universiti putra malaysia satu kaedah penganggaran...

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH

SITI HASANA BINTI SAPAR

FSAS 2001 51


SIT I HASANA BINTI SAPAR

MASTER SAINS UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

2001

SATU KAEDAH PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH

Oleh


Tesis Yang Dikemukakan Sebagai Memenubi Keperluan Untuk Ijazab Master Sains di Fakulti Sains Dan Pengajian Alam Sekitar

Universiti Putra Malaysia

Februari 2001

Salam kasih dan sayang

SaparDimen AishahKassan

Ajwad Abu Hassan Nurul Atikah

Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains.


Oleh

SITI HASANA BINTI SAP AR

Februari 2001

Pengerusi : Profesor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan

Fakulti Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar

menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan 1 suatu

polinomial dalam X berpekalikan unsur dalam Z. Hasil tam bah eksponen

2m/(x) yang disekutukan dengan 1 ditakrifkan sebagai S(/; q) = Ie q yang

dinilaikan bagi semua nilai x di dalam set reja lengkap modulo q.

Peranan anggaran S(/; q) adalah penting dalam beberapa bidang kajian teori

nombor analisis. Ianya dapat membantu menghasilkan keputusan-keputusan

yang lebih jitu dalam masalah-masalah yang berkaitan. Seperti yang telah

ditunjukkan oleh beberapa penyelidik terdahulu, antaranya Loxton dan Smith,

nilai S( I; q) adalah bersandar kepada penganggaran bilangan unsur IVI yang

terdapat dalam set

III

v = tKmod q I [K == QmodqJ

dengan f menandakan polinomial-polinomial terbitan separa f terhadap -K

Kajian yang dijalankan merupakan lanjutan daripada kajian pengkaji-pengkaji

dahulu. Penyelidikan ini menumpukan kepada masalah penentuan mencari

pensifar dalam kes-kes berlakunya pertindihan di bucu dan sisi-sisi

gambarajah penunjuk bagi polinomial berdarjah dua dan tiga, seterusnya

mencari penganggaran hasil tambah eksponen bagi polinomial-polinomial

tersebut. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan menggunakan kaedah p-

adic dan Teknik Polihedron Newton yang disekutukan dengan polinomiaI-

polinomial terbabit.

IV

Abstract of thesis presented to the Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science

A METHOD FOR AN ESTIMATION OF EX�ONENTIAL SUM IN TWO VARIABLES

By


February 2001

Chairman: Professor Dr. Kamel Arimn Bin Mohd Atan

Faculty : Faculty of Science and Environmental Studies

Let X = (x) , x2 , ••• , xn ) be a vector in a space Zn with Z ring of integer and let q a positive integer and f a polynomial in X with coefficients in Z. The

2mj(x) exponential sum associated to f is defined as S(f;q) = Ie q , where the sum is taken over a complete set of residues modulo q.

Estimation of S(f;q) is important in several areas of Analytic Number Theory .

It could help to yield a more accurate result in related problems. As shown by

several previous researchers , among them Loxton and Smith, they show that the

value of S(f;q) depends on the estimation of the number lVi, the number of

elements contained in the set

v = {X modq I Lx == Qmodq}

with f K

as the partial derivative of f with respect to X = (x) , x2 , ••• , xn ) .

v

Our research is a continuation of research done before. This research concentrates

on the problem of determining the common zeroes in cases where overlapping

occurs at vertices and line segments of indicator diagrams associated for second

and third degree polynomials. Subsequently estimations for of an exponential sum

for these polynomials are arrived at. The approach is done by using p-adic

method and the Newton Polyhedron Techniques which are associated with these

polynomials.

vi

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Mengasihani.

Kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat Ilahi kerana dengan limpah

kumianya dapat saya menyiapkan tesis ini.

Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi lawatankuasa

Penyeliaan iaitu Professor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan diatas segala

kesabaran, sokongan, bantuan, dorongan dan bimbingan beliau dapat saya

menyiapkan tesis ini.

