integral lipat-dua atas daerah bukan persegi panjang atina ... · sebuah himpunan s dikatakan...

Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Kalkulus Multivariabel IIntegral Lipat-Dua

atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2014


Kalkulus Multivariabel I




Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang.Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang Rdengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinatnya.

Definisikan, f (x , y) =

{f (x , y) jika (x , y) di S0 jika (x , y) di R-S





f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R∫∫S

f (x , y)dA =

∫∫R

f (x , y)dA




Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum


1. Himpunan Sederhana-ySebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunantersebut sederhana pada arah y , artinya bahwa sebuah garispada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titikatau tidak sama sekali).

S = {(x , y) : g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}





Untuk tiap nilai x , luas penampang yang diperoleh jika benda diiristegak lurus sb-x adalah

A(x) =

y=g2(x)∫y=g1(x)

f (x , y)dy

Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalambentuk benda padat dan dihitung volumenya maka





V =

x=b∫x=a

A(x)dx =

x=b∫x=a

y=g2(x)∫y=g1(x)

f (x , y)dy

dx

atau

∫∫S

f (x , y)dA =

x=b∫x=a

y=g2(x)∫y=g1(x)

f (x , y)dy

dx





2. Himpunan Sederhana-xHimpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h1(y)dan h2(y) pada selang [c , d ] sedemikian rupa sehingga

S = {(x , y) : h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}





Untuk tiap nilai y , luas penampang yang diperoleh jika benda diiristegak lurus sb-y adalah

A(y) =

x=h2(y)∫x=h1(y)

f (x , y)dx

Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalambentuk benda padat dan dihitung volumenya maka





V =

y=d∫y=c

A(y)dy =

y=d∫y=c

x=h2(y)∫x=h1(y)

f (x , y)dx

dy

atau

∫∫S

f (x , y)dA =

y=d∫y=c

x=h2(y)∫x=h1(y)

f (x , y)dx

dy





Contoh:Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume daritetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang3x + 6y + 4z − 12 = 0.Penyelesaian:Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedrondilambangkan dengan S . Kita akan menghitung volume bendapadat di bawah permukaan 3x + 6y + 4z − 12 = 0 atau34(4− x − 2y) dan di atas daerah S .





Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0,suatu ruas yang merupakan bagian dari batas S . Karenapersamaan ini dapat ditulis sebagai y = 2− x

2 dan x = 4− 2y ,maka S dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y

S = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2− x

2}

atau sebagai himpunan sederhana-x

S = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4− 2y , 0 ≤ y ≤ 2}





Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan sederhana-y(hasilnya sama dengan cara yang lain), maka volume benda padattersebut adalah

V =

∫∫S

3

4(4− x − 2y)dA =

4∫0

2− x2∫

0

3

4(4− x − 2y)dy dx

=

4∫0

3

4

[4y − xy − y2

]2− x2

0dx

=3

16

4∫0

(16− 8x + x2)dx

=3

16

[16x − 4x2 +

x3

3

]40

= 4 �




Latihan

Latihan

1 Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenyadengan integral berulang.

a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat danbidang z = 6− 2x − 3y

b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi olehbidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x + y − 4 = 0dan 8x + y − 4z = 0

c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silindery = x2 dan bidang-bidang x = 0, z = 0, dan y + z = 1

2 Hitunglah∫∫S

sin(y3)dA, di mana S adalah daerah yang

dibatasi oleh y =√x , y = 2, dan x = 0. Petunjuk: Jika suatu

urutan pengintegralan tidak berhasil, cobalah urutan lainnya.




Pustaka

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem ofAdvanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: McGraw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,Jilid 2. Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 SolvedProblems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.



integral lipat-dua atas daerah bukan persegi panjang atina ... · sebuah himpunan s dikatakan...

Documents