math essential

Math EssentialChapter 22nd week

Pada bab ini kalian akan belajar:Bilangan primaMencari KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil) dan FPB (Faktor Persekutuan terBesar)Pangkat 2 (kuadrat dan akarnya) & pangkat 3 (kubik dan akarnya)

Faktor dan Kelipatan18 = 1 x 18= 2 x 9= 3 x 6= 6 x 3= 9 x 2= 18 x 1

Dalam contoh di atas, kita menyebut :1, 2, 3, 6, 9, dan 18 adalah faktor dari 18

18 adalah kelipatan dari setiap angka 1, 2, 3, 6, 9, dan 18.Oleh karena itu, 18 dapat membagi tiap-tiap faktornya dengan sisa=0, atau dengan kata lain 18 habis dibagi faktor-faktornya.

Contoh:1. Daftarkan faktor dari 30 !30 = 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6 jadi, faktor dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30

2. Daftarkan kelipatan dari 5 !kelipatan 5 kita dapatkan dengan mengalikannya dengan 1,2,3,4,5x1=5 , 5x2=10, 5x3=15, 5x4=20,maka, kelipatan dari 5 adalah 5,10,15,20,

Bilangan PrimaBilangan asli yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh :2 = 1 x 23 = 1 x 35 = 1 x 5

Composite NumberBilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor.Contoh :4 = 1 x 4 ; 2 x 26 = 1 x 6 ; 2 x 38 = 1 x 8 ; 2 x 412 = 1 x 12 ; 2 x 6 ; 3 x 4

Test of DivisibilityApakah 50 346 habis dibagi 2?Jawab : Ya Setiap bilangan genap habis dibagi 2Apakah 17 325 habis dibagi 5?Jawab : Ya Setiap bilangan dengan digit terakhirnya adalah 0 atau 5 habis dibagi 5

Apakah 1 776 habis dibagi 3?Jawab : Ya perhatikan langkah berikut!1 + 7 + 7+ 6 = 2121 habis dibagi 3, maka 1 776 habis dibagi 3.Apakah 738 habis dibagi 9?Jawab : Ya perhatikan langkah berikut!7 + 3 + 8 = 1818 habis dibagi 9, maka 738 habis dibagi 9.

Apakah 6 721 dan 8 162 habis dibagi 11?Jawab : Ya setiap bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara penjumlahan digit di urutan ganjil dan penjumlahan digit di urutan genap = 0 atau kelipatan dari 116 721 (6 + 2) (7 +1) = 08 162 (8 +6) (1+2) = 11Maka 6 721 dan 8 162 habis dibagi 11

Atau kalian dapat menempatkan tanda minus dan plus pada sela bilangan:6 7 2 1 6 7 + 2 1 = 08 1 6 2 8 1 + 6 2 = 11

Faktorisasi PrimaSetiap bilangan asli (kecuali 1) termasuk bilangan prima atau komposit. Sebuah bilangan komposit dapat kita ekspresikan ke dalam bentuk faktor-faktor prima, yang kita sebut dengan faktorisasi prima.

2 cara faktorisasi bilangan prima:Metode 1 / Pohon FaktorFaktorisasi prima dari 60!602302153560 = 2 x 2 x 3 x 5Metode 2(Mulai dengan membagi angka dari faktor prima terkecil dan teruskan sampai didapatkan 1)60 = 2 x 2 x 3 x 5

Menggunakan Index NotationUntuk lebih singkat, 5 x 5 dapat kita tulis 52, kita baca pangkat 2 dari 5 atau 5 kuadrat.5 x 5 x 5 = 53, 5 pangkat 3 atau 5 kubik.5 x 5 x 5 x 5 = 54, 5 pangkat 4.

Dalam penulisan faktor prima dari suatu bilangan kita juga dapat menggunakan index notation ini untuk lebih mempersingkat.Contoh : 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 340 = 2 x 2 x 2 x 5 = 23 x 572 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32

FPB ( Faktor Persekutuan terBesar)Mary adalah seorang siswi pilihan yang sedang mengerjakan suatu tugas. Ia berencana untuk membuat persegi dari sebuah kertas berukuran 30 cm x 36 cm. Bantulah Mary untuk menentukan ukuran persegi terbesar yang dapat dibuat dari kertas tersebut!

Pertama, kita harus mencari suatu angka yang dapat membagi kedua ukuran tersebut ( 30 cm dan 36 cm)Hal tersebut sama halnya jika kita mencari faktor dari 30 dan 36. Untuk memudahkan, kita urutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.Faktor 30 = 1 2 3 5 6 10 15 30Faktor 36 = 1 2 3 4 6 9 12 18 36

1,2,3, dan 6 adalah faktor persekutuan dari 30 dan 36; dan yang terbesar kita sebut sebagai Faktor Persekutuan terBesar (FPB).

