integral lipat dua kuliah k 2 n 3

8/17/2019 Integral Lipat Dua Kuliah k 2 n 3

1/27

MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS )SEM. GANJIL 2013/2014


2/27

INTEGRAL LIPAT DUA(LANJUTAN)

18092013


3/27

INTEGRAL LIPAT

Integral Berulang

Kita a!at "#$%i$t#&!'ta'ia$ i$t#%&a i!at

*a '#+a%ai ,-*"# a&i +#$a !aat i+aa

!#&"*aa$

(56 ). ( )

∫∫ =

R

dA y x f V ,


4/27

( ) ( )∫∫ ∫ ∫ == R

d

c

b

a

dxdy y x f dA y x f V ,,

( ) ( )∫∫ ∫ ∫ == R

b

a

d

c

dydx y x f dA y x f V ,,


5/27

7-$t-

Hit*$%a

1. a.

P#$6

a.

+. U+a *&*ta$ i$t#%&a$6a

( )∫ ∫ +3

0

2

1

32 dxdy y x

[ ] ( )∫ ∫ +=+3

0

3

0

2

1

2 333 dy ydy yx x

2/45

2

33

3

0

2 =

+ y y


6/27

Ha'i 6a$% 'a"a a!a+ia ita t*a&a$ *&*ta$i$t#%&a $6a

2. Hit*$%a

( )∫ ∫ ∫ +=+2

1

3

0

2

1

3

0

2

23232 dx y xydydx y x

∫

+=

+2

1

2

1

2

2

27

2

6

2

276 x xdx x

2/45=

2 3

0 0

(9 ) y dxdy−∫ ∫


7/27

S-a2

3

4. T#$t*a$ ,-*"# '*at* +#$a !aat6a$%

t#&#ta i+aa !#&"*aa$

a$ iata' !#&'#%i !a$:a$%

24 z x y= − −

{( , ) 0 1, 0 2} R x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤

4 2

2

2 1

( 3 ) xy y dydx+∫ ∫


8/27

;#$t* %&a


9/27

G&a


10/27

Maa *$t* i"!*$a$ '##&a$a

U$t* i"!*$a$ '##&a$a 6 aaa

( ) ( )∫∫ ∫ ∫ == sd

c

dxdy y x f dA y x f V

2

1

,,

ψ

ψ

( ) ( )∫∫ ∫ ∫ == s

b

a

dydx y x f dA y x f V 2

1

,,

φ

φ


11/27

7-$t- '-a

=. Hit*$%a i$t#%&a +#&*a$%

P#$6

∫ ∫ 1

0 0

2

2

y

xdxdy ye

[ ]∫ ∫ ∫ =1

0

0

1

0 0

2

2

22 dy yedxdy ye y x

y

x

( )∫ ∫ ∫ −=−=1

0

1

0

1

0

0 22222

ydydy yedyee y y y

[ ] [ ]∫ ∫ −=−=1

0

1

0

1

0

21

02 ye ydydue uu

211 −=−−= ee


12/27

Latia$(P.R)

>.

?.

8.

32

1

( )

y

y

x y dxdy+∫ ∫ 2

2

2

0 2

x x

x

xdydx+

∫ ∫

1 32

0 0

x

x ydydx∫ ∫


13/27

9. G*$aa$ i$t#%&a i!at *a *$t* "#$#t*a$,-*"# a&i t#t&a#&-$ 6a$% i+ata'i -#

+ia$%+ia$% --&i$at a$ +ia$%P#$6

P#&!-t-$%a$ '*"+* 4

P#&!-t-$%a$ '*"+* 6 6 2

P#&!-t-$%a$ '*"+* @ @3

Da#&a '#%iti%a +ia$% 6"#"+#$t* aa' t#t&a#&-$ i

a"+a$%a$ #$%a$ S. Kita aa$"#$a&i ,-*"# i+aa !#&"*

aa$

012463 =−++ z y x

3

2

4

S


14/27

Da&i !#&'

a$ iata' a#&a S

M#"-t-$% +ia$% 6 !aa

S a!at i!a$a$% '#+a%ai

Hi"!*$a$ '##&a$a

Hi"!*$a$ '##&a$a 6

012463 =−++ z y x

y x z 63124 −−=

( ) y x z 244

3 −−=

2231261263

x y x y y x −=⇒−=⇒=+

y x y x 246123 −=⇒−=⇒

( ) }{ 20;240;, ≤≤−≤≤= y y x y xS

{( , ) 0 4, 0 2 }2

xS x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ −


15/27

Jai -*"# a&i +#$a !aat aaa

( )∫ ∫

−

−−=

4

0

22

0244

3

x

dydx y xV

[ ] ( )∫ ∫ +−=−−= −

4

0

4

0

222

0

2 81616

34

4

3dx x xdx y xy y

x

4

0

32

3

1416

16

3

+−= x x x

43

4

4416

3 333

=

+−=V


16/27

Latia$ '-a

Ga"+a& B t#$t*a$ 5 :ia

10. R a#&a 6% i+ata'i-# 05

C5 6 0 a$ 6 'i$

.

