engagement exploration explanation elaboration evaluation matematika.pdf · sederhanakanlah...

USAID SMART Lab Program 2014

Modul Matematika Kelas X 1

PEMBELAJARAN

EKSPONENSIAL

sumber: http://static.ddmcdn.com/gif/water-slide-ex-2.jpg

Kompetensi Inti:

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan

prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan

kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik

sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran eksponensial, siswa diharapkan mampu:

1. memilih dan menerapkan aturan eksponen sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya;

2. menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.



Pengalaman Belajar :

Melalui pembelajaran materi eksponen, siswa memperoleh pengalaman belajar:

1. mengomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait

eksponen;

2. merancang model Matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan

dengan eksponen;

3. menyelesaikan model Matematika untukmemperoleh solusi permasalahan yang

diberikan;

4. menafsirkan hasil pemecahan masalah.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi eksponensial dibuat

berdasarkan pada Model 5E dari BSCS (Biological Sciences Curriculum Study) yang

diadopsi oleh NASA dalam penyusunan rencana pembelajaran sains secara terpadu.

Model 5E tersebut adalah:

1. Engagement

Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan

perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan memberikan

apersepsi kepada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.

2. Exploration

Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat

rencana untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun

semua informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah

siswa melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.

3. Explanation

Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil

eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengomunikasikan beberapa

temuan yang mereka peroleh.

4. Elaboration

Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas

pemahaman mereka.

5. Evaluation

Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru

memeriksa jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh oleh siswa, serta

memastikan ketercapaian tujuan pembelajaran.



Siklus pembelajaran Model 5E dapat dilihat pada gambar berikut:

MATERI EKSPONENSIAL Eksponen didefinisikan sebagai pangkat dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia.

Keberadaan bilangan Eksponen sangat dibutuhkan di berbagai bidang ilmu

pengetahuan baik berkenaan dengan alam maupun sosial. Bilangan Eksponen meluas

penggunaannya dalam ekonomi, sains, dan kependudukan. Misalnya, kita dapat

memprediksi hasil investasi uang yang kita simpan dalam beberapa tahun kedepan

dengan sistem bunga majemuk; kita dapat memprediksi peluruhan sebuah atom; ahli

kependudukan juga dapat memprediksi tingkat populasi penduduk dari masa ke masa.

Selain itu kita juga dapat menemukan aplikasi Eksponensial dalam papan seluncur di

kolam renang. Semakin tinggi dan semakin curam papan seluncur, akan semakin tinggi

kecepatan kita saat meluncur. Bentuk dari papan seluncur ini dapat dimodelkan dengan

menggunakan fungsi eksponen.

Topik Eksponensial akan sangat menarik bagi para siswa di sekolah tingkat menengah

atas (SMA), apabila guru dalam pembelajaran di kelas dapat menyampaikan berbagai

aplikasi dari konsep Eksponensial dalam kehidupan sehari-hari siswa. Misalnya, siswa

diajak untuk memprediksi jumlah bakteri hasil dari pembelahan sejumlah bakteri,

siswa diajak untuk menuliskan jumlah hasil pembelahan bakteri tersebut dalam notasi

matematika, dan lainnya. Lebih lanjut, topik Eksponensial sebagai salah satu materi

yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA mencakup beberapa konsep

dasar yang direpresentasikan oleh bagan berikut ini:



Peta Konsep Topik Eksponensial pada Kelas X SMA



Bentuk Eksponen

1. Bentuk Eksponen Bulat Positif

Bilangan berpangkat dapat dituliskan dalam bentuk umum, yaitu 𝑎𝑛 ,

dengan 𝑎 disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen(pangkat) serta dibaca a

pangkat n. Jadi

Contoh 1:

Sederhanakanlah perkalian berikut dalam eksponen bulat positif!

a. 45 × 43

b. 𝑚3 × 𝑚2

Penyelesaian:

a. 45 × 43 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 48

5 faktor 3 faktor

b. 𝑚4 × 𝑚 = 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 = 𝑚5

4 faktor 1 faktor

Daricontoh 1, kita dapat menyimpulkan Sifat 1, yaitu

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Contoh 2:

Sederhanakanlah pembagian berikut dalam eksponen bulat positif!

a. 45 ÷ 43

b. 𝑚4 ÷ 𝑚

Penyelesaian:

a. 45 ÷ 43 =4 × 4 × 4 × 4 × 4

4 × 4 × 4= 4 × 4 = 42

b. 𝑚4 ÷ 𝑚 =𝑚 × 𝑚 × 𝑚 × 𝑚

𝑚= 𝑚 × 𝑚 × 𝑚 = 𝑚3


𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 ,𝑎 ≠ 0,𝑚 > 𝑛



Contoh 3:

Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal-soal

berikut ini!

a. 53 4

b. 𝑞7 4

Penyelesaian:

a. 53 4 = 53 × 53 × 53 × 53 = 54×3 = 512

b. q7 4 = q7 × q7 × q7 × q7 = 𝑞4×7 = 𝑞28


𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛

Contoh 4:

Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal-soal

berikut ini!

a. 2 × 3 4

Penyelesaian:

a. 2 × 3 4 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3

= 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

= 24 × 34


𝑎 × 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛

2. Bentuk Eksponen Bulat Negatif dan Nol

Amatilah barisan bilangan berikut:

Barisan 1: 4, 2, 1,1

2,1

4,…

Barisan 2: 22, 21, 20 , 2−1, 2−2,…

Jika kita perhatikan, Barisan 1 dan Barisan 2 membentuk korespondensi satu-

satu, yakni kita dapatkan:

4 berkorespondensi satu − satu dengan 22

2 berkorespondensi satu − satu dengan 21

1 berkorespondensi satu − satu dengan 20 1

2berkorespondensi satu − satu dengan 2−1

1

4berkorespondensi satu − satu dengan 2−2



Dengan demikian, kita dapat simpulkan bahwa:

4 = 22 , 2 = 21, 1 = 20 , 1

2= 2−1 ,

1

4= 2−2

3. Bentuk Eksponen Pecahan

𝐚. 𝐄𝐤𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧 𝐫𝐚𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐛𝐞𝐫𝐛𝐞𝐧𝐭𝐮𝐤 𝒂𝟏

𝒏

𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟕: 𝒂𝟏

𝒏 = 𝒂𝒏

Bukti:

Menurut definisi akar, 𝑎𝑛

𝑛

= 𝑎

Menurut definisi bilangan eksponen,

𝑎1

𝑛 × 𝑎1

𝑛 × …× 𝑎1

𝑛 = 𝑎1

𝑛 𝑛

= 𝑎𝑛

𝑛 = 𝑎1 = 𝑎

n buah faktor

𝐛. 𝐄𝐤𝐬𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧 𝐫𝐚𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐛𝐞𝐫𝐛𝐞𝐧𝐭𝐮𝐤 𝒂𝒎

𝒏

𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟖: 𝒂𝒎

𝒏 = 𝒂𝒎𝒏

Bukti:

Menurut 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟑, 𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚 1

𝑛

Menurut 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟕, 𝑎𝑚 1

𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

Dengan menggunakan 𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟐,𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛kita mendapatkan

𝑎−𝑛 = 𝑎0−𝑛 =𝑎0

𝑎𝑛=

1

𝑎𝑛

𝐒𝐢𝐟𝐚𝐭 𝟔:𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛, dengan 𝑎 ≠ 0

Sifat 5: 𝑎0 = 1, dengan 𝑎 ≠ 0



CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa yang sudah memiliki

pemahaman tentangkonsep eksponensial dasar (bilangan berpangkat) dan

menggambar plot.

Tujuan Pembelajaran :

Siswa dapat memahami beberapa konsep eksponensial yang diaplikasikan pada dua

buah eksperimen nyata, yaitu dengan melipat kertas dan melempar sejumlah dadu

secara bersamaan.

Pembukaan (10 menit)

1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. Guru

menyampaikan tujuan pembelajaran kepada siswa.

2. Guru menstimulus siswa dengan menampilkan video tentang penerapan

eksponensial dalam kehidupan sehari-hari. Video tersebut berjudul “How folding

paper can get you to the moon” dan dapat diunduh melalui link

http://www.youtube.com/watch?v=AmFMJC45f1Q. Siswa diharapkan fokus

memperhatikan tayangan video. (Engagement)

3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai pesan dari video yang telah ditonton

bersama-sama. Beberapa siswa diharapkan aktif menyampaikan ide dan pendapat

mengenai video tersebut.Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan

menyampaikan keterkaitan antara pesan di video dengan aktivitas pembelajaran

yang akan dilaksanakan.(Explanation)

Kegiatan inti (65 menit)

1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berpasangan dan membagikan

selembar kertas A3 dan lembar kerja (LK) kepada setiap siswa. Siswa menyiapkan

alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eskperimen melipat kertas.

2. Siswa secara individu melipat kertas yang telah diberikan dan membuat garis

lipatan. Siswa mengulangi kegiatan yang sama seperti sebelumnya sampai kertas

tidak memungkinkan lagi untuk dilipat.(Exploration)

3. Siswa secara berpasangan mendiskusikan hasil yang diperoleh dari percobaan

melipat kertas dan menuliskan temuan mereka pada LK masing-masing.

(Explanation)

4. Selanjutnya, guru membimbing siswa mengaitkan hasil eksperimen dengan konsep

eksponensial. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa menggambar diagram

garis pada kertas kotak-kotak dengan menggunakan data yang dihasilkan dari

kegiatan eksperimen. Siswa juga diajak meninjaukembali gambar yang mereka buat

dengan menggunakan beberapa media pembelajaran berbasis

teknologi.(Elaboration)

5. Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau

mempresentasikan kesimpulan dari eksperimen yang telah dilakukan. Jika

kesimpulan dari salah satu atau beberapa siswa belum tepat, siswa lainnya diminta

menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru



memberikan klarifikasi tentang jawaban yang diharapkan. (Explanation &

Evaluation)

6. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat

diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudian guru memberikan

pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan sifat-sifat

eksponen untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan

bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum

dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation)

Penutup (5 menit):

1. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah

dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA

Eksperimen Paper Folding

1. Lipatsebuah kertas berukuran A3 menjadi dua bagian yang sama/ kongruen.

Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.

http://www.graficaobscura.com/fold/001.gif

2. Lipat kertasmenjadi dua bagian padalipatanyang samaseperti sebelumnya,

kemudianlipat dualagi menjadi dua bagian yang sama. Buatlah garis lipatan yang

terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.

3. Lanjutkanmelipatkertassetengah, membuat garis lipatan dan mencatat

jumlahbagianyang diperoleh dari hasil melipat kertas. Ulangi langkah yang sama

sampaitidak mungkin lagimelipatkertas tersebut.

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_paper_folding_introdu

ction.html



4. Amati hasil percobaan yang didapat dan lengkapi tabel berikut:

Tabel 1: Hasil percobaan melipat kertas

Pelipatan kertas ke- Jumlah bagian kertas yang diperoleh 0 1 2 3 4 5 6

5. Selanjutnya, isilah tabel 2 dan gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan

untuk menggambar diagram garis hasil percobaan anda.

Tabel 2:Data pada diagram garis

X Y (X,Y)

6. Cek keakuratan diagram garis yang telah anda buat dengan membuat diagram

garis dari data yang sama dengan menggunakan kalkulator grafik, Microsoft

Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashberikut ini:

sumber:

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_applet_grapher.html

7. Tuliskan polanilai-nilai yangmuncul dari hasil percobaan! Jelaskan cara anda

menemukan nilai pada diagram garis yang anda buat!



8. Tentukan persamaaneksplisitdari data yang anda peroleh. Beri penjelasan

atasjawaban/ prosedur yang anda gunakan.

EksperimenRolling Dices

sumber:

https://encrypted-

tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSIF6ldkT6aVQCIGV2M8sQx30nRrz7PQ7Q2qgx1SAArLMdzPFEu8w

1. Lakukan percobaan melempar 40 buah dadu secara bersamaan. Sebelum

melempar seluruh dadu, tentukan mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil

pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Anda dapat memilih

beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada

percobaan-percobaan berikutnya. Sebagai contoh, anda memilih mata dadu 1

dan 3 yang muncul akan keluar pada percobaan berikutnya. Kemudian dari

pelemparan pertama diperoleh hasil tujuh buah dadu muncul mata dadu 1 dan

sembilan buah dadu muncul mata dadu 3, sehingga pada pelemparan kedua

hanya akan ada 29 buah dadu yang dilempar secara bersamaan.

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/applets/exponential_dice.html

2. Lanjutkan kegiatan percobaan melempar dadu dengan cara yang sama dengan poin 1

sampai seluruh dadu habis. Tuliskan hasil percobaan pada tabel 1 berikut ini:

Tabel 1: Hasil percobaan melempar dadu

Pelemparan ke- Jumlah dadu yang tersisa

1

2

3

4

5

6

dst



3. Selanjutnya, isilah tabel 2 dan gunakan kertas kotak-kotak yang telah disediakan

untuk menggambar diagram garis hasil percobaan anda.

Tabel 2:Data pada diagram garis

X Y (X,Y)

4. Cek keakuratan diagram garis yang telah anda buat dengan membuat diagram

garis dari data yang sama dengan menggunakan kalkulator grafik, Microsoft

Excel, software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashberikut ini:






DESKRIPSI KEGIATAN EKSPERIMEN

Paper Folding Activity

Rolling Dices Activity

http://2.bp.blogspot.com/-

SrXtvJtuo2Y/T8y82VBQWII/AAAAAAAABcE/l9CfSKPPQJc

/s1600/konstantin-datz-folded-paper-

type_apetitpoisdesign.jpg

http://www.corbisimages.com/images/Corbis-42-

26194684.jpg?size=67&uid=17b8f5a8-850e-4ac2-aad8-

0dc7183e83e9

Topik pembelajaran : Eksponensial

Sub Topik : Sifat-sifat eksponensial

Kompetensi Dasar : Melalui proses pembelajaran eksponensial, siswa diharapkan mampu:

1. memilih dan menerapkan aturan eksponen sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya;

2. menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

Pada eksperimen melipat kertas, siswa akan menemukan pola yang

menggambarkan bahwa jumlah bagian kertas akan bertambah dua kali lipat

setelah dilakukan pelipatan kertas. Sebagai contoh, siswa akan memahami

bahwa jumlah bagian kertas pada pelipatan kelima adalah setara dengan 25 . Di

akhir kegiatan, siswa dengan bimbingan guru akan membuat diagram garis yang

menggambarkan data hasil eksperimen dan menyimpulkan persamaan garis

yang diperoleh.

Pada eksperimen Rolling Dices, siswa akan mengeksplorasi suatu

persamaaneksponensialdengan bermain dadu.Berdasarkan hasil eksperimen

http://www.corbisimages.com/images/Corbis-42-26194684.jpg?size=67&uid=17b8f5a8-850e-4ac2-aad8-0dc7183e83e9





pelemparan sejumlah banyak dadu, siswa akanmembuat modelpeluruhan

eksponensial. Hal ini dilakukan denganmenentukan terlebih dahulu mata dadu

yang apabila muncul sebagai hasil pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan

selanjutnya. Siswa dapat memilih beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal

5 jenis) untuk dikeluarkan pada percobaan-percobaan berikutnya.Berdasarkan

temuan-temuan dari eksperimen pelemparan dadu ini, siswa diharapkandapat

memahami hubungan antarapersamaaneksponensialdenganfenomena nyata

terkait.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen melipat kertas dan

melempar dadu adalah sebagai berikut:

1 lembar kertas ukuran A3

Pena

Penggaris

Dadu dengan enam sisi sejumlah 40 atau lebih

Kertas kotak-kotak

Lembar Kerja

LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Langkah-langkah percobaan melipat kertasadalah sebagai berikut:

1. Lipatsebuah kertas berukuran A3 menjadi dua bagian yang sama/ kongruen.

Buatlah garis lipatan yang terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.

http://info.cfsbinds.com/wp-content/uploads/2011/10/fold-300x290.jpg

2. Lipat kertasmenjadi dua bagian padalipatanyang samaseperti sebelumnya,

kemudianlipat dualagi menjadi dua bagian yang sama. Buatlah garis lipatan yang

terbentuk dan catat jumlah bagianyang ada dikertas.

3. Lanjutkanmelipatkertassetengah, membuat garis lipatan dan mencatat

jumlahbagianyang diperoleh dari hasil melipat kertas. Ulangi langkah yang sama

sampaitidak mungkin lagimelipatkertas tersebut.



http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_paper_folding_introduct

ion.html

4. Buatdiagram garis berdasarkan data yang diperoleh dari hasil percobaan melipat

kertas.Untuk mempermudah pembuatan diagram garis/ plot dari hasil percobaan,

guru dan siswa dapat menggunakan tools seperti: kertas kotak-kotak, kalkulator

grafik, Microsoft Excel, software Geogebra

(www.geogebra.org),atauprogramflashyang disediakan secara onlineuntuk

merekam data hasil percobaan dan membuat diagram garisnya.

http://media.mivu.org/mvu_pd/a4a/resources/exponentialactivity/a001_applet_grapher.html

5. Tuliskan polanilai-nilai yangmuncul dari hasil percobaan, kemudian tentukan

persamaaneksplisitdari data yang diperoleh. Beri penjelasan atasjawaban anda.

Langkah-langkah eksperimen melempar daduadalah sebagai berikut:

1. Lakukan percobaan melempar 40 buah dadu secara bersamaan. Sebelum

melempar seluruh dadu, tentukan mata dadu yang apabila muncul sebagai hasil

pelemparan akan dikeluarkan dari percobaan selanjutnya. Anda dapat memilih

beberapa mata dadu yang berbeda (maksimal 5 jenis) untuk dikeluarkan pada

percobaan-percobaan berikutnya.



2. Lanjutkan kegiatan percobaan melempar dadu dengan cara yang sama dengan

poin 1 sampai seluruh dadu habis.

3. Catat hasil percobaan dan buatplot yang menggambarkan data yang diperoleh.

Untuk mepermudah pembuatan plot dari hasil percobaan, guru dan siswa dapat

menggunakan tools seperti: kertas kotak-kotak, kalkulator grafik, Microsoft Excel,

software Geogebra (www.geogebra.org), atauprogramflashyang disediakan

secara onlineuntuk merekam data hasil percobaan dan membuat plotnya.




DAFTAR PUSTAKA

Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas X,

Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8

http://a4a.learnport.org/page/exponential-functions

http://www.youtube.com/watch?v=V82MjlPSO9U

http://www.geogebra.org/cms/en/

http://a4a.learnport.org/page/exponential-functions

http://www.youtube.com/watch?v=V82MjlPSO9U




PEMBELAJARAN

SISTEM PERSAMAAN LINIER

DUA VARIABEL (SPLDV)

http://3.bp.blogspot.com/_5f2hfgqfBr0/TUJyWlGENAI/AAAAAAAAABk/wwdWvzpBpsw/s1600/Untitled-1.jpg

Kompetensi Inti:





sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran SPLDV, siswa diharapkan mampu:

1. Memahami konsep SPLDV, dan mampu menerapkan berbagai strategi yang

efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa

kebenaran jawabannya.

