math modul

7/22/2019 Math Modul

1/50

1


2/50

2

DAFTAR ISI

HalamanKATA PENGANTAR ..... iDAFTAR ISI .... iiKompetensi/sub kompetensi ..... iiiPeta Bahan Ajar ..... ivBAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

A. Latar Belakang .......... 1B. Tujuan ............. 1C. Sasaran ......................................................................................... 1D. Ruang Lingkup ............. 1

BAB II KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN DAN ... 2PEMBAGIANA.Pengantar .......................... .................................................... 2B.Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar 2F. Konsep Penjumlahan dan Pengurangan ........................................... 2G.Konsep Perkalian dan Pembagian ..... ............... ............ 6

Latihan 1 ...................................................................................... 15H. Operasi Hitung Campuran . ........ 16

Latihan 2 ...................................................................................... 16

BAB III PEMBELAJARAN KPK DAN FPB DENGAN PENDEKATANKONTEKSTUAL ..... 17A.Tujuan Pembelajaran, Kompetensi, Strategi Belajar, Media Belajar 17E. Pembelajaran KPK .... 17F. Pembelajaran FPB ...... 20

Latihan 3 ....................................................................................... 29

BAB IV BILAGAN PERSEGI, KUBIK, DAN PENARIKAN AKARNYA .... 30A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi ................................................ 30B. Bilangan Persegi ....... 30C. Bilangan Kubik ........... 31D. Teknik Menguadratkan dan Menarik Akar ....... 32

Latihan 4 ....... 36

BAB V BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA ........................................ 38A. Tujuan Pembelajaran, Kompetensi ................................................. 38B. Konsep bilangan bulat ................................................................... 38C. Operasi pada bilangan bulat ......................................................... 38

Latihan 5....... 45

BAB VIII PENUTUP ........ 46

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 47

Kunci Jawaban Soal-soal Latihan ............................................................................ 48


3/50

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Kurikulum 2004 atau yang dikenal sebagai kurikulum berbasis kompetensi

mengamanatkan bahwa pembelajaran kepada siswa harus mengacu pada siswa mencapai

kompetensi yang digariskan. Kompetensi merupakan pengetahuan, sikap, dan nilai-nilai yang

dapat ditunjukkan dalam berfikir dan bertindak oleh peserta didik di setiap saat.

Materi bilangan Asli, Cacah, dan Bulat yang disajikan pada tulisan ini dirancang sesuai

dengan tuntutan kurikulum agar siswa mampu mencapai kompetensi dari kenal masalah,

paham masalah, dan trampil memecahkan soal. Untuk maksud tersebut pendekatan

pembelajaran yang dikembangkan khususnya penawaran konsep untuk topik-topik esensial

dimulai dari mengenal masalah, memecahkan masalah secara informal menggunakan

kompetensi yang sudah dicapai sebelumnya, pendekatan formal secara matematis, dan

diakhiri dengan pembinaan ketrampilan.

B. TUJUAN

Modul ini ditulis untuk para peserta Diklat Matematika Sekolah Dasar dengan tujuan setelah

mengikuti diklat ini dapat:

1. Memperoleh pengetahuan secara konkrit materi-materi esensial bilangan asli, cacah, dan

bulat di Sekolah Dasar.

2. Memperoleh alternatif pendekatan pembelajaran yang tepat termasuk alat peraga dan

media pembelajaran yang diperlukan.

3. Memperoleh wawasan keilmuan mengenai materi metode dan strategi pembelajaran

bilangan asli, cacah, dan bulat di Sekolah Dasar

4. Menerapkan pengetahuan dan ketrampilan yang dimiliki kepada siswa di sekolahnya.

5. Mengimbaskan pengetahuan yang diperolehnya kepada rekan seprofesi.

C. SASARAN

Sasaran pengguna modul ini adalah guru SD peserta diklat pasca Uji Kompetensi Awal(UKA)

D. RUANG LINGKUP

Pokok-pokok materi yang dibahas melalui modul ini meliputi:

1. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan pembagian

2. KPK dan FPB

3. Bilangan kuadrat, kubik, dan penarikan akarnya

4. Bilangan Bulat dan operasinya.


4/50

4

BAB II

KONSEP PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, DAN PEMBAGIAN

A. PENGANTAR

Menurut Psikologi Bruner (Bruner, 1967: 124) pembelajaran akan lebih bermakna dan

lebih cepat mencapai tujuan jika dimulai dari tahapan konkret (enactive) yakni menggunakan

obyek sesungguhnya, kemudian semi konkret (econic) yakni obyeknya diganti gambar, dan

terakhir abstrak (symbolic) yakni sajiannya hanya dalam bentuk lambang/simbol yang hanya

berupa huruf-huruf saja atau angka-angka saja. Menurut Bruner jika siswa mengalami

pembelajaran matematika untuk setiap topiknya dengan perlakuan seperti ketiga tahapan

tersebut, maka siswa akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melampaui apa

yang pernah mereka terima dari gurunya.

Sajian Diklat untuk materi Bilangan Asli, Cacah, dan Bulat (ACB) ini dirancang mulai

dari tahapan kedua yakni semi konkret(econic) dan kemudian abstraknya/bentuk symbolicnya

yang hanya berupa huruf-huruf saja dan angka-angka saja. Tahapan kongkritnya langsung

diperagakan saat tatap muka. Harapannya peserta Diklat dapat membayangkan tingkat

kesuksesannya jika hal itu diterapkan di lapangan/sekolah masing-masing.

B. TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta diklat dapat memperagakan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagianyang mampu dicerna peserta didik kelas rendah sebagai bekal untuk mengembangkan

pengetahuan dan kompetensinya di kelas-kelas berikutnya hingga jenjang yang lebih tinggi.

C. KOMPETENSIPeserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan asli, cacah, bulat

dan operasinya.

D. STRATEGI BELAJAR

Fasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan

pada modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikanpendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain.

E. MEDIA BELAJAR

Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan).

F.KONSEP PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

1. Penjumlahan

Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III) pengertian/konsep yang dapat

diterima dengan jelas adalahpenjumlahansama dengan penggabungan 2 kumpulan benda


5/50

5

menjadi 1 kumpulan benda (Marsudi Raharjo, 2007: Laporan Hasil Praktek Konsultansi di

SD Ngijon 1, Seyegan Sleman 2004 s.d 2007). Dari peragaan melalui beberapa gambar

siswa kelas rendah dapat melihat suatu pola/kecenderungan tertentu sehingga dapatmenyimpulkan sendiri di alam pikirannya bahwa ditambah = digabung dan akibat dari

ditambah adalah hasilnya akan menjadi lebih banyak.

Tahap kongkret/enactivepada penjumlahan.

Contoh : 3 + 5 = ...

Misalnya kita menggunakan tutup botol sebagai alat peraga.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Tunjukkan ada 1 kelompok isinya 3 tutup botol

2.

Tunjukkan lagi ada 1 kelompok lainnya yang berisi 5 tutup botol3. Tanyakan ke siswa jika kedua kelompok itu digabung hasilnya ada berapa tutup

botol? Ayo coba berapa hasilnya?

4. Tanyakan ke siswa siapa yang dapat menunjukkan bagaimana cara menggabungkan

keduanya (kedua kelompok itu)

5. Ajak siswa lainya mengamati bentuk gabungannya.

6. Guru: Mengucapkan sambil menuliskannya di papan tulis bahwa 3 ditambah dengan

5 hasilnya sama dengan 8 artinya bentuk yang kita tulis 3 + 5 = 8.

7. Guru: memberikan 2 atau 3 soal sejenis lagi dengan kata kunci digabung sehingga

secara kongkret sebanyak 3 hingga 4 contoh soal tersebut sudah cukup representatif

dalam memberikan gambaran kepada siswa secara kongkret arti penjumlahan.

Tahap semi kongkret/econic pada penjumlahan diawali dengan soal cerita yang kemudian

disajikan dalam bentuk gambar.

Contoh

Gambar berikut berasal dari soal cerita yang berbunyi :

1. ayam Ali 4 ekor 2. Cahya memetik jambu ... buah

ayam Budi 2 ekor memetik lagi ... buah

ayam Ali digabung dengan ayam Budi berapa jambu Cahya sekarang?

berapa Ayam mereka sekarang?.

Soal seperti di atas bagi siswa SD kelas I jelas sulit untuk dipahami karena ada 4 kalimat.

Akan sangat lain keadaannya jika sajian soal cerita itu diujudkan dalam bentuk gambar

yang sajian medianya dalam bentuk Lembar Kerja Siswa (LKS). LKS adalah media

pembelajaran tertulis yang memuat ciri-ciri konsep, sementara Lembar Tugas Siswa (LTS)

adalah media pembelajaran tertulis yang sudah tidak memuat lagi ciri-ciri konsep. Ciri-ciri

konsep sudah diperoleh siswa saat kegiatan kongkret (enactive) dan semi kongkret(econic)

(Elly Estiningsih:1994, 17). Soal nomor 2 bahkan banyaknya jambu tidak diketahui, namun


6/50

6

karena sajiannya dalam bentuk gambar siswa ternyata tetap dapat menyelesaikan soal yang

dimaksud. Berikut adalah contoh bentuk LKS yang dimaksud.

Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 10 nomor dengan aneka macam kata

kunci (Modul Bermutu 2009: Soal Cerita Penjumlahan dan Pengurangan halaman 17 19

dan lampiran halaman 67 68) hasilnya 68 % siswa kelas I (yang baru masuk sekolah 2

bulan) mendapat nilai maksimal 10; 27 % mendapat nilai 9; dan hanya 5 % saja yang

mendapat nilai 5 asal LKS yang setiap nomor memuat gambar-gambar diberikan pada

setiap siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya.

Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya

hanya berupa kalimat tanpa gambar. Kalimat-kalimatnya hanya ditulis dalam bentuk huruf-

huruf dan angka-angka saja, dan Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswadan kalimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya cukup fantastis persentase siswa

yang mendapat nilai 10 bertambah menjadi 77 % siswa mendapat nilai maksimal 10.

Sisanya 9 % siswa mendapat nilai 8; dan 4,5 % siswa masing-masing mendapat nilai 9, 7,

dan 6 dengan tak seorang siswapun mendapat nilai di bawah 5.

2. Pengurangan

Untuk peserta didik kelas rendah (SD Kelas I, II, III),pengertian dari pengurangan yang

dapat mereka terima dengan baik secara kongkret/enactive melalui peragaan adalah

ayam Ali

digabungdengan

berapa

1

ayam mereka sekarang?ayam Budi

+ = 4

2

Cahya memetik jambu jambu Cahya sekarang

berapamemetiklagi

+ =


7/50

7

pengambilan sebagian dari sejumlah obyek (Marsudi Raharjo, 2009: Modul Bermutu

Pembelajaran Operasi hitung Perkalian dan Pembagian Bilangan Cacah di SD). Dalam

bentuk kegiatan bermain peran kata-kata kunci yang nyaman digunakan adalah : diminta,dipinjam, dan diberikan kepada. Hasil pengurangannya adalah sisa obyek yang tidak

terambil. Sehingga dalam bentuk gambar (semi kongkret/enactive) sisa yang diperagakan

harus memperlihatkan bahwa bekas dari obyek terkena proses pengambilan adalah kosong.

Agar makna pengurangan ini cepat ditangkap siswa, sajian soal ceritanya seperti yang

digambarkan pada LKS berikut ini.

Jika kedua nomor soal tersebut dilanjutkan hingga 10 nomor soal dengan aneka macam

kata kunci (Marsudi Raharjo, 2009: 17 19 dan 67 68) hasilnya 41% siswa kelas I (yang

baru masuk sekolah 2 bulan) mendapat nilai maksimal 10, sementara siswa lainnya 29 %

siswa mendapat nilai 9; 6 % siswa mendapat nilai 8; 11,8 % siswa mendapat nilai 7; dan 6

% siswa mendapat nilai 6. Syaratnya tentu saja asal lembar kerjanya diberikan pada setiap

siswa dan kelimat-kalimatnya dibacakan oleh gurunya.

Tahap terakhir abstrak/symbolic adalah tahapan pembelajaran yang bentuk soal-soalnya

hanya berupa kalimat tanpa gambar hanya ditulis dalam bentuk huruf-huruf dan angka-

angka saja, asal Lembar Tugas Siswa (LTS) nya diberikan ke setiap siswa dan kalimat-

kalimatnya dibacakan oleh gurunya. Hasilnya juga cukup fantastis ternyata 17 dari 22 siswa

(41 %) mendapat nilai maksimal 10; 35 % mendapat nilai 9; 6 % mendapat nilai 7; dan

12% mendapat nilai 6 dengan tak satupun siswa memperoleh skor di bawah 6.

di piring ada jambujambu yang masih

ada di piring

=

berapa

diambil

1

2

dijual

Budi punya kambing kambing Budi sekarang

berapa

=


8/50

8

G.PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

1. Perkalian

Untuk perkalian, pengalaman dengan anak sendiri yang sedang duduk di SD kelas II tahunajaran 2007/2008 anak lebih cepat menghapal perkalian dasar bila teknik yang kita gunakan

bersifat kontekstual. Contohnya antara lain adalah:

Perkalian dengan 1 obyek kontekstualnya kepala 1 orang = 1 kepala

Perkalian dengan 2 obyek kontekstualnya sepeda 1 sepeda motor = 2 roda

Perkalian dengan 3 obyek kontekstualnya becak 1 becak = 3 roda

Perkalian dengan 4 obyek kontekstualnya kambing 1 kambing = 4 kaki

Perkalian dengan 5 obyek kontekstualnya tangan 1 tangan = 5 jari

Perkalian dengan 6 obyek kontekstualnya daun singkong

1 daun singkong = 5 jariPerkalian dengan 7 obyek kontekstualnya minggu 1 minggu = 7 hari

Perkalian dengan 8 obyek kontekstualnya windu 1 windu = 8 tahun.

Ada penjelasan dari fasilitator (atau gambar) bahwa,

Kepala orang ada 1 ....

Roda sepeda ada 2 ....

Roda becak ada 3 ....

Kaki Kambing ada 4 ....

Jari tangan orang ada 5 ....

Daun singkong ada 6 ....

Satu minggu ada 7 ....

Satu windu ada 8 ....

Setelah obyek kontekstualnya dikenalkan langsung ditindak lanjuti dengan bentuk perkalian

yang bersesuaian. Sebagai contoh misalnya untuk perkalian dengan bilangan 4, anak kita beri

pertanyaan:

1 kambing kakinya berapa? dijawab 4




5 kambing kakinya berapa? dijawab 20, dan seterusnya hingga 10 kambing

10 kambing kakinya berapa? dijawab 40.

Kita sebagai guru mengusahakan agar pertanyaan di atas diulang-ulang hingga 3 kali. Jika

ingin siswa lebih cepat hapal, guru menuliskan di papan tulis dan siswa diminta mencatatnya.

1kambing kakinya = 4 1 4 = 42kambing kakinya = 8 2 4 = 83kambing kakinya = 12 3 4 = 12


9/50

9

4kambing kakinya = 16 4 4 = 165kambing kakinya = 20 5 4 = 206kambing kakinya = 24 6 4 = 247kambing kakinya = 28 7 4 = 288kambing kakinya = 32 8 4 = 329kambing kakinya = 36 9 4 = 3610kambing kakinya = 40 10 4 = 40.

Teknik seperti di atas berlaku untuk perkalian-perkalian dasar lainnya. Jika susah mencari

obyek kontekstualnya misal perkalian dengan 6, 8, dan 9 langsung ditulis bentuk perkaliannya

saja kemudian siswa diminta untuk menghapalkan.

Pembagian panjang bersifat lanjut, jadi sudah bukan merupakan pembagian dasar lagi.

Pembagian panjang adalah pembagian yang tak dapat diperoleh langsung dari hafalan perkalian

dua bilangan 1 angka.

2.Pembagian

2.1 Pembagian Dasar

Untuk pembagian dasar (pembagian yang terkait dengan perkalian 2 bilangan 1 angka),

strategi pembelajaran pertama yang diberikan adalah seperti berikut. Disediakan 6 buah sedotan

minuman. Siswa diminta membagi 6 buah sedotan itu rata/sama banyak kepada 2 orang teman

sekelasnya. Mereka bebas membaginya dengan cara masing-masing.

Dari pengalaman, siswa dapat melakukan pembagiannya dalam 3 (tiga) cara, yakni

Cara 1:

Langsung dibagikan kepada 2 orang temannya sama rata masing-masing sebanyak 3 buah

sedotan. Guru menanyakan ke semua siswa masing-masing teman menerima berapa?, dijawab

3 (tiga). Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi

rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3, ditulis

6 : 2 = 3.

Cara 2:

Diberikan satu demi satu sampai habis secara bergantian pada 2 orang temannya. Ternyata

masing-masing menerima sebanyak 3 buah sedotan. Guru menegaskan sambil menuliskannya

di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada 2 orang hasilnya sama dengan 3, ditulis

6 : 2 = 3.

Cara 3:

Diberikan terlebih dahulu dua-dua pada 2 orang temannya. Ternyata masih tersisa 2 buah

sedotan. Maka langkah selanjutnya pasti 2 buah sedotan sisanya dibagi rata kepada kedua

orang temannya itu. Akhirnya tampak bahwa masing-masing teman mendapat 3 buah sedotan.

Guru menegaskan sambil menuliskannya di papan tulis itu berarti bahwa 6 dibagi rata pada 2

orang hasilnya sama dengan 3, ditulis

6 : 2 = 3.


10/50

10

Catatan

Untuk diketahui bahwa dalam kehidupan sehari-hari ketiga cara di atas semua benar, tetapisecara matematika ketiga cara di atas salah. Secara matematika aturan pembagian yang benar

untuk 6 : 2 = ... adalah karena dibagi rata pada 2 orang, maka setiap kali mengambil sebanyak

2 sedotan. Kedua sedotan pada setiap kali mengambil itu kemudian dibagi rata (sama banyak)

kepada kedua orang penerima hingga pengambilannya habis. Hasil baginya adalah sejumlah

sedotan yang diterima oleh kedua orang penerima. Berikut adalah contoh peragaannya jika 6

buah bolpoin dibagi rata (sama banyak) kepada 2 orang yaitu Ali dan Budi.

Perhatikan bahwa semula (sebelum dibagi rata/sama banyak kepada Ali dan Budi) terdapat

kumpulan bolpoin sebanyak 6 buah. Pengambilan ke-1 (pertama) sebanyak 2 buah kemudian

dibagi rata pada Ali dan Budi masing-masing akan menerima 1 buah. Pengambilan ke-2

sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 2 buah dan pengambilanke-3 sebanyak 2 buah kemudian dibagi rata masing-masing akan menerima 3 buah. Ternyata

hingga pengambilan terakhir (ke-3) dan kemudian dibagi rata, masing-masing penerima (Ali

dan Budi) akan menerima bolpoin sebanyak 3. Hal itu berarti bahwa

6 : 2 = 3.

Catatan

1. Secara formal matematika pembagian 6 : 2 = ... yang didefinisikan adalah ada berapa kali

pengambilan dua-dua (2 an) sampai habis pada bilangan 6? Jawabanya adalah 3.

Hasil akhir = 3.Maka 6 : 2 = 3.

