, pelayaran kapal adalah memang berbahaya

kerana kita tidak kenal akan arah membawa kapal dengan betul dan satu-satunya

garis panduan yang digunakan adalah melalui bintangdan cara itu juga adalah

susahmelihatkan cuaca yang tidak menentu. Dengan adanya kalkulus

ini, makaadalah lebih senang untuk pelayaran dilakukan dan arah dapat dibaca

dan dikenali dengan lebih senang.Selain daripada itu juga, dalam bidang

kejuruteraan, pembezaan membantu dengan banyak dimana dalam aplikasi

piston, yang banyak digunakan bukan sahaja dalam perkapalan tetapi juga

kenderaan. Pembezaan membolehkan kita menemui dan mengaplikasikan piston

yang digunakan dalam semua kenderaan. Penemuan ini adalah amat penting dan

berguna kepada kita hasil daripada perkembangan pembezaan ini.

c) Bidang Sains

pembezaan dapat digunakan untuk mencari kadar perubahan atau ‘rate of change’

tidak kira dalam tindak balas kimia mahupun benda lain. Pembezaan membantu

seorang untuk mencari kadar tindak balas sesuatu bahan kimia terhadap bahan

lain dan ini membantu kita untuk menciptaan pelbagai peralatan atau bahan

kegunaan harian. Perubahan dari segi keadaan, suhu dan sebagainya boleh

disukat dan dikaji menggunakan pembezaan ini dan ini amatlah berguna dalam

penemuan bahan-bahan baru

8. Rumusan

Aplikasi pembezaan adalah satu topik yang agak sukar untuk dikuasi jika

tidak benar memahami dengan lebih mendalam dan tidak membuat latihan

tambahan. Namun demikian apabila membuat tugasan ini secara tidak lansung,

sedikit sebanyak membantu saya dalam memahami topic ini dengan lebih jelas.

Sebelum kita boleh menggunakan kalkulus atau teknik-teknik lain untuk

menyelesaikan masalah maksimum dan minimum, kita perlu menterjemah

masalah ke dalam bentuk matematik yang kita boleh menyelesaikan, dan kita perlu

untuk memeriksa penyelesaian matematik kami untuk melihat jika ia benar-benar

satu penyelesaian masalah asal. Selalunya, bahagian-bahagian yang paling sukar

masalah memahami masalah dan menterjemahkan ke dalam bentuk matematik.

Mentelahan pula, dalam topik ini kita perlu meneliti beberapa masalah yang

memerlukan kefahaman, menterjemahan masalah, penyelesaian, dan memeriksa

atau menyemak semula. Kebanyakan masalah ini tidak seperti yang rumit kerana

mereka keperluan seorang saintis yang bekerja, jurutera atau ekonomi untuk

menyelesaikan, tetapi mereka mewakili satu langkah dalam membangunkan

kemahiran yang diperlukan.

9. Refleksi

Topik ini agak sukar dikuasi dan difahami. Dimana memerlukan latihan

pengukuhan yang lebih bagi menguasi topik ini. Dalam aplikasi pembezaan

memerlukan pemahaman konsep yang mendalam barulah dapat memahami

keseluruhannya. Sebagai contoh, kita perlu tahu kaedah pembezaan dengan betul

barulah dapat menjawab soalan yang ditanya. Selain daripada itu, topik

pengoptimuman juga amat mencabar dimana topik ini banyak mengaplikasi dalam

kehidupan sebenar. Ini kerana, apabila melibatkan soalan yang berkaitan

penyelesaian masalah, agak sukar untuk memahami kehendak soalan dan

kadang-kadang keliru dengan soalan dan juga kehendak soalan. Bagi saya,

memerlukan lebih banyak contoh soalan yang berkaitan untuk memahami lagi

topik ini.

Rujukan

i. G.A.HOW & J.T SIM, siri teks STPM, Matematik Tulen ( Longman 1997-2001)

ii. Gerald L. Bradley & Karl J. Smith, International Edition, Calculus Second Edition,

(Prentice Hall)

iii. Wellesley-Cambridge Press, MITOPENCOURSEWARE, Calculus Online Textbook

Published in 1991  

iv. http://www.thestudentroom.co.uk

v. http://www1.imada.sdu.dk/~hjm/MM501/Adams/kap4.pdf

vi. http://www.intmath.com/applications-differentiation/7-maximum-minimum-

problems.php

vii. http://simple.wikipedia.org/wiki/Differentiation#Uses_of_differentiation

viii. http://ms.wikipedia.org/wiki/Pembezaan

Lampiran