2. Membuat model matematika berupa SPLDV dari situasi nyata dan matematika,

serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.




Melalui pembelajaran materi SPLDV, siswa memperoleh pengalaman belajar:

1. menjelaskan karakteristik masalah otentikyang penyelesaiannya terkait dengan

modelmatematika sebagai SPLDV;

2. merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang

merupakan SPLDV;

3. menyelesaikan model matematika untuk memperolehsolusi permasalahan yang

diberikan;

4. menginterpretasikan hasil penyelesaianmasalah yang diberikan;

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi SPLDV dibuat




1. Engagement




2. Exploration





3. Explanation




4. Elaboration


pemahaman mereka.

5. Evaluation







MATERI SPLDV Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta

danlingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-

permasalahan tersebut kita jadikan bahan inspirasi dengan menyusun model-model

Matematika untuk memperoleh solusinya. Model matematika tersebut, dijadikan bahan

abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear.Peta konsep dari materi

SPLDV yang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas Xdirepresentasikan

pada bagan berikut ini:



Peta Konsep Topik SPLDV pada Kelas X SMA

Persamaan

Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Eliminasi SubstitusiEliminasi

& Substitusi

Metode Grafik

Determinan

Himpunan Penyelesai

an

Grafik SPLDV

Sistem Pertdaksamaan Linear

Sitem Pertidaksamaan Liniear Dua Variabel

(SPtLDV)

Grafik SPtLDV



Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Bentuk Umum

Keterangan :

𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑝, 𝑞, 𝑟 𝑅

a, p = koefisien dari x

b, q = koefisien dari y

c, r = konstanta

x, y = variabel

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel,

antara lain :

a. Metode Grafik

Langkah-langkahnya sebagai berikut :

Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat

Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong

tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan

yang dimaksud.

b. Metode Eliminasi

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan

dengan bilangan selain nol.

Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian

dari kedua persamaan linear yang baru tersebut.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

1022

1935

yx

yx dengan cara eliminasi !

Jawab:

a) Eliminasi y

1022

1935

yx

yx

2

2

x

x

3066

38610

yx

yx

4x = 8

x = 2

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟



b) Eliminasi x

1022

1935

yx

yx

5

2

x

x

501010

38610

yx

yx

-4y = -12

y = 3

Jadi HP = {(2,3)}

c. Metode Substitusi

Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari

salah satu persamaan.

Substitusikan hasil dari langkah pertama ke persamaan yang lain.

Contoh:


9

1224

yx

yx dengan cara substitusi !

Jawab:

1224 yx ... (1)

𝑥 + 𝑦 = 9 𝑥 = 9 – 𝑦 … (2)

Hasil pada persamaan(2) disubstitusikan ke persamaan (1), sehingga

diperoleh

4(9 − 𝑦) – 2𝑦 = 12

36 – 4𝑦 – 2𝑦 = 12

− 6𝑦 = 12 − 36

− 6𝑦 = −24

𝑦 = 4… (3)

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2), sehingga diperoleh

𝑥 = 9 – 4

𝑥 = 5

Jadi 𝐻𝑃 = {(5,4)}



d. Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Contoh:


102

53

yx

yx

dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !

Jawab:

Dengan mengeliminasi y akan diperoleh:

3𝑥 – 𝑦 = 5

2𝑥 + 𝑦 = 10 +

5𝑥 = 15

𝑥 = 3

𝑥 = 3disubstitusi ke 3𝑥 – 𝑦 = 5

3 3 – 𝑦 = 5 9 – 𝑦 = 5

− 𝑦 = 5 − 9 − 𝑦 = −4

𝑦 = 4

Jadi 𝐻𝑃 = {(3,4)}

e. Menggunakan Determinan

Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur

sangkar (persegi). Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari

bentuk persamaan :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi

𝐷,𝐷𝑥,𝐷𝑦. Dengan :

𝐷 = qp

ba = 𝑎𝑞 – 𝑏𝑝

𝐷𝑥 = qr

bc = 𝑐𝑞 – 𝑏𝑟

𝐷𝑦 = rp

ca = 𝑎𝑟 – 𝑐𝑝



Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

𝑥 = D

Dx 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = D

Dy

Contoh:


53

132

yx

yx dengan cara determinan !

Jawab:

𝐷 = 13

32 = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = −7

𝐷𝑥 = 15

31 = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = −14

𝐷𝑦 = 53

12 = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7

𝑥 = D

Dx = 7

14

= 2

𝑦 = D

Dy =

7

7

= −1

Jadi HP = {(2, -1)}



CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan kepada siswa sebelum guru

menjelaskan secara rinci metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier dua

variabel.


Siswa dapat menentukan solusi dari masalah sistem persamaan linier dua variabel

melalui kegiatan bermain kartu SPL.Dengan bermain kartu SPL, diharapkan siswa dapat

berpikir kritis dalam menyelesaikan masalah-masalah SPLDV yang diberikan.

Pembukaan (5 menit)

1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.

2. Guru menayangkan video tentang testimonial berbelanja di pasar tradisionalyang

telah direvitalisasi. Video tersebut dapat diunduh melalui

linkhttp://www.youtube.com/watch?v=lKBiFAyXYsQ. Siswa diharapkan fokus


3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai video yang telah ditonton bersama-

sama. Beberapa siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide dan pendapat

mengenai video tersebut.Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan

menyampaikan keterkaitan antara kegiatan yang ditampilkan pada video dengan

aktivitas pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Explanation)

4. Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan

pembelajaran yang akan dicapai.(Engagement)


1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berkelompok (maksimal tiga orang)

dan membagikan set kartu SPL, set uang-uangan kertas, dan lembar kerja (LK)

kepada siswa. Siswa menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan

eksperimen melipat kertas.

2. Siswa mengamati penjelasan guru mengenai deskripsi set kartu SPL dan uangan-

uangan yang akan digunakan dalam kegiatan pembelajaran. Guru memberikan

penjelasan mengenai aturan bermain kartu yang harus diikuti oleh setiap

kelompok.(Engagement)

3. Setiap kelompok melakukan simulasi pembelanjaan sesuai dengan kasus-kasus

yang diberikan pada LK. Simulasi dilakukan dengan memainkan kartu-kartu SPL

dan uang-uangan kertas sedemikian sehingga sesuai dengan masalah pembelanjaan

yang tertera pada LK. Setiap anggota kelompok diharapkan dapat saling berbagi ide

dalam menyelesaikan kasus-kasus SPL yang diberikan.(Exploration)

4. Siswasecara individu menuliskan hasil diskusi kelompoknya pada lembar kerja

yang telah disediakan. Lebih lanjut, setiap kelompok membuat poster yang

merepresentasikan langkah-langkah pemecahan ketiga masalah dengan mengacu

pada permainan kartu SPL yang telah dilakukan.(Explanation)

http://www.youtube.com/watch?v=lKBiFAyXYsQ



5. Siswa dan guru bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh

dari kegiatan yang telah dilakukan.Jika kesimpulan dari salah satu atau beberapa

siswa belum tepat, maka siswa lainnya diminta menyampaikan pendapatnya,

demikian seterusnya dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang

jawaban yang diharapkan. (Explanation& Evaluation)

6. Selanjutnya, guru membimbing siswa untuk mengaitkan hasil eksperimen dengan

metode penyelesaian SPLDV, yaitu metode grafik dan substitusi. Siswa secara

terbimbing menyelesaikan kembali kasus-kasus SPLDV dengan menggunakan

metode grafik dan substitusi. Siswa juga diberi kesempatan membuat grafik dari

masalah SPLDV tersebut dengan menggunakan software Geogebra. (Explanation

&Elaboration)

7. Siswa dan guru bersama-sama membuat kesimpulan mengenai materi yang telah

dibahas dalam pembelajaran di kelas. Guru memberikan penguatan kembali bila

masih ada materi yang belum dimengerti siswa.(Evaluation)

Penutup (5 menit):

1. Guru memberikan pekerjaan rumah sebagai bahan latihan siswa pada materi

SPLDV.

2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA

Bermain Kartu SPL (Sistem Persamaan Linier)

Perhatikan set kartu SPL (Sistem Persamaan Linier) yang diberikan!

Dalam satu set kartu terdapat 6 jenis kartu dengan gambar yang berbeda, yaitu kartu

dengan gambar satu kilogram buah jeruk, satu kilogram buah apel, satu kilogram buah

pear, satu buah buku tulis, satu buah pena dan satu buah jangka.

Gambar 1. Kartu-kartu SPL

Selain set kartu SPL, diberikan pula set uang-uangan kertas yang terdiri atas pecahan

seribu rupiah, dua ribu rupiah, lima ribu rupiah, dan sepuluh ribu rupiah. Contoh

gambar dari set uang-uangan kertas yangakan digunakan pada permainan kartu SPL

adalah sebagai berikut:

Gambar 2. Uang-uangan kertas



Lakukan simulasi pembelian barangdengan menggunakan set kartu SPL dan

uang-uangan kertas yang tersedia dengan mengacu pada kasus-kasus berikut ini:

a) Ibu Susydan Ibu Sugi pergi bersama-sama ke USBI mart untuk berbelanja

buah-buahan. Ibu Susy membeli satu kilogram buah apel dan satu kilogram

buah pear dengan mengeluarkanuang sebesar Rp 35.000,-. Kemudian

diketahui juga bahwa Ibu Sugi membeli dua kilogram buah apel dan tiga

kilogram buah pear dengan mengeluarkan uang sebesar Rp 85.000,-.

Lakukan simulasi terhadap kedua transaksi pembelian tersebut dan

tentukan harga masing-masing buah per satu kilogram.

b) Pak Budi dan Pak Rian bersama-sama membelibuah di USBI mart. Pak Budi

membeli 3 kilogram buah jeruk dan 2 kilogram buah apel dengan

mengeluarkan uang sebesar Rp 85.000. Sementara itu,Pak Rian membeli 2

kilogram buah jeruk dan 3 kilogram buah apel dengan mengeluarkan uang

sebesar Rp 90.000,-.


tentukan selisih harga pembelian satu kilogrammasing-masing buah.

c) Pak Hatim dan Pak Aldi bersama-sama membeli beberapa alat tulis di

koperasi USBI. Pak Hatim membeli 1 buah buku tulis, 2 buah pena, dan 1

buah jangka dengan total uang yang dikeluarkan sebesar Rp 33.000,-.

Sementara itu,Pak Aldi membeli 2 buah buku tulis, 1 buah pena, dan 1 buah

jangka dengan total uang yang dikeluarkan sebesar Rp 28.000,-.

Ibu Mima selaku petugas koperasi USBI menginformasikan kepada mereka

bahwa harga 1 buah pena sama dengan harga 2 buah buku tulis.


tentukan harga masing-masing alat tulis per buahnya!

Diskusikan hasil yang anda dapatkan dengan anggota kelompok, kemudian

tuliskan kesimpulan dari hasil kegiatan bermain kartu SPL yang telah anda

lakukan.




Topik pembelajaran : Sistem Persamaan Linier

Sub Topik : Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Kompetensi Dasar : 1. Memahami konsep Sistem Persamaan Linier

Dua dan Tiga Variabel, dan mampu

menerapkan berbagai strategi yang efektif

dalam menentukan himpunan penyelesaiannya

serta memeriksa kebenaran jawabannya.

2. Membuat model matematika berupa SPLDV

dari situasi nyata dan matematika, serta

menentukan jawab dan menganalisis model

sekaligus jawabnya.

Melalui eksperimen bermain kartu SPL, siswa diberi kesempatan untuk menyelesaikan

beberapa masalah yang berkaitan dengan aplikasi Sistem Persamaan Linier Dua

Variabel (SPLDV). Siswa diajak bernalar tentang bagaimana menentukan harga beli

suatu barang dengan melakukan simulasi pembelian menggunakan kartu SPL dan uang-

uangan kertas. Penerapan eksperimen bermain kartu SPL akan membangun

pemahaman siswa terhadap konsep SPLDV. Disarankan agar permainan kartu SPL

diberikan kepada siswa sebelum guru menjelaskan berbagai metode-metode

penyelesaian SPLDV (metode grafik, substitusi, dan eliminasi). Hal ini ditujukan agar

siswa dalam kelompok diskusinya dapat secara kritis menemukan langkah-langkah

penyelesaian kasus-kasus SPLDV dengan menggunakan set kartu yang diberikan dan

mengacu pada informasi awal. Pembelajaran akan lebih optimal jika kelompok-

kelompok siswa dapat menemukan solusi masalah dengan cara-cara yang bervariasi.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan dengan kartu pada pembelajaran

Sistem Persamaan Linieradalah sebagaiberikut:

1 set kartu SPL yang terdiri atas kartu bergambar buah apel, kartu bergambar

buah jeruk, kartu bergambar buah pear, kartu bergambar buku tulis merah, kartu

bergambar pena, dan kartu bergambar jangka dengan jumlah masing-masing

sebanyak 10 kartu berukuran 7cm x 10 cm.

1 set uang-uangan kertas pecahan seribu rupiah, dua ribu rupiah, lima ribu rupiah,

dan sepuluh ribu rupiah.

Lembar Kerja Siswa



LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN

Siswa secara berkelompok diminta menyelesaikan 2 buah masalah yang berkaitan

dengan SPLDV dan 1 buah masalah SPL Tiga Variabel. Ketiga masalah tersebut harus

diselesaikan dengan simulasi menggunakan kartu-kartu yang mewakili benda pada

masalah SPL yang diberikan. Salah satu alternatif langkah-langkah yang dapat dilakukan

siswa dalam menyelesaikan masalah-masalah pada LKadalah sebagai berikut:



DAFTAR PUSTAKA









PEMBELAJARAN LOGIKA

sumber: http://4.bp.blogspot.com/-

zCEAtdxAWDQ/ULwPqGDrl2I/AAAAAAAAAd0/aXLlvlFG024/s1600/MaxMind.jpg

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran logika, siswa diharapkan mampu mendeskripsikan

ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.


Melalui pembelajaranmateri logika, siswa diharapkan mampu:

menentukan nilai kebenaran dari ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi,

biimplikasi dan ingkarannya;

menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan ingkaran, konjungsi,

disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.



Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi eksponensial dibuat




1. Engagement




2. Exploration





3. Explanation




4. Elaboration


pemahaman mereka.

5. Evaluation







MATERI LOGIKA Bernalar merupakan proses mendapatkan kebenaran baru yang bersandarkan pada

fakta-fakta yang telah ada. Kebenaran yang baru ini nantinya dapat digunakan untuk

menurunkan kebenaran baru lainnya. Dengan kemampuan bernalar, manusia mampu

memecahkan berbagai masalah kehidupan secara logis. Lebih lanjut, logika berasal dari

kata “Logos” (Bahasa Yunani) yang berarti kata, ucapan, atau pikiran. Aristoteles (384 –

322 SM) merupakan ilmuwan pertama yang menemukan konsep mengenai

logika.Logika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari cara-cara yang

meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang berdasarkan

pada penalaran yang logis.Peta konsep dari topik Logika yang dibahas pada Mata

Pelajaran Matematika di SMA kelas X direpresentasikan pada bagan berikut ini:

Peta Konsep Topik Logika pada Kelas X SMA



Pernyataan , Kalimat Terbuka, Ingkaran Pernyataan, dan Pernyataan Majemuk

1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak

sekaligus kedua-duanya.Contoh-contoh pernyataan adalah sebagai berikut:

a) Hasil kali 5 dan 4 adalah 20

b) Semua unggas dapat terbang

c) Ada bilangan prima yang genap

Contoh pertama dan ketiga adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan

contoh keduapenyataan yang bernilai salah.Contoh-contoh kalimat yang bukan

pernyataan adalah sebagai berikut:

a) Semoga nanti engkau naik kelas

b) Tolong tutupkan pintu itu

c) Apakah Ali sudah makan?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, dan r. Sebagai

contoh:

p : Semua bilangan prima adalah ganjil

q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran suatu

pernyataan, yaitu:

i. Dasar empiris, yaitu jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan

pada saat tertentu.Contohnya adalah: rambut adik panjang, besok pagi

cuaca cerah.

ii. Dasar tidak empiris, yaitu jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah

atau hukum tertentu. Jadi, nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan

tempat. Contohnya adalah: jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800,tugu

muda terletak di kota Semarang.

2. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai

kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau

variabel.Contoh-contoh kalimat terbuka adalah:

a) 2x + 3 = 9

b) 5 + n adalah bilangan prima

c) Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah



3. Ingkaran dari pernyataan

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari

pernyataan semula.Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “bukan p”

atau “tidak p”.Tabel kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan ditentukan

sebagai berikut:

p ~ p

B S

S B

Contoh dari ingkaran suatu pernyataan adalah sebagai berikut:

a) p : Ayah pergi ke pasar

~ p: Ayah tidak pergi ke pasar

b) q : 2 + 5 < 10

~ q: 2 + 5 10

4. Pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran

kuantitas.Ada 2 macam kuantor, yaitu:

i. Kuantor Universal

Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang

menyatakan semua atau setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan

(dibaca untuk semua atau untuk setiap). Contoh-contoh pernyataan

dengan kuantor universal adalah sebagai berikut:

x R, x2> 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka

berlaku x2> 0.

Semua ikan bernafas dengan insang.

ii. Kuantor Eksistensial

Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang

menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial

dinotasikan dengan (dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian). Contoh-

contoh pernyataan dengan kuantor eksistensial adalah sebagai berikut:

x R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real

dimana x2 + 3x – 10 < 0

Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru



5. Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah kuantor eksistensial dan

sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor

universal.Contoh :

a) p : Semua ikan bernafas dengan insang

~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang

: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru

: Tidak semua ikan bernafas dengan insang

b) q : Beberapa siswa SMA malas belajar

~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar

6. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang

dihubungkan dengan kata hubung.Ada 4 macam pernyataan majemuk:

i. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”.

Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan "" qp yang

dibaca p dan q. Tabel kebenarannya adalah:

p q qp

B B B

B S S

S B S

S S S

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa konjungsi hanya

bernilai benar apabila kedua pernyataan bernilai benar.Berikut adalah

contoh dari pernyataan konjungsi:

p : 34 = 51 (bernilai salah)

q: 2 + 5 = 7 (bernilai benar)

qp : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 (bernilai salah)



ii. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan qp dan dibaca p atau q.