Ali Budi Ali Budi Ali Budi Ali Budi

Pengambilan ISemula Pengambilan II Pengambilan III


11/50

11

Karena ada 3 kali pengambilan 2 an sampai habis pada bilangan 6, maka berarti

6 : 2 = 3.

2. Definisi selengkapnya untuk pembagian a : b = c adalah a : b = c a = b c .Sehingga pengertian 6 : 2 = ... artinya adalah ada berapa kali pengambilan sebanyak 2an

pada bilangan 6 tanpa tampak adanya proses membagi sama sekali tidak dapat diterima

oleh siswa SD kelas II semester 2.

3. Setelah aturan (definisi) pembagian pada catatan nomor 2 di atas diganti dengan nomor 1

ternyata dapat diterima/dipahami oleh mayoritas siswa di kelas II/2 SD Ngijon 1, Seyegan,

Sleman, D.I Yogyakarta. Itulah alasannya mengapa definisi pembagian yang seharusnya

seperti nomor 2 diganti menjadi definisi pembagian seperti nomor 1 dengan tanpa

mengubah makna definisi pembagian yang seharusnya seperti nomor 2.

2.1 Pembagian Lanjut

Pembagian lanjut (pembagian panjang dengan cara bersusun) ialah pembagian yang tidak

berhubungan langsung dengan perkalian dasar (perkalian 2 bilangan 1 angka.). Untuk

pembagian panjang lambang yang umum digunakan adalah . Bilangan yang dibagi

diletakkan di dalam tanda itu, bilangan pembaginya diletakkan disebelah kirinya, dan bilangan

hasil baginya diletakkan di bagian atasnya. Sebagai contoh misalnya kita akan mencari hasil

bagi dari 72 : 3 = , kita tulis 3 7 2 . Berikut adalah langkah-langkah peragaan dan proses

penulisannya (peragaan dan proses penulisan harus seiring). Pembagian dimulai dari bagian

yang terbesar. Misalnya kalau bilangan yang dibagi berupa bilangan ratusan, maka yang dibagi

dimulai dari bagian ratusan, sesudah itu baru bagian puluhan danterakhir bagian satuan.Jika

yang dibagi bilangan puluhan, maka yang dibagi mulai dari bagian puluhan barulah bagian

satuannya.


12/50

12

Contoh: Tentukan hasil pembagian 72 : 3 =

Proses peragaan dan penulisannya adalah seperti berikut.

72 : 3 artinya ada satu kelompok isinya 72 dibagirata pada 3 kotak, masing-masing kotak mendapatberapa?

Karena dibagi 3 maka yang 7 puluhan kita ambiltiga-tiga dengan setiap kali pengam-bilan tigaandibagi rata ke seluruh kelompok

Terakhir sisanya 1 puluhan dan 2 satuan. Sisa 1puluhan itu dapat dibagi 3 jika ikatan puluhannyadilepas sehingga menjadi satuan.

2.

No Proses Peragaan Proses Penulisan

1.

. . .3 7 2

Ikatan puluhan iniharus dilepassehingga menjadisatuan

2 . .3 7 2

yg terbagi 6

sisa 1


13/50

13

Setelah yang puluhan dilepas ikatannya akan menjadisatuan. Gabungkan dengan satuan sebelumnyasehingga semuanya menjadi 12, ambil tiga-tiga danbagi rata ke masing-masing anggota kelompok sampaihabis.


2 . .3 7 2

yg terbagi 6

sisa 1 2

3.


14/50

14

Dengan peragaan tersebut, kerangka berpikir dalam pengoperasionalnya adalah sebagaiberikut.

Langkah 172 dibagi 3, kita mulai dari kumpulan yang besar yaitupuluhan.

Puluhannya ada 7 dibagi pada 3 orang, maka hasilbaginya 2 ikat puluhan dan sisanya 1 ikat puluhan

Kita tulis hasil baginya 2 ikat di tempat hasil bagipuluhan, dan sisanya 1 ikat puluhan diletakkan lurusdengan puluhan.

Langkah 2Karena puluhan yang dibagi sebanyak 7 dan sisapembagiannya 1, berapa ikat puluhan yang terbagi?

Jawabannya tentu yang terbagi = 6 ikat puluhan, dan kitatulis 6 di tempatnya yang lurus dengan tempat puluhan.

Hingga langkah ini berarti urusan dengan puluhanselesai.

Langkah 3


2 43 7 2

yg terbagi 6

sisa 1 2yg terbagi 1 2

sisa akhir 0Artinya :

72 : 3 = 24.

4.

Sat

7 23

Pul

2

Sisa

yg terbagi

1

Pembagi Bil yg dibagi

Sat

7 23

Pul

2 Hasil bagi

Sat

7 23

Pul

2

Sisa

yg terbagi

1

6

Urusandg pul

Sat

7 23

Pul

2


15/50

15

Urusan kita berikutnya adalah dengan satuan.Puluhan yang tersisa 1 ikat itu kita jadikan satuan,bagaimana caranya?

Caranya tentu kita lepas 1 ikat puluhan sisa itu, setelahdilepas menjadi berapa satuan?

Jawabannya tentu menjadi 10 satuan + satuan yang sudahada sebelumnya hingga satuan seluruhnya ada 12.Selanjutnya kita tulis 12 itu pada baris berikutnya.

Langkah 4

Ternyata satuan 12 itu sama dengan kalau kitamenurunkan bilangan 2 dari atas.

Nah selanjutnya satuan sebanyak 12 ini kita bagi pada 3orang. Masing-masing orang mendapat berapa dansisanya berapa?

Langkah 5

Jawabannya pertanyaan tadi tentu masing-masing orangmendapat 4 satuan (letakkan di kolom satuan pada hasilbagi) dan sisanya nol.

Karena sisanya 0 (nol), berarti yang terbagi adalahsemuanya, yaitu semua dari 12 satuan.

Jadi 72 : 3 = 24.

Contoh 2Diskripsikan penggunaan alat peraga pada pembagian bilangan 504 dibagi kepada 12 orang.Berapakah hasil baginya?

Jawab

Sat

7 23

Pul

2

1Sisa

6yg terbagi

1 2

Sat

7 23

Pul

2 4

1

6yg terbagi

1 2

Sisa 0

1 2

Urusandg pul

Urusandg sat

Sisa

yg terbagi


16/50

16

Langkah 1

Urusan pembagian kita urut dari yang terbesar yaitupertama dari ratusan, kedua baru puluhan, dan terakhirsatuan.

Ratusannya 5 dibagi pada 12 orang, maka hasil baginya 0,sisanya 5, sehingga yang terbagi sebanyak 0 ikat ratusan.Kita tulis 0 di hasil bagi ratusan,

5 di sisa ratusan, dan0 di tempat yang terbagi.

Dengan demikian hingga langkah ini urusan pembagiankita dengan ratusan selesai.

Langkah 2

Urusan pembagian kita selanjutnya adalah dengan ikatanpuluhan. Untuk itu sisa ikatan ratusan seba-nyak 5 kitajadikan puluhan dengan cara melepas ikatannya.

Ada berapa ikat puluhan setelah ikatan ratusannyadilepas? Jawabnya tentu menjadi 50 ikat puluhan.

Jika ikatan puluhan sebanyak 50 itu kita tambah denganpuluhan yang sudah ada sebelumnya (yakni nol puluhan)

maka semuanya tetap 50 puluhan.Sama dengan kalau 0 nya diturunkan.

Langkah 3

Urusan kita sekarang pada ikatan puluhan.

Ikatan puluhan sebanyak 50 itu jika kita bagi rata pada 12orang, maka masing-masing orang akan mendapat 4 ikat,sisanya 2 ikat sehingga yang terbagi ada 48 ikat(puluhan).Hingga langkah ini urusan pembagian kita pada puluhanselesai.

5 0 4

RatPul

Sat

0 4

Sisa

yg terbagi 0

5 0 (ikat pul)

4 8

2 (ikat pul)Sisa

yg terbagi

1 2

RatPul

Sat

0

0

5 0 (ikat pul)

5 0 41 2

Sisa

yg terbagi

5 01 2 4

RatPul

Sat

0

0

5 (ikat ratusan)

Urusandg rat

Sisa

yg terbagi


17/50

17

Langkah 4

Urusan pembagian kita yang terakhir adalah dengansatuan.

Untuk itu sisa ikatan puluhan sebanyak 2 ikat tadi kitalepas ikatannya sehingga menjadi satuan. Menjadi berapasatuan?. Jawabnya tentu 20 satuan.Dan bagaimana setelah dijadikan satuan kemudian

ditambah dengan satuan yang sudah ada sebelmnya, yaitu4?Jawabnya tentu = 20 sat + 4 sat = 24 satuan, sama dengankalau 4 nya diturunkan.

Langkah 5

Satuan sebanyak 24 ini kemudian kita bagi rata pada 12orang. Ternyata hasil banginya 2, dan sisanya 0. Berartiyang terbagi semuanya yakni 24.Kita tulis 2 di tempat hasil bagi (atas)0 sisanya (di sisa tempat terbawah)24 di tempat yang terbagi.Hasil baginya tertulis 042 = 42.

Jadi 504 : 12 = 42.

Latihan 1

1. Tentukan bilangan pada titik-titik isian di bawah ini1) 32 : 4 = 5) : 8 = 3 9) 35 : = 72) 36 : 9 = 6) : 5 = 6 10) 30 : = 53) 45 : 5 = 7) : 7 = 4 11) 27 : = 94) 40 : 8 = 8) : 9 = 3 12) 24 : = 6.

