geometri analitik bidang dan ruang filegeometri analitik bidang dan ruang pertemuan ke - 4 sofyan...

GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG

Pertemuan ke - 4

Sofyan Mahfudy IAIN Mataram

LINGKARAN


Sasaran Kuliah Hari ini

1. Mampu menentukan persamaan lingkaran

2. Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran

3. Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran (baik garissinggung lingkaran dengan gradien tertentu, garis singgung titikpada lingkaran, atau garis singgung yang melalui titik di luarlingkaran)

4. Mampu menentukan persamaan polar (kutub) lingkaran

5. Mampu menentukan garis kuasa dua lingkaran


KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?


Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu sama panjangnya

Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan titik tertentudisebut pusat lingkaran


Persamaan LingkaranMisal titik tertentu adalah (a,b) danjaraknya adalah r, maka dengankonsep jarak dua titik diperoleh:

(x−a)2+ (y−b)2 = r

(x−a)2+ (y−b)2= r2

Maka persamaan lingkaran denganpusat (a,b) dan jari-jari r adalah

L : (x−a)2+ (y−b)2= r2


X

Y

O

Persamaan Lingkaran


Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai a = 0 dan

b = 0, sehingga diperoleh:

L : (x−0)2+ (y−0)2= r2

L : x2+ y2= r2

Contoh 1

Carilah persamaan lingkaran berikut

1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3

2. Pusat P (-2,3) dan jari-jari 2

3. Pusat P (-5,-1) dan melalui (-2,2)


Persamaan Lingkaran dalam bentuk lain

Apabila lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r yang berbentuk:

(x− a)2+ (y− b)2= r2 diuraikan, maka diperoleh

x2+ y2 − 2ax− 2by + a2+ b2= r2

x2+ y2 − 2ax− 2by + a2+ b2 −r2= 0

Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk

x2+ y2 + Ax + By + C = 0 , maka diperoleh

A =−2a⟹ a = −12

A ; C = a2+ b2 − r2⟹ r2 = a2+ b2 − C

B =−2b⟹ b = −12

B ; r = a2+ b2 − C = 14A2+14B2− C


Persamaan Lingkaran dalam bentuk lain

Lingkaran L: x2+ y2 + Ax + By + C = 0

memiliki:

Pusat (−12

A , −12

B)

r = 14A2+14B2− C


Contoh 2

Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dansketsalah:

a. L1 : x2+ y2 − 6x + 10y − 2 = 0

b. L2 : x2+ y2 + 20x + 36 = 0

c. L2 : x2+ y2 − 8y− 9 = 0


Contoh 3

Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik A (2,2), B (4,0), danC (7,3)


Kedudukan garis terhadap lingkaran


Kedudukan sebarang garisterhadap lingkaran ada 3 kemungkinan:

1. Memotong (D > 0)

2. Tidak memotong dan tidakmenyinggung (D < 0)

3. Menyinggung (D = 0)

D adalah diskriminan persamaankuadrat (D = b2 − 4ac)

Persamaan garis singgung

Garis singgung suatu lingkaranadalah garis yang menyinggunglingkaran tersebut sedemikiansehingga titik persekutuan garisdan lingkaran ada satu dan hanyasatu titik.

Dari gambar disamping hanya g1

yang menyinggung lingkaran. TitikD disebut dengan titik singgung


Persamaan garis singgung dengan m tertentu


Pada gambar disamping garis g1

dan g2 memiliki gradien (m) yang sama dan keduanya merupakangaris singgung dari lingkaran L


Bagaimana mencari persamaan garis g1 dan g2 jika gradien danpersamaan lingkaran yang disinggungnya diketahui??



Jika garis g1 dan g2 memiliki persamaan y = mx + p dan menyinggung

lingkaran L : x2+ y2= r2, maka dengan mensubtitusikan y = mx + p kex2+ y2= r2 diperoleh:

x2+ (mx + p)2= r2

x2 + m2x2+ 2mpx + p2 = r2

(m2+1)x2+ 2mpx + (p2 − r2) = 0

Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titikpersekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebutbernilai nol (D = 0)



D = 0

b2 − 4ac = 0

(2mc)2 −4(m2+1) (p2 − r2) = 0

4m2p2 −4(m2p2 −m2r2+p2 − r2) = 0

4m2p2 −4m2p2 + 4m2r2 − 4p2 + 4r2 = 0

m2r2 − p2 + r2 = 0

p2 = r2(1+m2) ⇒ p = ±r 1+m2


Sehingga diperolehpersamaan garis singgunglingkaran dengan pusatO (0,0) dengan gradient madalah:

y = mx + p

y =mx± r 1+m2



Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran

L: (x− a)2+ (y− b)2 = r2 dengan gradien m adalah:

(y − b) =m(x −a)± r 1+m2

Contoh 4

1. Carilah persamaan singgung lingkaran x2+ y2= r2 dengan gradien

(m) =23

2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran

x2+ y2 − 6x + 10y − 2 = 0 dengan gradien (m) = −2


Garis singgung melalui titik pada lingkaran

Titik P (x1,y1) pada lingkaran

L : x2+ y2= r2 dan garis g adalahgaris singgung lingkaran L di titik P

Bagaimana mencari persamaangaris singgung g?