Tabel kebenarannya adalah:

p q qp

B B B

B S B

S B B

S S S

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa disjungsi hanya

bernilai salah apabila kedua pernyataan bernilai salah. Berikut adalah

contoh dari pernyataan disjungsi:

p : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 (bernilai benar)

q: tugu pahlawan terletak di Jakarta (bernilai salah)

qp : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di

Jakarta (bernilai benar)

iii. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ... maka

...”. Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q, yang

dibaca “jika p maka q”. Pada implikasi p q, p disebut anteseden atau

sebab atau hipotesa, dan q disebut konsekuen atau kesimpulan atau

konklusi.Tabel kebenarannya adalah:

p q qp

B B B

B S S

S B B

S S B



Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa implikasi akan

bernilai salah hanya jika sebabnya benar dan akibatnya salah. Berikut

adalah contoh dari pernyataan implikasi:

p : 5 + 4 = 7 (bernilai salah)

q: Indonesia berada di benua eropa (bernilai salah)

p q : jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)

iv. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “... jika dan

hanya jika ...” dan dilambangkan .Biimplikasi dari pernyataan p dan q

ditulis p q, yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan

jika q maka p. Tabel kebenarannya adalah:

p q qp

B B B

B S S

S B S

S S B

Dari tabel kebenaran tersebut dapat disimpulkan bahwa biimplikasi

hanya akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya nilai kebenarannya

sama. Berikut adalah contoh dari pernyataan biimplikasi:

p : 3 + 10 =14 (bernilai salah)

q : Persegi adalah segitiga (bernilai salah)

p q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga

(bernilaisalah)




pemahaman tentangkonsep pernyataan dan bukan pernyataan, nilai kebenaran suatu

pernyataan, dan negasi dari suatu pernyataan.


Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi, disjungsi,

implikasi, dan biimplikasi berdasarkan hasil percobaan dengan menggunakan alat

peraga Logika Listrik.


1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran. Guru

menyampaikan tujuan pembelajaran kepada siswa.

2. Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan tentang kelistrikkan

yang digunakan oleh siswa sehari-hari. Siswa diharapkan secara aktif merespon

stimulus tersebut dengan menyebutkan beberapa contoh kegiatan sehari-hari

yang membutuhkan listrik.(Engagement)

3. Guru menunjukkan alat peraga berupa rangkaian listrik seri dan paralel, serta

menyampaikan bahwa rangkaian listrik tersebut merupakan aplikasi konsep

Logika yang sedang siswa pelajari. (Engagement)


Guru meminta salah seorang siswa untuk mendemonstrasikan rangkaian listrik seri dan

paralel di depan kelas. Siswa lainnya diminta mengamati jalannya demonstrasi kedua

rangkaian listrik. (Engagement& Exploration)

1. Beberapa siswa diharapkan menyampaikan hasil pemikirannya mengenai hasil

demonstrasi kedua rangkaian listrik. Selanjutnya, guru memandu siswa untuk

mengaitkan hasil demonstrasi kedua rangkaian listrik dengan konsep nilai

kebenaran dari pernyataan konjungsi dan disjungsi. (Explanation)

2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil yang masing-

masing terdiri dari 3 orang.Guru memastikan setiap kelompok siswa telah

memiliki alat peraga Logika Listrik dan lembar kerja (LK).

3. Setiap kelompok melakukan percobaan sesuai dengan instruksi guru dan

mengamati hasilnya. (Exploration)

4. Siswa mengisi LK berdasarkan hasil diskusi kelompok mengenai temuan pada

percobaan yang telah dilakukan.(Explanation)

5. Kelompok siswa diminta menyimpulkan hasil percobaan yang telah dilakukan

dan menjelaskan konsep konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau

mempresentasikan kesimpulan dari eksperimen yang telah dilakukan di

kelompok masing-masing. Jika kesimpulan dari salah satu kelompok belum

tepat, kelompok lain diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya

dan sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang

diharapkan.(Explanation& Evaluation)



6. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah

mereka lakukan. Kemudian guru memberikan pertanyaan-pertanyaan(problem

solving) seputar aplikasi masalah konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

untuk menguatkan pemahaman siswa.Guru memberikan kesempatan bertanya

bila masih ada materi yang belum dimengerti siswa.(Elaboration and

Evaluation)

Penutup (10 menit):


konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.


dilakukan.

LEMBAR KERJA SISWA

1. Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika

Listrik Konjungsi!


Tabel 1: Hasil percobaan konjungsi(A ⋀ B)

Lampu A Lampu 𝑨 Lampu B Lampu 𝑩 Lampu P

menyala mati menyala mati menyala

3. Nyatakan kesimpulan dari percobaan yang telah dilakukan berdasarkan hasil

pada Tabel 1!



Lakukan percobaan dengan memainkan saklar I dan saklar II pada papan Logika Listrik Disjungsi.


Tabel 2: Hasil percobaan disjungsi (A V B)




pada Tabel 2!


Listrik Implikasi.


Tabel 3: Hasil percobaan implikasi (A B)






pada Tabel 3!


Listrik Biimplikasi.


Tabel 4: Hasil percobaan biimplikasi(A B)


Menyala mati menyala mati menyala


pada Tabel 4!



DESKRIPSI ALAT PERAGA

Logika Listrik

Konjungsi

Disjungsi

Implikasi

Biimplikasi

Topik pembelajaran : Logika

Sub Topik : Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Kompetensi Dasar : Setelah mengikuti pembelajaran logika, siswa diharapkan mampu mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.



Alat peraga Logika Listrik dapat digunakan sebagai sarana untuk

mengaplikasikan konsep Logika. Siswa dapat melakukan beberapa percobaan

melalui alat peraga tersebut untuk membuktikan nilai kebenaran dari konjungsi,

disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.Sebelum menggunakan alat peraga Logika

Listrik, guru sebaiknya memastikan bahwa siswa sudah memahami materi

prasyarat yang diperlukan untuk memahami konsep yang akan dibahas pada

kegiatan percobaan. Materi prasyarat tersebut adalah mengenai konsep

pernyataan dan bukan pernyataan, nilai kebenaran dari suatu pernyataan, dan

negasi dari suatu pernyataan. Kegiatan eksperimen dengan alat peraga Logika

Listrik juga akan lebih maksimal, apabila siswa terlebih dahulu diberi

kesempatan mengenal rangkaian listrik seri dan paralel yang merupakan

aplikasi dari konsep konjungsi dan disjungsi.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat alat peraga logika listrik adalah

sebagai berikut:

1 buah gergaji

1 buah alat ukur meter

1 buah papan kayu berukuran 17x47 cm

4 buah kayu reng ukuran 6x26 cm

2 buah duplex tebal 1 cm ukuran 27x47 cm

1 buah kabel 2 meter dan colokan

20 buah bola lampu hias

1 buah kabel lampu hias ukuran 2 meter

1 buah travo 220 V

1 buah solder dan timah solder

1 buah alat bor

1 buah solatip kabel

8 buah stop kontak kecil

1 buah palu

1 buah obeng

1 plastik lem fox

LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga logika

listrik:

1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan

2. Buatlah sebuah kotak persegi panjang dengan menggunakan kayu dan duplex

terelebih dahulu.

3. Paku kotak persegi panjang tersebut ke papan sebagai alas kotak tersebut.



4. Bor papan bagian depan untuk memasang 20 buah bola lampu hias dan 8 buah

stop kontak lampu.

5. Lem 20 buah bola lampu tersebut pada lubang yang sudah tersediadan kancinglah

stop kontak tersebut menggunakan sekrup.

6. Sambungkan kabel dari travo ke semua stop kontak dan dari stop kontak ke bola

lampu yang sudah siap secara parallel. Sambungkan pula dari travo ke sumber

listrik.

7. Tutup bagian belakang kotak dengan menggunakan duplex, kemudian kancinglah

menggunakan sekrup.

8. Lampu siap dinyalakan

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Penerapan alatperagaLogika Listrik dalam pembelajaran Logika bertujuan untuk

menjelaskan konsepnilai kebenaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

melalui serangkaian percobaan menyalakan dan mematikan lampu.Langkah-

langkahpenggunaannyaadalah sebagaiberikut:

1. Perhatikan cara kerjalampu dan saklar pada alat peraga Logika Listrik yang memenuhi ketentuan berikut ini: a. Saklar dengan posisi ke atas akan membuat lampu menyala dan

mengindikasikan pernyataan benar. Sebaliknya,apabila saklar di posisikan ke bawahmaka lampu akan mati (mengindikasikan pernyataan salah). Kedua kondisi tersebut berlaku baik bagi saklar I maupun saklar II.

b. Ketentuan pada saklar I: apabila saklar I diposisikan ke atas maka lampu A menyala dan lampu

𝐴 mati apabila saklar I diposisikan ke bawah maka lampu A mati dan lampu

𝐴 menyala c. Ketentuan pada saklar II:

apabila saklar II diposisikan ke atas maka B menyala dan lampu 𝐵 mati

apabila saklar II diposisikan ke bawah maka lampu B mati dan lampu 𝐵 menyala

Konjungsi: 1. Dengan memainkan kedua saklar yaitu dengan menyalakan lampu Adan

menyalakan lampu B,makalampu P akan menyala. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A benar dan pernyataan B benar, maka pernyataan (A⋀B) bernilai benar.

2. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu A dan menyalakan lampu 𝐵 ,maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A benar dan pernyataan Bsalah, maka pernyataan (A ⋀𝐵 ) bernilai salah.

3. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu𝐴 dan menyalakan lampu B, maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A salah dan pernyataan Bbenar, maka pernyataan (𝐴 ⋀B) bernilai salah.



4. Dengan memainkan kedua skalar yaitu dengan menyalakan lampu 𝐴 dan menyalakan lampu 𝐵 , maka lampu P akan mati. Hal ini menunjukkan bahwa jika pernyataan A salah dan pernyataan Bsalah, maka pernyataan (𝐴 ⋀ 𝐵 ,) bernilai salah.

Disjungsi:

1. Dengan memainkan saklar untuk menunjukkan bahwa apabila A benar (lampuA

menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P menyala. Hal

inimenunjukkan bahwa (A V B) bernilai benar.

2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka P benar (lampu

Pmenyala). Hal ini menunjukkan bahwa (A V 𝐵 ) bernilai benar.

3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar maka P benar (lampu

Pmenyala), ini menunjukkan bahwa (𝐴 V B) bernilai benar.

4. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka P salah

(lampu P tidak menyala). Hal ini menunjukkan bahwa (𝐴 V 𝐵 )bernilai salah.

Dari percobaan tersebut dapat disimpulkan:

a. (A V B) bernilai benar

b. (A V 𝐵 ) bernilai benar

c. (𝐴 V B) bernilai benar

d. (𝐴 V 𝐵 )bernilai salah

Implikasi:

1. Dengan memainkan saklar yaitu untuk menunjukkan bahwa apabila A

benar(lampu A menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P

menyala. Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi dua pernyataan (A B)bernilai

benar.

2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka lampu P tidakmenyala.

Hasil ini menunjukkan bahwa implikasi (A 𝐵 )bernilai salah.

3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar, maka lampu P menyala. Hasil

ini menunjukkan bahwa implikasi (𝐴 B)bernilai benar.

4. Apabila A salah dan B salah maka lampu pada P menyala. Hasil ini

menunjukkanbahwa implikasi (𝐴 𝐵 )bernilai benar.

Dari percobaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa implikasi dua pernyataan

akan bernilai salah jika anteseden bernilai benar dan konsekuensinya bernilai salah.



Biimplikasi:

1. Dengan memainkan saklar yaitu untuk menunjukkan bahwa apabila A

benar(lampu A menyala) dan B benar (lampu B menyala) maka lampu P

menyala.Hasil ini menunjukkan bahwa biimplikasi dua pernyataan

(A B)bernilai benar.

2. Apabila A benar dan B salah (lampu 𝐵 menyala) maka lampu P mati. Hasil ini

menunjukkan bahwa biimplikasi (A 𝐵 )bernilai salah.

3. Apabila A salah (lampu 𝐴 menyala) dan B benar, maka lampu P mati.Hasil ini

menunjukkan bahwa biimplikasi (𝐴 B)bernilai salah.

4. Apabila A salah dan B salah maka lampu pada P menyala. Ini

menunjukkanbahwa biimplikasi (𝐴 𝐵 )bernilai benar.

Dari percobaan tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa biimplikasi dua

pernyataan akan bernilai benar jika anteseden dan konsekuen keduanya bernilai

benar atau keduanya bernilai salah.

DAFTAR PUSTAKA



Buku Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Matematikia SMA,Yogyakarta: Pusat

Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK)

Matematika, 2012



Pembelajaran Matriks

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan:

1. memahami konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata;

2. memahami operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.



Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi matriks, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

melatih berpikir kritis dan kreatif; mengamati keteraturan data; berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikanmasalah; berpikir independen serta mengajukan ide secarabebas dan terbuka; mengamati aturan susunan objek.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran matriks dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:

1. Engagement Aktivitas pembelajaran pada tahapan ini bertujuan untuk mendapatkan perhatian penuh dari siswa, menstimulasi cara berpikir mereka dan meberikan apersepsi pada siswa agar mereka mengingat kembali materi prasyarat.

2. Exploration Pada tahapan ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, mebuat rencana untuk menyelesaikan masalah, menginvestigasi dan menyusun semua informasi yang ada. Contohnya adalah siswa melakukan eksperimen-eksperimen alat peraga.

3. Explanation Dalam tahapan ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil eksplorasi yang telah mereka lakukan, lalu mereka mengkomunikasikan beberapa temuan yang mereka peroleh.

4. Elaboration Selanjutnya siswa diberikan kesempatan untuk menajamkan dan memperluas pemahaman mereka.

5. Evaluation Tahap evaluasi sebenarnya bisa dilakukan pada keempat tahapan di atas, guru mengecek jalannya pembelajaran dan hasil yang diperoleh siswa, apakah tujuan pembelajaran telah tercapai atau belum.

Siklus pembelajaran 5E Model dapat dilihat dalam gambar berikut:

Engagement

Exploration

ExplanationElaboration

Evaluation



MATERI MATRIKS Pada zaman dahulu matriks digunakan untuk mencari solusi dari persamaan linear,

matriks dikembangkan di negeri Cina pada tahun 200 B.C. Matematikawan Cina merasa

penggunaan papan yang berisi kotak-kotak berupa matriks memudahkan mereka dalam

menghitung. Pada abad 19, barulah matriks digunakan oleh matematikawan dari negeri

“barat”. Tiga matematikawan penting yang mengembangkan konsep matriks yaitu

James Sylvester, William Rowan Hamilton dan Arthur Cayley. Sylvester adalah tokoh

yang pertama kali menggunakan istilah “matrix”. Sejak zaman dahulu matriks

digunakan oleh para fisikawan dan astronomer.

Dalam pembelajaran matriks ada beberapa konsep dasar yang harus diperhatikan dan

dipahami oleh siswa, yakni:

1. Menampilkan dan menginterpretasi data dalam bentuk matriks

2. Menjumlahkan dan melakukan operasi pada matriks

3. Memahami perhitungan determinan dan mencari inverse matriks

Beberapa siswa memiliki kesulitan saat melakukan operasi perkalian pada matriks,

karena prosedur yang berbeda dengan perhitungan numerik biasa. Untuk mengajarkan

tentang matriks, siswa harus dapat menggunakan matriks untuk memecahkan masalah,

sehingga mereka tidak menganggap matriks hanya sebatas komputasi saja.

Peta Konsep Topik Matriks pada Kelas X SMA



Matriks

1. Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang

yang diatur menurut baris dan kolom.

2. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam

matriks.

3. Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam

matriks.

4. Jenis-jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks

o Matriks baris, yaitu matriks yang terdiri dari satu baris.

o Matriks kolom, yaitu matriks yang terdiri dari satu kolom.

o Matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak

kolomnya.

o Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

o Matriks identitas, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya

sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0.

o Matriks skalar, yaitu matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya

sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.

o Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang elemen di luar elemen

diagonalnya bernilai nol.

o Matriks segitiga atas, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah

diagonal utamanya bernilai nol.

o Matriks segitiga bawah, yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas

diagonal utamanya bernilai nol.

5. Penjumlahan matriks A + B

6. Pengurangan matriks A -B



7. Perkalian Matriks adalah:

8. Invers Matriks

Inversnya adalah :

CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN


Siswa dapatmemahami operasi pada matriks dan menyelesaikan permasalahan

matematika yang berhubungan dengan matriks.


1.Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran.

2. Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang

3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang operasi pada aljabar. Guru

memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi

prasyarat untuk mempelajari matrikslebih lanjut.(Engagement)

4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan matriks di kehidupan nyata, lalu

guru mengulas sedikit tentang sejarah matriks untuk menarik perhatian siswa dan

meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement)




1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru mematika setiap kelompok siswa memiliki alat peraga matriks.

2. Guru menjelaskan tentang ukuran orde matriks dengan alat peraga yang telah tersedia

3. Siswa menggunakan program pada Microsoft Exceltentang penjumlahan matriks 4. Guru menjelaskan tentang penjumlahan matriks dengan alat peraga yang telah

tersedia 5. Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang pengurangan matriks 6. Guru menjelaskan tentang perkalian matriks dengan alat peraga yang telah

tersedia 7. Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang perkalian matriks



8. Guru menjelaskan tentang transpos matriks dengan alat peraga yang telah tersedia

9. Siswa melakukan program pada Microsoft Excel tentang transpos matriks 10. Siswa mendiskusikan permasalahan tentang matriks di lembar kerja siswa.

Penutup:

1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.

2. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.

3. Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.

LEMBAR KERJA SISWA

Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang matriks:

1. Siapkan alat peraga visualisasi matriks

2. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang penjumlahan matriks dengan

mengisi bagian yang kosong



3. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan tersebut !



4. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang pengurangan matriks dengan





6. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang perkalian matriks dengan





8. Gunakan program pada Microsoft Excel tentang transpos matriks dengan





DESKRIPSI MEDIA PEMBELAJARAN: Program pada Microsoft Excel

untuk MemvisualisasikanOperasi Matriks

Penggunaan media pembelajaran ini bertujuan untuk memvisualisasikan beberapa

operasi matriks, yaitu: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan transpos matriks.

Media pembelajaran ini dapat membantu bagi siswa-siswa yang mempunyai gaya

belajar cenderung visual, sehingga mereka tidak hanya mengingat rumus tapi

melakukan eksplorasi mengenai operasi matriks.

DAFTAR PUSTAKA





PEMBELAJARAN

FUNGSI

http://4.bp.blogspot.com/-1g4sAVW3q_g/UtkaJMQP6hI/AAAAAAAADCM/iiilrqbWNro/s1600/SAM_0231.JPG

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran fungsi, siswa diharapkan mampu:

1. menerapkan konsep fungsi dan menggambarkan grafiknya;

2. mengidentifikasi relasi yang disajikan dalamberbagai bentuk yang merupakan

fungsi.