2.Hitunglah hasil bagi pada masing-masing pembagian berikut dengan teknik susun ke bawah

(ikat sat)

5 0 4

RatPul

Sat

0 4

Sisa

yg terbagi 0

5 0 (ikat pul)

4 8

2Sisa

yg terbagi

4

1 2

5 0 4

RatPul

Sat

0 4 2

0

5 0

4 8

2 4

2 4

0Sisa

yg terbagi

1 2

Sisa

yg terbagi

Urusandg rat

Urusandg pul

Urusandg sat


18/50

18

1) 528 : 4 = 2) 832 : 4 = 3) 5.838 : 7 = 4) 1.848 : 12 = 5) 2.912 : 14 =

H.OPERASI HITUNG CAMPURAN

Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu macamoperasi dalam suatu perhitungan (Wirasto, 1993: 54). Dalam suatu soal hitungan yangmenjadi prioritas untuk dihitung terlebih dahulu adalah bilangan-bilangan yang ada di dalamtanda kurung. Nah yang menjadi masalah adalah jika dalam soal operasi hitung campuran itutidak ada tanda kurung, bagaimana aturan perhitungannya?. Untuk meng-hindari kesimpangsiuran dalam penafsiran khususnya kalau dalam soal itu tidak ada tanda kurungnya, secara

internasional (dibuktikan menggunakan kalkulator bertanda Scientific) diberikan definisi(kesepakatan) sebagai berikut.

1. Tambah dan kurang sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu).2. Kali dan bagi sama kuat (mana yang lebih kiri dikerjakan terlebih dahulu).3. Kali dan bagi lebih kuat dari tambah dan kurang.

Contoh

Hitunglah 48 : 3 2 + 24 4 : 2 5 =

Jawab

Berdasarkan aturan operasi hitung campuran di atas dan teknik penulisan yang nyaman untuk

difahami siswa, teknik penulisan dan pengerjaannya adalah seperti berikut.

Ruas kiri = 48 : 3 2 + 24 4 : 2 5

= 16 2 + 96 : 2 5

= 32 + 48 5

= 80 5

= 75.

Latihan 2

Hitunglah!

1. 5 4 : 2 + 12 : 2 3 =

2. 7 4 : 2 + 18 : 3 2 =

3. 24 : 2 3 2 3 : 2 =

4. 45 : 5 3 6 3 : 2 + 10 =

5. 7 4 : 2 + 18 : 2 3 6 =

BAB III


19/50

19

PEMBELAJARAN KPK DAN FPB

DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL

A. TUJUAN PEMBELAJARAN

Peserta diklat dapat memberikan contoh pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dimulai dari pendekatan kontekstual, formal, pembinaan

ketrampilan, dan mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI

Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran Kelipatan Persekutuan Terkecil

(KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 2 (dua) atau 3(tiga) bilangan.

C.

STRATEGI BELAJARFasilitator menunjukkan garis besar isi modul, pemecahan masalah yang dikemukakan pada

modul, dan meminta tanggapan peserta diklat. Peserta diklat menyimak, menyampaikan

pendapat/gagasan, dan menanggapi pendapat pihak lain.

D. MEDIA BELAJAR

Bahan Ajar (Modul), Bahan Tayang, dan Alat Peraga (bila diperlukan).

E. PEMBELAJARAN KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

1.Pendekatan kontekstual untuk KPK.a. Soal tentang lampu kedip

Misalkan terdapat sebuah lampu berwarna merah dan sebuah lampu lagi berwarna kuning.

Lampu merah berkedip setiap 2 detik sedangkan lampu kuning berkedip setiap 3 detik.

Jika kedua lampu dinyalakan bersama-sama

1) pada detik ke berapa saja kedua lampu berkedip secara bersamaan.

2) pada detik ke berapa kedua lampu untuk pertama kalinya berkedip bersama.

b. Fasilitas yang perlu disiapkan guru

Fasilitas yang perlu disiapkan berupa lembar kerja (LK) dalam bentuk tabel seperti berikut

Lampu Berkedip pada detik ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Merah

Kuning

c. Aktifitas siswa.

Bekerja kelompok mengisi LK tersebut dengan tanda-tanda centang () pada kolom-

kolom yang disediakan.

Hasil kerja kelompok yang diharapkan adalah:


20/50

20

Lampu Berkedip pada detik ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Merah

Kuning

Dari tabel dapat dilihat bahwa

1) kedua lampu akan berkedip bersama-sama pada detik ke 6, 12, 18, dan seterusnya.

2) kedua bola lampu berkedip bersama pertama kalinya pada detik ke-6.

Maka KPK dari 2 dan 3 hasilnya = 6. Ditulis KPK(2,3) = 6.

d. Peran guru sebagai fasilitator.

Menyiapkan soal, menyiapkan LK, mengawasi kerja kelompok, memberikan

klarifikasi/kejelasan tentang jawaban mana yang benar/paling benar.

2.KPK secara matematis (oleh guru).Soal:

Berapakah kelipatan persekutuan dari bilangan 2 dan 3?Berapakah kelipatan persekutuan yang terkecil (KPK) dari bilangan 2 dan 3?

Jawab:

Kelipatan 2 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 ,

Kelipatan 3 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 , 27,

Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 adalah6, 12, 18, 24,

terkecilMaka KPK (2, 3) = 6.

3.Pemberian soal-soal lain untuk KPK (oleh guru).Soal:

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan-bilangan berikut

a. 4 dan 6

b. 10 dan 15

c. 15 dan 20

d. 5 dan 10

e. 25 dan 50

Jawaban yang diharapkan adalah:

a. kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, 36, 48,

sehingga KPK (4, 6) = 12.

b. kelipatan persekutuan dari 10 dan 15 adalah 30, 60, 90,


21/50


22/50

22

a. Soal tentang membagi sama banyak kepada beberapa orang

Misalkan ada 12 jambu dan 18 rambutan. Jambu dan rambutan sebanyak itu akan dibagi

rata (sama banyak) kepada beberapa orang.

Pertanyaan:

1) Yang memungkinkan jambu dan rambutan itu dapat dibagi sama banyak kepada berapa

orang?

(1 orang, 2 orang, 3 orang, 4 orang, 5 orang, 6 orang, dan lain-lain).

2) Dari hasil-hasil penyelidikan tersebut, paling banyak kepada berapa orang jambu dan

rambutan itu dapat dibagi secara merata (sama banyak).

3) Adakah cara yang paling singkat untuk memperoleh jawaban yang ditanyakan pada

pertanyaan b?

b. Fasilitas yang pelru disiapkan.

Untuk siswa setiap kelompok harus menyediakan kerikil-kerikil sesuai dengan warna

dan jumlah yang dimaksud, sedangkan guru mempersiapkan LK berupa isian tentang

kemungkinan-kemungkinan tentang kedua kelompok kerikil itu dapat dibagi sama

banyak kepada 2 orang, 3 orang, 4 orang, 6 orang dan 8 orang seperi berikut.

2 orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orangjambu ramb Jambu ramb jambu ramb

AB

ABC

ABCD

6 orang 8 orangjambu rambutan Jambu rambutan

ABC

DEF

ABC

DEFGH

Ada sisa/tidakAda sisa/tidak Ada sisa/tidak

Ada sisa/tidakAda sisa/tidak


23/50

23

c. Bentuk kegiatanSiswa secara berkelompok mengerjakan lembar kerja, guru mengawasi kegiatan siswa

dan terakhir memberikan klarifikasi tentang jawaban yang benar. Jawaban yang

diharapkan.

2 orang A dan B 3 orang A, B, dan C 4 orangJambu

12Ramb

18Jamb

12Ramb

18Jamb

12Ramb

18AB

66

99

ABC

444

666

ABCD

3333

4444

6 orang 8 orangjamb

12ramb

18jamb

12ramb

18ABCDE

F

22222

2

33333

3

ABCDE

FGH

11111

111

22222

222

sisa sisa 4 sisa 2

Kesimpulan:

Maksimal 12 jambu dan 18 rambutan dapat dibagi rata (sama banyak) pada 6 orang.

Maka FPB(12,18) = 6.

Guru kemudian menanyakan, adakah cara yang lebih cepat untuk memperoleh jawabantersebut, yakni jambu dan rambutan itu dapat dibagi rata (sama banyak) kepada maksimal

6 orang?

Jawabannya: Ada (oleh guru)

Yaitu FPB (12, 18) = 6, barulah membahas FPB secara matematika.

2.Pembahasan FPB secara matematika.FPB (12, 18) = ?

Tanpa sisajadi habis dibagi rata

pada 6 orang

Rambutan sisa 2

jadi tak habis dibagirata pada 4 orang

Ada sisa, jadi tidakmungkin dibagi 8

orang.

Tanpa sisa

jadi habis dibagi ratapada 2 orang

Tanpa sisa

jadi habis dibagi ratapada 3 orang


24/50

24

Jawab:

12 18

1 122 63 4

1 182 93 6

Sesudah itu guru dapat memberikan soal-soal lainnya untuk dapat dikerjakan dengan cara

yang sama. Siswa boleh bekerja sama dalam memecahkan masalah tersebut.

Contoh:

Paling banyak (maksimal) dapat dibagi sama banyak kepada berapa orang sekumpulan

benda-benda berikut.

a. 30 kelereng merah dan 20 kelereng putih.

b. 40 bola merah dan 60 bola putih.

c. jeruk 12 buah, duku 16 buah dan rambutan 20 buah.

d. telur puyuh 40 buah, telur ayam 30 buah, telur bebek 20 buah.

Jawaban akhir yang diharapkan adalah

a. FPB (30, 20) = 10, maka maksimal kelereng-kelereng itu dapat dibagikansama banyak kepada 10 orang.

b. FPB (40, 60) = 20, maka maksimal bola-bola itu dapat dibagikan samabanyak kepada 20 orang.

c. FPB (12, 16, 20) = 40, maka maksimal jeruk, duku, dan rambutan itu dapat

dibagikan sama banyak kepada 4 orang.d. FPB (40, 30, 20) = 10, maka maksimal telur-telur itu dapat dibagikan sama

banyak kepada 10 orang.