Ribuan terima kasih juga diucapkan kepada Dr. Hj . Ismail bin Abdullah dan

Dr. Mohd Rushdan bin Md. Said kerana bantuan dan tunjukajar yang telah

mereka berikan disepanjang saya menyelesaikan tesis ini.

Akhir sekali saya mgm merakamkan penghargaan buat ahli keluarga

terutamanya Ibu, Abah, suami dan anak kerana tidak jemu memberi

dorongan dan semangat sehinggalah penulisan ini selesai.

VII

Saya mengesahkan bahawa lawatankuasa Pemeriksa bagi Siti Hasana bt. Sapar telah mengadakan pemeriksaan akhir pada 20hb. Februari, 2001 untuk menilai tesis Master Sains beliau yang bertajuk "Satu Kaedah Penganggaran Hasil Tambah Eksponen Dua Pembolehubah" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah Lanjutan) 1 980 dan Peraturan-peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 198 1 . lawatankuasa pemeriksa memperakukan bahawa cal on ini layak dianugerahkan ijazah tersebut. Anggota lawatankuasa Pemeriksa adalah seperti berikut:

Haj i Harun Budin, Ph.D. Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)

Kamel Ariffin Mohd Atan, Ph.D. Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Ahli)

Haji Ismail Abdullah, Ph.D. Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Ahli)

Mohd Rushdan Md. Said, Ph.D. Fakulti Sains -dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia (Ahli)

Profes Timbalan Dekan Pengaj ian Siswazah Universiti Putra Malaysia

Tarikh : 2 0 MAR 2001

Vlll

resis ini telah diserahkan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi keperluan untuk Ijazah Master Sains.

IX

KAMIS A WANG, Ph.D. Profesor Madya Dekan Pusat Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia

Tarikh :

Saya mengaku bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang telah diberikan penghargaan di dalam tesis. Saya juga mengaku bahawa tesis ini tidak dimajukan untuk ijazah-ijazah lain di Universiti Putra Malaysia atau institusi-institusi lain.

Siti Hasana bt. Sapar

Tarikh: ;)0 - � - ;loo I

x

KANDUNGAN

DEDIKASI ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN LEMBARAN PENGESAHAN PENYAT AAN KEASLIAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

BAB

I

II

III

IV

V

PENGENALAN Latar Belakang Permasalahan

POLIHEDRON NEWTON DAN GAMBARAJAH PENUNJUK Polihedron Newton Normal ke Polihedron Newton Gambarajah Penunjuk

PENSIFAR DAN PERSILANGAN G�BARAJAH PENUNJUK Pensifar Persilangan Gambarajah Penunjuk

PENGANGGARAN KEKARDINALAN SET PENYELESAIAN PERSAMAAN KONGRUEN

Penganggaran Kekardinalan Set V (IT' iy ; P a )

PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA DAL� DUA PEMBOLEHUBAH Hasil Tambah Eksponen

xi

Muka surat

11 111 v

V11 Vlll

x Xlll XIV

XV11

1 1 7

12 12 20 21

28 28 28

84 84

92 92

VI KESIMPULAN DAN CADANGAN Hasil Kajian Kesimpulan Cadangan

BIBLIOGRAFI VITA

XII

1 04 1 04 109 1 1 2

1 1 3 1 1 6

Jadual

SENARAI JADUAL

Permukaan maksimum yang terbentuk oleh

polinomial

xiii

Muka Surat

1 7

SENARAI RAJAH

Rajah Muka sura1

1 Gambarajah Newton bagi f(x,y) = 3x2 + 2xy - y2 + 27 dengan p = 3 13

2 Gambarajah Newton bagi f(x,y) = 9x2 + x2y2 + 3xy + x + 1 8 dengan p =3 13

3 Gambarajah Newton bagi f(x, y) = 2X2 + 6y2 + 3xy + x + 9 dengan p =3 14

4 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 9 + 3x + xy dengan p = 3 1 5