Melalui pembelajaran materi fungsi, siswa memperoleh pengalaman belajar:

1. menemukan konsep fungsi melaluipemecahan masalah otentik;

2. berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola instalasi sosial kultur;

3. berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep

fungsidalam memecahkan masalah otentik;

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi fungsi dibuat




1. Engagement




2. Exploration





3. Explanation




4. Elaboration


pemahaman mereka.

5. Evaluation







MATERI FUNGSI Konsep fungsi merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang

matematika.Pengertian fungsi dalam matematika berbeda dengan pengertian dalam

kehidupansehari-hari. Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat.

Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716)

digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua

himpunan, sehingga fungsi dapat dikatakan merupakan hal yang istimewa dari suatu

relasi antara dua himpunan. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang dapat

dimodelkan oleh konsep fungsi. Misalnya model pertumbuhan populasi penduduk,

peluruhan radioaktif, penyebaran penyakit, bunga tabungan, dan lain sebagainya. Siswa

diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi dalam menyelesaikan berbagai masalah

terkait dalam mata pelajaran Matematika maupun aplikasinya. Peta konsep dari

topikFungsiyang dibahas pada Mata Pelajaran Matematika di SMA kelas X

direpresentasikan pada bagan berikut ini:



Peta Konsep Topik Fungsi pada Kelas X SMA



Pengertian Relasi dan Fungsi

1. Relasi antara dua himpunan

Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:

B danA ),( B A yxyx , A B disebut hasil kali cartesian antara

himpunan A dan B.

Jika R (A B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi

dapat diartikan sebagai aturan yang mengawankan dua himpunan.

Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:

a. diagram panah;

b. himpunan pasangan berurutan;

c. grafik kartesius

Contoh dari relasi adalah sebagai berikut:

Diketahui himpunan A { 1, 4} dan B { 1, 2}, nyatakan relasi dari A ke B

dengan “dua lebihnya dari” !

Penyelesaian:

Himpunan pasangan berurutan yangb mewakili relasi dari A ke B adalah:

{(1,1), (4,2), (5,3)}

2. Pemetaan atau fungsi

Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang

menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.

Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan

f : x y atau y f(x)

dibaca “f memetakan x ke y ”

y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua

peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).

Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:

a. Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).

b. Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).

c. Himpunan R sebagai daerah hasil (range)

d. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap

anggota A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap



A B

anggota A dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang

punya pasangan lebih dari atau kurang dari satu.

Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f

biasanya dilambangkan dengan Rf.

Contoh:

1) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A {1, 8, 27} ke B {1, 2, 3, 4}

dengan sifat “pangkat tiga dari”

a) Buatlah diagram panahnya

b) Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a)

b) Domain fungsi (Df ) adalah A {1, 8, 27}

Kodomain fungsi adalah B {1, 2, 3, 4}

Range fungsi (Rf ) adalah R {1, 2, 3}

Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang

disebut korespondensi satusatu.

1

2

3

4

1

8

27

A B



Korespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota

A dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B

dengan tepat satu anggota pada A.

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,

misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi

tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil

(). Untuk fungsifungsi pada kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain:

fungsi linier dan fungsi kuadrat.



Siswa dapat mendeskripsikan definisi fungsi dan memahami konsep fungsi melalui

analogi fungsi sebagai suatu mesin yang jika mendapatkan input akan menghasilkan

output tertentu. Selain itu siswa diharapkan mampu menerapkan konsep fungsi linier

dan menggambarkan grafiknyamelalui kegiatan eksperimen mengukur tinggi

tumpukkan kertas.



2.Guru memberikan stimulus kepada siswa dengan menayangkan video tentang konsep

fungsi yang dianalogikan sebagai suatu mesin yang jika diberikan input akan

menghasilkan iui tertentu. Video tersebut berjudul Meat-A-Morphosis An

Introduction to Functions dapat diunduh melalui

linkhttp://www.youtube.com/watch?v=VUTXsPFx-qQ. Siswa diharapkan fokus


3. Guru menanyakan pendapat siswa mengenai video yang telah ditonton bersama-

sama. Beberapa siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide dan pendapat

mengenai video tersebut. Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan

menyampaikan konsep fungsi dengan mengaitkannya terhadap analogi mesin yang

ditayangkan pada video.(Explanation)




1. Guru mengondisikan siswa untuk duduk secara berpasangan dan membagikan 10

buah gelas, kertas kotak-kotak dan lembar kerja (LK) kepada pasangan siswa. Siswa

menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan eksperimen“Mengenal

Fungsi”. Sebelum memulai eksperimen, siswa mengamati penjelasan guru

mengenai kegiatan eksperimen yang akan dilakukan. (Engagement)

http://www.youtube.com/watch?v=VUTXsPFx-qQ



2. Setiap pasangan siswa mulai melakukan eksperimen dengan menyusun gelas-gelas

secara bertumpuk, mengukur tinggi tumpukkan gelas, dan mencatat hasil

pengukuran. (Exploration)

3. Siswa diminta menentukan tinggi tumpukkan 10 buah gelas tanpa pengukuran

secara langsung. Siswa diharapkan mampu menggunakan informasi-informasi yang

diperoleh sebelumnya untuk menjawab pertanyaan guru. (Explanation)

4. Setelah siswa berhasil menentukantinggi tumpukkan 10 buah gelas, siswa

diperbolehkan melakukan eksplorasi lebih lanjut dengan menambahkan jumlah

gelas dan mengukur kembali tinggi tumpukkan gelas. Data hasil pengukuran tinggi

tumpukkan gelas dituliskan pada LK yang diberikan guru dalam bentuk tabel. Siswa

juga membuat grafik yang menggambarkan data hasil eksperimen yang telah

dilakukan.(Exploration&Explanation)

5. Selanjutnya, guru membimbing siswa mengaitkan hasil eksperimen dengan konsep

fungsi. Hal tersebut dilakukan dengan meminta siswa menggambar diagram garis

pada kertas kotak-kotak dengan menggunakan data yang dihasilkan pada kegiatan

eksperimen. Siswa juga diajak memeriksa gambar yang mereka buat dengan

menggunakansoftware Geogebra atau media pembelajaran lainnya.(Explanation&

Elaboration)


diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudianguru memberikan

pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan fungsi untuk

menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih

ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.

(Elaboration and Evaluation)

Penutup (5 menit):


fungsi.

2. Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA

Eksperimen “Mengenal Fungsi”

9. Susunlah lima buah gelas yang sama ukurannya sedemikian sehingga seperti

pada gambar berikut ini:

Gambar 1. Tumpukkan lima buah gelas

10. Tentukan tinggi keseluruhan tumpukkan kelima buah gelas tersebut!

11. Tambahkan 2 buah gelas pada tumpukkan gelas tersebut, kemudian tentukan

tinggi keseluruhan tumpukkan gelas yang baru!

12. Tentukan tinggi tumpukkan 10 buah gelas berdasarkan kedua percobaan yang

telah anda lakukan! Jelaskan jawaban anda!



13. Isilah tabel berikut ini sesuai dengan hasil percobaan anda!

Tabel 1. Data hasil percobaan

Banyaknya

gelas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tinggi

tumpukkan

gelas

14. Gambarlah grafik yang mewakili data pada tabel! Gunakan kertas kotak-kotak

yang telah disediakan, kemudian apabila memungkinkan gunakan juga software

Geogebrauntuk menggambar grafik data hasil eksperimen.

15. Misalkan tinggi setiap gelas dinyatakan dengan t cm dan banyaknya gelas

dinyatakan dengan g, Nyatakan hubungan antara tinggi tumpukan dan

banyaknya gelas yang ditumpukkan dengan menggunakan permisalan tersebut!

16. Diskusikan hasil yang anda dapatkan dengan anggota kelompok, kemudian

tuliskan kesimpulan dari temuan yang anda dapatkan pada poin 1-6!




Topik pembelajaran : Relasi dan Fungsi

Sub Topik : Fungsi

Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep fungsi linier dan menggambarkan grafiknya.

Eksperimen “Mengenal Fungsi” bertujuan untuk mengenalkan kepada siswa konsep

fungsi linier melalui kegiatan mengukur tinggi dari tumpukkan gelas. Siswa diharapkan

dapat memahami bahwa perubahan banyaknya gelas berelasi langsung dengan

perubahan tinggi tumpukan. Siswa juga digiring untuk mendefinisikan suatu fungsi dari

percobaan mengukur tumpukkan gelas. Hal ini dilakukan dengan memberi petunjuk

kepada siswa untuk memisalkan t sebagai tinggi tumpukkan gelas dalam centimeter

dan menyatakan banyaknya gelas dengan g.Kemudian guru dapat meminta siswa

menyatakan hubungan antara tinggi tumpukkan gelas dengan banyaknya gelas yang

ditumpuk. Setelah itu diharapkan siswa dapat memahami bahwa tinggi tumpukkan

“merupakan fungsi” banyaknya gelas.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen “Mengenal Fungsi”

adalah sebagaiberikut:

10 buah gelas plastik dengan ukuran dan bentuk yang sama.

Mistar

Pena

Kertas kotak-kotak

Lembar Kerja Siswa

LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Siswa secara berpasangan diminta melakukan eksperimen “Mengenal Fungsi” dengan

menggunakan tumpukkan beberapa gelas dengan ukuran dan bentuk yang sama. Salah

satu alternatif langkah-langkah yang dapat dilakukan siswa dalam eksperimen ini

adalah sebagai berikut:

1. Susun 3-5 buah gelas secara bertumpuk.

2. Ukur tinggi tumpukkan gelas dengan menggunakan mistar.

3. Tambahlah jumlah gelas pada tumpukkan gelas awal. Kemudian ukur kembali

tinggi tumpukkan gelas seperti pada langkah kedua.



4. Catat data pengukuran tinggi tumpukkan pada tabel berikut ini:

Banyaknya

gelas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tinggi

tumpukkan

gelas

5. Gambarlah grafik sesuai dengan data pada tabel hasil percobaan dengan

menggunakan kertas kotak-kotak atau software Geogebra (www.geogebra.org)

6. Selanjutnya, tentukan fungsi yang menyatakan hubungan antara tinggi

tumpukan dan banyak gelas yang ditumpuk.

DAFTAR PUSTAKA





http://www.ixl.com/math/



http://www.ixl.com/math/



Pembelajaran Barisan dan Deret

Kompetensi Inti:







memprediksi pola barisan dan deret aritmetikadan geometri atau barisan lainnya melaluipengamatan dan memberikan alasannya;

menyajikan hasil menemukan pola barisan danderet dan penerapannya dalam penyelesaianmasalah sederhana.



Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi barisan dan deret, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

menemukan konsep serta pola barisan danderet melalui pemecahan masalah otentik;

berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola interaksi sosial kultur; berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan

mengaplikasikankonsep serta pola barisan dan deret dalammemecahkan masalah otentik.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran barisan dan deret dibuat

berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:









MATERI BARISAN DAN DERET Menurut Buku Matematika kelas X Kurikulum 2013, materi barisan dan deret

tergambar dalam diagram berikut:

Engagement

Exploration


Evaluation



Barisan dan Deret

1. Barisan dan Deret Aritmatika

a. Bentuk umum barisan :

b. Beda (selisih) = b

c. Suku ke-n (𝑈𝑛)

d. Jumlah n suku pertama (𝑆𝑛)

e. Hubungan suku pertama (𝑎), suku tengah (𝑈𝑡), dan suku ke-n (𝑈𝑛)

f. Sisipan

2. Barisan dan Deret Geometri

a. Bentuk umum barisan :

b. Rasio (perbandingan) = r

c. Suku ke-n (𝑈𝑛)



d. Jumlah n suku pertama (𝑆𝑛)

e. Hubungan suku pertama 𝑎 , suku tengah (𝑈𝑡), dan suku ke-n (𝑈𝑛)

f. Sisipan

3. Deret Geometri Tak Hingga

a. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit jumlah untuk 𝑛 → ∞ dapat ditentukan.

Jumlah sampai tak hingga :

b. Divergen (semakin menyebar/membesar), apabila limit jumlah 𝑛 → ∞ tidak dapat

ditentukan.

Jumlah sampai tak hingga :



CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN (problem solving)


Siswa dapatmenemukan pola dari permasalahan yang disajikan


1. Guru mengucapkan salam kepada siswa dan membuka sesi pembelajaran


3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan dari guru.Guru memberikan pertanyan

tersebut untuk menstimulus ingatan dan mengetahui pemahaman siswa tentang

materi prasyarat untuk mempelajari barisan dan deretlebih lanjut.(Engagement)

4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan barisan dan deret dalam kehidupan

nyata, kemudianmengulas sedikit tentang sejarah barisan dan deret untuk menarik

perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari

matematika.(Engagement)




1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga yang diperlukan.

2. Dalam kelompoknya siswa memainkan menara hanoi secara bergantian dan menuliskan hasil yang diperoleh pada lembar kerja yang disediakan.

3. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan menara hanoi yang telah dilakukan.

4. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan. 5. Dalam kelompoknya siswa memainkan loncat katak secara bergantian dan

menuliskan hasilnya pada lembar kerja yang disediakan 6. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan loncat katak yang telah

dilakukan. 7. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan. 8. Dalam kelompoknya siswa memainkan permainan pola bilangan ganjil secara

bergantian dan menuliskan hasilnya pada lembar kerja yang disediakan 9. Siswa berdiskusi menentukan pola dari permainan pola bilangan ganjil yang telah

dilakukan. 10. Guru menjelaskan pola bilangan ganjil tersebut dengan alat peraga yang telah

disediakan



11. Siswa dan guru menyimpulkan kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan.

Penutup:

1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan





LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang statistika:

1. Lakukan percobaan menara hanoi, dan tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah

ini:

Jumlah cakram Jumlah langkah minimun 1 2 3 4 ... ... n Buatlah polanya

...............

2. Lakukan percobaan loncat katak dan tuliskan hasilnya dalam tabel di bawah ini:

Banyaknya pasang katak

1 2 3 4 ... n Buatlah polanya

Banyaknya loncatan

Banyaknya geseran

Total perpindahan

3. Lakukanlah permainan pola bilangan ganjil dan isilah tabel di bawah ini

Penjumlahan kuadrat Hasil 12 12 + 22 12 + 22 + 32 .... Tentukanlah pola yang dihasilkan



Perhatikan alat peraga yang telah disediakan:

Coba pahami alat peraga tersebut dan koneksikan pemahaman kalian!



DESKRIPSI ALAT PERAGA: Menara Hanoi

Menara hanoi adalah alat peraga permainan matematika yang terkenal dan siswa

memiliki tantangan untuk menyelesaikan menara hanoi. Menara hanoi terdiri dari

cakram-cakran dengan urutan besar cakram dari yang terbesar ke kecil. Cakram yang

terbesar diletakkan di paling bawah dan yang terkecil diletakkan di paling atas. Tujuan

dari permainan ini adalah memindahkan seluruh cakram dari satu tiang ke tiang yang

lain dengan susunan seperti semula dan siswa mencari langkah yang paling minimum.

Proses pemindahan cakram dibantu oleh satu tiang lain.

Tujuan penggunaan menara hanoi adalah menemukan pola bilangan jika yang

dipindahkan sebanyak n cakram.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk pembuatan Menara Hanoiadalah sebagaiberikut:

1. Papan triplek

2. Gergaji

3. Amplas

4. Pisau

5. Penggaris

6. Alat tulis

7. Jangka

8. Lembar Kerja Siswa



LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga Menara

Hanoi:

1. Siapkan papan triplek berukuran sekitar 20 x 60 cm

2. Buatlah sketsa bangun persegi pada papan triplek

3. Buatlah 3 potong tongkat berbentuk tiang dan lekatkan di atas papan triplek

4. Buatlah 4 cakram dengan diameter yang berbeda-beda (susunan cakram

berbentuk kerucut dengan cakram terkecil berada paling atas)

5. Haluskan dengan amplas

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA 1. Pindahkan 1 cakram setiap langkah

2. Cakram yang lebih besar tidak boleh berada di atas cakram yang lebih kecil.

3. Siswa dapat memulai dengan menggunakan 1 cakram, 2 cakram sampai 4

cakram

4. Lalu siswa menuliskan hasilnya pada tabel yang disediakan guru

5. Guru meminta siswa untuk membuat pola bilangan yang ada.



DESKRIPSI ALAT PERAGA: Loncat katak

Alat peraga loncat katak dapat dikategorikan sebagai alat peraga permainan

matematika, kegunaannya adalah untuk mengajak siswa menemukan pola bilangan dan

menentukan suku ke-n dari barisan bilangan dengan cara bereksplorasi.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk pembuatan Loncat Katakadalah sebagaiberikut:

1. Gergaji

2. Penggaris

3. Amplas

4. Pensil gambar

5. Pasah

6. Pisau ukir

7. Kuas cat (besar dan kecil)

8. Pahat

9. Kayu bulat jenis dolkes (1 m, diameter ±10 𝑐𝑚

10. Kayu balok ( 100 cm x 8 cm x 5 cm)

11. Cat merah 1 kaleng kecil

12. Cat hijau 1 kaleng kecil

13. Cat cokelat 1 kaleng kecil

14. Vernis 1 kaleng kecil

LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga Loncat

Katak:

1. Buatlah desain gambar sesuai dengan rencana

2. Siapkan semua alat dan bahan yang diperlukan

3. Potong kayu dolken menjadi 10 bagian yang sama panjang

4. Ukirlah kayu dolken menjadi bentuk katak dengan diameter alas 4 cm

5. Amplaslah pasak yang berbentuk katak

6. Catlah pasak yang berbentuk katak dengan warna yang berberda (5 merah, 5 hijau)

7. Membuat 11 lubang pada balok kayu dengan diameter 4 c, dengan kedalaman 2 cm, dan

jarak antar lubang 4 cm

8. Amplaslah balok kayu

9. Catlah balok kayu dengan warna coklat

10. Pasangkan pasak yang berbentuk katak pada balok kayu



11. Alat peraga loncat katak siap digunakan

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Aturan permainan loncat katak ini adalah sebagai berikut:

1. Pindahkan dua kelompok katak, sehingga dua kelompok katak tersebut

bergantian tempat, kedua kelompok katak dipisahkan dengan satu lubang

sebagai pembantu langkah.

2. Setiap kali melangkah hanya boleh mengangkat satu katak.

3. Dalam melakukan perpindahan, hanya boleh melompati satu katak atau

menggeser ke lubang terdekat.