3.Cara cepat menentukan FPB (oleh guru).Dari contoh-contoh yang telah dipelajari, siswa diajak mengamati hasilnya, ternyata nilai

FPB yang dimaksud adalah

FPB = bilangan terbesar yang dapat membagi habis

bilangan-bilangan itu.

Dari data akan dipeorlehFaktor dari 12 1 , 2 , 3 , 4, 6 , 12

Faktor dari 18 1 , 2 , 3 , 6 , 9, 18

Faktor persekutuan dari 12 dan 18ialah 1 , 2 , 3 , 6

terbesar

Maka FPB (12, 18) = 6Sehingga 12 jambu dan 18 rambutan itu dapat

dibagi sama banyak maksimal pada 6 orang.


25/50

25

Contoh:Tentukan FPB (12, 18) =

Jawab:3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 12

3 membagi habis (tanpa sisa) bilangan 18.

Tetapi FPB (12, 18) 3 sebab masih ada

bilangan lain yang lebih dari 3 yang

dapat membagi habis 12 dan 18.

Bilangan itu adalah 6. Maka

FPB (12, 18) = 6.

Catatan

Cara mencongak hanya tepat dilakukan untuk bilangan-bilangan yang mudah dibayangkan.

4.Pembinaan keterampilan menentukan FPB.Kaidah yang digunakan untuk membina keterampilan, yakni menentukan FPB dari 2bilangan atau lebih secara mencongak adalah seperti pada langkah 3. Guru kemudian

memilih dan mempersiapkan bilangan-bilangan yang mudah dicongak dalam mencariFPB. Bilangan-bilangan itu misalnya:

Tentukan FPB dari

a. 20 dan 30

b. 20 dan 40

c. 25 dan 50

d. 50 dan 75

e. 100 dan 150 dan lain-lain.

Jawaban yang diharapkan secara cepat (mencongak) adalah

a. FPB (20, 30) = 10

b. FPB (20, 40) = 20

c. FPB (25, 50) = 25

d. FPB (50, 75) = 25

e.

FPB (100, 150) = 505.Menentukan KPK dan FPB dengan faktorisasi prima

Faktorisasi prima digunakan untuk menyelesaikan permasalahan mencari KPK dan

FPB dari bilangan-bilangan yang sulit dibayangkan/diangankan. Teknik menentukan KPK

dan FPB dengan faktorisasi prima dilakukan dengan 2 (dua) cara, yaitu

KPK = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar

FPB = hasil kali faktor prima sekutu pangkat yang terkecil

KPK = hasil kali faktor prima yang ada maupun tak ada pasangannya

FPB = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya

FPB Secara Mencongak

DicobaFPB (12, 18) = 1 (sukses membagi 12 dan

sukses membagi 18, tapikurang besar)

2 (sukses tapi kurang besar)3 (sukses tapi kurang besar)4 (salah, ada yang tak sukses)5 (salah, keduanya tak sukses)6 (sukses dan yang terbesar)

Maka (12, 18) = 6.


26/50

26

ContohTentukan KPK dan FPB dari bilangan-bilangan 300 dan 350.

Jawab1. Berdasarkan fakta yang ada (konsep), maka

2.Dengan pemfaktoran primayang dimaksud adalah

Dengan demikian maka dari faktorisasi prima teknik 1, diperoleh

KPK (300,350) = hasil kali faktor prima yang ada pasangannya dan yang tidak adapasangannya = 223557

= 2.100FPB (300,350) = 255

= 50.

3. Dengan faktorisasi prima teknik 2 KPK dan FPB dua atau beberapa bilangan diperolehdengan cara seperti berikut. Untuk KPK hasilnya sama dengan hasil kali faktor-faktor primagabungannya pangkat yang terbesar. Sementara FPB hasilnya sama dengan hasil kali faktor-

faktor prima sekutunya pangkat yang terkecil.

300 = 22 3 52 300 = 22 3 52

350 = 21 52 7 350 = 21 52 7

KPK (300, 350) = hasil kali faktor prima gabungan pangkat yang terbesar.

300

150

75

5

25

5

3

2

2

350

175

35

75

5

2yang ada pasangannya

yang ada dan tak ada pasangannya

300 = 2 2 3 5 5 = 2 35

350 = 2 5 5 7 = 2527

FPB(300,350) = ... Secara mencongak,Dicoba

FPB(300,350) 10 (kurang besar)20 (salah)sebab 20 suksesmembagi 300 tetapi

tidak sukses membagi35025 (kurang besar)50 (tepat)

Maka FPB(300,350) = 50.

Kelipatan 1 300 3502 600 7003 900 10504 1200 14005 1500 1750

6 1800 21007 2100 KPK = 2100

21 52FPB = 22 3 5

2 7 KPK =


27/50


28/50

28

b. Nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana untuk pecahan96

72.

Jawaba. ...

6

1

4

1

3

2

KPK penyebut = KPK (3, 4, 6) = 12.

Maka :

12

7

12

2

12

3

12

8

12

...

12

...

12

...

6

1

4

1

3

2 .

b. Dengan faktorisasi prima

Sehingga .4

3

22

3

322222

33222

96

72

Perhatikan bahwa bagian yang dicoret adalah FPB dari 72 dan 96 yakniFPB (72, 96) = 2 2 2 3 = 24Dengan begitu bila kita sudah mengetahui bahwa FPB (72, 96) = 24 maka untuk

menyederhanakan pecahannya dilakukan dengan cara .4

3

24:96

24:72

96

72

Ada contoh terapan lainnya yang cukup menarik untuk pelajaran matematika SD adalah

terapan KPK dalam perhitungan jarak, waktu, dan kecepatan.

Contoh 2

Ali bersepeda dari kota P ke kota Q dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam berangkat pukul07.00. Satu setengah jam kemudian Budi menyusul Ali menggunakan sepeda motor

dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada pukul berapa Budi menyusul Ali?

Jawab

Selisih waktu perjalanan antara Ali dan Budi =2

11 jam. Selisih waktu itulah yang nantinya

akan dipakai sebagai dasar perhitungan KPK. Perhatikan bahwa:

Ali 1 jam menempuh jarak 20 km 2

11 jam =

2

11 20 km = 30 km.

72

36

18

3

9

3

2

2

2

72

36

18

3

9

3

2

2

2

72

36

18

3

9

3

2

2

2

96

48

24

3

12

2

2

2

2

62


29/50

29

Budi 1 jam menempuh jarak 30 km 2

11 jam =

2

11 30 km = 45 km.

Berdasarkan uraian diatas apabila dibuat diagram, pengerjaannya sebagai berikut :

Diagram jarak, waktu, dan kecepatan yang digambarkan di atas ternyata cukup dapatmemberikan kejelasan bahwa :a) Budi menyusul Ali tepatnya pada km 90 = KPK (30, 45)

b) Waktu Budi menyusul Ali adalah

Untuk Ali waktu dihitung dari pukul 07.00, yakni

pukul 07.00 + 3 2

1

1 jam = 07.00 + 2

1

4 jam = 11.30

Untuk Budi waktu dihitung dari pukul 08.30, yakni

pukul 08.30 + 2 2

11 jam = 08.30 + 3 jam = 11.30

Contoh 3

Ali bersepeda motor berangkat dari kota P pukul 07.00 menuju kota Q yang berjarak 250

km dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Pada saat yang bersamaan Budi berangkat dari

kota Q menuju kota P dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam.

Pertanyaan

a. Pada km berapa dan pada pukul berapa Ali dan Budi berpapasan di jalan?b. Jika waktu berangkatnya tidak bersamaan, yaitu Ali berangkat pukul 07.00 sementara

Budi berangkatnya pukul 08.30. Pada km berapa dan pukul berapa Ali dan Budi

berpapasan di jalan?

Jawab :

250 km QP

07.00 07.00BudiAli 40 km/jam 60 km/jam

100 km 150 km

2

12 jm

2

12 jm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 km

| | | | | | | | | | |

07.00 Ali

08.30 Budi

2

11 jam

2

11 jam

2

11 jam

2

11 jam

2

11 jam


30/50

30

a. Ali 1 jam menempuh jarak 40 km (dari kiri)

Budi 1 jam menempuh jarak 60 km (dari kanan)

Ali dan Budi 1 jam menempuh jarak 100 km.

Karena jarak yang harus mereka tempuh berdua = 250 km maka waktu tempuhnya =

100

250 jam =

2

12 jam. Itu berarti Ali dan Budi berpapasan di jalan setelah keduanya

melakukan perjalanan selama2

12 jam yakni

pukul 07.00 +2

12 jam = 09.30.

Tempat keduanya berpapasan adalah

Ali = 40jam

km

2

12 jam = 100 km (dari kiri/dari kota P)

Budi = 60jam

km

2

12 jam = 150 km (dari kanan/dari kota Q)

Total = 250 km

b.

Karena waktu berangkatnya tidak sama maka perhitungannya dimulai dari saat

keduanya mulai berjalan, berarti pukul 08.30 yaitu2

11 jam dari Ali mulai bergerak

barulah Budi mulai bergerak.

Dari pukul 08.30

Ali telah menempuh jarak 40 jam

km 2

11 jam = 60 km (tiba di R). Kini jarak yang harus

ditempuh keduanya = 250 km 60 km = 190 km.Karena 1 jam Ali dan Budi menempuh total jarak 100 km maka waktu pertemuannya

dicapai saat keduanya menempuh perjalanan selama100

190jam = 1,9 jam = 1 jam 54

menit.

