6. integral lipat dua
DESCRIPTION
mtkTRANSCRIPT
Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua
04/27/2304/27/23 11Kalkulus2-UnpadKalkulus2-Unpad
Integral Lipat Dua
• Integral lipat dua pada persegi panjang• Integral lipat dua pada daerah sembarang• Perubahan urutan pengintegralan• Integral lipat dua dalam koordinat polar• Aplikasi Integral Lipat Dua : Luas Permukaan
04/27/23 2Kalkulus2-Unpad
Integral Lipat Dua
1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 1. Bentuk jumlah Riemann.
2. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis
04/27/23 3
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
)y,x( kk
1 1
( , )n n
k k ki i
f x y A
1 1
lim ( , )n n
k k kn i i
f x y A
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}
1 1
( , ) lim ( , )n n
k k kn i iR
f x y dA f x y A
)y,x( kk
Kalkulus2-Unpad
Integral Lipat DuaDefinisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
04/27/23 4
n
kkkk
PAyxf
10
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )R R
f x y dA f x y dxdy
R
dAyxf ),(
n
kkkk
PAyxf
10
),(lim
disebut integral lipat dua f pada R. ditulis sebagai :
( , )R
f x y dx dy 01
lim ( , )n
k k k kPk
f x y x y
atau
Kalkulus2-Unpad
ANIMASI
Arti Geometri Integral Lipat Dua
04/27/23 5
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,
maka ( , )R
f x y dA menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
Kalkulus2-Unpad
Menghitung Integral Lipat DuaJika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ
04/27/23 6
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
da b
z
x
A(y)
( ) ( , )b
a
A y f x y dx
A(y)
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 7
( , ) ( )d
R c
f x y dA A y dy
( , )d b
c a
f x y dx dy
( , )d b
c a
f x y dx dy
Maka
( , )R
f x y dA ( , )d b
c a
f x y dx dy
Kalkulus2-Unpad
(ii) Sejajar bidang YOZ
04/27/23 8
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
dc d
z
y
A(x)
( ) ( , )d
c
A x f x y dy
A(x)
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 9
( , ) ( )b
R a
f x y dA A x dx
( , )b d
a c
f x y dy dx
( , )b d
a c
f x y dy dx
Maka
( , )R
f x y dA ( , )b d
a c
f x y dy dx
Kalkulus2-Unpad
Contoh
04/27/23 10
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : 2 22
R
x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y
4}Jawab: 2 22
R
x y dA 6 4
2 2
0 0
2x y dy dx 6 4
2 3
00
23
x y y dx
6
2
0
12843
x dx
63
0
4 1283 3
x x 288 256 544
R
6
4
y
x
Kalkulus2-Unpad
Contoh
04/27/23 11
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : sin
R
x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y
/2}
R
/2
/2
y
x
Jawab: sin
R
x y dA / 2 / 2
0 0
sin x y dy dx
/ 2 / 2
00
cos( )x y dx
6
0
cos cos2
y y dx
/ 2
/ 2
00
sin sin2
y y
sin sin sin 22 2
Kalkulus2-Unpad
Latihan
04/27/23 12
2 21 1
0 0
. x ya xy e dy dx
2 1
2
0 1
.b xy dy dx
1 2
20 0
.1
yc dy dxx
1. Hitung
2. ,R
f x y dx dy untuk
2 2. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R
2. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R
Kalkulus2-Unpad
Sifat Integral Lipat Dua
04/27/23 13
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. , ,R R
k f x y dA k f x y dA 2. , , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA 3. Jika
1 2
, , ,R R R
f x y dA f x y dA f x y dA 4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
, ,R R
f x y dA g x y dA
1 2R R R maka
Kalkulus2-Unpad
Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang
04/27/23 14
D
a b x
y
Definisikan
DRyxjikaDyxjikayxf
yxg),(,0
),(),,(),(
D R
dAyxgdAyxf ),(),(Maka
Kalkulus2-Unpad
D
04/27/23 15
Ada dua jenis daerah
1. Jenis 1 ( x konstan )
)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD
2. Daerah jenis 2 ( y konstan )
dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21