4. Lakukan langkah minimum sampai kedua kelompok katak bertukar tempat

DAFTAR PUSTAKA



http://putrahardiansyah.blogspot.com/2013/05/permainan-matematika-loncat-katak.html

http://merinalestarii.wordpress.com/2013/06/06/permainan-menara-hanoi/

http://www.mtm.org.sg/wp-content/resources/doc/ringkasanmateri.matematika.pdf

http://putrahardiansyah.blogspot.com/2013/05/permainan-matematika-loncat-katak.html

http://merinalestarii.wordpress.com/2013/06/06/permainan-menara-hanoi/




Pembelajaran FUNGSI KUADRAT

http://2.bp.blogspot.com/-iOw_1yyGvQk/TqEkvEnIStI/AAAAAAAABlE/oIzOS3DfJzQ/s1600/mtk13.jpg

Kompetensi Inti:







memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilihstrategi dan menerapkan untuk menyelesaikanpersamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya;

menganalisis persamaan kuadrat dari data terkaitmasalah nyata dan menentukan model matematikaberupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat;

http://2.bp.blogspot.com/-iOw_1yyGvQk/TqEkvEnIStI/AAAAAAAABlE/oIzOS3DfJzQ/s1600/mtk13.jpg



Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

merancang model matematika dari sebuahpermasalahan otentik yang berkaitan denganpersamaan dan fungsi kuadrat;

menyelesaikan model matematika untuk memperolehsolusi permasalahan yang diberikan;

menentukan akar-akar persamaan kuadrat denganpemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, danrumus abc

menentukan jumlah dan hasil kali akar-akarpersamaan kuadrat; Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran fungsi kuadrat dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:









MATERI FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRAT Dalam ilmu matematika, konsep fungsi kuadrat adalah konsep yang penting dan

digunakan berulang-ulang pada materi- materi matematika yang lain.

Kesalahan yang biasa terjadi pada siswa dalam mempelajari persamaan dan fungsi

kuadrat adalah:

1. Siswa tidak memiliki pemahaman konsep mengenai persamaan kuadrat, siswa

hanya menganggap proses mencari akar adalah sesuatu yang prosedural saja.

Hal ini terjadi karena siswa tidak melewati fase enaktif. Fase enaktif adalah fase

dimana siswa disediakan alat yang nyata bukan hanya sekadar ide abstrak saja.

2. Beberapa siswa masih kesulitan mengenai penulisan bentuk persamaan kuadrat,

contoh kesalahan siswa adalah:

( a + b)2 = a2 + b2

x + x2 = x3

-x – x = x2

3. Beberapa siswa bahkan guru menuliskan notasi yang salah untuk fungsi,

contohnya y = x2 disebut sebagai fungsi, padahal bentuk tersebut adalah bentuk

persamaan bukan fungsi. y = x2 dapat disebut persamaan yang membentuk

fungsi atau persamaan dari sebuah fungsi.

Engagement

Exploration


Evaluation



Peta Konsep Topik Fungsi dan Persamaan Kuadrat pada Kelas X SMA



Fungsi dan Persamaan Kuadrat

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan

A dengan anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu fungsi dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu

anggota B.

Fungsi 𝑓 dari himpunan A ke B ditulis :

(dibaca : fungsi 𝑓 memetakan A ke B)

Pada fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 berlaku :

1. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari 𝑓, ditulis 𝐷𝑓 .

2. Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dari 𝑓.

3. Himpunan dari semua peta 𝑓 di B disebut daerah hasil (range) dari fungsi

tersebut, ditulis 𝑅𝑓 .

Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat :

Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan :

Memfaktorkan

Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Menggunakan rumus abc

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :

1. Jumlah akr-akar persamaan kuadrat :

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵



Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat :





Siswa dapatmemahami pemfaktoran fungsi kuadrat melalui alat peraga algebra tiles.




3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang persamaan fungsi kuadrat.Guru

memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi

prasyarat untuk mempelajari statistika lebih lanjut.(Engagement)

4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan mempelajari fungsi kuadrat dalam

kehidupan nyata, lalu guru mengulas sedikit tentang sejarah fungsi kuadrat untuk

menarik perhatian siswa dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari

matematika.(Engagement)




1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru mematikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga algebra tiles

2. Siswa melakukan eksplorasi melalui alat peraga algebra tiles untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat secara individu

3. Siswa berdiskusi dengan kelompoknya mengenai kegiatan eksplorasi yang telah dilakukan

4. Siswa melakukan eksplorasi dengan mengubah hasil pemfaktoran menjadi persamaan kuadrat melalui alat peraga algebra tiles

Penutup:

1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.





LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan algebra tiles:

1. Persiapkan alat peraga algebra tiles

2. Lakukan percobaan sesuai dengan mencari nilai pemfaktoran dari x2 + 4 x + 3

dengan menggunakan algebra tiles

3. Ambillah 1 buah persegi yang panjang sisinya x satuan, 4 buah persegi panjang

berukuran panjang x satuan dan lebar 1 satuan, dan 3 buah persegi yang panjang

sisinya 1 satuan

4. Bentuklah persegi panjang yang utuh dari persegi dan persegi panjang yang ada

5. Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian

lakukan!



DESKRIPSI ALAT PERAGA : ALGEBRA TILES

http://www.assessmentservices-edu.com/images/products/detail/Algebra%20Tiles.jpg

Algebra tiles adalah alat peraga untuk membantu siswa memahami cara memfaktorkan

persamaan kuadrat. Algebra tiles menggabungkan konsep kekekalan luas dan

persamaan kuadrat.

Alat peraga ini dapat dipakai sebagai awal dalam mengenalkan prosedur pemfaktoran

bentuk kuadrat, setelah siswa melalui tahapan pembelajaran melalui alat peraga yang

bisa di manipulasi dengan hands-on activity, siswa melanjutkan pada tahapan

selanjutnya yaitu proses abstrak.

Kekurangan alat peraga ini adalah, sulit digunakan untuk persamaan kuadrat yang

mempunyai koefisien negatif, hal ini terjadi karena panjang sisi dan luas tidak mungkin

bernilai negatif.

ALAT DAN BAHAN

Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat algebra tiles adalah sebagai berikut:

1. Karton tebal

2. Gunting

3. Kertas warna

4. Spidol hitam

http://www.assessmentservices-edu.com/images/products/detail/Algebra%20Tiles.jpg



LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga algebra

tiles:

1. Buatlah persegi dengan panjang sisi 20 cm sebanyak 5 buah

2. Beri tulisan “ x “ di setiap panjang sisinya, untuk menunjukkan bahwa panjang

sisinya adalah x satuan.

3. Buatlah persegi dengan panjang sisi 5 cm sebanyak 15 buah

4. Beri tulisan “ 1 “ di setiap panjang sisinya, untuk menunjukan bahwa panjang

sisinya adalah 1 satuan.

5. Buatlah persegi panjang dengan ukuran 20 x 5 cm sebanyak 10 buah

6. Beri tulisan “ x “ di setiap panjangnya dan “1” di setiap sisinya, untuk

menunjukan bahwa panjangnya adalah x satuan, lebarnya 1 satuan.

7. Lapisi semua persegi dan persegi panjang yang telah dihasilkan dengan kertas

warna warni.

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA

Pendekatan untuk menggunakan alat peraga algebra tiles adalah sebagai berikut:

Berangkat dari persamaan kuadrat dan kemudian dicari betuk pemfaktorannya. Siswa

diberikan persamaan kuadrat terlebih dahulu, contoh: x2 + 4 x + 3.

Lalu siswa mengambil 1 buah persegi yang panjang sisinya x satuan, 4 buah persegi

panjang berukuran panjang x satuan dan lebar 1 satuan, dan 3 buah persegi yang

panjang sisinya 1 satuan.

Dengan persegi dan persegi panjang yang ada siswa diminta untuk membentuk persegi

panjang yang utuh.Dari persegi yang utuh tersebut dapat dilihat bahwa persegi panjang

yang terbentuk berukuran panjang (x + 3) satuan dan lebar (x+1) satuan, kesimpulan

yang diperoleh adalah hasil pemfaktoran x2 + 4 x + 3 = ( x + 3 ) ( x + 1)

x

x x

1

1

1



DAFTAR PUSTAKA




http://www.youtube.com/watch?v=l00CeulzdZo


http://www.youtube.com/watch?v=l00CeulzdZo



Pembelajaran TRIGONOMETRI

http://2.bp.blogspot.com/-_VsduVCdy30/TzUT5133VoI/AAAAAAAAATY/P0nEQ-Sii-E/s1600/IMG_0311.JPG

Kompetensi Inti:







1. Memahami dan menentukan hubunganperbandingan trigonometri dari sudut di setiap kuadran

2. memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika.

http://2.bp.blogspot.com/-_VsduVCdy30/TzUT5133VoI/AAAAAAAAATY/P0nEQ-Sii-E/s1600/IMG_0311.JPG



Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi trigonometri, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

1. menemukan konsep perbandingan trigonometrimelalui pemecahan masalah otentik

2. berkolaborasi memecahkan masalah aktualdengan pola interaksi sosial kultur 3. berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan kreatif)dalam menyelidiki dan

mengaplikasikankonsep trigonometri dalam memecahkanmasalah otentik. Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:









MATERI TRIGONOMETRI

Trigonometri adalah cabang dari ilmu matematika yang mencakup konsep

perbandingan panjang sisi pada segitiga dan fungsi trigonometri. Jika kita melihat lagi

sejarahnya, trigonometri dikembangkan untuk mengukur ketinggian dari objek seperti

pohon, gedung, dll. Selain itu trigonometri juga dikembangkan untuk mengukur jarak

contohnya adalah lebar sungai dan juga pada bidang astronomi. Apikasi-aplikasi

trigonometri tersebut dapat digunakan sebagai motivasi bagi siswa untuk mempelajari

trigonometri.

Kata “trigonometri” berasal dari Yunani, “tri” artinya tiga, “gonon” yang artinya sudut

dan “metron” yang artinya pengukuran. Oleh karena itu, sebagian besar konsep dalam

trigonometri berhubungan dengan konsep segitiga, baik itu panjang sisinya maupun

sudut-sudut dalam segitiga. Dahulu, perhitungan trigonometri menggunakan tabel

trigonometri, tetapi seiring dengan perkembangan zaman, perhitungan trigonometri

dapat dibantu dengan kalkulator scientific atau dengan software komputer. Tabel

trigonometri dibuat oleh para ahli matematika yang berasal dari Yunani untuk

menyelesaikan permasalahan pada bidang astronomi. Kemudian, tabel ini

dikembangkan oleh ahli matematika muslim sebagai alat untuk menentukan waktu

ibadah di berbagai tempat yang berbeda, contohnya adalah perhitungan waktu shalat

dan kalender islam (hijriah). Sekilas sejarah tentang trigonometri dapat disampaikan

pada siswa, untuk memotivasi mereka untuk mempelajari trigonometri.

Engagement

Exploration

ExplanationElabotaion

Evaluation



Peta Konsep Topik Trigonometri pada Kelas X SMA



Perbandingan Trigonometri

Terdapat 6 perbandingan trigonometri yang digunakan, yaitu: sinus, cosinus, tangen,

cotangen, secant dan cosecant. Konsep dasar perbandingan-perbandingan tersebut

menggunakan prinsip segitiga siku-siku. Pemahaman siswa tentang segitiga siku-siku

menjadi materi prasyarat untuk mempelajari trigonometri. Guru sebaiknya memastikan

pemahaman siswa tentang teorema pythagoras pada awal pembelajaran trigonometri.

Definisi dari perbandingan-perbandingan tersebut adalah sebagai berikut:

Diambil dari buku matematika kelas X Kurikulum 2013.



Ada dua satuan sudut yang dipakai dalam konsep trigonometri yaitu radian dan derajat. Satuan penuh pada lingkaran bernilai 360o , artinya jika lingkaran dibagi 360 bagian maka sudut yang dibentuk adalah 10. Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat α yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkarannya.

Jika besar sudut AOB = α dan panjang tali busur AB = AO = OB

Maka α = 𝐴𝐵

𝑟= 1

Lebih lanjut, hubungan satuan derajat dengan satuan radian, bahwa 1 putaran penuh sama dengan 2π rad. Seperti dinyatakan dalam definisi 8.2 berikut (buku matematika

kelas X Kurikulum 2013) :



CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan pada siswa yang sudah memiliki

pemahaman tentang cara mencari perbandingan sinus, cosinus dan tangen sebuah sudut

dalam segitiga siku-siku dan sudut inklinasi.


Siswa dapat mengaplikasikan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dalam

permasalahan realistik.



2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil berisi 3 orang

3. Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang konsep pythagoraspada segitiga

siku-siku, cara mencari perbandingan sinus, cosinus dan tangen pada segitiga siku-

siku dan sudut inklinasi. Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus

ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari trigonometri lebih

lanjut.(Engagement)

4. Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan trigonometri di kehidupan nyata, lalu

guru mengulas sedikit tentang sejarah trigonometri untuk menarik perhatian siswa

dan meningkatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika.(Engagement)




1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki klinometer dan lembar kerja sebagai panduan penggunaan klinometer.

2. Guru memberikan penjelasan bahwa trigonometri dapat digunakan untuk mengukur tinggi suatu objek.

3. Dalam kelompoknya, siswa menuju lapangan sekolah dan menentukan objek yang akan ditentukan estimasi tingginya, contoh: tiang bendera, gedung lantai 3, pohon, tiang listrik, atau yang lainnya.(Exploration)

4. Satu siswa menjadi pembidik, satu siswa bertugas menjadi observer sudut dan satu orang siswa yang lain bertugas sebagai pencatat hasil eksperimen. (Exploration)

5. Siswa yang bertugas menjadi pembidik membidikan klinometer pada objek yang sudah ditentukan, harus diperhatikan bahwa siswa tersebut tepat membidik pada ujung teratas objek.(Exploration)

6. Siswa lain yang bertugas sebagai observer sudut melihat besar sudut yang ditunjukan bandul pada busur dan dicatat pada lembar kerja siswa oleh siswa yang bertugas sebagai pencatat.(Exploration)

7. Sebelum melakukan perhitungan, lakukan pengukuran tinggi badan (dari ujung kaki ke mata) dari siswa yang bertugas sebagai pembidik klinometer dan jarak antar pembidik dan objek.(Exploration)

8. Setelah diketahui tinggi badan pembidik, besar sudut yang tertera pada klinometer siswa berdiskusi untuk menentukan tinggi objek. Dalam tahapan ini siswa harus mengoneksikan pemahaman mereka tentang cara mencari



perbandingan tangen sebuah sudut dan pemahaman mereka tentang sudut inklinasi, siswa diperbolehkan memakai alat bantu hitung.(Exploration)

9. Siswa menuliskan hasil diskusi pada lembar kerja siswa yang telah disediakan. (Explanation)

10. Siswa memilih 2 objek lain yang dapat diukur ketinggiannya, dan mereka bergantian tugas. Sehingga semua siswa dalam setiap kelompok mendapatkan tugas yang berlainan. (Exploration)

11. Siswa yang kesulitan mengerjakan dibantu oleh guru dan siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih tinggi.(Evaluation)

12. Siswa mencari kelompok lain yang memilih objek yang sama untuk menyocokkan hasil ketinggian objek, jika terdapat perbedaan kedua kelompok tersebut maka siswa diminta mendiskusikan pada tahapan mana kemungkinan terjadi kekeliruan dan menuliskan alasannya pada lembar kerja.(Elaboration and Evaluation)

13. Setelah kembali ke kelas, beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan hasil pengerjaan soal dan ditanggapi secara aktif oleh siswa lain.(Explanation and Evaluation)

14. Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.(Elaboration and Evaluation)

15. Secara perorangan, siswa mengerjakan soal tantangan yang telah tersedia di dalam lembar kerja untuk mengukur pemahaman siswa.

Penutup:

1. Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah

mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.





LEMBAR KERJA SISWA

Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan klinometer:

1. Pilih tiga benda yang akan kalian tentukan tingginya.

2. Bekerjalah secara bergantian (observer – pembidik – pencatat)

Pembidik bertugas untuk mebidikan klinometer pada ujung objek.

Observer bertugas untuk mencatat besar sudut inklinasi yang tertera pada

klinometer, mengukur jarak antar pembidik dan objek dan mengukur tinggi

badan Pembidik.

Pencatat bertugas untuk mencatat seluruh hasil kegiatan

3. Tuliskan hasil eksperimen kalian pada tabel di bawah ini:

No. Nama Pembidik

Tinggi Pembidik

Nama objek

Sudut inklinasi

Jarak antara Pembidik dan objek

Estimasi tinggi objek

4. Untuk menghitung estimasi tinggi objek, ingat lagi cara mencari tangen. Untuk

mempermudah gambarkan sketsa pembidik dan gedungdalam sebuah segitiga

siku-siku!

5. Tuliskan perbandingan tangen yang dapat dibuat berdasarkan segitiga di atas!

6. Bandingkan hasil yang sudah kalian peroleh dengan kelompok lain yang

mengukur ketinggian objek yang sama. Apakah sama atau berbeda? Jika berbeda

coba analisis mengapa hasilnya berbeda?



7. Menurut pendapat kalian faktor apa yang dapat menyebabkan kesalahan dalam

pengukuran?

8. Tuliskan kesimpulan yang diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!

9. Setelah kalian memahami kegiatan di atas, coba kerjakan soal tantangan berikut

ini:




http://resource.rockyview.ab.ca/t4t/math10c/images/m1/m10c_m1_113_opt.jpeg

Alat peraga ini dapat digunakan sebagai aplikasi konsep trigonometri. Alat ini

berfungsi untuk mengetahui estimasi tinggi sebuah gedung atau tiang. Konsep yang

digunakan saat melakukan percobaan dengan menggunakan alat peraga adalah konsep

perbandingan tangen. Melalui percobaan menggunakan klinometer, siswa diharapkan

dapat memahami aplikasi perbandingan trigonometri di kehidupan nyata. Tinggi objek

yang dihasilkan merupakan estimasi dan bukan merupakan nilai pasti, karena ada

beberapa kesalahan yang mungkin terjadi. Diantaranya adalah alat yang tidak bisa

menentukan tinggi gedung dengan tingkat presisi yang tinggi, kesalahan membaca

angka sudut pada busur atau kesalahan menghitung.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat klinometer adalah sebagai berikut:

Busur kayu besar

Pipa PVC

Bandul

Tali benang kasur

Lem pipa

Paku payung

Pita meteran

http://resource.rockyview.ab.ca/t4t/math10c/images/m1/m10c_m1_113_opt.jpeg



LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga

klinometer :

1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan

2. Ikat bandul pada benang kasur, panjang benang kasur disesuaikan dengan jari-jari

busur

3. Tempelkan ujung benang pada ujung busur, tepat di sudut 900.

4. Tempelkan pipa PVC di bagian diameter busur menggunakan lem pipa PVC.

5. Klinometer siap untuk dipakai


Alat peraga klinometer digunakan untuk mengukur estimasi tinggi suatu pohon,

tiang atau pohon. Syarat benda yang dapat diukur oleh klinometer adalah benda yang

berdiri tegak dan tidak miring. Alat peraga ini menggunakan konsep perbandingan

tangen.