Waktu keduanya berpapasan adalah

Ali = pukul 07.00 +2

11 jam + 1 jam 54 menit

+

190 km QP

07.00 08.30BudiAli

40 km/j 60 km/j40 km/j

R60 km

08.30


31/50

31

= 07.00 + 1 jam 30 menit + 1 jam 54 menit= 10.24

Budi = 08.30 + 1 jam 54 menit= 10.24

Jarak keduanya berpapasan adalah

Ali = 60 km + 40jam

km

10

91 jam = (60 + 76) km = 136 km

Budi = 60jam

km

10

91 jam = (60 + 54) km = 114 km

Total = 250 km

Latihan 31. Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut

2. Ali berkunjung ke bank sekali dalam 10 hari, Budi sekali dalam 15 hari. Jika sekarang iabertemu di bank itu, dalam berapa hari lagi mereka akan saling bertemu kembali padabank tersebut?

3. Misalkan tersedia cat-cat dalam kemasan kaleng-kaleng kecil. Cat merah 150 kaleng, catputih 120 kaleng dan cat kuning 90 kaleng. Jika cat-cat itu akan dibagi rata (samabanyak) pada para tukang cat, maksimal kepada berapa orang cat-cat itu dapat dibagirata?

4. Ali bersepeda dari kota A ke kota B dengan kecepatan 20 km/jam, berangkat pukul 07.00.satu setengah jam kemudian Budi menyusul berangkat dari tempat yang sama (kota A)dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pukul berapa Budi menyusul Ali?

5. Dodi bersepeda motor dari kota A ke kota B yang berjarak 125 km dengan kecepatan 20

km/jam berangkat pukul 07.00. Pada saat yang bersamaan Eka berangkat dari kota B kekota A denagn kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dari kota A dan pada pukul berapakeduanya berpapasan di jalan?

6. Jika untuk soal nomor 2 (jarak kota A ke kota B adalah 125 km) Eka berangkat dari kotaB menuju kota A pukul 07.00 dengan kecepatan rata-rata 30 km/jam. Sementara Dodiberangkatnya dari kota A menuju kota B pada pukul 08.30. Pada km berapa dari kota Adan pada pukul berapa Dodi dan Eka berpapasan di jalan?

+

a. 9 dan 12b. 8 dan 20c. 8 dan 16d. 12 dan 16e. 20 dan 24

f. 10 dan 30g. 20 dan 25h. 40 dan 60i. 50 dan 60j. 80 dan 120

k. 4, 6, dan 9l. 8,10, dan 12m. 40,50, dan 60n. 200,400, dan 600o. 250,300, dan 400.


32/50

32

BAB IVBILANGAN PERSEGI, BILANGAN KUBIK, DAN PENARIKAN AKAR


Peserta diklat dapat menguadratkan suatu bilanagan asli, memangkatkan tiga, menarik akar

kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat tiga suatu bilangan kubik hingga

bilangan 1.000.000.

B. KOMPETENSI

Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran menguadratkan suatu bilanagan

asli, memangkatkan tiga, menarik akar kuadrat suatu bilangan persegi, dan menarik akar pangkat

tiga suatu bilangan kubik hingga bilangan 1.000.000.

C. BILANGAN KUADRAT/PERSEGI (SQUARE NUM BER)Sebagai pendekatan kontekstual, pertama perhatikan pola pada 4 persegi berikut

Perhatikan bahwa panjang sisi dan luas dari masing-masing persegi itu adalah:

Gambar I : Panjang sisi = 1, Luas persegi I = 1Gambar II : Panjang sisi = 2, Luas persegi II = 4Gambar III : Panjang sisi = 3, Luas persegi III = 9

Gambar IV : Panjang sisi = 4, Luas persegi IV = 16.

Selanjutnya bilangan-bilangan 1, 4, 9, 16, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilanganpersegi.Amati bahwa hubungan antara pola persegi dengan luas persegi itu (banyaknya persegisatuan penyusunnya) adalah seperti berikut.

, ,,,

1 4 9 16

. . .

. . .,,,,

Pola

Luas

, A,,

I II III IV

. . .


33/50

33

Bila bilangan-bilangan persegi tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . .

Pola itu dikenal sebagai pola bilangan persegi, dan bilangan yang tertulis disebut 10 bilanganpersegi yang pertama.

Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan persegi berikutnya atau bagaimana

kita dapat menentukan bilangan-bilangan persegi yang lain?Jawabannya adalah pola dari

1, 4 , 9 , 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, . . . sama dengan

12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, . . .

Sehingga bilangan persegi (square number) juga disebut sebagai bilangan kuadrat yakni

bilangan yang diperoleh dengan menguadratkan suatu bilangan asli.

D. BILANGAN KUBIK (CUBE NUMBER)

Sebagai ilustrasi, perhatikan pola dari 4 kubus dengan 4 macam ukuran seperti berikut .

Jika disediakan sejumlah kubus satuan, maka untuk membentuk kubus yang panjang rusuknnya

1 satuan, 2 satuan, 3 satuan, 4 satuan, dan seterusnya masing-masing akan diperlukan sebanyak

1, 8, 27, dan 64 kubus satuan. Sehingga hubungan antara panjang rusuk dan volum dari masing-

masing kubus itu adalah:

Gambar I : Panjang rusuk = 1 satuan, Volum kubus I = 1 satuan

Gambar II : Panjang rusuk = 2 satuan, Volum kubus II = 8 satuan

Gambar III : Panjang rusuk = 3 satuan, Volum kubus III = 27 satuan

Gambar IV : Panjang rusuk = 4 satuan, Volum kubus IV = 64 satuan.

Selanjutnya 1, 8, 27, 64, . . . dan seterusnya masing-masing disebut bilangan kubik.Dengan

begitu

, , , , . . .

I II III IV , . . .,,,

Bilangan kubik bersesuaian dengan volume kubus yang ukuran

panjang rusuknya bulat.


34/50

34

Hubungan antara pola kubus dan volum kubus yang ditunjukkannya adalah sebagai berikut:

Bila bilangan-bilangan kubik tersebut dilanjutkan, akan didapatkan pola seperti

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . .

Kesepuluh bilangan yang tertulis di atas disebut 10 bilangan kubik yang pertama.

Nah sekarang bagaimana kita dapat menentukan bilangan kubik berikutnya atau bagaimana

kita dapat menentukan bilangan-bilangan kubik lainnya?

Jawabannya adalah pola dari

1 , 8 , 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, . . . sama dengan13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83 , 93, 103, . . .

sehingga bilangan kubik (cube number) juga disebut sebagai bilangan berpangkat tiga yaitu

bilangan yang diperoleh dengan memangkatkan tiga suatu bilangan asli.

B.TEKNIK MENGUADRATKAN DAN MENARIK AKAR

1. Teknik Menguadratkan Dilanjutkan Menarik Akar KuadratTeknik menguadratkan telah dibahas di bagian depan, teknik menarik akar (akar kuadrat)

pertamakali ditemukan olehCalandra (seorang matematikawan India) pada tahun 1491.

Untuk menarik akar (akar kuadrat ) digunakan teknik seperti berikut.

, ,1 9 16. ..

, . . .

1 8 27 64 . . .,,

,

,,

Pola

Volum


35/50

35

Contoh 1

2062=

Teknik menarik akar

pisahkan angka-angka dari bilangan yang ditarik akarnya dua angka-dua angkadari satuan (bagian pengelompokan paling kanan)

kerjakan mulai dari angka paling kiri (setelah ada pemisahan)

nyatakan angka paling kiri itu sebagai perkalian dua bilangan yang sama besar,

hasil kali 2 bilangan yang sama itu tidak boleh melebihi bilangan yang dimaksud,

sama adalah yang paling diharapkan.

cari sisa dari bilangan pertama dikurangi dengan hasil kali dua bilangan sama

yang dikalikan itu, kemudian turunkan sekaligus dua angka yang ada di bagian

angka paling kanan angka pertama yang diproses untuk dijadikan sebagai angka

kedua yang akan diproses

jumlahkan dua bilangan sama besar itu untuk disambungkan dengan suatu

bilangan 1 angka yang bila dikalikan dengan bilangan 1 angka yang dimaksud itu,

hasilnya tidak melebihi bilangan pada angka kedua yang diproses

cari sisa dari bilangan pada kelompok angka kedua yang diproses dikurangi

dengan hasil kali yang dimaksud di atas.

200 206 212

6 6

2062 = 200 212 + 62

= (2212)100 + 36

= 42400 + 36

= 42436

206236.24.4

2 2

=

= 4

+

+

4 0 0 =

0

36

24

24

0

40 6 6 24

36

0=Sisa terahir

2 0 6

Maka:

42436 = 206

Teknik menarik akar


36/50

36

Contoh 2

4252=

Agar anda lebih tertantang cobalah untuk membuat soal sendiri misal 4152 = , carilah

hasilnya dengan teknik seperti yang telah dicontohkan di atas kemudian gunakan teknik

penarikan akar yang dimaksud.

3.2. Teknik Menarik Akar Pangkat Tiga Bilangan Kubik

Berbeda dengan penarikan akar kuadrat, penarikan akar pangkat tiga tidak memiliki teknik

yang bersifat umum seperti halnya penarikan akar pangkat dua (akar kuadrat). Sudah banyak

matematikawan yang berusaha ke arah itu diantaranya adalah matematikawan Italia Gerolamo

Cardano (1501 1576) di tahun 1535. Namun hingga kini belum ditemukan teknik yang

berlaku secara umum.Ada suatu teknik menarik akar pangkat tiga dan teknik itu hanya berlaku efektif untuk

penarikan akar pangkat tiga bilangan kubik hingga 1.000.000. Teknik yang dilakukan

menggunakan daftar seperti berikut.

