TRANSFORMASI MATRIKS

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

agustina.fmipa@unej.ac.id

Definisi : BEBAS LINIER

k

vvv ,,21

02211 kkvvv

021

k

dikatakan bebas linier jika persamaan

Suatu himpunan vektor-vektor

mengakibatkan skalar-skalar

Definisi : TAK BEBAS LINIER

Suatu himpunan vektor-vektor

m

vvv ,,21

02211

mm

vvv

m ,,,

21

dikatakan tak bebas linier jika terdapat

skalar-skalar

yang tidak semuanya nol sedemikian

sehingga dipenuhi

Rank Baris suatu matriks dimaksud

banyak maksimum vektor-vektor baris

yang bebas linear.

Rank Kolom suatu matriks dimaksud

banyak maksimum vektor-vektor

kolom yang bebas linear.

Di dalam setiap matriks maka rank-

baris=rank-kolom dan disebut rank

dari matriks itu.

1. Suatu matriks A mempunyai rank

r[r(A)], jika dapat ditemukan r vektor

baris (kolom) yang bebas linier,

sedangkan setiap r+1 vektor baris

(kolom) tak bebas linier.

2. Suatu matriks A mempunyai rank r,

jika dapat ditemukan minor berderajat

r yang tidak nol, sedangkan setiap

minor berderajat r+1 sama dengan nol.

Definisi : RANK MATRIKS

Matriks Kanonik atau matriks eselon

baris terreduksi dgn rank r adalah

matriks dgn sifat :

1. Elemen pada setiap r baris pertama tidaksemuanya nol, sedangkan elemen pada barisyang lain, jika ada semuanya nol

2. Dalam baris ke-i(i=1,2,3,… r), elemen taknol yang pertama adalah 1.(sebut kolom yangmemuatnya dengan kolom ke-ji )

3. Satu-satunya elemen tak nol pd kolom ke-jiadalah 1.

Penentuan rank matriks, dapat

menggunakan transformasi elementer

yaitu merubah suatu matriks menjadi

matriks kanonik/matriks eselon baris

terreduksi

000

010

001

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

Dalam mengubah suatu matriks A ke

matriks kanonik dapat digunakan :

1. Jika (elemen baris ke-i kolom

ke ji) → memperoleh

elemen 1

011

ja

)(11

11 ja

A

2. Jika tetapi 011

ja 0

1

pj

a pA1

3. Untuk mendapatkan elemen nol

pada kolom ke ji )(kAij

Cari rank matriks berikut ini

7621

5342

4121

A

Jawab

7621

5342

4121

)2(21A

7621

3500

4121

CONTOH

)1(31A

7621

3500

4121

3500

3500

4121

)1(12A

3500

100

4121

53

3500

100

021

53

1517

0000

100

021

53

1517

)(51

2A

)5(32A

2A rank

kanonikBentuk

Suatu matriks B disebut ekuivalen

dengan matriks A [BA], jika

matriks B dapat diperoleh dari

matriks A dengan menggunakan

transformasi elementer pada

matriks A tersebut.

D

E

F

I

N

I

S

I

Matriks Ekuivalen

Diberikan

0441

6312

3201

A

Dilakukan transformasi elementer baris pada

matriks A tersebut, yaitu A31(3) diperoleh

BA

91044

6312

3201

)3(31

Matriks B ekuivalen baris dgn matriks A

CONTOH

Dengan menggunakan transformasi

elementer, setiap matriks tak nol A

[r(A)=r] bisa dibawa kebentuk

normal N. [transformasi elementer baris

dan kolom dapat digunakan secara

bersamaan]

D

E

F

I

N

I

S

I

Bentuk Normal Matriks

0atau 0atau

00

0atau

r

r

r

r

II

II

Diberikan

0441

6312

3201

A

Dilakukan transformasi elementer pada

matriks A tersebut, yaitu B21(-2) dan B31(-1)

CONTOH

3240

0110

3201

)4(),1(322 BB

)( 21

3B

3240

0110

3201

3200

0110

3201

23100

0110

3201 )( 23

43K

0100

0110

0201

0100

0010

0001

)2(),1(1323 BB

03

I

Sebuah matriks nxn dinamakan

matriks elementer jika matriks

tersebut dapat diperoleh dari

matriks identitas (satuan) [In]

dengan melakukan sebuah

transformasi elementer tunggal.

D

E

F

I

N

I

S

I

Matriks Elementer

Iij Matriks yang diperoleh dari matriksidentitas I, dengan menukarkan baris/kolomke i dengan baris/kolom ke j.

JENIS Matriks Elementer

Iij(k) Matriks yang diperoleh dari matriksidentitas I dengan (baris ke i) + k (baris kej) atau (kolom ke j) + k (kolom ke i)

Ii(k) Matriks yang diperoleh dari matriksidentitas I, dengan menggandakanbaris/kolom ke i dengan skalar k≠0.

0010

0100

1000

0001

1000

0100

0010

0001

a.244

II

100

010

301

)3(

100

010

001

c.133

II

30

01)3(

10

01 b.

22II

CONTOH

1. Jika matriks B diperoleh dari matriks

A dengan melakukan transformasi

elementer baris H maka B=HA. H

matriks elementer.

D

E

F

I

N

I

S

I

Matriks Hasil Transformasi

2. Jika matriks E diperoleh dari matriks

A dengan melakukan transformasi

elementer kolom K maka E=AK. K

matriks elementer.

BA

91044

6312

3201

0441

6312

3201

CONTOH-baris

maka

AHB

0441

6312

3201

103

010

001

91044

6312

3201

)3(31

EA

0414

6321

3210

0441

6312

3201

CONTOH-kolom

maka

12

1000

0100

0001

0010

0441

6312

3201

0414

6321

3210

K

AE

1• Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan

hanya jika baris-barisnya tak bebas linier

2• Transformasi elementer tidak merubah rank suatu matriks

3

• Matriks-matriks yang ekuivalen mempunyai rank yangsama

4

• Setiap matriks tak nol ekuivalen baris dengan matrikskanonik/matriks eselon baris tereduksi

5• Jika A Matriks elementer maka r(A)0

6• Rank matriks nol sama dengan nol [r(O)=0]

SIFAT-SIFAT

singular & non singular

Suatu matriks bujursangkar

Anxn disebut singular jika

r(A)<n

D

E

F

I

N

I

S

I

Suatu matriks bujursangkar

Anxn disebut non-singular jika

r(A)=n yaitu det(A)0.

SIFAT

Jika A matriks elementer maka Anon-singular

Bukti

Anxn matriks elementer maka AI,

berarti padahal det(I)=1 jadi

det(A)0 atau A non-singular■

SIFAT

Khusus Anxn non-singular maka AI,

A dan In mempunyai ordo dan rank

yang sama.

Matriks AB jika dan hanya jikaada matriks non-singular P danQ sedemikian sehingga B=PAQ

Bukti ()

AB dengan

r2112sKKKA HHHB

Karena setiap matriks elementer non-

singular, maka matriks

QKKKdan PHHHr2112s

Sehingga B=PAQ■

Bukti ()

B=PAQ, P dan Q non-singular,

maka det(P)0 dan det(Q)0.

Ini berarti PImxm dan QInxn.

Akibatnya A→ PA→PAQ=B,

melalui transformasi elementer.

Jadi AB■