Jika diketahui sebuah segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di A, perbandingan

tangen dari segitiga siku-siku tersebut adalah panjang sisi BC dibagi dengan panjang sisi

AB. Perhatikan gambar berikut:

tan𝛼 = 𝐴𝐶

𝐴𝐵

Dalam percobaan menggunakan klinometer, hal pertama yang harus dilakukan

adalah mencari gedung atau objek lain yang akan ditentukan estimasi tingginya. Lalu

siswa harus mengetahui tinggi badannya. Tinggi badan yang digunakan adalah jarak

C

A B

α



antara telapak kaki ke mata. Siswa juga harus mengukur jarak antara dirinya dan

gedung dengan menggunakan pita meteran.

Siswa meneropong titik puncak objek melalui pipa pada klinometer. Selanjutnya

siswa yang lain menandai angka yang sejajar dengan bandul pada busur dengan

menggunakan spidol. Perhitungan yang diperlukan adalah sebagai berikut:

BD = BC + CD

Cara mencari BC dengan menggunakan perbandingan tangen

tan𝛼 = 𝐶𝐷

𝐴𝐵

Jadi, CD = AB . tan α

Dengan:

𝛼 = sudut yang tertera pada klinometer

AB = jarak antara siswa dan gedung

BD = tinggi gedung

BC = tinggi pembidik

DAFTAR PUSTAKA



A B

C

D

α



PEMBELAJARAN GEOMETRI

sumber:http://www.downloadpsds.com/wp-content/uploads/2013/09/Orange-transparent-cube-icon-psd.jpg

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran geometri, siswa diharapkan mampu:

1. Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui

demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.

2. Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam

menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik,

garis dan bidang.

http://www.downloadpsds.com/wp-content/uploads/2013/09/Orange-transparent-cube-icon-psd.jpg




Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar:

menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik;

berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur;

berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki danmengaplikasikan konsep dan

prinsip-prinsipbangun datar dan ruang dalam geometri untukmemecahkan

masalah otentik.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi geometri dibuat




1. Engagement




2. Exploration





3. Explanation




9. Elaboration


pemahaman mereka.

10. Evaluation







MATERI GEOMETRI Dalam geometri dipelajari hubungan antara titik, garis, bidang dan bangun ruang, dan

berbagaihal yang muncul akibat adanya hubungan tersebut, misalnya sudut dan jarak.

Hal lain yang juga sangatpenting ialah bahwa geometri merupakan suatu sistem, yang

dengan penalaran logis dari fakta atau hal-hal yang diterima sebagai kebenaran

ditemukan sifat-sifat baru yang semakin berkembang (Travers, 1987:2). Namun

perkembangan pendidikan matematika, khususnya kurikulum geometri yang

diterapkan di Indonesia dalam beberapa dasawarsa terakhir, kurang

mengembangkananalisis keruangan.Hal ini menjadi salah satu faktor penyebab

kemampuan keruangan para siswa umumnya lemah. Pengembangan kemampuan

analisis keruangan perlu diusahakan bagi para siswa khususnya di tingkat SMA.Hal ini

dapat direalisasikan dengan memberikan suatu arah pada pemahaman melalui

penalaran mengenai masalah keruangan. dan bukan sekedar hafalan teknis-praktis.

Lebih lanjut, topik geometri sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata

Pelajaran Matematika di SMA kelas X mencakup beberapa konsep dasar yang

direpresentasikan pada bagan berikut ini:



Peta Konsep Topik Geometri pada Kelas X SMA

A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Kedudukan titik terhadap garis

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka :

a. Titik T teletak pada garis g, atau garis g melalui titik T

b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T

2. Kedudukan titik terhadap bidang

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :

a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T

b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T

3. Kedudukan garis terhadap garis

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :

a. Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi :

garis g dan h berhimpit, g = h

garis g dan h berpotongan pada sebuah titik

garis g dan h sejajar

b. Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h

bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.



4. Kedudukan garis terhadap bidang

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :

a. Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g.

b. Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H

c. Garis g sejajar dengan bidang H

5. Kedudukan bidang terhadap bidang

Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka :

a. Bidang V dan bidang H berhimpit

b. Bidang V dan bidang H sejajar

c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis

lurus yang disebut garis potong atau garis persekutuan.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

a) Titik yang berada pada garis DF

b) Titik yang berada diluar bidang BCHE

c) Garis yang sejajar dengan CF

d) Garis yang berpotongan dengan BE

e) Garis yang bersilangan dengan FG

f) Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab :

a) Titik D dan F

b) Titik A, D, F, G

c) DE

d) EA, EF, ED, EH

e) AB, DC, AE, DH

f) AFH

A B

C D

E

G H

F



B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1. Menghitung jarak antara titik dan garis

Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu

titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.

Jarak antara titik A dengan garis g

Adalah AB, karena AB tegak lurus

Dengan garis g

2. Menghitung jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu

titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.

Jarak titik A ke bidang H

Adalah AB, karena garis AB

Tegak lurus dengan bidang H

3. Menghitung jarak antara 2 garis

a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak

b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik

dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar

yang lain.

Jarak antara garis g dan h

Adalah AB, karena AB g dan h

g

A

B

A

B

H

g

h

A

B



c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang

letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.

Jarak antara garis g dan h

adalah AB karena AB tegak

lurus g dan h

4. Menghitung jarak antara garis dan bidang

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik

pada garis tehadap bidang.

Jarak antara garis g dan

Bidang H adalah AB, karena

AB tegak lurus g dan

Bidang H.

5. Jarak antara dua bidang

Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada

salah satu bidang ke bidang yang lain.

Jarak antara bidang G dan H

Adalah AB.

h

g

A

B

H

g

B

A

H

A

B

H

G



Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :

a. Titik A ke H

b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)

c. Titik A ke garis CE

d. Titik A ke bidang BCGF

e. Titik A ke bidang BDHF

f. Titik A ke bidang BDE

g. Garis AE ke garis CG

h. Garis AE ke garis CG

i. Bidang ABCD ke EFGH

Jawab :

a. Jarak titik A ke H = AH

AH = 22 DHAD

= 100100

= 200

= 210 cm

b. Jarak titik A ke P = AP

= ½ AG

= 32

10 cm

c. Jarak A ke CE = AK

Pada segitiga siku-siku CAE

L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

G

A C

G E K

A B

C D

E F

H

10

P

R



63

10

3

210

310.2

1

10.210.2

1

.310.210.210.2

1

AK

AK

AK

AK

d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm

e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)

AR = ½ AC = ½ 210 = 25 cm

f. Jarak titik A ke bidang BDE

Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :

Garis AG berpotongan tegak lurus dengan

Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke

Bidang BDE adalah AT.

ER = 22 AEAR

= 10050

A C

G E

R

T

A B

C D

G H

E F

T

R



= 150

= 65 cm.

L. ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT

½. 10.25 = ½ . AT.65

250 = AT.65

AT = 65

250 = 3

3

10 cm

g. Jarak AE ke CG = AC = 310

h. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm

C. PROYEKSI

1. Proyeksi titik pada bidang

Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai

berikut :

a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H

b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi

titik A pada bidang H adalah B.

1. Proyeksi garis pada bidang

Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua

buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada

bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.

A

B



a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang

itu berupa titik.

b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis

yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan.

Contoh :

Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm.

Hitunglah panjang proyeksi :

a. TB pada bidang ABCD

b. TB pada bidang TAC

a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD

= BO

BO = ½ .AC

= ½ 22 BCAB

= ½ 2525

= ½ 25

= 22

5 cm

b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO

TO = 22 BOTB

= 2

2564

= 2

103

A B

C D

T

O



= 2062

1 cm

D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

1. Sudut antara dua garis berpotongan

Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.

Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah .

2. Sudut antara dua garis bersilangan

Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah

satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud

adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.

Garis g bersilangan dg h

Garis h1 sejajar dengan h

Memotong g

Sudut antara g dan h sama dg

Sudut antara g dan h1

3. Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada

bidang itu.

g

h

A

h

g h1



Garis g menembus bidang H dititik A.

Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1

Sudut antara garis g dengan bidang H

Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1

4. Sudut antara bidang dengan bidang

Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.

Untuk menentukannya sbb :

a. Tentukan garis potong kedua bidang

b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong

kdua bidang

c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang

dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.

d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi

Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H).

Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)

Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :

a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD

b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD

g

g1

H

A

H

G

g

h

(G,H)



Jawab :

a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450

b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH = BH

BD

=

= 3

6

35

25

A B

C D

E F

G H

5 cm




pemahaman tentangkonsepteorema phytagoras, titik, garis, dan bidang pada geometri

bidang datar.


Siswa dapat menentukan jarak antara titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang

melalui kegiatan mengukur ruas garis dengan menggunakan stik lidi dan alat peraga

bangun ruang balok transparan.

Pembukaan (5 menit)


2. Guru menunjukkan alat peraga bangun ruang kubus, balok, dan limas. Guru

menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan mengenai benda-benda di

sekitar kelas yang merupakan contoh dari bangun ruang kubus, balok dan limas.

Siswa diharapkan secara aktif menyampaikan ide mengenai contoh-contoh

bendayang ditanyakan oleh guru. (Engagement)

3. Guru memberikan umpan balik kepada siswa dan menyampaikan kegiatan dan

tujuan pembelajaran yang akan dilaksanakan.(Engagement)


1. Guru mengondisikan siswa untuk membentuk kelompok yang terdiri dari tiga

orang siswa. Guru membagikan bagun ruang kubus atau balok, stik lidi, mistar,

gunting, spidol permanen, dan lembar kerja (LK) kepada setiap kelompok. Siswa

menyiapkan alat tulis yang diperlukan untuk melakukan esperimen melipat

kertas.

2. Setiap kelompok melakukan pengukuran ruas garis- ruas garis sesuai dengan

instruksi pada Lembar Kerja. Pengukuran dilakukan terlebih dahulu secara

manual dengan menggunakan stik lidi yang tersedia. Setiap kelompok kemudian

mencatat hasil pengukuran yang diperoleh dengan menggunakan stik lidi

tersebut. (Exploration)

3. Guru menstimulus siswa untuk membandingkan hasil pengukuran secara

manual dengan perhitungan secara matematis untuk memperoleh panjang ruas

garis yang diminta. Siswa berdiskusi dalam kelompoknya untuk menyelesaikan

perhitungan panjang ruas garis secara matematis.Siswa kemudian

membandingkan hasil perhitungan secara manual dengan perhitungan secara

matematis.Hasil temuan setiap kelompok dituliskan oleh setiap siswa pada LK

masing-masing. Guru membimbing kelompok siswa yang kesulitan pada tahap

ini. (Explanation)

4. Selanjutnya, guru membimbing siswa untuk mengaitkan hasil eksperimen

mereka dengan konsep proyeksi dalam bangun ruang dimensi tiga. Hal tersebut

dilakukan dengan meminta siswa mengeksplorasi kembali bangun ruang

transparan dan stik lidi yang mewakili suatu ruas garis. Siswa kemudian

menyimpulkan konsep proyeksi titik pada garis dan bidang, serta proyeksi garis



pada bidang. Siswa juga diajak melakukan eksplorasi lanjutandengan

menggunakan software pembelajaran dimensi tiga. (Explanation & Elaboration)


diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan. Kemudian guru memberikan

pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan sub topik

jarakuntuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan


dimengerti siswa. (Elaboration and Evaluation)

Penutup (5 menit):


dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA

Eksperimen Dimensi Tiga

1. Perhatikan balok berikut ini:

2. Posisikan balok menyerupai gambar berikut:

3. Lakukan pengukuran terhadap ruas garis AB, BC, dan AE pada balok tersebut!

AB = ... cm (panjang balok)

BC = ... cm (lebar balok )

AE = ... cm (tinggi balok )

4. Tentukan panjang segmen garis AC dan AG pada masing-masing balok dengan

melakukan pengukuran menggunakan potongan stik lidi!



5. Apakah hasil pengukuran yang diperoleh memenuhi persamaan berikut:

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 dan𝐴𝐺2 = 𝐴𝐶2 + 𝐶𝐺2

6. Jelaskan jawaban anda berdasarkan hasil pada nomor 5

7. Tentukan proyeksi titik B pada garis CD dan garis AC!

8. Misalkan P adalah proyeksi titik B pada garis AC. Tentukan jarak titik B ke titik P

dengan melakukan pengukuran menggunakan potongan stik lidi! Bandingkan

hasil pengukuran anda dengan hasil perhitungan menggunakan persamaan

berikut ini:

𝐵𝑃2 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝑃2

9. Tuliskan kesimpulan yang anda peroleh dari hasil pada nomor 8!

10. Tentukan jarak titik B ke bidang ADHE, bidang EFGH, dan bidang CDHG!

( Petunjuk: tentukan terlebih dahulu proyeksi titik B pada masing-masing

bidang, kemudian ukur/ hitung jarak antara titik B dengan titik proyeksinya

pada bidang yang dituju)

11. Buatlah kesimpulan dari hasil eksperimen yang anda peroleh mulai dari nomor 1

sampai dengan nomor 10!




Eksperimen Dimensi Tiga

Topik pembelajaran : Geometri

Sub Topik : Jarak antar titik, garis, dan bidang dalam ruang

dimensi tiga

Kompetensi Dasar : Setelah mengikuti pembelajaran geometri, siswa diharapkan mampu:

1. Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.

2. Menggunakan berbagai prinsip bangun datar

dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah

nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara

titik, garis dan bidang.

Pada eksperimen dengan menggunakan balok transparan dengan menggunakan

stik lidi, siswa diberi kesempatan memahami konsep jarak antara titik dengan

titik, titik dengan garis, dan titik dengan bidang. Hal ini dilakukan dengan

meminta siswa melakukan pengukuran dengan menggunakan stik lidi kemudian

membandingkan hasilnya dengan perhitungan matematis menggunakan konsep

teorema phytagoras. Di akhir kegiatan eksperimen, siswa diharapkan memahami

konsep proyeksi titik ke garis dan bidang, serta menggunakannya dalam

menghitung jarak antara titik dengan titik, jarak titik dengan garis, dan jarak titik

dengan bidang.



ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk melakukan eksperimen dimensi tiga adalah

sebagai berikut:

Bangun ruang balok transparan yang terbuat dari bahan akrilik dengan sisi atas

dihilangkan

Stik lidi secukupnya

Gunting atau alat potong lainnya

Pena

Spidol permanen

Penggaris

Bidang gambar dan Lembar Kerja

LANGKAH-LANGKAH PERCOBAAN Langkah-langkah penerapan eksperimen dimensi tigaadalah sebagaiberikut:

1. Lakukan pengukuran ruas garis yang diminta dengan menggunakan stik lidi

yang tersedia.

2. Beri tanda dan potong stik lidi sesuai dengan hasil pengukuran ruas garis.

3. Ukur potongan stik lidi dengan menggunakan mistar.

4. Lakukan perhitungan secara matematis untuk memperoleh panjang ruas garis

yang diminta.

5. Bandingkan hasil pada langkah ketiga dan keempat dan buat kesimpulan

terhadap hasil eksperimen.

DAFTAR PUSTAKA



Buku Pembelajaran Sudut dan JarakDalam Ruang Dimensi Tiga, Yogyakarta: PPPPTK

Matematika, 2008.



Pembelajaran LIMIT

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya.

http://math4allages.files.wordpress.com/2009/12/introlimits1.png



Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi limit, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

1. Mampu berpikir kreatif; 2. mampu berpikir kritis dalam mengamati permasalahan; 3. mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep; 4. mengajak kerjasama tim dalam menemukan solusi permasalahan; 5. mengajak siswa untuk menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari; 6. mampu memodelkan permasalahan.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:







Engagement

Exploration


Evaluation



MATERI LIMIT

Dalam Buku Calculus terdapat kalimat “calculus is a study about limit”

Limit adalah dasar untuk mempelajari konsep kalkulus seperti derivatif dan integral.

Dalam mengajarkan siswa tentang makna dari limit dapat dilakukan dengan bantuan

grafik atau secara analitik.

Sebelumnya, guru dapat mengambil beberapa contoh kasus yang menerangkan tentang

makna limit, salah satunya adalah tentang lingkaran:

Pendekatan mengenai keliling lingkaran dapat digunakan keliling dari segi-n dengan n

menuju tak hingga. Setelah dengan ilustrasi lingkaran, guru dapat menghubungkan

pemahaman mengenai lingkaran dengan grafik fungsi. seperti berikut:

lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝐿 means that when x is near but different from c then f(x) is near to L

http://math4allages.files.wordpress.com/2009/12/introlimits1.png



Peta Konsep Topik Limit pada Kelas X SMA



Menemukan Konsep Limit Fungsi

Ubah permasalahan di atas kedalam model matematika. Model umum kurva

linear adalah f(t) = at + b dengan a, b bilangan riil.

Penyelesaian:

model fungsi kecepatan sepeda motor tersebut berdasarkan gambar adalah:

at + b jika 0 ≤ t ≤ 1

f(t)= 5 jika 1 ≤ t ≤ 5

mt + n jika 5 ≤ t ≤ 10

dengan a, b, m, n bilangan riil.

Dari masalah tersebut diperoleh data sebagai berikut:

Misalkan posisi start adalah posisi pada waktu t=0 dengan kecepatan 0,

disebut titik awal O(0,0)

Kemudian kecepatan sepeda motor konstan sebesar 5km/jam pada

waktu t=1 sampai t=5 di titik A(1,5) dan B(5,5)

Pada akhir waktu t=5, pengendara sepeda motor mengurangi

kecepatannya hingga berhenti kecepatan 0 di titik C(10,0)

Seorang pengendara motor memulai start dari suatu tempat. Setelah berjalan,

kecepatan sepeda motor tersebut bertambah secara linier. Setelah berjalan

selama 1 menit, kecepatan sepeda motor tersebut konstan sebesar 5km/jam

selama 4 menit. Pada menit berikutnya, pengendara sepeda motor tersebut

mengurangi kecepatannya secara linier sampai berhenti pada akhir menit

kesepuluh.

0

5

1 5 10



Berdasarkan data tersebut akan ditentukan fungsi kecepatan sepeda motor

dengan langkah-langkah berikut.