400 425 450

25

4252 = 400 450 + 252

= (4451000 + 625

= 180.000 + 625

= 180.625

425

25

25.06.18

4

=

=16

+

+

8 =

2 06

42

1 64

84 5

25

0=Sisa terakhir

4 2 5

Maka:

625.180 = 425

Teknik menarik akar

4

2

25425

2


37/50

37

Contoh penggunaan tabel

Tentukan akar pangkat tiga dari bilangan kubik 103.823, yakni tentukan 3 823.103 =

Jawab:

Letak bilangan kubik 103.823 adalah 64.000 < 103.823 < 125.000, maka

40 < 3 823.103 < 50 atau 3 823.103 = empat puluh sekian

=Langkah-langkah penyelidikan lebih lanjut adalah

Lihat angka terakhir dari bilangan kubik itu

Angka terakhir dari 103.823 adalah 3

Lihat bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya sama dengan itu

Bilangan kubik dasar yang angka terakhirnya 3 adalah 343

Lihat akar pangkat tiga dari bilangan kubik dasar yang dimaksud

Berdasar tabel, diperoleh 3 343 = 7.

Maka satuannya = 7, sehingga disimpulkan bahwa

3 823.103 = = 47.

Bilangan KubikDasar

Bilangan KubikRibuan

1233343536373

83

93

10

182764

1252163435127291000

10203303403503603703

803

903

100

1.0008.00027.00064.000125.000216.000343.000512.000729.000

1.000.000

103.823

Puluhannya 4

Satuannya 7

4


38/50

38

Latihan 4

1. Hitunglah penguadratan berikut secara mencongak dengan cara seperti di atas. Setelah hasil

penguadratan diperoleh tarik akarnya dan periksa hasilnya.a. 142= ... b. 232= c. 462= d. 2072= e. 4252=

2. Tentukan luas masing-masing persegi yang panjang sisinya diketahui seperti berikut

a. b. c. d.

3. Tentukan panjang sisi masing-masing persegi yang luasnya diketahui seperti berikut:

a. b. c. d.

4. Tentukan volume kubus yang panjang rusuk-rusuknya adalaha. 14 cm b. 25 cm c. 45 dm d. 75 dm

e. 8 satuan f. 18 satuan g. 53 satuan h. 65 satuan.

5. Hitunglah akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan kubik

a. 6.859 b. 13.824 c. 32.768 d. 97.336

e. 148.877 f. 592.704 g. 804.357 h. 941.192.

6. Tentukan panjang rusuk kubus yang volumenya

a. 50.653 cm3 b. 140.608 cm3 c. 405.224 cm3 d. 571.787 cm3.

7. Dengan menggunakan cara menguadratkan seperti yang telah dicontohkan sebelumnya,

cobalah untuk menguadratkan bilangan-bilangan berikut kemudian tariklah akarnya

a. 19 b. 26 c. 48 d. 57 e. 65 f. 75

g. 85 h. 88 i.96 j. 108 k. 225 l. 512

8. Dengan menggunakan sifat a2= (a + b)(a b) + b2 , sifat a3= a2a, dan perkalian

menggunakan batang Napier, tentukan (coba tanpa kalkulator) pangkat tiga dari :

a. 16 b. 25 c. 36 d. 49 e. 64 f. 81

Setelah hasil ditemukan cobalah tarik akar pangkat tiga dari bilangan-bilangan yang Andahasilkan itu.

14 cm

55 m

25 cm

94 m

169 cm2

18.225 cm2784 cm

99.225 cm2


39/50

39

9.Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah akar pangkat tiga dari masing-masing bilangankubik berikut.

a. 2197 e. 50653 i. 205.379b. 2744 f. 59.319 j. 636.056

c. 4913 g. 79.507 k. 778.688

d. 9261 h. 97.336 l. 941.192.


40/50

40

BAB V

BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA


Peserta diklat dapat menuliskan letak suatu bilangan bulat pada suatu garis bilangan jika titik

pangkal 0 dari bilangan bulat itu diketahui dan mencari hasil operasi antara dua bilangan bulat.

B. KOMPETENSI

Peserta diklat menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran bilangan bulat dan operasinya.

C. BILANGAN BULAT

Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang utuh dalam arti bukan berupa pecahan

(sumber kutipan). Dengan demikian bilangan bulat dapat berupa bilangan positip, nol,maupun bilangan negatip. Bilangan negatip dipandang sebagai lawan dari bilangan positip

demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh misalnya lawan dari 5 adalah 5 (baca negatip

lima) sedangkan lawan dari 12 adalah 12, demikian pula untuk yang lainnya.

Dipandang dari wawasan tentang himpunan, himpunan bilangan bulat merupakan perluasan

dari himpunan bilangan cacah. Perluasan yang dimaksud adalah keanggotaannya. Sehingga

himpunan yang diperluas itu menjadi tertutup terhadap operasi pengurangan. Dalam bentuk

himpunan, himpunan bilangan bulat yang dimaksud adalah B = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }.

Apabila digambarkan dengan garis bilangan bentuknya akan seperti berikut:

-3 -2 -1 0 1 2 3

D. OPERASI PADA BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi yang akan diterapkan pada bilangan bulat adalah (+, , , :) yakni penjumlahan,

pengurangan, dan pembagian. Khusus untuk pembagian tidak diperlukan atas semua

bilangan bulat tetapi hanya dikhususkan pada bilangan-bilangan tertentu sehingga hasil

baginya juga bilangan bulat.

Karena penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat bersesuaian dengan kaidah

perhitungan vektor berdimensi satu, maka cara yang mudah, cukup menarik, dan mudah

ditangkap oleh siswa SD, cara penanaman konsepnya adalah sebagai berikut:

Bermula dari titik pangkal nol dan menghadap ke kanan

positip maju tambah terus

Bilangan negatip mundur Operasi

nol diam kurang balik arah


41/50


42/50

42

Ternyata hasil akhirnya 4. Jadi 3 (7) = 4.

Cara lain untuk menemukan hasil-hasil operasi pada bilangan bulat secara umum adalah

denganmenggunakan pola bilangan.

Alasannya karena dengan pola bilangan akan diperoleh konsistensi hukum/kaidah/aturanyang sesuai dengan sifat matematika yang deduktif dan konsisten.

Dengan pola bilangan bentuk langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Soal Pola yang diciptakan Pengamatan pola

2 + 5 = 3 + 5 = 3 + 5 = 8

2 + 5 = 2 + 5 = 7

1 + 5 = 1 + 5 = 6

Stop, amati polanya 0 + 5 = 0 + 5 = 5

1 + 5 = 1 + 5 = 4

2 + 5 = 2 + 5 = 3

Dengan demikian maka 2 + 5 = 3

Soal Pola yang diciptakan Pengamatan pola

2 (3) = 2 3 = 2 3 = 1

2 2 = 2 2 = 0

2 1 = 2 1 = 1

Stop, amati polanya 2 0 = 2 0 = 2

2 (1) = 2 (1) = 3

2 (2) = 2 (2) = 4

2 (3) = 2 (3) = 5

Dengan demikian maka 2 (3) = 5

turun 1

turun 1

turun 1

naik 1

naik 1

naik 1

23 1 0 1 3 42 5 6 7 8


43/50

43

2. Perkalian dan Pembagian

Secara konsep, mengali adalah menghitung anggota seluruh kelompok benda bila masing-

masing kelompoknya beranggota sama banyak. Karena secara konsep banyaknya kelompokjuga harus berupa bilangan positip, maka secara konsep mengali juga harus berupa bilangan

positip. Sebagai pemahaman makna dari konsep tersebut berikut diberikan peragaan-

peragaannya.

a. Peragaan untuk 3 2 = 6 b. Peragaan untuk 3 (2) = 6

Jika 1 kelompok berisi + 2 (positip 2), Jika 1 kelompok berisi 2 (negatip 2),

berapakah isi dari 3 kelompok? berapakah isi dari 3 kelompok?

Jawab: Jawab:

Isi dari Isi dari:

3 kelompok = 3 (+2) 3 kelompok = 3 (2)

= 3 2 = (2) + (2) + (2)

= 2 + 2 + 2 = 6 = 6

Untuk operasi pembagian demikian pula halnya. Secara konsep membagi adalah menjadikan

sekelompok benda menjadi beberapa kumpulan benda sama banyak. Dengan demikian secara

konsep bilangan pembagi juga harus berupa bilangan positip. Gambaran konsepnya adalah

seperti berikut.

a. Peragaan untuk (+6) : 3 = +2 atau 6 : 3 = 2

Cara membacanya

Ada satu kelompok berisi positip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak.

Berapakah isi masing-masing kelompok yang baru itu?

Jawab:

Dari hasil peragaan berarti secara konsep:

(+6) : 3 = +2 atau cukup ditulis 6 : 3 = 2.


44/50

44

b. Peragaan untuk (6) : 3 = (2) atau 6 : 3 = 2.

Cara membacanya:

Ada 1 kelompok berisi negatip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak.

Berapakah isi dari masing-masing kelompok yang baru itu?

Jawab:

Dari hasil peragaan berarti secara konsep:

(6) : 3 = (2) atau cukup ditulis 6 : 3 = 2.

Mengingat matematika bukanlah ilmu yang bersifat diam, tetapi merupakan ilmu yang terus

berkembang, para ahli kemudian mengembangkannya ke arah bentuk yang lebih umum

walaupun tampaknya tidak sesuai dengan konsep yang semula. Pertimbangan mereka adalah

asal kaidahnya dapat bersifat konsisten. Sebab sifat dasar matematika adalah deduktif dan

konsisten (GBPP Matematika SD 1994 : bagian pembukaan). Bentuk yang lebih umum yang

dimaksud adalah pengali maupun pembagi yang seharusnya berupa bilangan positip

diusahakan dapat berlaku pula untuk bilangan negatip. Untuk maksud tersebut, ide

pengembangannya didasarkan atas pola bilangan. Dari pola bilangan itu, jawaban-jawaban

yang dihasilkan kemudian diamati pola kecenderungannya. Nah dari pola kecenderungan

yang diamati itulah kemudian pengembangan (yang sebenarnya berada di luar konsep) dapatditentukan/dicari jawabannya hingga sampai pada tujuan yang dimaksud. Terakhir dari

terjawabnya tujuan yang dimaksud itu kemudian diadakan generalisasi.