Kalkulus2-Unpad
Jenis 1
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
04/27/23 16
D
a b x
q(x)
p(x)
y
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf)(
)(
),(),(
x
y
)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD
Kalkulus2-Unpad
Jenis 2
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
04/27/23 17
( )
( )
( , ) ( , )s yd
D c r y
f x y dA f x y dx dy
x
y
D
c
d
r (y) s (y)x
dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21
Kalkulus2-Unpad
Aturan Integrasi• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua
tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). • Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah
urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
04/27/23 18Kalkulus2-Unpad
ANIMASI
Contoh
04/27/23 19
1. Hitung 2 x
R
y e dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
x R 2 x
R
y e dA 21
0 0
2y
xy e dx dy21
00
2yxy e dy
21
0
2 1yy e dy
2 12
01 1 2ye y e e
x
yx = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
Kalkulus2-Unpad
Contoh
04/27/23 20
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
2 x
R
y e dA 1 1
0
2 x
x
y e dy dx1
12
0
x
xe y dx
1
0
x xe xe dy
1
0
x x xe xe e
R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}
y x
yx = y2
1
1
2 (1 1) 2e e e Kalkulus2-Unpad
04/27/23 21
2
2
4 2
0
2.x
ye dy dx
Daerah integrasinya Jawab:
x R
x
yy = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:x=2y
( , ) |0 4, 22xR x y x y
( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 22
2
2
4 2
0 x
ye dy dx2
22
0 0
yye dx dy
22
2
00
yye x dy2
2
0
2 yy e dy2 2
4
01ye e
Sehingga
Kalkulus2-Unpad
Latihan
04/27/23 23
333
1
1.y
y
y
x e dx dy2
0 0
sin2. cos
xy x dy dx
21 1
0
3. y
x
e dy dx
22 4
0 0
6.x
x y dy dx
2
0 0
cos7. sin
xy x dy dx
A
2 12
0 / 2
4. cos( )y
x dx dyKalkulus2-Unpad
4
0
23
.5y
x dxdye
04/27/23 24
B
1.Hitung integral berikut
2. ( 2 ) ,S
a x y dA S daerah antara 2y x dan y x
. ,S
b xdA S daerah antara 3y x dan y x
2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda
1
0 0
. ( , )x
a f x y dydx1
0
. ( , )y
y
b f x y dxdy
Kalkulus2-Unpad
Integral lipat dalam koordinat kutub/polar
Hitung
04/27/23 25
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untukdiselesaikan.Sistem Koordinat Polar
rP(r,)
x
y
=0 (sumbu polar)
Hubungan Kartesius – Polar
4|),((; 2222
yxyxDAdeD
yx
sincos
ryrx 2 2 2x y r
xy1tan
Kalkulus2-Unpad
Transformasi kartesius ke polar
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D
04/27/23 26
( , ) ?D
f x y dA
Sumbu Polar
Ak
r=b
r=a
=
=
DAk
rk-1
rk
Pandang satu partisi persegipanjang polar AkLuas juring lingkaran dengansudut pusat adalah ½ r2
Ak = ½ rk2 - ½ rk-1
2 = ½ (rk
2 - rk-12)
= ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1) = r r
Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)
,|),( brarD
Kalkulus2-Unpad
Transformasi kartesius ke polar
1. Hitung
04/27/23 27
Sehingga
( , ) ( cos , sin )k pD D
f x y dA f r r r dr d Contoh:
2. Hitung D
y dA , D adalah daerah di kuadran I di dalam
4|),((; 2222
yxyxDAdeD
yx
422 yxlingkaran dan diluar 2 2 1x y Kalkulus2-Unpad
04/27/23 28
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2.
Sehingga 2 2x y
D
e dA2
2 2
0 0
re r dr d
4 1e
222
00
12
re d
24
0
1 12 2
e d
2
2
x
y
D r
Jawab.
2 2 2 21. ; (( , ) | 4x y
D
e dA D x y x y
( , ) | 0 2,0 2D r r
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 Kalkulus2-Unpad 29
ANIMASI
04/27/23 30
2.D
y dA
Sehingga
D
y dA/ 2 2
0 1
sinr r dr d
/ 2
0
7 7cos3 3
2/ 23
10
1 sin3
r d
/ 2
0
1 8 1 sin3
d
21 x
yD
r
20,21|),( rrD
Kalkulus2-Unpad
Latihan1. Hitung
04/27/23 31
21 12 2
0 0
4x
x y dy dx
2. Hitung 211
2 2
0 0
sin( )y
x y dx dy
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub/polar.