Kembali kepada penyelesaian soal, maka panjang sisi persegi terbesar yang mungkin adalah 6 cm.36 cm30 cm6 cm6 cm

Cara Lain Mencari FPBMetode 1Faktorisasi prima dari30 dan 36 adalah

30 = 2 x 3 x 5 36 = 22 x 32 x 12 x 3(GunakanIndexNotation)(Pilih faktor yangsama dengan pangkat terkecil)Jadi, FPB dari 30 dan36 adalah 2 x 3 = 6Metode 2Step 1 2 30 36Step 2 3 15 18Step 3 5 6FPB = 2 x 3 = 6Jadi, FPB dari 30dan 36 adalah 2 x 3= 6

KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil)Mary melaksanakan tugas keduanya. Pertama-tama ia membuat segi empat dengan ukuran 9 cm x 12 cm.Ia ingin mengcopy dan menyusun segi empat tersebut menjadi sebuah persegi (persegi terkecil yang mungkin). Berapakah panjang sisi dari persegi tersebut?

Kita harus mencari kelipatan dari 9 dan 12.Kelipatan 9 9 18 27 36 45 54 63 72 Kelipatan 12 12 24 36 48 60 72

2 persekutuan pertama dari 9 dan 12 adalah 36 dan 72. Faktor persekutuan yang terkecil (36) merupakan KPK dari 9 dan 12.

Kembali kepada penyelesaian soal, maka panjang sisi persegi terkecil yang mungkin adalah 36 cm.36 cm36 cm12 cm9 cm

Cara Lain Mencari KPKMetode 1Faktorisasi prima dari30 dan 36 adalah

30 = 2 x 3 x 5 36 = 22 x 3222 x 32 x 5(GunakanIndexNotation)(masukkan semua faktor terbesar, walaupun tidak sama)Jadi, KPK dari 30 dan 36 adalah 22 x 32 x 5 = 180Metode 2Step 1 2 30 36Step 2 3 15 18Step 3 5 6KPK = 2 x 3 x 5 x 6 = 180

Bagaimana jika tersedia 3 bilangan??????Coba kita cari KPK dari 18, 24, dan 36 Metode 1Faktorisasi prima dari 18, 24, dan 36 adalah

18 = 2 x 3224 = 23 x 336 = 22 x 32Pilih pangkat terbesar23 32Jadi, KPK dari 18, 24, dan 36 adalah 23 x 32 = 72

Metode 2Step 1 2 18 24 36Step 2 3 9 12 18Step 3 2 3 4 6Step 4 2 3 2 3Step 5 1 2 1(4 dan 6 dapat dibagi 2)(3 diturunkan ke bawah)(bagi 3 dengan 3)(2 diturunkan ke bawah)(Stop karena karena 2 angka lainnya tidak dapa dibagi lagi kecuali dengan angka 1)Jadi KPK-nya adalah 2 x 3 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 = 72

Pangkat Persegi (kuadrat) dan Akar KuadratLuas dari suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm adalah6 x 6 = 36 cm2Oleh karena itu, kita dapat menyebutkan bahwa 36 adalah kuadrat dari 6. Dengan singkat dapat kita tulis 62 = 36. Dan kita baca 6 pangkat 2 = 36 atau 6 kuadrat = 36.

Dengan demikian, untuk mencari sisi dari persegi dengan luas = 36 cm2, kita cari nilai positif dari x, di mana 36 = x x x atau x2.Maka, kita sebut 6 adalah akar kuadrat dari 36. Kita tulis

2 x 2 = 22 = 4 dan = 23 x 3 = 32 = 9 dan = 34 x 4 = 42 = 16 dan = 45 x 5 = 52 = 25 dan = 56 x 6 = 62 = 36 dan = 6

4,9,16,25,36 adalah kuadrat dari whole number yang disebut perfect squares.

Kubik dan akar kubikVolum dari suatu kubus dengan sisi 6 cm adalah 6 x 6 x 6 = 216 cm3

Oleh karena itu, kita dapat menyebutkan bahwa 216 adalah pangkat kubik dari 6. Dengan singkat dapat kita tulis 63 = 216. Dan kita baca 6 pangkat 3 = 216 atau 6 kubik = 216.

PerkiraanBerapakah akar kuadrat dari 48? angka ini tidak dapat ditulis dalam bentuk a2, karena bukanlah perfect squares. Hasil dari bukan berupa whole number, tetapi desimal. 48 = 4 x 4 x 3Maka ( lebih dari atau kurang dari 7?)

PerkiraanBerapakah akar kubik dari 65? angka ini tidak dapat ditulis dalam bentuk a3, karena bukanlah perfect kubik. Hasil dari bukan berupa whole number, tetapi desimal. 48 = 4 x 4 x 3Maka ( lebih dari atau kurang dari 4?)