universiti putra malaysia satu pendekatan …psasir.upm.edu.my/8570/1/fsas_1993_1_a.pdf · satu...
TRANSCRIPT
UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA
SATU PENDEKATAN KOMPUTER TERHADAP PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA
ISMAIL BIN ABDULLAH
FSAS 1993 1
SATU PENDEKATAN KOMPUTER TERHADAP PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA
Oleh
ISMAIL BIN ABDULLAH
Disertasi Yang Dikemukakan Sebagai Memenuhi Syarat Untuk Mendapatkan Ijazab Doktor Falsafab
di Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar
Universiti Pertanian Malaysia
Oktober 1993
Buat kedua-dua ibubapaku Abdullah dan Halimah
yang sudah tiada. 8emoga ALlah s.w.t mengampunkan
segala dosa mereka. Amin!
Hadiah kasih buat
Umi Purwati 8unoto Lathifah Ulfa
Rina Fadhilah Irfan 8atria
Mohd Mujahid Abdul Jabbar
Nurul Khairiyyah
PENGHARGAAN
Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi 1 awatankuasa
Penyeliaan iaitu Professor Madya Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan at as segala
kesabaran, bantuan, sokongan, dorongan dan bimbingan beliau beberapa tahun
yang sungguh bermakna.
Ribuan terima kasih juga disampaikan kepada Professor Dr. Mohamed bin
Suleiman, Professor Madya Dr. Harun bin Budin dan Professor Madya Dr. Bachok
bin Taib kerana dorongan yang telah mereka curahkan.
Juga ucapan terima kasih yang senada ditujukan kepada Universiti Pertanian
Malaysia dan labatan Perkhidmatan Awam Malaysia kerana telah meluangkan
masa dan menyediakan peruntukan kewangan sehingga penulisan tesis ini menjadi
suatu kenyataan.
Sumbangan yang sungguh bererti datang dari seluruh keluarga yang dengan
segala kelucuan dan kesabaran mereka telah melahirkan aspirasi dan dorongan
padu sehingga penulisan tesis ini dapat disempurnakan.
iii
KANDUNGAN Mukasurat
PENGHARGAAN ............................................. .
SENARAI JADUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SENARAI RAJAH ........................................... .
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN ......................... .
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii vii viii xi xiii ABSTRACT ............................................ '. . . . . . . . xvi
BAB
I PENGENALAN
Tatatanda dan Takrifan ................................ .
IAtar Belakang ....................................... .
Ringkasan Keputusan .................................. .
n GRAFIK KOMPUTER, POLIGON NEWTON DAN PAKEJ MATHEMATIC A ........................... . .
U nsur Matematik dalam Grafik Berdimensi Tiga .......... .
Sistem Koordinat ................................ .
Sistem Koordinat Mata dan Layar .................. .
Sistem Koordinat Layar Homogen . • . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kedalaman Perspektif ............................ .
Ruang R 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Hasil Darab Vektor Grafik Komputer Berdimensi Tiga ....................... .
Prosedur ....................................... .
Prosedur Koordinat Mata ................... .
Prosedur Koordinat Layar ................... .
Prosedur Plot Objek ........................ .
Poligon Newton ...................................... .
Penjanaan Grafik Poligon Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alkhwarizmi Memilih Titik Hul Cembung ........... .
Peranan Pakej MatheTnatica TM. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Keperluan Pakej Mathematica dalam Kaj ian ini. ............ .
Beberapa Arahan Am MatheTnatica TM. • • • • • • • • • • • • •
Grafik Dua Dimensi ............................. .
Grafik Tiga Dimensi ............................. .
Plot3D ................................... .