Kalkulus2-Unpad
Integral lipat Dua atas daerah sembarang/umum
04/27/23 32
Sumbu Polar
r=2()
r=1()
=
=
D
Sumbu Polar
r=b
r=a
=2(r)
=1(r)D
1 2(1). ( , ) | ( ) ( ) ,D r r
1 2(2). ( , ) | , ( ) ( )D r a r b r r
(1) (2)
Kalkulus2-Unpad
1. Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar
04/27/23 33
1 2
1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 DD
Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1x2 – 2x + 1 + y2 = 1x2 + y2 = 2xr2 = 2r cos r2 – 2r cos =0r (r – 2 cos )=0r = 0 atau r = 2 cos
Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2 Sehingga,
22,cos20|),( rrD
Kalkulus2-Unpad
2.Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar
04/27/23 34
=/4
1 2 x
y
D
x = 1 x = 2y = 0 22y x x
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r dihitung mulaix = 1 r cos = 1 r = sec
Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 hingga r = 2 cos
2 22y x x 2 22 0x x y 2 2( 1) 1x y
( , ) | sec 2cos ,0 .4
D r r
Kalkulus2-Unpad
Contoh
04/27/23 35
1. Hitung 22 2
2 21 0
1x x
dydxx y
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:x = 1 x = 2y = 0 22y x x
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1=/4
1 2 x
y
D
D dalam koordinat polar adalah:
2 22y x x 2 22 0x x y
2 2( 1) 1x y
.cos2sec,4
0|),(
rrD
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 36
22 2
2 21 0
1x x
dy dxx y
2cos/ 4
0 sec
1 .r dr dr
/ 4
02sin ln sec tan
/ 4
2cos
sec0
r d
/ 4
0
2cos sec d
Sehingga,
2sin ln sec tan4 4 4
2sin 0 ln sec 0 tan 0
12. 2 ln 2 1 ln 12
2 ln 2 1
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 Kalkulus2-Unpad 37
ANIMASI
Latihan
04/27/23 38
1. Hitung S
r dr d , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos dan di luar r = 2
2. Hitung
3. Hitung 2 24D
x y dA , D daerah kuadran I dari
2112 2
0 0
sin( )y
x y dxdy
lingkaran 2 2 4x y antara y = 0 dan y = x.
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 39
Aplikasi Integral Lipat Dua : Luas Permukaan
Misalkan permukaan G : z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z
kF
Ri
TiSi
Si~ Ti = Ri sec iSi = luas Gi dan Ri = luas Ri = xiyiTi = luas bidang singgung yang terletak diatas Rii = sudut antara Ri dan Ti
G
b
ac d
Gi
RRi
Kalkulus2-Unpad
04/27/23 40
2 2 2 2
2 2
2 2
ˆ.ˆˆ ˆcos ,
ˆ
1 1cos1 1
sec 1
1
i x y
i
x y x y
i x y
i x y i
F kdengan F f i f j k
F k
f f f f
f f
Jadi S f f R
Kalkulus2-Unpad
sec ,k k kS T R kkFkF cos
Jadi luas permukaan G: 2 2 1x ySf f dA
04/27/23 41
ContohHitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z=4
Z
x
y
Gz = 4
S
Jawab.
Bagian G yang dimaksud diproyeksikanpada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2+y2=4).
x2+y2=4
Kalkulus2-Unpad
yfxfyxyxf yx 2;2),( 22
20,20),( rrS
04/27/23 Kalkulus2-Unpad 42
Sehingga luas permukaan G:
2 2 2 2
0 01x yf f r dr d
2 2 2
0 04 1r r dr d
2 2 2 1/ 2 2
0 0
1 (4 1) (4 1)8
r d r d
2 2 3/ 2 200
1 (4 1)12
r d
2 3/ 2
0
1 (17) 112
d
3/ 2 20
1 (17 1)12
3/ 2(17 1)6
2 24 4 1G S
dS x y dA
04/27/23 43
Latihan 1. Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z =4
2. Hitung luas permukaan G : yang tepat berada24z y di atas bujur sangkar dengan titik sudut (1,0),(2,0),(2,1),(1,1)
3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + x2 = 16 di oktan I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3
4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + y2 = 9 di oktan I antara y =x, y = 3x
Kalkulus2-Unpad