11.

12. R '#%iti%a #$%a$ titi

( , ) R

f x y dA∫∫

( , ) f x y y=

2( , ) f x y xy=

( , ) 4 f x y x y= − 2{( , ) 2 , 0 2} R x y y x y y= ≤ ≤ ≤ ≤


17/27

INTEGRAL LIPAT DUADALAM KORDINATPOLAR/KUTUB

23092013


18/27

I$t#%&a Li!at D*aaa" -&i$at !-a&

(&5 θ) !a'a$%a$ -&i$at*t*+/!-a& a&i P

P(&5θ )

&

θ


19/27

Li$%a&a$ +#&!*'at i (050)

• K-&i$at 7a&t#'ia$ F 6F aF

• K-&i$at P-a&/ *t*+ & a

a


20/27

Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub

K*&,a*&,a t#&t#$t* !aa '*at* +ia$% '#!#&ti

i$%a&a$5 a&i-i5 a$ "aa& #+i "*aiit*$% #$%a$ "#$%%*$aa$ --&i$at *t*+.

Maa ,-*"# +#$a !aat i

+aa !#&"*aa$ i$i a$ i ata' R

i$6ataa$

Daa" --&i$at *t*+5 !#&'#%i !a$:a$% *t*+ R

( )∫∫ = R

dA y x f V ,

( ) }{ β θ α θ ≤≤≤≤= ;;, br ar R


21/27

i"a$a a ≥ 0 a$ 2

Maa ,-*"# aa" --&i$at *t*+

SAL

( ) ( )θ θ sin,cos, r r f y x f z ==

( )θ ,r f =

( ) ( )∫∫ ∫∫ == R R

rdrd r r f dA y x f V θ θ θ sin,cos,


22/27

7-$t- '-a

T#$t*a$ ,-*"# a&i +#$a !aat iata'

!#&'#%i!a$:a$% *t*+

a$ i+aa !#&"*aa$

P#$6

Di "aa "aa

( ) }{ 4/0;31:, π θ θ ≤≤≤≤= r r R22 y xe z +=

222 r y x =+ 2r e z =

=V ∫ ∫ ∫∫ == +

4/

0

3

1

222π

θ rdrd edAeV r

R

y x

[ ]∫ ∫ ∫ ==4/

0

3

1

4/

0

3

12

1

2

1π π

θ θ d edud e uu


23/27

a$:*ta$

( ) ( )[ ]∫ −=−=4/

0

4/

0

1919

2

1

2

1π

π θ θ eed ee

( )19

8ee −= π


24/27

I$t#%&a K*t*+ Hi"!*$a$ U"*" SU$t* i$t#%&a *t*+ ita #$a i"!*$a$'##&a$a r a$ i"!*$a$ '##&a$a O .


25/27

Maa

7-$t- '-a

Hit*$%a i"a$a S aaa a#&a i *a&a$

!#&ta"a 6a$% +#&aa i *a& i$%a&a$ r = 2 '#&ta i

aa" a&i-i

P#$6##'aia$

( ) ( ) ( ) }{ β θ α θ φ θ φ θ ≤≤≤≤= ;:, 21 r r S

( ) ( ) ( )}{ r r br ar S 21;:, ψ θ ψ θ ≤≤≤≤=

∫∫ R

ydA

( )θ cos12 +=r


26/27

;#&a'a&a$ %a"+a& i +aa i$i "aa

S aaa i"!*$a$ '##&a$a r

θ sinr y =2/0 π θ →=

( )θ cos122 +=→= r r ( )

∫∫ ∫ ∫ +

=S

rdrd r ydA

2/

0

cos12

2

sin

π θ

θ θ

( )

∫

+

=

2/

0

cos12

2

3

sin3

π θ

θ θ d r

( )( )∫

−+=

2/

0

33

sin3

2

3

sincos12

π

θ θ θ

θ d


27/27

( )

−+=

∫ ∫

2/

0

2/

0

3sinsincos1

3

8 π π

θ θ θ θ θ d d

−−= ∫ ∫

2/

0

2/

0

3 sin3

8 π π

θ θ d duu

( )2/

0

4coscos1

4

1

3

8 π

θ θ

++−=

( )( ) ( )3

22121

4

1

3

8 44 =

−+−−=

integral lipat dua kuliah k 2 n 3

Documents