5 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 3x2 + 2xy - / + 27 dengan p = 3 1 5

6 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x, y) = 9x4 + 3x3y + xy2 + 9xy + 3y2 + 27 dengan p =3 16

7 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 3x2 y + xy + 3xy2 + 9 dengan p = 3 1 6

8 Gambarajah penunjuk yang dikaitkan dengan N f yang berasal dari polinomial f(x,y) = 9 + 3x + xy dengan p = 3 24

9 f(x,y) = 3x2 + 2xy - y2 + 27 dengan p=3 denganNf dipaparkan dalam Rajah 7 25

1 0 f(x,y) = 9x4 + 3x3 Y + xy2 + 9xy + 3y2 + 27 dengan p=3 dan N f dipaparkan dalam Rajah 6 25

1 1 Gambarajah penunjuk bagi f(x, y) = 8x + 5 y - 1 5 dan g(x,y) = l Ox + 12y + 30 dengan titik persilangan ( 1 , 1 ) 30

12 Rajah 12(a) hingga 12(t) gabungan gambarajah penunjuk f(x, y) = ax + by + c dan g(x, y) = rx + sy + ( 35 - 37

XIV

1 2

1 3

14

1 5

16

17

1 8

19

20

2 1

Rajah 1 2(g) gabungan gambarajah penunjuk f(x, y) = ax + by + e dan g(x, y) = rx + sy + t

Rajah 1 3(a) hingga 1 3(1) gabungan gambarajah penunjuk bagi f(x, y) = ax2 + by2 + m dan g(x, y) = dx2 + e/ + e

Rajah 14(a) hingga 14(c) adalah gabungan gambarajah penunjuk bagi fx(x,y) = 3ax2 + by2 + e dan fy (x,y) = 2bxy + d

Rajah 1 5( a) hingga Rajah 1 5( c), gabungan gambarajah penunjuk bagi h(x,y) = 3ax2 + by + d dan g(x,y) = bx + e

Gabungan gambarajah penunjuk bagi fx (x, y) = 3ax2 + c (garis lurus) dan fy (x,y) = 3by2 + d

Gabungan gambarajah penunjuk fAx,y) = 3ax2 + 2bxy + ey2 + e

(garislurus) dan fy (x,y) = bx2 + 2exy + 3dy2 + m (garis putus-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk fAx,y) = 3ax2 + 2bxy + ey2 + e (garislurus) dan f/x,y) = bx2 + 2exy + 3dy2 + m (garis putus-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk bagi G(X,y) = aX2 + by2 + 2axoX + 2byoY + fo (xo , yo ) (garis lurus) dan H(X, y) = dJ(2 + ey2 + 2dxoX + 2eyoY + go (xo ,Yo ) (garis pututs-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk bagi G(X,Y) = 2aX + bY + fx (xo , yo ) (garis lurus) dan H(X,y) = bX + 2eY + f/xo ,yo ) (garis putus-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk G(X,Y) = 3aX2 + by2 + 6axoX + 2byoY + fAxo Yo ) (garis lurus)

H(X,Y) = 2bXY + 2bxoY + 2byoX + fy (xo ,yo )

xv

40

46 - 49

55 -56

60 - 6 1

64

66

71

75

78

80

22 Gabungan gambarajah penunjuk bagi G(X,Y) =: 3aX2 + 6axoX + fx(xo ,Yo ) dan

H(X, Y) = 3by2 + 6byoY + f/xo ,Yo )

xvi

82

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

p

a.

z

Q

[a.] x

I

darjhl

Qp S(/; q)

VI

D(/)

E

L

Nombor perdana

Eksponen nombor perdana

Gelanggang Integer

Medan Nombor Nisbah

Gelanggang Integer p-adic

Medan Nombor Nisbah p-adic

Perluasan medan tutupan aljabar

Integer terbesar yang kecil atau sarna dengan a. n-rangkap pembolehubah (XPX2, . .. , XJ, n � 1

m-rangkap polinomial (j;, 12 , ... , IJ, m � 1

DaIjah polinomial I

Matriks Jacobian bagi I ,

Kuasa tertinggi p yang membahagi a.

