BARISAN DAN LIMIT FUNGSI

A. BARISAN

Suatu barisan (sequence) dan bilangan-bilangan :

a1, a2, a3, ……

adalah susunan bilangan yang terurut sesuai dengan urutan bilangan asli. Tepatnya

barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah bilangan asli 1, 2, 3, …

Perhatikan fungsi f : N → R yang dinyatakan oleh rumus f (n) = n2

f N R

1 12 43 94 16. .. .. .

Maka f (n) akan membentuk sebuah barisan dengan suku-suku :

f (n) = a (n) dan lazim ditulis

= an

dimana : a1 = 12 = 1

a2 = 22 = 4

a3 = 32 = 9

a4 = 42 = 16

……………………

Sehingga diperoleh barisan :

a1, a2, a3, a4, …

atau 1, 4, 9, 16, …

Selanjutnya untuk menyingkat barisan tersebut cukup ditulis dengan notasi an atau n2

1

Perhatikan contoh barisan berikut :

(i) an dengan an = 1 -

1n mka barisan itu adalah 0,

12 ,

23 ,

34 ,

45 , …

(ii) bn dengan bn = 1 + (-1)n

1n maka barisan itu adalah 0,

32 ,

23 ,

54 ,

76 ,

67 , …

(iii) cn dengan cn = (-1)n

1n maka barisan tersebut adalah 0,

32 , -

23 ,

54 , -

45 ,

76 , -

67 ,

…

(iv) dn dengan dn = 0,999 maka barisan tersebut adalah 0,999, 0,999, 0,999, 0,999,

…

a1 a2a3

-1 0 1

b1 b3b5 b4b2

-1 0 1 c5c3 c1 c4 c2

-1 0 1

d1 d2 d3 -1 0 1

Dari contoh keempat barisan tersebut maka nampak bahwa barisan an dan bn

konvergen (memusat) menuju bilangan 1 artinya bahwa :

a. nilai-nilai barisan itu untuk n b akan saling mendekati 1

b. nilai-nilai untuk n akan saling mendekati

Dengan demikian barisan dn akan konvergen ke 0,999 namun barisan cn tidak

konvergen sebab kedua syarat tidak terpenuhi, suatu baris yang tidak konvergen disebut

divergen

Definisi : baris an disebut konvergen menuju bilangan atau mempunyai limit dan

ditulis :

Limit an =

n

2

bila dan hanya bila untuk setiap bilangan > 0, terdapatlah bilangan positif N

sedemikian hingga untuk n > N berlaku an - <

y

0 N x

n N an - <

Perhatikan barisan an dengan an = 1 -

1n maka untuk n harga an 1, dan dari

gambar nilai an akan semakin berdekatan dan mendekati nilai 1, dengan demikian dapat

didekatkan bahwa :

Barisan an konvergen menuju 1 atau

Limit an = Limit (1 -

1n )

n n

= 1 -

1

= 1 – 0

= 1

Theorema 1. Misalkan an dan bn adalah suatu barisan yang konvergen dan k suatu

konstan maka

1. Limit k = k n 2. Limit k an = k Limit an

n 3. Limit (an bn) = Limit an Limit bn n n n 4. Limit (an.bn) = Limit an . Limit bn

n n n

3

5. Limit

anbn =

LimitanLimitbn , asal Limit bn 0

n n

Contoh :

a. Tentukan suku-suku dari an apabila an =

n2n−1 , selidiki apakah an konvergen

hitunglah Limit an

n

b. Diketahui barisan

12 ,

23 ,

34 ,

45 , …. Tentukan rumus umum suku-suku barisan itu dan

selidiki konvergensinya

c. Tentukan Limit

3n2

7n2+1

B. LIMIT FUNGSI

Pengertian limit fungsi adalah merupakan konsep dasar dalam mempelajari

matematika.Untuk itu perhatikan fungsi berikut :

f (x) =

2x2+x−3x−1

Domain dari f (x) adalah semua real x ∈ R kecuali x = 1

Akan diselidiki harga fungsi f (x) untuk mendekati 1, tetapi tidak sama dengan 1, yaitu

nilai f (x) untuk x mendekati 1 dari kanan

x f (x) x f(x) 0 3 2 7 0,25 3,5 1,75 6,5 0,5 4 1,5 6,0 0,75 4,5 1,25 5,5 0,9 4,8 1,1 5,2 0,99 4,98 1,01 5,02 0,999 4,9981 1,001 5,002 0,9999 4,99981 1,0001 5,0002 0,99999 4,99998 1,00001 5,00002

Dari kedua tabel ini nampak bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, maka nilai f

(x) semakin dekat dengan 5.

