geometri analitik · persamaan garis bentuk normal jika sembarang titik q (x,y) pada garis g, maka...

GEOMETRI ANALITIKPertemuan 3: persamaan normal garis, jarak titik ke garis, jarak garis ke

garis (yang saling sejajar)

sofyan mahfudy-IAIN Mataram

Jika ada pertanyaan materisebelumnya, silahkan


Sasaran kuliah hari ini

1. Mahasiwa dapat menentukan persamaan normal garis

2. Mahasiswa dapat menentukan formula jarak antara titik ke garisdan mengaplikasikannya dalam soal

3. Mahasiswa dapat menentukan jarak dua garis lurus yang salingsejajar


Persamaan garis bentuk normal

Suatu garis dapat ditentukan denganmenentukan panjang n yang tegaklurus (normal) dari titik O (titik asal) ke garis tersebut. Sedangkan sudut adalah sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan arahgaris normalnya yang ditetapkansebagai arah dari titik asal terhadapgaris. (lihat gambar)

X

Y

n

O

P(x1,y1)

Q (x,y)

g



Jika sembarang titik Q (x,y) padagaris g, maka kita dapat membuatsebuah hubungan antara panjang n, sudut , dan koordinat sembarangtitik Q (x,y) tersebut

Pada akhirnya kita akan dapatkanpersamaan normal garis g

X

Y

n

O

P(x1,y1)

Q (x,y)

g



Persamaan bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjangnormalnya n dan besar sudut normalnya adalah

x cos + y sin – n = 0

Perhatikan penjelasan di papan tulis (diskusikan dan tanyakan jika adahal yang belum jelas)



Jika persamaan garis berbentuk Ax + By + C = 0, maka persamaan

normalnya adalahAx + By + C

± A2+ B2= 0

Tanda A2 + B2 dipilih yang berlawanan dengan tanda C

Jika A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, maka tanda A2 + B2 dipilih sedemikianhingga koefisien y bernilai positif. Jika Jika A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka

tanda A2 + B2 dipilih sedemikian hingga koefisien x bernilai positif.



Jika persamaan garis berbentuk Ax + By + C = 0, maka persamaan

normalnya adalahAx + By + C

± A2+ B2= 0

Tanda A2 + B2 dipilih yang berlawanan dengan tanda C

Jika A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, maka tanda A2 + B2 dipilih sedemikianhingga koefisien y bernilai positif. Jika Jika A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka

tanda A2 + B2 dipilih sedemikian hingga koefisien x bernilai positif.


PERHATIKAN BAGAIMANA MENDAPATKANNYA

MENGAPA??

Latihan

1. Tentukan persamaan bentuk normal dari garis dengan dan p yang diberikan berikut ini, dan konstruksikan grafiknya:

(a) = 45, n = 4, (b) = 60, n = 5, (c) = 90, n = 3,

(d) = 150, n = 10, (e) = 180, n = 7, (f) = 270, n = 2,

(g) = 300, n = 3 (h) = 225, n = 6, (i) = 0, n = 13/2

2. Cari bentuk normal masing-masing persamaan berikut, dan konstruksikan grafiknya:

(a) 5x + 12y – 26 = 0 (b) 3x – 4y + 30 = 0 (c) 6x – 8y – 15 = 0

(d) 2x + 3y + 12 = 0 (e) 5x – 12y = 0 (f) – 5x + 12 = 0


Latihan

3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–3, –2) dan berjarak 2 satuan dari titik asal (ada dua jawaban)

4. Tentukan semua nilai k sedemikian hingga garis 15x + ky – 51 = 0 sejauh 3 satuan dari titik asal


Jarak titik ke garis

Jika titik P (x1,y1) berada di luar garisg: Ax + By + C = 0, maka bagaimanamencari jarak (d) titik P ke garis g?

Selanjutnya jarak titik P ke g dapatdinotasikan d (P,g)X

Y

O

P(x1,y1)

g: Ax + By + C = 0



Kita dapat proyeksikan titik P(x1,y1) ke garis g. Misalkan proyeksi titik P ke garis g adalah P’(x2,y2)

X

Y

O

P(x1,y1)

g: Ax + By + C = 0

P’(x2,y2)



Maka tentunya PP′ ⊥ g (ingat definisidari proyeksi suatu titik padagaris/bidang)

X

Y

O

P(x1,y1)

P’(x2,y2)

g: Ax + By + C = 0



Maka tentunya PP′ ⊥ g (ingat definisidari proyeksi suatu titik padagaris/bidang)

Sehingga d = panjang PP′ adalahmerupakan jarak titik P(x1,y1) kegaris g

Lalu apa formula jaraknya?

X

Y

O

P(x1,y1)

P’(x2,y2)

g: Ax + By + C = 0

d



Jika d adalah jarak titik P(x1,y1) kegaris g, maka diperoleh formula

d (P,g) = Ax1 + By1 + C

A2+ B2

Kita diskusikan bagaimana formula inimuncul (perhatikan penjelasannyapada papan tulis)

X

Y

O

P(x1,y1)

P’(x2,y2)

g: Ax + By + C = 0

d


Latihan

1. Tentukan jarak garis y = 2x – 6 terhadap titik:a. (4, 5), b. (3, –5), c. (–3, 8), d. (–10, 2)

2. Tentukan jarak garis 5x + 12y – 30 = 0 terhadap titik:a. (9, 2), b. (2, –7), c. (–4, 2), d. (–6, 5)

3. Sebuah garis memotong sumbu-y di (0,2). Tentukan kemiringan garis itu jika jaraknya terhadap titik (3, –4) adalah 6

4. Tentukan c sedemikian hingga jarak dari garis 4x – 3y – 24 = 0 terhadap titik (c, 2) sama dengan 6 satuan panjang

5. Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutnya A (1, –1), B (4, 6), dan C (–1, 7)


Jarak garis ke garis

Jika g sejajar h (g ∥ h), maka kitadapat menentukan jarak keduanya, yaitu dengan menentukan sebarangtitik pada h, kemudian menghitungjarak titik tersebut terhadap garis g

X

Y

O

P(x1,y1)

g: A1x + B1y + C1 = 0

d


h: A2x + B2y + C2 = 0


Atau bisa sebaliknya, yaitu denganmenentukan sebarang titik pada g, kemudian menghitung jarak titiktersebut terhadap garis h

X

Y

O

P(x1,y1)

g: A1x + B1y + C1 = 0

d


h: A2x + B2y + C2 = 0


Atau kita dapat turunkan formula jarakdua garis sejajar dengan bentuk

g: Ax + By + C1 = 0 dan h: Ax + By + C2 = 0 (syarat koefisien x dan y sama), sebagai berikut:

d (g,h) = C1−C2

A2+B2atau d (g,h) =

C2−C1

A2+B2

X

Y

O

g: Ax + By + C1 = 0

d


h: Ax + By + C2 = 0

Latihan

1. Tentukan jarak antara garis g: 2x – 5y + 5 = 0 dan h: 2x – 5y + 8 = 0

2. Jika garis k adalah berjarak sama terhadap garis g: 2x – 5y + 5 = 0

dan h: 2x – 5y + 8 = 0, maka tentukan persamaan garis k


SOAL-SOAL YANG BELUM TERBAHAS HARAP DIKERJAKAN/DIDISKUSIKAN


TERIMAKASIH


geometri analitik · persamaan garis bentuk normal jika sembarang titik q (x,y) pada garis g, maka...

Documents