Tutupan Aljabar Qp Hasil tambah eksponen

Kecerunan I

Pembeza layan I

Polihedron Newton

Bucu pada Nf Sisi pada Nt Unjuran sisi pada N f Pembezalayan

Set L!modpa :/=Omodpa}

XVll

N(/;pa) Gf(u)

maks

mm

mod

eksp

ek (f(t» L A inf

sup

penJf

Kekardinalan bagi set V (f; p a ) HasH tambah Gaussian

Maksimum

Minimum

Modulo

Eksponen 2ml(t){

e k

Hasil tambah

Pembezalayan separa

Infimum

Supremum

Penentu Matriks Jacobian bagi f

XVlll

BAB I

PENGENALAN

Latar Belakang

1

Dalarn Teori Nombor Analisis, rarnai pengkaji telah memperihalkan peranan

penting hasil tambah eksponen di antaranya ialah Davenport( 1 959) , Igusa( 1 978)

dan Schmidt(1 982). Hasil tambah eksponen ditakritkan sebagai

S(f;q) = Leq(f(�»

dengan hasil tambah dinilaikan bagi � dalarn set lengkap reja mod q.

Hardy dan Littlewood ( 19 19), Deligne ( 1 974), Loxton dan Vaughan ( 1985) dan

rarnai lagi telah mengkaj i hasil tarnbah S(f;q) dengan f polinomial tak linear

dalarn z[x]. Hasil tambah S(f;q) dalarn kes satu pembolehubah telah dikaji oleh

Hardy dan Littlewood ( 19 19) berhubung dengan masalah Waring.

Pada tahun 1 940, Hua telah mendapati bahawa untuk sebarang & > 0 , maka

I S(f;q) I� Cpl-(Ym�&

dengan c pemalar yang bersandar kepada m dan & sahaja. Keputusan Hua telah

diperbaiki oleh ling-Run Chen (1 977) yang menunjukkan bahawa jika kandungan

bagi f -f(O) perdana relatifterhadap q, maka

IS(f;q)1 � e7(n+l)ql-(n�J

Anggaran Hua telah digunakan oleh Stechkin ( 1980) bagi menunjukkan bahawa

IS(/;q)1 � emql-Ym(e(/),q)Ym

2

untuk pemalar mutlak positif e tertentu, dengan e(f) menandakan kandungan bagi

1 - 1(0) .

Pada tahun 1 974 pula Deligne menunjukkan bahawa untuk suatu nombor perdana

p,

IS(/;p)1 � (m -IY p"h.

dengan m menyatakan jumlah darjah bagi sesuatu polinomial f, apabila bahagian

homogen bagi 1 berdarjah terbesar tak singular modulo p. Kajian Deligne ini

membuka jalan bagi mendapatkan anggaran yang lebih tepat bagi IS(/;q)1 untuk

polinomial am 1 dalam beberapa pembolehubah. Contohnya pada tahun 1985,

Loxton dan Vaughan telah mendapat anggaran yang lebih tepat bagi hasil tambah

IS(/;q)l. Walaubagaimanapun keputusan yang umum bagi polinomial untuk

beberapa pembolehubah masih lagi dalam pencarian.

Peranan Poligon Newton bagi mendapatkan sifat-sifat pensifar polinomial dalam

satu pembolehubah telah diketahui umum. Misalnya dalam membuktikan Teorem

Puiseux, iaitu dalam memperkembangkan siri kuasa bagi fungsi algebra, Poligon

Newton telah digunakan. Sathye ( 1983) juga menggunakan kembangan am

Newton Puiseux, walaupun dengan menggunakan kaedah yang berlainan. Loxton

3

dan Smith ( 1986) telah mengkaji penggunaan Poligon Newton bagi mendapatkan

keputusan yang sama dengan Sathye(1983).