Graphics3D Penyelesaian Fungsi Polinomial Serentak ....... .
iv
1 1 4
15
23 25 25 28 29 30
32 33 35 36 36 36 37 39 44 47 49 50 50 53 54 54 55 56
m POLllIEDRON NEWTON DAN GAMBAR RAJAH PENUNJUK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Polihedron Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 Hul Cembung Bawah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
Asas Utama Alkhwarizmi Hul Cembung Bawah . . . . . . . . . 63 Alkhwarizmi Hul Cembung Bawah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Pelaksanaan Melalui Komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 Prosedur Bentuk Persamaan Satah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Fungsi Uj i Titik . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .... 67 Fungsi Status Satah ................................. 67
Gambar Rajah Penunjuk .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. 69 Beberapa Tatatanda ................................. 70 Grafik Gambar Rajah Penunjuk ...................... 77
Alkhwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 Perlaksanaan Atureara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 Bueu Polihedron Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 Sisi Permukaan Hul Cembung .................. 78 Persamaan Vektor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79 Menyelesaikan Persamaan Serentak ............. 80 Melakar Gambar Rajah Penunjuk .............. 81
IV PERSILANGAN GAMBAR RAJAH PENUNJUK .. . .. . . . . . . 82 Persilangan Gambar Rajah Penunjuk Tanpa Pertindihan Tembereng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 Penyelesaian Melalui Komputer ...................... 85
Persi langan Gambar Rajah Penunjuk Dengan Tembereng Bertindih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90 Penyelesaian Melalui Komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
Pengitlakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 17
V SET PENYELESAIAN PERSAMAAN KONGRUEN BERKAITAN DENGAN SUATU BENTUK KUBIK . . . . . . . . . 120 Saiz p-adie Pensifar Sepunya bag i f x dan f y • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 124
Penganggaran bagi N ( f x' f y. P Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
v
VI PENGANGGARAN HASIL T AMBAH EKSPONEN BERGANDA DALAM DUA PEMBOLEHUBAH . . . . . . . . . . . . 139 Penganggaran Kekardinalan Set V ( f x ; f y ; P Q ) • • • • • • • • • • • • • 142
Anggaran Hasil Tambah Eksponen 5 (.f ; p (l). • • • • • • • • • • • • • . • 143
VII KESIMPULAN DAN CADANGAN
Peranan Komputer Dalam Kajian ini ....................... .
Hasil Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kesimpulan ............................................ .
152 153 154 156
Cadangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 157
RUJUKAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158 LAMPIRAN .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 VITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
vi
SENARAI JADUAL
Jadual Mukasurat
1. Iumlah Permukaan Maksimum yang d ihasilkan oleh Sesebuah Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
vii
SENARAI RAJAH
Rajah Mukasurat
1 . Sistem Koordinat Tangan Kanan ............................ 26
2. Sistem Koordinat Tangan Kiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
3. Perwakilan Sebuah Titik (x,y,z) dalam Ruang Berdimensi Tiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
4. Poligon Newton yang Disekutukan dengan Poli nomial I(x) = 162+x+x2+3x4+8 1xs+243x6dengan p =3 . ...... 42
5 . Poligon Newton yang Disekutukan dengan I (x) = - 120 + 27 4x -225x2 + 85x3 - 15x 4 + xs; dengan p = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
6. Gambar Rajah Newton bagi
I (x , y) = 27 + x + 9 Y + 3 x y + 2 x y 2 + � X 2 Y + 3 x 3
dengan p = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
61
7. Polihedron Newton yang Dikaitkan dengan Polinomial I(x , y) = 27 + 9x2 y + 3x y + 9x y2; dengan p = 3 . ............ 65
8. Polihedron Newton yang Dikaitkan dengan Polinomial I(x , y) =24+ 4xs + xy + 4x2 y + 16x4y + 3X4 y2
dengan p = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
9. N f yang Dikaitkan dengan Polinomial I (x , y ) = 8 + X 2 + Y 2 + 2 Y ; dengan p = 2. ................... 73
10. Gambar Rajah Penunjuk yang Dikaitkan dengan N f yang berasal dari Polinomial I (x , y ) = 8 + X 2 + 2 y; dengan p = 2. 75
11 . Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polinomial I (x , y ) = 27 + 9 x 2 Y + 3 x Y + 9 x Y 2 ; , dengan p = 3. ........... 76
12. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi f(x,y) = 9x + Y - 27 dan g(x,y) = x + 4y - 9, dengan p = 3. ........................ 86
13. Persi langan Gambar Rajah Penunjuk bagi f(x,y) dan g(x,y) seperti dalam Contoh 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . ... 87
14. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f(x,y) = 2 + x + y, dengan p = 2. ................................. 90
viii
15. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron
Newton yang berasal dari Polinomial f(x,y) = 2 + x + y, dengan p = 2. .. ............................................................................. ".............. 91
16. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial g(x,y)
= 2 + x + 2y, dengan p = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. .. . . .. .. . .. 92
17. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron
Newton yang berasal dari Polinomial f(x,y) = 2 + x + 2y,dengan
p = 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 93
18. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk yang Mewakili
Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f(x,y)
= 2 + x + ydan g(x,y) = 2 + x + 2y,dengan p = 2. ........... 94
19. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial h(x,y)
= 2 + x + xy, dengan p = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
20. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron
Newton yang berasal dari Polinomial h(x,y) = 2 + x + xy ,dengan
p = 2. .. .. .. .. .. .. ...... .. .. .. .. .. .. .. .................. .. ...... .. .. ...... .. ........ .. .. .. .... .. ...... .. .. 96
21. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk yang mewakili
Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial g(x,y)
= 2 + x + 2ydan h(x,y) = 2 +x +xy,dengan p = 2. ... . ...... 97
22. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk yang mewakili
Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f(x,y)
= 2 + x + ydan h(x,y) = 2 + x + xy,dengan p = 2. ........... 99
23. Kombinasi Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan
Polihedron Newton bagi Polinomial
lex , y) =3x2+ 2x y+ y2+27 dan g(x , y) = x2+ 2x y+ 9, dengan p = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101
24. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi Polihedron Newton
yang Dihasilkan dari Polinomial f(x,y) = 2x + 3y - 5 dan g(x,y)
= 4x + 6y -15; dengan p = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
25. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi Polihedron Newton
yang Dihasilkan dari Polinomial f (x , y) = 2 x 2 + 5 Y - 12 dan
9 (x , y) = 7 x 2 + 4 Y - IS; dengan p = 3.
26. Gambar Rajah Penunjuk bagi F(U, V) dan G(U, V) seperti dalam
105
Contoh 12. ............................................. 111
27. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial
lAx, y) = 3x2 + 2x y + y2 + 1, dengan p = 3. ..... . ...................... . ....... . ..... 113
ix
28. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f y( x, y ) = x2 + 2 xy + y2 + 1, dengan p = 3. ............ . . . . . 114
29. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi Polihedron Newton yang Dihasilkan dari Polinomial f xCx,y ) = 3 x2 + 2xy + y2 + 1 dan f y ( x , y ) = X 2 + 2 x Y + Y 2 + 1 ; dengan p = 3. . . . ......... 115
30. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron Newton bagi H(W,R) dan L(w,R) . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . ... . . . . . . 132
x
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
p Nombor Perdana
a Eksponen Nombor Perdana
Z Gelanggang Integer Q Medan Nombor Nisbah R Medan Nombor Nyata C Medan Nombor Kompleks
Z p Gelanggang Integer p-adic
Q p Medan Nombor Nisbah p-adic
[a] Integer Terbesar yang Kecil atau Sarna Dengan a
{a, b) Pembahagi sepunya terbesar bagi a dan b
x n-rangkap pembolehubah C x I , . . • , X n ) F Gelanggang atau Medan
F [�] Gelanggang polinomial dengan pekali dalam F.
Qp S(f;q)
Vi DCL)
TTF
CAD
CAM
CAR
CGAR
RAM
MB
NJ
m-rangkap polinomial ( f I , ... , f m ), m > 1.
Darjah bagi polinomial t Matriks Jacobian bagi t Kuasa tertinggi bagi p yang membahagi a.
Tutupan Aljabar bagi Q p HasiI Tambah Eksponen
Kecerunan bagi t Pembezalayan bagi t Teorem Terakhir Fermat Computer Aided Design Computer Aided Manufacturing Computer Aided Research Computer Graphics Aided Research
Koordinat Mata (eyes)
Koordinat Layar (screen)
Random Acces Memory Mega Bytes
Polihedron Newton xi
V Bueu pada N I E Sisi pada N I
L Unjuran sisi pada N I 0 Pembeza layan.
