Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

6.3 Fungsi Eksponen Natural6.3 Fungsi Eksponen Natural‐Menentukan turunan dari fungsi eksponennatural dan variannya.natural dan variannya.‐Menentukan integral tak tentu dari eu danvariannya.variannya.

6.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum‐Menentukan turunan dan integral dari fungsi‐Menentukan turunan dan integral dari fungsieksponen umum.‐Menentukan turunan dari fungsi logaritma‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmaumum.

6.3 FUNGSI EKSPONEN NATURAL‐Menentukan turunan dari fungsi eksponennatural dan variannya.‐Menentukan integral tak tentu dari eu danvariannya.

Fungsi Eksponen Natural (exp)Fungsi Eksponen Natural (exp)

Dari soal latihan terakhir fungsiDari soal latihan terakhir, fungsiy = ln x monoton naik, sehinggamempunyai invers

y

mempunyai invers.

D fi i i j h j l 1Definisi: x = exp y j.h.j. y = ln x. 1 x

Sifat: exp(ln x) = x utk tiap x > 0

ln(exp y) = y utk tiap y є Rln(exp y)   y utk tiap y є R.

Bilangan eBilangan e

Definisi: Bilangan e adalah bilangan real positifDefinisi: Bilangan e adalah bilangan real positifyang memenuhi ln e = 1.

y=1/t

y

11 e

dt .11

t dt

Catatan e ≈ 2 718281828459045

1 e t

Catatan. e ≈ 2,718281828459045…  

Fungsi exp adalah fungsi eksponen!Fungsi exp adalah fungsi eksponen!

Perhatikan bahwa untuk tiap r є Q berlaku:

reree rr exp)lnexp()exp(ln Ini menunjukkan bahwa fungsi exp merupakanfungsi eksponen, dengan eksponen e.

Catatan. Fungsi eksponen berbeda dengan fungsipangkat Pada fungsi pangkat yang merupakanpangkat. Pada fungsi pangkat, yang merupakanpeubah adalah bilangan yang dipangkatkan. Padafungsi eksponen, yang merupakan peubah adalahu gs e spo e , ya g e upa a peuba ada apangkatnya.

Jadi …Jadi …0,ln xxe x

Juga:.,)ln( yyey

Juga:

.baba eee

Bagaimana membuktikan sifat terakhir di atas?[Gunakan sifat‐sifat logaritma!]

Turunan dari y = exTurunan dari y   e

Dari  x = ln y, kita perolehy, p

.1ddx

sehinggaydy

1dy .1 ydy

dxdxdy

Jadidy

.)( xx eed .)( ee

dx

Integral Tak Tentu dari y = exIntegral Tak Tentu dari y   e

Dari hasil sebelumnya kita perolehDari hasil sebelumnya, kita peroleh

.Cedxe xx

ContohContoh

1. Tentukan dy/dx bila .2xey y/

Jawab: Dengan Aturan Rantai, kita peroleh

y

..2)()(222 2 xxx exx

dxdee

dxd

dxdy

dxdxdx

ContohContoh

2. Tentukan .2

dxxex

Jawab: Misalkan u = x2. Maka, du = 2x.dx, 

.dxxe

sehingga

22 111 CeCeduedxxe xuux .2

121

21 CeCeduedxxe

LatihanLatihan

1 Tentukan dy/dx bila 2xxey 1. Tentukan dy/dx bila

2 k

.xey

de x

2. Tentukan .dxx

e

1

3. Hitunglah 0

2 .dxe x

6.4 FUNGSI EKSPONEN DANLOGARITMA UMUM‐Menentukan turunan dan integral dari fungsig geksponen umum.‐Menentukan turunan dari fungsi logaritmag gumum.

Fungsi Eksponen axFungsi Eksponen aJika a > 0 dan r rasional, maka

.)lnexp()exp(ln lnarrr earaa

Definisi: Untuk a > 0, x є R, kita definisikanlnaxx

Catatan: Jika a e maka ax ex ln e ex [konsisten]

.: lnaxx ea

Catatan: Jika a = e, maka ax = ex.ln e = ex. [konsisten]

Sifat‐Sifat Fungsi EksponenSifat Sifat Fungsi Eksponen

yxyx aaa

yxyx aaaaaa

.

xyyx aa )(

xaxa

xxx baab

)(

.)(

xbb )(

TeoremaTeorema

d .ln)( aaadxd xx

.1,ln

aCa

adxax

x

ln a

ContohContoh

1 Tentukan dy/dx jika 2 xy 1. Tentukan dy/dx jika

b 2ln2dddy x

.2y

Jawab:  .2

2ln2.2ln2)2(x

xdxd

dxd

dxdy xx

2. Tentukan .532 dxx x

Jawab:

Fungsi Logaritma Umum log xFungsi Logaritma Umum loga x

Definisi: Misal a > 0 a ≠ 1 Kita definisikanDefinisi: Misal a > 0, a ≠ 1. Kita definisikan

C jik k l l

.log ya axxy

Catat jika a = e, maka loga x = ln x.

l xxy ln xey RSI

xy log x

INVE

xy alog xay

CatatanCatatan

Jika y = loga x, maka x = ay, sehinggaJika y   loga x, maka x   a , sehinggaln x = ln ay = y ln a.

Karena ituKarena itu,

hi

.lnln

axy

sehingga.

lnlnlog

axxa

Jadi

ln a

.l1log x

dd

a ln

gaxdx a

ContohContoh

Tentukan dy/dx jika )1(log 2 xyTentukan dy/dx jika

b i lk 2 k l

).1(log10 xy

Jawab: Misalkan u = x2 + 1. Maka y = log10 u, sehingga …

LatihanLatihan

1 Tentukan )10(2xd

1. Tentukan

2 i l h

).10(dx

1

35 dx2. Hitunglah 0

3 .5 dxx

1ax

3. Buktikan bahwa monoton. 

Tentukan inversnya

,1,11

aaay x

Tentukan inversnya.