Dalam kes p-adic pula, Po ligon Newton dapat menghasilkan maklumat yang

lengkap mengenai saiz dan bilangan pensifar bagi polinomial satu pembolehubah

dengan pekali dalam Op iaitu tutupan aljabar bagi medan nombor p-adic Q p •

Pada tahun 1977 pula Koblitz memperkenalkan Poligon Newton dalam kes p-adic

bagi polinomial siri kuasa dalam Op[X] dengan Op perluasan medan tutupan

aljabar bagi Qp. Beliau menunjukkan bahawa jika A kecerunan bagi suatu

tembereng pada Po ligon Newton bagi suatu polinomial f dengan beza N, antara

ordinat-ordinat-x titik hujung tembereng itu, maka terdapat N pensifar bagi f

dengan peringkat p-adic - A .

Bagi sebarang perdanap, tuliskan f = U;,f2 , ••• , fn ) untuk menandakan vektor n

polinomial dengan pekali dalam Z p set integer p-adic dan � = (XI' x2 , ••• xn ) .

Pertimbangkan

V(f;pa ) = {�modpa I f(�) E Qmodpa }

dan biarkan N (f;pa ) menandakan kekardinalan bagi V(f;pa) dengan a > 0

dan � mengambil nilai dalam set reja lengkap modulo pa .

4

Loxton dan Smith ( 1982) mengkaji penggunaan Poligon Newton dan

memperolehi keputusan yang berikut :

Katakan K medan nombor aljabar yang dijanakan oleh �, pensifar kepada f{x)

dalarn Z[x] dengan 1 < i ::s; m , maka

jika a > 8" Di sini m adalah bilangan punca yang berlainan j{x) dan

8 = ord p D(/) dengan D(/) merupakan persilangan unggulan pecahan K yang

dijana oleh

e,l , i > 1

dengan e, gandaan pensifar �,"

Dengan menggunakan Lema Hensel, Chalk dan Smith ( 1982) memperolehi hasil

yang berbentuk sarna dengan 8 = maks ord pI, dengan f, pekali Taylor

e,l

pada pensifar-pensifar yang berlainan �, "

Loxton dan Smith ( 1 982) pula menunjukkan bahawa bagi I = (1; ,/2 '"""' In)

jika a ::S; 28

jika a > 28

dengan 8 = ord pl1([ ) dengan 11([) menandakan pembezalayan [ "

Mohd Atan dan Loxton ( 1986) memperkembangkan idea poligon Newton dalam

kes p-adic dalam dua pembolehubah dan dikenali sebagai Kaedah Polihedron

Newton. Kaedah ini telah digunakan oleh para pengkaji diantaranya Mohd Atan

( 1986) , Abdullah ( 1992) , Chan ( 1997) dan Heng ( 1999). Berikut adalah diantara

keputusan yang telah diperolehi untuk mendapatkan penganggaran hasil tam bah

dengan menggunakan kaedah polihedron Newton.

Katakan A perwakilan matriks bagi polinomial linear I dengan pekali dalam

gelanggang p-adic Zp dan a > 0 , Mohd Atan ( 1988) menunjukkan bahawa

jika a 5, 0

jika a > 0

dengan 0 minimum peringkat p-adic bagi r x r submatrik tak singular bagi A.

Beliau juga menunjukkan kes khusus iaitu apabila n = 2 maka

dengan f dan g polinomial linear dalam Zp[XJI] dengan a > 0 dan 0 = ord pJ fg'

iaitu peringkat p-adic bagi Jacobianl dan g .

Seterusnya Mohd Atan ( 1988) mengkaji polinomial [ = (Ix ' Iy ) dengan lx , Iy

pembezaan separa terhadap x dan y bagi polinomial

universiti putra malaysia satu kaedah penganggaran...

Documents