4

Perhatikan bahwa apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,0001 yaitu x = 0,9999 dan x

= 1,0001 maka nilai f (x) berbedad dari 5 dengan 0,0002 yaitu f(0,9999) = 4,9998 dan f

(1,0001) = 5, 0002. Demikian pula apabila harga x berbeda dari 1 dengan 0,00001

yaitu x = 0,99999 dan x = 1,00001 maka nilai f (x) berbeda dari 5 dengan 0,00002

yaitu f (0,99999) = 4,99998 dan f (5,00002) = 5,00002, dan seterusnya. Kenyataan ini

dapatlah ditarik kesimpulan bahwa kita dapat membuat harga f(x) cukup dekat denagn 5

apabila x cukup dekat kepada 1. Denagn kata lain harga f(x) - 5 dapat dibuat sekecil

mungkin, dengan membuat harga x - 1 cukup kecil. Pernyataan ini secara metematis

dapat dikatakan sebagai berikut :

Untuk sembarang bilangan positif yang diberikan maka terdapatlah bilangan positif > 0

sedemikian hingga 0 < x - a < dan berlaku f(x) - ℓ < . Selanjutnya pengertian ini

diangkat sebagai definisi limit fungsi.

Definisi : bilangan disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati suatu harga a, ditulis :

Limitx→a f(x) = ℓ

Jika untuk setiap bilangan positif yang diberikan (bagaimanapun kecilnya)

dapat ditemukan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk semua harga x

dimana 0 < x - a < berlaku f(x) - ℓ < .

Dengan logika matematika definisi limit dapat ditulis :

Limitx→a f(x) = ℓ ⇔ (A > 0)(E > 0)(Ax)

0 < x - a < ⇔ f(x) - ℓ <

y

L + ∈

5

∈ L ∈

L - ∈

0 a x

Contoh :a. Dengan menggunakan definisi dari limit fungsi, perlihatkan bahwa

limx→1 (x2 + 1) = 2

b. Buktikan bahwa

limx→0 (x2 + 3x + 1) = 1

Teorema

Apabila

Limitx→a f(x) = A dan

Limitx→a g(x) = B, maka

1.

Limitx→a c f(x) = cA → c = konstanta

2.

Limitx→a (f(x) + g(x)) =

Limitx→a f(x) +

Limitx→a g(x) = A + B

3.

Limitx→a f(x) . g(x) =

Limitx→a f(x) .

Limitx→a f(x) = A . B

4.

Limitx→a f(x) =

Limitx→a f(x) =

AB , asal B 0

Limitx→a g(x)

Contoh :

a.

Limitx→2 (2x + 3) = ….

6

b.

Limitx→1 (x2 – 4x + 1) = ….

c.

Limitx→4

x−3x+3 = ….

d.

Limitx→2

x−2¿x+2 ¿¿

¿ = ….

e.

Limitx→4

x−4

x2−x−12 = ….

f.

Limitx→3

x3−27 ¿ x2−9 ¿¿

¿ = ….

g.

Limith→0

( x+h )2−x2

h = ….

h. Hitunglah

Limitx→0

3x−3−x

3x+3−x = ….

i. Diberikan f(x) = x2 – 3x, hitunglah

Limith→0

f ( x=h)−f ( x )h

j. Diberikan f(x) = √5 x+1 , hitunglah

Limith→0

f ( x+h )−f ( x )h

k. Hitunglah

Limitx→2

4−x2

3−√ x2+5

l. Hitunglah

Limitx→2

3−x−x−1x (2−x )

C. LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN SUATU FUNGSI

Pada pembicaraan mengenai limit fungsi di atas, kita sama sekali tidak memperhatikan

bagaimana cara pendekatan harga x = a, sehingga harga limit itu ada di x = a.

Walaupun harg ayang didekati aalah sama, mungkin suatu fungsi mempenyai harga limit

yang bebeda-beda dengan cara pendekatan yang berbeda pula.

Untuk hal yang demikian kita mengenal dua macam limit :

7

1. Limit Kiri

Limit kiri f(x) untuk y mendekati a (harga a didekati oleh x dari kiri), ditulis :

Limitx↑a f(x) =

Limit

x→ a− f(x)

2. Limit Kanan

Limit kanan f(x) untuk x mendekati a (harga a didekati oleh x dari kanan), ditulis :

Limitx↓a f(x) =

Limit

x→a+ f(x)

Definisi : bilangan L disebut limit kiri dari fungsi f(x) untuk x mendekati a, apabila untuk

setiap > 0 yang diberikan, terdapatlah > 0, sedemikian hingga untuk semua x di mana

a - < x < a, berlaku f(x) - L <

Tentu saja definisi limit kanan analog

Sebagai contoh diambil fungsi f(x) = x untuk x 2

x + 1 untuk x > 2

y

0 2 x

y = x

Diselidiki

Limitx→2 f(x)

Dipandang untuk x mendekati 2 dari kanan, maka :

Limitx→2 f(x)

8

dst.

9