V(L;po.) Set { � mod p Q : L "'" 0 mod p Q}
N(L;pQ) Kekardinalan bagi set V (L ; pO.) G I(u) Hasil Tambah Gaussian.
maks Maksimum mini Minimum mod Modulo
eksp Eksponen ek(t) e2nitlk
II p Penilaian terhadap p
n Hasil darab
L Hasil tambah
/"0,. Pembeza layan Separa
dm(q) Bilangan perwakilan bagi q sebagai hasil darab m integer positif
pen A Penentu A
inC infimum sup supremum
xii
Abstrak disertasi yang dikemukakan kepada Senat Universiti Pertanian Malaysia sebagai memenuhi syarat bagi Ijazah Doktor Falsafah
SATU PENDEKATAN KOMPUTER TERHADAP PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA
OLEH
ISMAIL BIN ABDULLAH
OKTOBER 1993
Pengerusi Professor Madya Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan
Fakulti Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar,
Dengan n > 0 , � = C X I ' . . • , X n) dan f C � ) suatu polinomial dalam Z [ � 1
Hasil tambah eksponen berganda ditakrifkan sebagai
SCf ;q) = L eXPC2rrifC�)/q) �mod q
dengan hasil tambah diambil ke atas set lengkap reja modulo q > O.
Penyelidikan hasil tambah eksponen bagi polinomial dua pembolehubah
dengan pekali dalam medan p-adic dikaji dengan menggunakan teknik poIihedron
Newton. Gambar rajah penunjuk telah dikemukakan bagi menolong dalam kajian
selanjutnya, tetapi kesukaran timbul dalam kes di mana kombinasi gambar rajah
penunjuk bertindih pada bucu dan tembereng tertentu. Dalam kes itu teknik
polihedron Newton hingga kini belum dapat memberikan maklumat tepat
mengenai saiz punca sepunya p-adic yang sangat diperlukan dalam proses pen
ganggaran hasil tambah eksponen.
Masalah pertindihan gambar rajah penunjuk pada bucu dan tembereng diteliti
secara lebih mendalam. Kombinasi gam bar rajah penunjuk menghasilkan persi
langan dalam pelbagai bentuk. Salah satu kombinasi yang dihasilkan ialah persi-
xiii
langan tepat atau persilangan mudah. Telah dibincangkan dan dibuktikan bahawa
persilangan yang demikian akan menghasilkan pensifar sepunya. Satu pengitlakan
telah dibuat sebagai berikut:
Katakan I dan g dua buah polinomial dalam Z p [ x , y ] mempunyai pensifar
sepunya dalam n p. Biarkan ( � , A) menjadi sebarang titik sepunya pada kedua
dua gambar rajah penunjuk yang disekutukan dengan Idan g. Maka terdapat � , 11,
M dan N sedemikian hingga ord p � = � + ord p M dan ord p 11 = A + ord p N dan
f ( � , 11 ) = 9 ( � , 11 ) = O. Nilai M dan N dapat ditentukan setelah nilai bagi ( � , A)
diketahui melalui persilangan pada gambar rajah penunjuk.
Melalui beberapa contoh yang dikemukakan dan diselesaikan melalui bantuan
komputer, didapati bahawa wujud penyelesaian bagi persilangan gambar rajah
penunjuk yang bertindih baik di bucu atau tembereng.
Katakan I dan g dua buah polinomial dalam Z p [ x , y ]. Jika ( � , 11 ) ialah
pensifar sepunya bagi I dan g maka terdapat titik sepunya (11, A) berada pada
kedua-dua gambar rajah penunjuk yang dikaitkan dengan I dan g sedemikian
hingga ord p � = 11 dan ord p 1l = A.