Titik P (x1,y1) pada lingkaran

L : x2+ y2 = r2, sehingga berlaku

x12 + y1

2 = r2



Lihat OP ⊥ g

Jika OP kita anggap sebagaisebuah garis yang memiliki

gradien m OP , maka m OP =y1x1

Maka m OP . mg = −1

mg = −1

m OPsehingga mg = −

x1y1


Jika persamaan garis g adalah

g: y−y1 =m(x −x1)

y−y1 = −x1y1

(x −x1)

yy1− y12= −xx1+ x1

2

xx1+ yy1 = x12 + y1

2

xx1+ yy1 = r2

Jadi diperoleh persamaan garis

g: xx1 + yy1 = r2



Dengan cara yang sama, dapatdibuktikan, jika titik P (x1,y1) pada

lingkaran L : (x−a)2+ (y−b)2 = r2, maka garis singgung lingkaran L melalui P (x1,y1) adalah

(x−a)(x1−a)+ (y−b)(y1−b) = r2 (*)

(*) silahkan dibuktikan sendiri



Jika lingkaran dinyatakan dalampersamaan

L: x2+ y2 + Ax + By + C = 0, makapersamaan garis yang melalui titik P (x1,y1) pada L adalah:

xx1+ yy1+12A(x+x1)+

12B(y+y1)+C = 0 (*)

(*) silahkan dibuktikan sendiri


Contoh 5

Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagaiberikut:

1. Titik A (2,− 5) pada lingkaran x2+ y2 = 9

2. Titik P (−3,7) pada lingkaran (x + 2)2+ (y− 3)2 = 17

3. Titik Q (5, −6) pada lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 7 = 0


Garis kutub (polar) suatu lingkaran


Jika titik P (x0,y0) terletak di luar

lingkaran L : x2+ y2 = r2, maka dari titikP dapat dibuat 2 buah garis singgunglingkaran L.

Garis singgung tersebut menyinggunglingkaran L di titik A (x1,y1) dan B (x2,y2).

Karena titik A dan B pada L, makapersamaan garis singgung yang melaluiA dan B berturut-turut adalah

g1: xx1+ yy1 = r2 dan g2: xx2+ yy2 = r2

P (x0,y0)

B (x2,y2)

A (x1,y1)



Karena g1 dan g2 melalui titik P (x0,y0), maka berlaku:

x0x1+ y0y1= r2 dan x0x2+ y0y2 = r2

Dari dua persamaan di atas, dapatdisimpulkan bahwa koordinat-koordinattitik A (x1,y1) dan B (x2,y2) memenuhipersamaan:

x0x+ y0y= r2 (*)

Selanjutnya, persamaan garis (*) disebutpersamaan garis kutub (polar) lingkaran L. Garis polar tersebut melalui titik A dan B seperti terlihat pada gambar di samping

P (x0,y0)

B (x2,y2)

A (x1,y1)



Selanjutnya dengan cara yang sama(buktikan sendiri) persamaan gariskutub (polar) titik P (x0,y0) terhadap

lingkaran L : (x−a)2+ (y−b)2 = r2

adalah: (x0−a)(x−a)+ (y0−b)(y−b) = r2

P (x0,y0)

B (x2,y2)

A (x1,y1)



P (x0,y0)

B (x2,y2)

A (x1,y1)

Sedangkan persamaan garis kutub(polar) titik P (x0,y0) terhadap lingkaranL : x2+ y2 + Ax + By + C = 0 adalah:

xx0 + yy0 +12A(x+x0) +

12B(y+y0) + C = 0


Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Jika titik P di luar⨀, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa talibusur (memotong lingkaran di dua titik berbeda)

2. Jika titik P pada⨀, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa garissinggung lingkaran di titik tersebut

3. Jika titik P di dalam⨀, maka garis kutub (polar) nya tidakmemotong lingkaran


Contoh 6

Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadaplingkaran yang diketahui:

1. Titik A (5, −4) terhadap lingkaran x2+ y2 = 25

2. Titik P (1, −2) terhadap lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 25

3. Titik P (−1,4) terhadap lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 16

4. Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 3 = 0

5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 16


Garis singgung melalui titik di luar lingkaran

Dengan memanfaatkan garispolar suatu lingkaran, maka kitadapat menentukan persamaangaris singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkarantersebut.


Garis singgung melalui titik di luar lingkaran

Langkahnya adalah:

1. Cari persamaan garis polar titik tersebut terhadaplingkaran

2. Potongkan garis polar terhadap lingkaran, sehinggaterdapat dua titik potong

3. Selanjutnya cari persamaangaris singgungnya denganmenggunakan titik-titiksinggung yang diketahui


Contoh 7

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titiksebagaimana yang diketahui berikut ini:

1. Titik (5, −4) dan lingkaran x2+ y2 = 25

2. Titik P (−1,4) dan lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 16

3. Titik Q (8,4) dan lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 3 = 0


geometri analitik bidang dan ruang filegeometri analitik bidang dan ruang pertemuan ke - 4 sofyan...

Documents