Dalam matematika, pola bilangan digunakan untuk menjelaskan pengembangan pemikiran

karena kaidah yang diperoleh dari pola itu memiliki azas konsisten sesuai dengan sifat

matematika yang hakiki yakni bersifat deduktif dan konsisten. Seperti telah diketahui bahwa

secara konsep dapat dikemukakan bahwa bilangan positip dikalikan dengan bilangan negatip

hasilnya adalah bilangan negatip. Sedangkan bilangan negatip dibagi dengan bilangan positip

hasilnya adalah bilangan negatip. Kini dengan pola bilangan akan dijelaskan mengapabilangan negatip dikalikan bilangan positip hasilnya berupa bilangan negatip.


45/50

45

1. Bilangan

negatip positip = bilangan negatip

Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang

pertama

Isian selengkapnya

4 2 =

3 x 2 =

2 2 =

1 2 =

0 x 2 =

-1 2 =

-2

2 = -3 2 =

4 2 = 8

3 2 = 6

2 2 = 4

1 2 = 2

0 2 =

-1 2 =

-2 2 = -3 2 =

4 2 = 8

3 2 = 6

2 2 = 4

1 2 = 2

0 2 = 0

-1 2 = -2

-2 2 = -4-3 2 = -6

Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan positif =

bilangan negatif

2. Bilangan

negatip negatip = bilangan positip.

Dengan mengadopsi hasil sebelumnya yakni bilangan positip negatip = negatip.

Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang

pertama

Isian selengkapnya

4 (-2) =

3 (-2) =

2 (-2) =

1 (-2) =

0 x (-2) =

-1 2 =

-2 2 =

-3 2 =

4 (-2) = -8

3 (-2) = -6

2 (-2) = -4

1 (-2) = -2

0 (-2) =

-1 (-2) =

-2 (-2) =

-3 (-2) =

4 (-2) = -8

3 (-2) = -6

2 (-2) = -4

1 (-2) = -2

0 (-2) = 0

-1 (-2) = 2

-2 (-2) = 4

-3 (-2) = 6

Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan negatif =

bilangan positif.

Pembagian Bilangan Bulat

Seperti yang pernah dikemukakan sebelumnya bahwa secara konsep bilangan pembagi

adalah bilangan positip. Bagaimana pengembangannya untuk pembagi yang berupa

bilangan negatip, apakah juga dapat dilakukan menggunakan pola seperti perkalian?

Jawabnya adalah tidak. Sebab untuk membuat pola akan berhadapan dengan bilangan

Stop amatipola hasilisiannya

turun 2

turun 2

turun 2

Stop amatipola hasilisiannya

naik 2

naik 2

naik 2


46/50

46

nol. Padahal pembagian dengan bilangan nol hasilnya tak ada (does not exist). Oleh

karena itu akan lebih baik bila ditanyakan ke siswa apa hubungannya antara bilangan

yang dibagi dengan pembagi dan hasil bagi seperti misalnya apa hubungan antara:

a. 15 dengan 3 dan 5 pada pembagian 15 : 3 = 5

b. 12 dengan 4 dan 3 pada pembagian 12 : 4 = 3

c. 6 dengan 3 dan 2 pada pembagian 6 : 3 = -2 dan lain-lain.

Setelah siswa menjawab dikalikan atau lebih lengkapnya bilangan yang dibagi =

pembagi kali hasil bagi guru kemudian mengarahkan siswa pada bentuk umum:

a:b= cbila dan hanya bila a= bc

Pernyataan itu dapat pula ditulis dengan notasi lainnya seperti:

a:b= ca= bc atau cb

a a= bc

Dari bentuk umum itu guru dapat menjelaskan kasus-kasus seperti bilangan (yang

dimaksud adalah bilangan tidak nol) dibagi nol, nol dibagi bilangan, dan nol dibagi nol.

Hasil yang dimaksud masing-masing adalah:

(1) nol

bilangantak ada (does not exist)

Sebab dari bentuk seperti n0

5 5 = 0 n ternyata tak ada nilai n yang

memenuhi.

(2)bilangan

nol= nol

Sebab dari bentuk seperti n50 0 = 5 nmakanyang memenuhi agar 0 = 5 n

adalah n= 0.

(3)nol

nol= tak tentu (semua bilangan memenuhi)

Sebab dari bentuk seperti n0

0 0 = 0 n maka berapapun nilai n yang

dimasukkan akan selalu memenuhi bentuk 0 = 0 n.

Latihan 5


47/50

47

1.Uraikan jawabannya dengan kata-kata seperti maju sekian, mundur sekian, terus, balik

arah, dan hasilnya berapa.a. 2 + 2 = , 2 disebut lawan dari 2

b. 3 + 3 = , 3 disebut lawan dari 3

c. 4 + (6) =

d. 5 + (3) =

e. 4 (3) =

f. 3 (5) =

g. 2 (5) =

h. 3 (7) =

2. Hitunglah

a. 5 ( 4) = e. 10 4 ( 2) =

b. 4 ( 20) = f. 15 + 4 (2 5) =

c. 20 : ( 4) = g. 25 2 (10 5) =

d. 100 : ( 4) = h. 5 10 + 75 =

3. Hitunglah

. 10 : ( 2) 4 + 30 3 ( 4) =

b.16 ( 4) : 2 40 : ( 4) 2 =


48/50

48

BAB VI

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Bilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada matematikaSekolah Dasar meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan banyaknya satuan (unit) benda

dalam suatu kumpulan. Operasi (penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian)adalah operasi biner (operasi yang menghubungkan antara 2 unsur/bilangan sehinggamenghasilkan unsur tunggal) yang diterapkan pada bilangan. Sajian materi berikutnya adalah

kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesr (FPB), penguadratan,

pemangkatan tiga, dan penarikan akar (pangkat dua dan tiga), serta bilangan bulat (positip,nol, negatip) dan operasinya. Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam

diklat guru Sekolah Dasar. Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik danmenyenangkan. Resep apa sebenarnya sehingga yang membuat matematika yang dibahas

pada kegiatan diklat dapat menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karenasajian materinya diawali secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa sehari-

hari) dan mengikuti teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjutidengan gambar-gambar (semi kongkrit), dan diakhiri dengan lambang yang sifatnya abstrak.

Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan mampu

mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima darigurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidakmengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi

(pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing.

B. SARAN

Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anakdidik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagaiberikut.

1.Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama

menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan2.Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-

rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk

diterapkan di kelas yang diampunya, selanjutnya kepada sesama guru di sekolahnya,kemudian pada kegiatan KKG

3.Susunlah perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masadepan

4.Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada

pengawas5.Bersemboyanlah Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk

kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa. Tuhan mahamengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu yang

tak terduga di masa depan.


49/50

49

Amin.

DAFTAR PUSTAKA

Bruner, Jerome. 1967. Toward a Theory of Learning. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata pelajaran Matematika SD/MI).Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

-------------. (2006). Standar Isi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta:Departemen Pendidikan Nasional.

Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran).Yogyakarta: PPPG Matematika.

Edi Prayitno. (1997). KPK dan FPB (Paket Pembinaan Penataran). Yogyakarta : PPPGMatematika.

Niven, IvanZuckerman, Hurbert S. (1978). An Introduction to the Theory of Numbers (ThirdEdition).New York : John Wiley & Sons, Inc.

Wirasto. (1993). Matematika Untuk Orang Tua Murid Dan Guru (Jilid I). Jakarta : PT.Indira.


50/50

KUNCI JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN

Kunci Lat 1 (halaman 15)

No. 1

1) 8 2) 4 3) 9 4) 5 5) 24 6) 30 7) 28 8) 27 9) 5 10) 6

11) 3 12) 4.

No. 2

1) 132 2) 208 3) 834 4) 154 5) 208

Latihan 2 Halaman 16

1. 28 2. 26 3. 33 4. 46 5. 35.

Latihan 3 halaman 29

1. a. 3 b. 4 c. 4 d. 4 e. 4 f. 10 g. 5 h. 5

i. 10 j. 40 k. 1 l. 2 m. 10 n. 200 o. 50

2. 30 3. 30 orang 4. km 90 pukul 11.30 5. km 50 pukul 09.30 6. km 32 pukul 09.06


1. a. 196 b. 529 c. 2.116 d. 42.849 e. 180.625

2. a. 196 cm2 b. 625 cm2 c. 3.025 cm2 d. 8. 836 cm2

3. a. 13 cm b. 28 cm c. 135 cm d. 315 cm4. a. 2.744 cm3 b. 15.25 cm3 c. 91.125 dm3 d. 421.875 dm3

e. 512 f. 5.832 g. 148.877 h. 274.25

5. a. 19 b. 24 c. 32 d. 46

e. 53 f. 84 g. 93 h. 98

6. a. 37 cm b. 52 cm c. 74 cm d. 83 cm

7. a. 361 b. 676 c. 2.304 d. 3.249 e. 4.225 f. 5.625

g. 7.225 h. 7.744 i. 9.216 j. 11.664 k. 50.625 l. 262.144

8. a. 4.096 b. 15.625 c. 4.656 d. 117.649 e. 262.144 f. 531.441

9. a. 13 b. 14 c. 17 d. 21 e. 37 f. 39g. 43 h. 46 i. 59 j. 86 k. 92 l. 98.


1. a.0 b. 0 c. 2 d. 2 e. 7 f. 8 g. 3 h. 21

2. a. 20 b. 80 c. 5 d. 25 e. 18 f. 3 g. 15 h. 25

3. a. 22 b. 9

math modul

Documents