Anggaran bagi S(f;p) boleh dibuat melalui proses induksi dan cara termudah
ialah dengan mengira penyelesaian bagi sistem persamaan kongruen. Polinomial
berikut yang berbentuk kubik telah dikaji
dan pembeza layan 0 yang bersesuaian dengannya didapati sebagai
xiv
0 = maks{ord p3a, ord pb, ord pC, ord p3d}
Melalui pembeza layan tersebut anggaran yang lebih baik dapat dihasilkan
bagi S ( f ; p a) untuk polinomial berkenaan. Proses penjelmaan telah digunakan
bagi menjadikan polinomial di atas polinomial satu pembolehubah dan dengan
menggunakan kaedah polihedron Newton kewujudan penyelesaian mereka dapat
dibuktikan. Kekardinalan bagi set V (f x' f y ; p (l) untuk suatu polinomial f(x,y)
dapat ditentukan dan anggaran S (f ; p a ) diperolehi.
xv
Abstract of d issert\ttion submitted to the Senate of U niversiti Pertanian Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Doctor of Philosophy
A COMPUTER APPROACH TO THE ESTIMATION OF MULTIPLE EXPONENTIAL SUMS
BY
ISMAIL BIN ABDULLAH
OCTOBER, 1993 Chairman Assoc. Professor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan
Faculty Faculty of Science and Environmental Studies,
With n > 0 , � = (x I , . . . , x ,J and f (�) is a polynomial in Z [�l the mul-
tiple exponential sum is defined to be
S(f;q)= I exp(2Jtif(�)/q) �modq
where the sum is taken over a complete set of residues modulo q > O.
Investigations on the sums when f is a two-variable polynomial with coeffi
cients in the p-adic field is studied using the Newton polyhedron technique. The
concept of Indicator diagrams is introduced to help further investigation, but
ambiguities, however, arise in cases where the combinations overlap in certain
segments of the indicator diagrams. In such cases the present Newton polyhedron
technique does not give exact information on the p-adic sizes of common zeros
which are vital in the estimations of the sums.
The problem of overlapping of indicator diagrams at the vertices and segments
are looked into in depth. The combinations of indicator diagrams results in various
xvi
forms of intersections. One of the combinations is the simple intersection. It has
been discussed and proved that such intersection gives common zeros. A gener
alization has been made as follows:
Let/and g be two polynomial in Z p[ x , y] having common ieros in .Q p. Let
( � , A) be any common point on both indicator diagrams associated with / and g.
Then, there exists � , T\, M and N such that ord p � = � + ord pM and
ord p T\ = A + ord p Nand f ( � , T\) = g ( �, T\) = o. Values of M and N can be deter
mined after the values of ( � , A) are known as a result of the intersection of the
indicator diagrams.
Through several examples that are considered and solved using the computers,
it i s found that the solution exists in cases of overlapping vertices and segments of
the indicator diagrams associated with certain polynomials.
Let / and g be two polynomials in Z p [ x , y]. If (� , T\) ,is the common zeros
of / and g, then there exists common point ( �, A) on both indicator diagrams
associated with / and g such that 0 r d p � = � and 0 r d p TJ = A.
The estimate of S(f;p) can be obtained through the induction process and the
easiest method to do that is by counting the solutions of systems of congruence
equations. The following polynomial in a cubic form has been studied
and the appropriate discriminant 0 has been found as
6 = m ax { ord p3a, ord pb, ord pC, ord p3d}
xvii
With the discriminant a better estimate of S (f ; p Cl) for the polynomial is
obtained. Transformation process is applied to transform the polynomial to a
polynomial of one variable and by using the Newton Polyhedron technique the
existence of the solution is proved. The cardinality of the set V (f x , f y ; P <l) for
polynomial f(x,y) can be determined and the estimate of S ( f ; P <l) obtained.
xviii
BABI
PENDAHULUAN
Tatatanda dan Takrifan
Z, Q, R dan C masing-masing menandakan gelanggang integer, medan nombor
nisbah, medan nombor nyata dan medan nombor kompleks. Dengan p senantiasa
menandakan nombor perdana, Q p pula mewakil i medan nombor p-adie dan Z p
gelanggang integer p-adie, sementara .Q p ialah suatu perluasan medan aljabar bagi
Qpo
Huruf keeil Roman mewakil i unsur-unsur dalam Z atau Z p. Huruf Greek a
adalah senantiasa eksponen bagi suatu nombor perdana p. Simbol [] menandakan
fungsi integer terbesar. Jika a E R, maka [a] akan bermakna integer terbesar yang
lebih keeil atau sarna dengan a. Tatatanda (a,b) menandakan pembahagi sepunya
terbesar bagi a dan b, keeuali pada masa-masa tertentu yang penggunaannya jelas
merujuk kepada pasangan tertib .