1. Substitusi titik O(0,0) ke fungsi linear f(t)= at+b diperoleh b=0

2. Substitusi titik A(1,5) ke fungsi linear f(t)= at+b diperoleh a+b = 5 karena b=0

maka a=5

3. Jadi fungsi linear tersebut adalah f(t) = 5t

4. Sepeda motor tersebut kecepatannya konstan sebesar 5km/jam, maka fungsi

kecepatannya adalah f(t) = 5

5. Substitusi titik B(5,5) ke fungsi linear f(t) = mt+n, diperoleh 5= 5m+n

6. Substitusi titik C(10,0) ke fungsi linear f(t) = mt+n, diperoleh 0= 10m+n atau

n=-10m

7. Dengan mensubstitusikan n=-10m ke 5= 5m+n diperoleh m=-1 dan n=10

8. Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = -t+10

5t jika 0 ≤ t ≤ 1

f(t)= 5 jika 1 ≤ t ≤ 5

-t + 10 jika 5 ≤ t ≤ 10

Selanjutnya limit fungsi pada saat t=1 dan t=5 dapat dicermati pada table

berikut.

Nilai pendekatan y=f(t) pada saat mendekati 1

Nilai pendekatan y=f(t) pada saat t mendekati 5

Berdasarkan tabel dapat dilihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t

mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 5.

Untuk t mendekati 1 dari kiri diperoleh: lim𝑡→1− 𝑓(𝑡) = lim𝑡→1− 5𝑡 = 5(1) = 5

Untuk t mendekati 1 dari kanan diperoleh: lim𝑡→1+ 𝑓(𝑡) = lim𝑡→1+ 5 = 5

Karena didekati dari kiri dan kanan hasilnya sama yaitu mendekati 5, maka fungsi

kecepatan sepeda motor mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 1.

t 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,2 1,3 f(t) 3,5 4 4,5 4,95 4,995 5 5 5 5 5 5

t 4,7 4,8 4,9 4,99 4,999 5 5,001 5,01 5,1 5,2 5,3 f(t) 5 5 5 5 5 5 4,999 4,99 4,9 4,8 4,7



Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai a adalah harga yang paling dekat dari

f(x) pada saat x mendekati nilai a

i.

ii.

g(a)

a

u(x)

g(x)

v(x)

a

f(a)

0

0

h(a)

a

u(x) v(x)

h(x)

Pada fungsi h(x) = u(x) untuk x ≤ a , v(x) untuk

x > a

Untuk x mendekati a dari kiri diperoleh nilai

u(a) dan untuk x mendekati a dari kanan

diperoleh nilai v(a). karena u(a) ≠ v(a), maka

nilai limit fungsi h(x) untuk x mendekati a

tidak ada, yaitu lim𝑥→𝑎 𝑕(𝑥) tidak ada nilainya.

Pada fungsi g(x) = u(x) untuk x ≤ a,

= v(x) untuk x > a

Untuk x mendekati a dari kiri (u(a)) dan dari

kanan (v(a)) diperoleh hasil yang sama,

sehingga nilai limit fungsi g(x) di x = a adalah

lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = g(a)

Pada fungsi f(x) untuk x mendekati a diperoleh nilai

fungsi f(x) mendekati f(a) sehingga nilai limitnya di x=a

adalah lim𝑎→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a)



A. Sifat-sifat Limit Fungsi

Untuk k konstanta, a bilangan nyata, f dan g fungsi yang mempunyai limit di a,

berlaku teorema berikut.

1. lim𝑥→𝑎 𝑘 = k

2. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a)

3. lim𝑥→𝑎 𝑘.𝑓(𝑥) = k lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

4. lim𝑥→𝑎[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

5. lim𝑥→𝑎[𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥).lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

6. lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) =

lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) , untuk lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0

7. lim𝑥→𝑎{𝑓 𝑥 }𝑛 = {lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)}𝑛

8. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥), untuk lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 > 0

B. Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu

Diberikan fungsi f(x) = 𝑥2−1

𝑥−1

F(1) = 12− 1

1−1 =

0

0

Karena diperoleh nilai fungsi tersebut untuk x=1 adalah 0

0 yang merupakan

bentuk tak tentu, maka kita tidak bisa menentukan nilai fungsi untuk x=1.

Dengan menggunakan pendekatan (limit) x terhadap 1 diperoleh nilai

pendekatan fungsi f(1)

X 0 0,5 0,8 0,9 0,95 0,99 → 1 ← 1,01 1,05 1,1 1,2 1,5 2 f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,95 1,99 → ? ← 2,01 2,05 2,1 2,2 2,5 3

Dari tabel diatas, tampak bahwa untuk x mendekati 1 diperoleh f(x) mendekati 2,

yang bearti lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = 2. Namun secara aljabar nilai limit f(x) untuk x

mendekati 1dapat ditentukan dengan metode pemfaktoran yaitu:

lim𝑥→1 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1𝑥2−1

𝑥−1 = lim𝑥→1

𝑥+1 (𝑥−1)

(𝑥−1) = lim𝑥→1(𝑥 + 1) = 1+1= 2

Jika fungsi f(x) mengandung bentuk akar, maka dikalikan dahulu dengan

sekawannya kemudian baru difaktorkan.





Siswa dapat memahami arti limit.




3.Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang definisi fungsi dan grafik

fungsi.Guru memberikan pertanyan tersebut untuk menstimulus ingatan siswa

tentang materi prasyarat untuk mempelajari limitlebih lanjut.(Engagement)

4.Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan limit di kehidupan nyata untuk


5.Guru menjelaskan materi pembelajaran yang akan disampaikan dan tujuan



1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki kertas berbentuk persegi yang luasnya diasumsikan 1 satuan luas.

2. Siswa menggunting kertas tersebut tepat di garis tengahnya dan menuliskan luas potongan kertas yang dihasilkan

3. Lalu siswa menggunting lagi potongan kertas tepat di garis tengahnya lalu siswa menuliskan luas potongan kertas yang dihasilkan

4. Siswa menuliskan hasil eksplorasinya dalam lembar kerja yang disediakan. 5. Siswa mendiskusikan kesimpulan yang dapat mereka peroleh dari eksplorasi yang

telah dilakukan

Penutup:

1.Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.

2.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.

3.Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA Lakukanlah langkah-langkah berikut:

1.Persiapkan selembar kertas, asumsikan bahwa luasnya adalah 1 satuan luas

2.Gunting lembaran kertas tersebut tepat di garis tengahnya, lalu tentukan luas kertas

yang terbentuk.

3.Gunting potongan kertas yang dihasilkan tepat di garis tengahnya, lakukan terus

sebanyak 10 kali

4.Tuliskan hasil eksplorasi yang telah kalian lakukan did alam tabel berikut

Potongan ke-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Luas yang terbentuk

5.Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan

dengan menghubungkan konsep limit!



DESKRIPSI ALAT PERAGA: Persegi Limit

http://yos3prens.files.wordpress.com/2013/01/deret-setengah.png

Alat peraga persegi limit bertujuan untuk memberikan ilustrasi tentang konsep dasar

matriks, terutama untuk limit dimana x menuju tak hingga, dan hasil limitnya menuju

nol.

ALAT DAN BAHAN

Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat persegi limit adalah sebagai berikut:

1. Kertas warna berbentuk persegi dengan ukuran 15 x 15 cm

2. Gunting


Untuk menggunakan alat peraga ini, siswa harus melakukan eksplorasi dengan

menggunting kertas sendiri.

DAFTAR PUSTAKA



http://yos3prens.files.wordpress.com/2013/01/deret-setengah.png



Pembelajaran STATISTIKA

https://encrypted-

tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQjDLh2_tMM_qqT13T8D1huWz9bUPCAvnvakCzpTRNIhPCpI1VIcw

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar Dalam pembelajaran ini, siswa akan memiliki kemampuan: Memahami berbagai penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram/plot yang sesuai untuk mengkomunikasikan informasi dari suatu kumpulan data melalui analisis perbandingan berbagai variasi penyajian data.

https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQjDLh2_tMM_qqT13T8D1huWz9bUPCAvnvakCzpTRNIhPCpI1VIcw

https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQjDLh2_tMM_qqT13T8D1huWz9bUPCAvnvakCzpTRNIhPCpI1VIcw



Pengalaman Belajar Melalui pembelajaran materi statistika, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

• Melatih berpikir kritis dan kreatif; • Mengamati keteraturan data; • Berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikanmasalah; • Berpikir independen mengajukan ide secarabebas dan terbuka; • Mengamati aturan susunan objek.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran trigonometri dibuat berdasarkan kepada 5E Model dari NASA. 5E model tersebut adalah:







Engagement

Exploration


Evaluation



MATERI STATISTIKA

Statistika adalah ilmu tentang mengumpulkan, menyusun, dan menampilkan kumpulan

data. Data yang digunakan dalam statistika adalah data numerik. Dalam sejarahnya,

tokoh yang menggunakan statistika analitik untuk memprediksi tingkat kelahiran dan

kematian adalah John Graunt (1620 – 1674), beliau juga memprediksi proporsi jumlah

laki-laki dan perempuan dalam sebuah populasi. Sejarah lain tentang penggunaan

statistika adalah Adolph Quetelet (1796 – 1874) , beliau menggunakan statistik untuk

menghitung tingkat kriminalitas. Tokoh lain adalah Florence Nightingale (1820 – 1910)

yang membuat tabel tentang kelahiran di masa perang Crimean sehingga rumah sakit

dapat meningkatkan pelayanan pada pasien. Semakin berkembangnya zaman, ilmu

statistika pun ikut berkembang.

Statistika adalah cabang ilmu matematika yang dapat dilihat di berbagai segi kehidupan

dan dipakai dalam banyak disiplin ilmu, seperti ekonomi, politik, kesehatan, perbankan

dan yang lainnya. Siswa perlu memahami ini agar mereka dapat menghargai statistika

sebagai ilmu yang akan berguna bagi kehidupan mereka di masa yang akan datang.

Untuk tahapan sekolah menengah, siswa diberikan konsep statistika untuk membaca,

menginterpretasikan dan menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan

grafik. Selanjutnya siswa diajarkan statistika deskriptif berupa: rata-rata, median,

modus, kuartil, dll.

Beberapa hal yang harus diperhatikan guru dalam mengajar statistika adalah:

1. Sebaiknya guru menggunakan data yang benar-benar nyata, aktual dan bersifat

lokal, artinya ada di sekeliling siswa. Contohnya:

• Data survey mengenai lingkungan tempat tinggal

• Eksperimen sederhana yang dapat dilakukan siswa (pelemparan dadu,

pengukuran berat badan, dll)

• Dokumen yang diperoleh dari koran setempat

2. Perlu diperhatikan pembuatan grafik harus memuat: judul grafik, skala yang

benar untuk penomoran aksis dan ordinat.

3. Ada 3 ukuran pemusatan data yang harus siswa pahami konsepnya, bukan hanya

sekedar menghitung, yaitu:

• Rata-rata (mean), makna dari statistika adalah “the centre of gravity of its

distribution”, dapat dimaknai sebagai pusat dari distribusi data. Pada

bagian selanjutnya akan dijelaskan makna rata-rata menggunakan alat

peraga.

• Median, merupakan nilai tengah dari sebuah data yang sudah diurutkan

dari yang terkecil sampai terbesar. Guru menampilkan jumlah data ganjil

dan genap untuk membuat siswa memahami tentang median.

• Modus adalah data yang paling banyak muncul, saat guru menerangkan

tentang hal ini perlu diperhatikan kasus data unik seperti:



1, 1, 1, 2, 2, 2,3,3,3,4,4,4 apa modusnya?

57, 56, 58 apa modusnya?

4. Sangat penting bagi siswa, untuk memiliki kemampuan “data-sense”. Untuk

mencapai kemampuan itu siswa dihadapkan kepada permasalahan dari

kehidupan nyata yang mengajak siswa untuk mengumpulkan data, menampilkan

data dengan jenis grafik yang sesuai, menginterpretasi data yang ada dan

mengambil keputusan berdasarkan data tersebut. Tahapan pembelajaran

statistika dengan model pembelajaran invetigasi adalah sebagai berikut:

PROBLEM

Pose the problem

collecting data analyze the data

interpret the result

making decision



Peta Konsep Topik Statistikan pada Kelas X SMA



STATISTIKA

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara

pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan

berdasarkan kumpulan data yang dilakukan.

Data adalah suatu informasi yang diperoleh dari pengamatan atau penelitian

Macam-macam data

1. Data kuantitatif adalah data berupa angka.

Contoh : data nilai matematika siswa SMP

2. Data kualitatif adalah data yang berhubungan dengan kategori yang berupa kata-

kata (bukan angka).

Contoh : data tentang warna favorit

Penyajian Data

Data dapat disajikan dengan :

a. Tabel frekuensi

b. Diagram batang

c. Diagram garis

d. Diagram lingkaran

e. Piktogram

Contoh :

1. Di bawah ini nilai ulangan matematika dari 30 siswa SMP : 5, 9, 8, 7, 5, 5, 4, 6, 6,

8, 9, 8, 7, 6, 6, 5, 5, 9, 8, 4, 5, 5, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 7.

Tabel frekuensi nilai matematika siswa SMP

Nilai Turus Frekuensi 4 5 6 7 8 9

II IIIII II IIIII I IIIII

IIIII I IIII

2 7 6 5 6 4

Jumlah 30

Ukuran Pemusatan Data

1. Mean (𝑥 ) atau rata-rata

𝑥 =𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎



2. Modus (Mo)

Modus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki

frekuensi terbesar.

3. Median dan Kuartil

a. Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan.

Data ganjil : 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1

2

Data genap : 𝑀𝑒 =𝑋𝑛

2+ 𝑋𝑛+1

2

2

b. Kuartil (Q) adalah aturan membagi data menjadi 4 bagian.

𝑄1= kuartil pertama (bawah)

𝑄2= kuartil kedua (median)

𝑄3= kuartil ketiga (atas)

Ukuran Penyebaran Data

Jangkauan data (range)

Jangkauan kuartil (hamparan)

Range = data terbesar – data terkecil

𝐻 = 𝑄3 − 𝑄1





Siswa dapatmemahami makna rata-rata dan menyelesaikan permasalahan matematika

yang berhubungan dengan rata-rata.




3.Siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang cara menampilkan data (tabel,

diagram batang, diagram garis, lingkaran, dll).Guru memberikan pertanyaan tersebut

untuk menstimulus ingatan siswa tentang materi prasyarat untuk mempelajari

statistika lebih lanjut.(Engagement)

4.Siswa dan guru menyebutkan contoh kegunaan statistika di kehidupan nyata, lalu

guru mengulas sedikit tentang sejarah statistika untuk menarik perhatian siswa dan





1. Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa memiliki alat peraga batang statistika.

2. Siswa melakukan eksperimen dengan melakukan batang statistika, pertama-tama siswa mengisi batang statistika dengan cairan berwarna dengan ketinggian air yang berbeda. Ketinggian air menunjukan skala

3. Siswa membuka kran air sehingga ketinggian air berubah 4. Siswa menganalisis keadaan yang terjadi dengan menghubungkan dengan konsep

statistik 5. Siswa dan guru mendiskusikan bersama kesimpulan dari kegiatan yang dihasilkan

Penutup:

1.Siswa dan guru mengulas kembali kesimpulan dari eksperimen yang telah mereka lakukan. Pada kegiatan ini, guru memberikan pertanyaan-pertanyaan bimbingan untuk menguatkan pemahaman siswa terhadap materi yang baru saja diajarkan.

2.Guru memberikan kesempatan bertanya bila masih ada materi maupun penjelasan mengenai tugas yang belum dimengerti siswa.

3.Siswa mengemukakan kesan-kesan mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA

Lakukanlah langkah-langkah berikut untuk menggunakan batang statistika:

1.Isi pipa tembus pandang dengan air berwarna, ketiga pipa memiliki perbedaan

ketinggian air, contoh pipa 1 pada skala 40. Pipa 2 pada skala 90 dan pipa 3 pada

skala 50.

2.Putar kedua buah keran air.

3.Perhatikan apa yang terjadi!

4.Air akan menunjukkan skala berapa?

5.Mengapa bisa terjadi demikian?

6.Tuliskan kesimpulan yang dapat diperoleh dari kegiatan yang telah kalian lakukan!



DESKRIPSI ALAT PERAGA: Batang statistika

http://arifkristanta.files.wordpress.com/2009/10/2a2010.jpg

Alat peraga ini dapat digunakan untuk membantu siswa mengkonstruksi pemahaman

tentang makna rata-rata. Siswa melakukan hands-on activity melalui alat peraga ini

sebelum diperkenalkan tentang rumus rata-rata.

ALAT DAN BAHAN

Batang statistika dapat dibuat menggunakan bahan-bahan yang sederhana. Alat dan

bahan yang diperlukan untuk membuat batang statistika adalah sebagai berikut:

Paralon PVC ukuran ½ “ sepanjang 1 m

Keni bentuk T sebanyak 3 buah

Keni bentuk L sebanyak 1 buah

Keni pemutar sebanyak 2 buah

Lem paralon

Batang akrilik sepanjang 1 m

Papan whiteboard ukuran 60 x 90 cm

Cairan berwarna merah

http://arifkristanta.files.wordpress.com/2009/10/2a2010.jpg



Spidol permanen

Paku

Palu

Cat paralon

LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga batang

statistika:

1. Potonglah pipa paralon dengan ukuran: 30 cm sebanyak 1 buah, 5 cm sebanyak 6

buah

2. Hubungkan paralon dengan menggunakan keni yang tersedia hingga membentuk

sebuah rangkaian

3. Beri cat pada setiap komponen pipa dan keni

4. Rekatkan setiap sambungan dengan menggunakan lem pipa.

5. Taruh rangkaian pada wadah penopang sehingga dapat berdiri kokoh.

CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Prosedur menggunakan alat peraga adalah sebagai berikut:

1. Isi pipa tembus pandang dengan air berwarna, ketiga pipa memiliki perbedaan

ketinggian air, contoh pipa 1 pada skala 40. Pipa 2 pada skala 90 dan pipa 3 pada

skala 50.

2. Putar kedua buah keran air.

3. Perhatikan apa yang terjadi, ketiga cairan akan sejajar pada sebuah skala, skala

itulah yang menunjukan rata-rata

4. Melalui eksperimen di atas, siswa diajak untuk membentuk pemahaman tentang

makna rata-rata



DAFTAR PUSTAKA





PEMBELAJARAN PELUANG

sumber: http://setarsbi.files.wordpress.com/2012/09/peluang-copy.jpg?w=645

Kompetensi Inti:






Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran peluang, siswa diharapkan mampu:

3. memahami konsep peluang suatu kejadian menggunakan berbagai objek nyata

dalam suatu percobaan menggunakan frekuensi relatif;

4. menyajikan hasil penerapan konsep peluang untuk menjelaskan berbagai objek

nyata melalui percobaan menggunakan frekuensi relatif.




Melalui pembelajaran materi peluang, siswa akan memperoleh pengalaman belajar:

1. berdiskusi, bertanya dalam menemukan konsep dan prinsip peluang melalui

pemecahan masalah otentik yang bersumber dari fakta dan lingkungan;

2. berkolaborasi dalam memecahkan masalah otentik dengan pola interaksi

edukatif;

3. berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki, memanipulasi, dan mengaplikasikan

konsep dan prinsip-prinsip peluang dalam memecahkan masalah otentik.