Tatatanda x menyatakan pembolehubah-pembolehubah
rangkap-n (x I , • • • • , X n), n � 1 dan F mewakil i gelanggang atau medan, F [ � ]
bermakna gelanggang polinomial dengan pekali dalam F. Bagi kegunaan kita F
akan merujuk sarna ada kepada Z atau Q p atau perluasan medan bagi Q po
2
takan darjah f dengan drjh f dan mentakrifkannya sebagai
drjhf = maks(i,+ . . . + in). 'I" .in
S imbol .f mernbawa makna suatu polinornial rangkap-n (f I , • . . , f m ), m > I
dalarn F [x] dan J l ialah rnatriks Jacobian [::: J, 1 � i S rn, 1 S j s n bagi poli
nomial .f.
Andaikan L = (f I , ... , f m ) ialah rangkap-m bagi polinornial l inear dalarn
F [ �l Jika f i = I: a ij x j, 1 SiS rn, 1 S j S n, kita sebut rnatriks m x n, a ij dengan
julat yang sarna bagi i dan j, sebagai rnatriks rnewakil i l Sirnbol eksponen seperti biasa ditakrifkan sebagai exp (y) = e Y dan bagi suatu
integer k positif,e k (t) = ex p ( 2 nit / k), bagi sebarang t E Z.
Misalkan p sebarang nornbor perdana. Bagi sebarang integer tak sifar a,
ord p a rnenyatakan kuasa tertinggi bagi p yang rnernbahagi a, iaitu m yang terbesar
sedemikian hingga a"" 0 ( m od pm).
Jika x = alb sebarang nornbor nisbah , rnaka kita rnentakrifkan or d p x sebagai
K ita rnentakrifkan suatu pernetaan yang ditandakan dengan II p pada Q sebagai berikut:
jika, X :F 0
jika, x=o
3
Boleh diperlihatkan bahawa pemetaan I I p seperti yang d itakrifkan di atas
adalah penilaian tak-arkhimedes pada Q. Suatu jujukan {a,} yang terdiri dari nombor nisbah disebut sebagai jujukan
Cauchy j ika untuk suatu nombor E> 0 terdapat suatu N sedemikian hingga
I a, - a,' I p < E , apabila kedua-dua l, i ' > N. Kita sebut dua jujukan Cauchy {a,}
dan {b i} setara j ika had I a, - b, I p = o. ,-10>
Kita takrifkan medan Q psebagai set kelas kesetaraan jujukan Cauchy dalam
Q, iaitu Q p ialah pelengkap bagi Q terhadap penitaian II po
Kita tandakan dengan Q p tutupan aljabar bagi Q p dan dengan n p pelengkap
bagi Q p terhadap penilaian I I po Kita perhatikan bahawa penilaian II p boleh
diperluas secara unik dari Q p ke Q p dan .0. P' dengan .0. P lengkap dan tertutup
secara aljabar.
Dengan takrifan di atas kita nyatakan takrifan berikut bagi poligon Newton
bagi polinomiaI dengan pekali dalam medan p-adic seperti yang diberikan oleh
Koblitz ( 1977) .
Takrifan 1 Jika,
n [ex) = L a,x' ,- 0
suatu polinomiaI d i dalam n p [ x 1 maka poligon �ewton bagi f ialah hull
cembung bawah bagi set titik-titik (i, ord p a). J ika a J = 0 bagi j tertentu, maka
kita ambit 0 r d " a I = 00. I ni bermakna pol igon Newton bagi.f adalah garis pol igona I
4
yang terhasil melalui pemutaran garis mencancang melalui (0,01 d I' ( ( ,)
mengikut lawan arah putaran jarum jam sehingga garis itu membengkok di
sekelil ing titik-titik (t, ord p a I) dan akhirnya mencapai titik (n , ord "a n). Latar Belakang
Hasil tambah eksponen ditakrifkan sebagai
S(f;q)= I eq(f(�) � mod q
bagi setiap f E Z [ � ] dengan q ialah suatu integer positif berdarjah lebih besar
daripada 1 . Hasil tambah diambil bagi set lengkap reja x modulo q. Setiap
komponen bagi x E Z mempunyai nilai yang sepadan dalam set lengkap reja
modulo q. Pernyataan x mod q merujuk kepada set semua x yang apabiJa
dibahagi dengan q meninggalkan baki salah satu unsur dari set {O,I,2, .. . ,q-l}. Davenport ( 1959) , Igusa ( 1978) dan Schmidt ( 1982) memperihalkan peranan
penting hasil tambah eksponen dalam teori nombor anal isis .
Perhatikan polinomial
di dalam Z[xJ berdarjah m > 1. Kajian yang sistematik mengenai [ 1 ] bagi n yang
lebih besar dan dalam kes satu pembolehubah telah dibuat oleh Hardy dan
Littlewood ( 1919) yang ada kaitan dengan masalah Waring. Mereka memhuat
kesimpulan , jika (a n , q) = 1 maka untuk sebarang E > 0
IS(f;q)l�cql-21-m+E .
5
dengan c suatu pemalar yang tak bersandar pada q. Kamke ( 1923/24) juga
memperolehi keputusan yang sarna apabila beliau menyelidiki masalah taburan
bahagian pecahan polinomial dan masalah Waring bagi polinomial . Mordell
( 1 932) membuktikan bahawa
1 SC/;q) I$Cpl-(�)
dengan c suatu pemalar, yang tak bersandar pada p. Dengan menggunakan
keputusan ini, Hua ( 1940) mendapati bahawa untuk sebarang E > o.
[? 1
dengan c suatu pemalar yang bersandar pada m dan E sahaja. Keputusan Hua
telah diperbaiki oleh Jing-Run Chen ( 1977) yang menunjukkan bahawa jika
kandungan bagiJ:f{O) perdana relatif terhadap q, maka
1--1-ISC/;q)I$C?7(n+l)q (nol)
Berdasarkan kajiannya ke atas hipotesis Riemann, Weil ( 1 948) mendapatkan
anggaran
1 SC/ ;q) I::; Cm - I )p(�)
untuk 2::; m < p. Menggunakan anggaran ini, Necaev ( 1953) membuktikan
bahawa
6
dengan c suatu pemalar bersandar pada m sahaja. Anggaran Hua [2] telah oigu
nakan oleh Stechkin ( 1980) bagi menunjukkan bahawa
untuk pemalar mutIak positif e tertentu , dengan e(f) menandakan kandungan bagi
1-f(O) . Perhatikan h suatu polinomial dalam R [x ] dengan pemfaktoran
m h=cn(x-ul) i- I
di dalam tutupan aljabar K medan pembahagi bagi R. Takrifkan pembeza layan
h dengan
D(h)=c2(m-l) n (ai-aj)2 i<j
Melalui takrifan pembeza layan ini Smith ( 1980) telah membuktikan bahawa
j ika pembeza layan D (f ' ) bagi f' terbitan bagi I dalam Z [x ] bukan sifar maka
I I S (f ; q) I � q 7. ( D (f ') , q) d m-l (q)
untuk semua q � 1 , dengan d j (q) menyatakan bilangan perwakilan bagi q
sebagai hasildarab j nombor positif, dan (D (f ' ) , q) menandakan pembahagi
sepunya terbesar bagi kedua-dua sebutan berkenaan.
Andaikan f ( x ) = L: a I X m -1 = a 0 n ( x -t, I ) Q I dengan t, i . . . t, k adalah
nombor aljabar yang berbeza dan e i gandaan bagi t, i' 1 � i � k . Chudnovsky
( 1974) memperkenalkan pembeza layan separa bagi I dengan mentakrifkannya
sebagai