Kegiatan-kegiatan yang dilakukan siswa pada pembelajaran materi peluang dibuat




1. Engagement




2. Exploration

Pada tahap ini, siswa diberikan cukup waktu untuk berpikir, membuat rencana

untuk menyelesaikan masalah, melakukan investigasi dan menyusun semua

informasi yang ada. Contoh dari aktivitas belajar pada exploration adalah siswa

melakukan eksperimen dengan menggunakan alat peraga.

3. Explanation

Dalam tahap ini, siswa dilibatkan secara penuh dalam menganalisis hasil



4. Elaboration


pemahaman mereka.

5. Evaluation







MATERI PELUANG

Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi

tentang bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi.

Walaupun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan

judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunakan secara luas.

Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorologi, sains, dan industri.

Misalnya, perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama

seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi

kesuksesan suatu pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk

meramalkan kondisi cuaca; peluang digunakan dalam studi perilaku molekul-molekul

dalam suatu gas; peluang juga digunakan untuk memprediksi hasil pemilihan umum.

Topik Peluang akan sangat menarik bagi para siswa di sekolah tingkat menengah atas

(SMA), apabila guru dalam pembelajaran di kelas dapat menyampaikan berbagai

aplikasi dari konsep peluang dalam kehidupan sehari-hari siswa. Misalnya, siswa diajak

untuk mempertimbangkan kemungkinan mereka berhasil masuk di Perguruan Tinggi

Negeri (PTN) yang mereka minati. Hal ini dapat dilakukan dengan meminta siswa

membandingkan data mengenai banyaknya orang yang memilih jurusan di PTN

tertentu dengan daya tampungnya. Kemudian, siswa diajak menganalisis mengenai

jurusan di PTN tertentu dengan peluang lulus yang tinggi. Lebih lanjut, topik Peluang



sebagai salah satu materi yang esensial pada Mata Pelajaran Matematika di SMA

mencakup beberapa konsep dasar yang direpresentasikan pada bagan berikut ini:

Peta Konsep Topik Peluang pada Kelas X SMA



Peluang Suatu Kejadian

1. Ruang Sampel dan Peluang Suatu Kejadian

a. Ruang Sampel

Ruang sampel adalah kumpulan dari hasil yang mungkin terjadi dari suatu

percobaan. Anggota-anggota ruang sampel disebut titik sampel, sedangkan

kumpulan dari beberapa titik sampel disebut kejadian, atau kejadian adalah

merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh:

Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali, tentukan:

a) ruang sampel

b) kejadian muncul bilangan ganjil

c) kejadian muncul bilangan prima

Penyelesaian :

a) Hasil yang mungkin adalah muncul angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6, jadi ruang

sampelnya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Kejadian muncul bilangan ganjil K = {1, 3, 5}

c) Kejadian muncul bilangan prima K = {2, 3, 5}

b. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Jika n(S) dan n(K) berturut-turut menyatakan banyaknya anggota ruang

sampel, dan banyaknya anggota kejadian K, maka nilai kemungkinan

terjadinya kejadian K adalah:

Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 3 bola putih dan 2 bola hitam.

Dari dalam kotak itu diambil satu bola. Tentukan peluang terambilnya bola

berwarna merah.

Penyelesaian :

S = {M1, M2, M3, M4, P1, P2, P3, H1, H2), maka n (S) = 9

K = {bola merah} = {M1, M2, M3, M4}, maka n (K) = 4

P (K) = 9

4

)5(

)(

n

Kn

P (K) = )(

)(

Sn

Kn



Jadi peluang bola yang terambil berwarna merah adalah 9

4

c. Tafsiran Peluang Kejadian

Misalkan K suatu kejadian dan S adalah ruang contoh dalam sebuah

percobaan. Berlaku hal-hal berikut ini:

Peluang kejadian K memenuhi 0 ≤ P(K) ≤ 1

P(S) = 1

P(∅) = 0

Peluang suatu kejadian adalah 1 berarti bahwa kejadian tersebut pasti terjadi

dan peluang kejadian adalah 0 berarti bahwa kejadian tersebut mustahil

terjadi. Peluang tersebut dapat diinterpretasikan pada gambar berikut.

Contoh:

1. Berapa peluang seekor kuda jantan melahirkan anak?

Karena tidak mungkin, maka dinamakan kemustahilan dan peluangnya 0.

2. Berapa peluang setiap orang akan meninggal?

Karena setiap orang pasti meninggal, maka dinamakan kepastian dan

peluangnya 1.

d. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah harapan yang nilai kemungkinan terjadinya paling

besar. Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali dan nilai kemungkinan

terjadinya kejadian K setiap percobaan adalah P(K), maka frekuensi harapan

dari kejadian K adalah:

Contoh:

Bila kita melemparkan sebuah dadu sebanyak 480 kali, berapakah kali

kemungkinan munculnya angka 4?

F(K) = n P (K)



Penyelesaian :

P(K)= 6

1 dan n = 480

F(K) = n P (K) = 806

1480

Jadi harapan munculnya angka 4 adalah sebanyak 80 kali.

e. Kejadian Majemuk

Apabila dua kejadian atau lebih dioperasikan sehingga menghasilkan

kejadian baru, maka kejadian baru tersebut merupakankejadian majemuk.

1) Untuk sembarang kejadian A dan B berlaku:

n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

jika kedua ruas dibagi dengan n (S) maka:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

Sn

BAn

Sn

Bn

Sn

An

Sn

BAn

, sehingga diperoleh:

2) Untuk sembarang kejadian A, B dan C berlaku:

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan sekali, tentukan peluang muncul mata dadu

genap atau prima.

Penyelesaian :

Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n (S) = 6

muncul mata genap A = {2, 4, 6} n (A) = 3

muncul mata prima B = {2, 3, 5} n (B) = 3

muncul mata genap dan prima = {2} n (AB ) = 1

muncul mata genap atau prima:

P (A B) = P(A) + P(B) – P (A B)

P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A B) – P (A C)

– P (B C) + P (A B C)



P (AB)= P (A) + P (B) – P (AB)

= 6

1

6

3

6

3 =

6

5

3) Komplemen suatu kejadian

jika A mempunyai a elemen, dan S mempunyai

n elemen, maka Ac mempunyai n – a elemen.

P (Ac) = n

an =

n

a

n

n = 1 –

n

a

Jadi

Contoh:

Jika peluang hari esok akan hujan adalah 0,35, berapa peluang bahwa

cuaca akan cerah esok hari?

Penyelesaiannya :

P (A) = 0,35

P (Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,35 = 0,65

Jadi peluang bahwa cuaca akan cerah hari esok adalah 0,65.

4) Dua kejadian saling lepas

Kejadian A dan B dikatakan saling lepas

Jika A B = maka P (A B) = 0, sehingga

jika P (A B) = 0

maka P (A B) = P(A) + P (B).

Kesimpulan :

S

A

Ac

P (Ac) = 1 – P (A)

S A B

Jika A dan B kejadiansalinglepas, maka:

P (A B) = P(A) + P (B)



Contoh:

Dari satu set kartu bridge diambil 1 kartu secara acak. Tentukan peluang

untuk mendapatkan kartu As atau king!

Penyelesaian :

A = kejadian mendapatkan kartu A n (A) = 4

B = kejadian mendapatkan kartu king n (B) = 4

dan n(A B) = , sehingga P (A B) = P(A) + P (B)= 52

4

52

4 =

13

2.

Jadi peluang untuk mendapatkan kartu As atau king adalah 13

2.

5) Dua Kejadian Saling Bebas

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak

memengaruhi kejadian B dan kejadian B tidak memengaruhi kejadian A.

Misalkan kita melambungkan dua buah dadu, maka angka yang muncul

pada dadu pertama tidak memengaruhi angka yang muncul pada dadu

kedua. Secara umum dapat dirumuskan:

Contoh:

Dalam sebuah kantong terdapat 5 kelereng merah dan 6 kelereng putih.

Kemudian diambil sebuah kelereng dengan acak secara berurutan

sebanyak dua kali. Setelah kelereng pertama diambil, kelereng itu

dikembalikan kemudian mengambil kelereng kedua. Tentukan peluang

bahwa yang terambil adalah kelereng merah pada pengambilan pertama

dan putih pada pengambilan kedua.

Penyelesaian:

Jika A = {kelereng merah pada pengambilan pertama}maka P (A) = 11

5

dan jika B = {kelereng putih pada pengambilan kedua}maka P (B) = 11

6

sehingga diperolehP (A B) = P (A) P (B) = 11

6

11

5 =

121

30.

Jika A dan B salingbebasmakaberlaku:

P (A B) = P (A) P (B)



Jadi peluang untuk memperoleh kelereng merah pada pengambilan

pertama dan putih pada pengambilan kedua adalah 121

30.

6) Dua KejadianBersyarat

Jika kejadian A dan B tidak saling bebas, kejadian B dipengaruhi oleh

kejadian A atau kejadian B dengan syarat A, maka dinamakan kejadian

bersyarat. Peluang dari kejadian bersyarat disebut peluang bersyarat,

dirumuskan dengan:

P(B/A) = kejadian B dengan syarat A

atau

Contoh:

Dari satu set kartu bridge (52 lembar) diambil satu kartu secara berturut-

turut dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang pengambilan

pertama diperoleh AS dan pengambilan kedua diperoleh king!

Penyelesaian :

MisalA = kejadian terambilnyakartu AS pada pengambilan pertama

dan B = kejadian terambilnyakartu King pada pengambilan kedua

sehingga diperoleh P (A) = 13

1

52

4 dan P (B/A) =

51

4.

Jadi P (A B) = P (A) P (B/A) = 51

4

13

1 =

663

4.

P (B/A) =)A(P

)BA(P

P (A B) = P (A) P(B/A)



CONTOH KEGIATAN PEMBELAJARAN Kegiatan pembelajaran ini sebaiknya diberikan pada siswa yang sudah memiliki

pemahaman tentangkonsep ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa.


Siswa dapat mengaplikasikan konsep peluang dengan menentukan peluang kejadian

pada percobaan berulang menggunakan Sesatan Hexagon.



2.Guru mengondisikan siswa menjadi kelompok-kelompok kecil yang masing-masing

terdiri dari 3 orang.

3.Guru menstimulus siswa dengan memberikan pertanyaan tentang konsep ruang

sampel, titik sampel, dan kejadian/ peristiwa. Siswa diharapkan secara aktif

merespon stimulus tersebut dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan

guru.(Engagement)

4.Siswa menyebutkan beberapa contoh aplikasi dari konsep ruang sampel, titik sampel,

dan kejadian/ peristiwa. Guru mengulas mengenai peluang suatu kejadian yang

merupakan hasil dari pelemparan mata uang atau dadu. (Engagement)

5.Guru menjelaskan materi yang akan disampaikan dan tujuan pembelajaran yang akan

dicapai.(Engagement)


1.Sebelum kegiatan inti dimulai, guru memastikan setiap kelompok siswa telah

memiliki sesatan hexagon dan lembar kerja siswa (LK).

2.Setiap kelompok diminta terlebih dahulu memasukkan kelereng ke lubang sesatan

hexagon, dan kemudian menjatuhkannya. Kelompok siswa diminta mengamati pada

lubang mana/ keberapa tempat jatuhnya kelereng. (Exploration)

3.Siswa secara bergantian dalam kelompoknya melakukan percobaan memasukkan

kelereng ke dalam lubang sesatan hexagon dan dua orang siswa lainnya mengamati

jatuhnya kelereng dan mencatat hasil eksperimen. (Exploration)

4.Setelah melaksanakan beberapa kali eksperimen, siswa akan diajak bernalar

mengenai kecenderungan dari jatuhnya kelereng pada lubang tertentu. Siswa

diminta mendiskusikan alasan dari kecenderungan kejadian yang muncul pada

eksperimenyang dilakukan. Jika jawaban dari salah satu kelompok belum tepat, maka

kelompok lain diminta menyampaikan pendapatnya, demikian seterusnya dan

sampai akhirnya guru memberikan klarifikasi tentang jawaban yang

diharapkan.(Explanation& Elaboration)

5.Siswa dalam kelompok kembali diminta melakukan eksperimen dengan mengacu

pada LK yang telah diberikan oleh guru. Satu orang siswa akan melakukan percobaan

dengan memasukkan semua kelereng yang tersedia ke lubang sesatan hexagon. Dua

orang siswa lainnya bertugas mengamati sekat-sekat yang ditempati kelereng-

kelereng tersebut, kemudian mencatat hasilnya. (Exploration)



6.Setelah percobaan selesai dilakukan, siswa dalam kelompok melakukan diskusi dan

kemudian menuliskan jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng.

Selanjutnya berdasarkan hasil tersebut,setiap kelompok menentukan banyak

lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah sesatan hexagon dan

menuliskannya pada LK. (Explanation)

7.Berdasarkan temuan-temuan sebelumnya, setiap kelompok kemudian diminta

menentukan nilai peluangkelereng masuk ke setiap celahpada sesatan hexagon.

Kelompok siswa yang kesulitan menentukan nilai peluang kejadian tersebut akan

dibantu oleh guru dan siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih

tinggi.(Elaboration and Evaluation)

8.Beberapa perwakilan siswa mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan

hasil temuan dari eksperimen yang telah dilakukan di kelompok masing-masing.

Siswa lainnya diharapkan dapatmemberikan umpan balik secara aktif terhadap

presentasi temannya.(Explanation and Evaluation)

9.Siswa dan guru secara bersama-sama mendiskusikan kesimpulan yang dapat

diperoleh dari kegiatan yang telah dilakukan.Kemudian gurumemberikan

pertanyaan-pertanyaan (problem solving) yang berkaitan dengan peluang suatu

kejadian untuk menguatkan pemahaman siswa. Guru memberikan kesempatan


dimengerti siswa.(Elaboration and Evaluation)

Penutup (5 menit):

1.Siswa menyampaikan refleksi mereka terhadap pembelajaran yang telah dilakukan.



LEMBAR KERJA SISWA

1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon (Gambar 1)

2. Masukkan semua kelereng ke lubang.

3. Perhatikan sekat-sekat yang ditempati kelereng-kelereng tersebut.

Gambar 1: sesatan hexagon

Gambar 2: celah sesatan hexagon



4. Lengkapilah tabel berikut:

Tabel 1: jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng

5. Berdasarkan Tabel 1 di atas, lengkapilah Tabel 2 dan Tabel 3 di bawah ini !

Tabel 2: banyaknya lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah



Tabel 3: peluangkelereng masuk ke suatu celah

Kesimpulan:

Dari Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa:

Peluangkelereng masuk ke sekat L1 = 1/32

Peluangkelereng masuk ke sekat L2 = …








Topik pembelajaran : Peluang

Sub Topik : Peluang suatu kejadian

Kompetensi Dasar : 12. memahami konsep peluang suatu kejadian

menggunakan berbagai objek nyata dalam

suatu percobaan menggunakan frekuensi

relatif;

13. menyajikan hasil penerapan konsep peluang

untuk menjelaskan berbagai objek nyata

melalui percobaan menggunakan frekuensi

relatif.

Alat peraga ini dapat digunakan sebagai sarana untuk mengaplikasikan konsep

peluang pada pembelajaran di kelas. Alat peraga ini berfungsi untuk membantu

siswa memahami peluang kejadian suatu percobaan dengan memasukkan

kelereng melalui celah-celah pada alat peraga sesatan hexagon.Guru harus

memastikan penguasaan siswa terhadap konsep prasyarat sebelum menerapkan

percobaan dengan menggunakan sesatan hexagon. Konsep prasayarat yang



dimaksud adalah konsep mengenai ruang sampel, titik sampel, dan kejadian/

peristiwa.

ALAT DAN BAHAN Alat dan bahan yang diperlukan untuk membuat sesatan hexagon adalah sebagai

berikut:

Kelereng atau benda berbentuk bola yang dapat digelindingkan secara leluasa

melewati sekat-sekat pada sesatan hexagon. Lebar dari sekat-sekat harus lebih

dari diameter benda yang dipakai sebagai bola.

Gergaji

Pisau kater

Penggaris dari bahan baja

Palu

Tang

Penggaris siku

Amplas

Spon karet warna hitam untuk masing-masing hexagon (segienam beraturan)

Triplek

Potongan balok kayu

Paku

Flamir

Cat

lem

LANGKAH- LANGKAH PEMBUATAN ALAT PERAGA Berikut ini adalah salah satu alternatif langkah-langkah pembuatan alat peraga sesatan

hexagon:

1. Siapkan semua bahan yang akan digunakan.

2. Gergaji triplek atau multipleks sehingga berbentuk alas sesatan hexagon dengan

ukuran 90 cm x 120 cm kemudian dicat jika memungkinkan.

3. Buatlah 27 buah segienam beraturan kongruen dari kayu, plastik, atau spon.

Gunakan warna yang berbeda dari warna alas sesatan hexagon pada langkah 2.

4. Tempelkan 27 buah segienam beraturan tersebut ke alas sesatan hexagon.

Segienam beraturan yang ada harus diletakkan sedemikian sehingga peluang bagi

bola atau kelereng yang digelindingkan dapat bergerak ke kiri atau ke kanan

dengan lebar lintasan yang sama.

5. Langkah terakhir adalah mencoba memasukkan beberapa bola atau kelereng

untuk memeriksa keterpakaian alat peraga sesatan hexagon yang telah dibuat.



CARA MENGGUNAKAN ALAT PERAGA Penerapan alat peraga Sesatan Hexagon dalam pembelajaran peluang bertujuan untuk

menjelaskan konsep peluang kejadian suatu percobaan. Langkah-langkah penggunaan

alat peraga Sesatan Hexagon dalam pembelajaranadalah sebagai berikut:

1. Siapkan alat peraga sesatan hexagon

2. Masukkan kelereng ke lubang bagian atas

3. Kelereng akan jatuh ke bawah menempati sekat-sekatpada Sesatan Hexagon

4. Amati celah-celah yang dilewati kelereng sampai kelereng jatuh ke dalam sekat-

sekat yang tersedia.

5. Tentukan jenis dan jumlah lintasan yang mungkin dilewati kelereng.

6. Tentukan banyaknya lintasan yang mungkin dilewati kelereng pada setiap celah.

7. Tentukan peluangkelereng masuk ke suatu celah.

DAFTAR PUSTAKA

Buku Elektronik Mata Pelajaran Matematika untuk SMA/MA Kelas

X,Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan , 2013. ISBN: 978-602-282-103-8

Buku Petunjuk Penggunaan Alat Peraga Sesatan Hexagon,Yogyakarta: Pusat

Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK)

Matematika, 2007.

engagement exploration explanation elaboration evaluation matematika.pdf · sederhanakanlah...

Documents