kekonvergenan barisan fungsi terintegral darboux

KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TERINTEGRAL DARBOUX

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Meraih Gelar Sarjana Matematika

Jurusan Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Alauddin Makassar

Oleh:

BASO IRVAN

NIM: 60600116025

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) ALAUDDIN MAKASSAR

2020

ii

PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Baso Irvan

Nim : 60600116025

Jurusan : Matematika

Judul : Kekonvergenan Barisan Fungsi Terintegral Darboux

Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-

benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan plagiat atau

tulisan/pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan/pikiran saya sendiri,

kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar

pustaka. Apabila dikemudian hari ternyata skripsi yang saya tulis terbukti hasil

plagiat, maka saya bersedia menanggung segala resiko yang akan saya terima.

Makassar, 19 Maret 2020

Yang Membuat Pernyataan

Baso Irvan

NIM: 60600116025

iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“ Matematika bukan segala-galanya dalam hidup ini, tetapi ingat bahwa

sesungguhnya matematika itu hanya alat bagi manusia untuk bisa

mengelala hidupnya agar lebih baik, lebih terarah, lebih efisien, lebih tetap

sasaran dan lebih maju lagi dan bertumbuh. Sebab, dengan pengetahuan dan

keterampilan matematika seseorang akan mudah terhindari dari kesalahan,

kecelakaan, pemborosan, kesia-siaan dan kehancuran “

“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya”

(Q.S. Al-Baqarah/2 : 286)

Kupersembahkan karya sederhana ini sebagai bukti dan kecintaanku kepada

motivator hidupku Ayahanda Baso Pewa dan Ibunda Sitti Nursidah, beserta

kakak-kakakku Besse Herlina dan Baso Nurman, serta adekku Besse Helsa Inayah

yang tersayang. Dosen-dosen ku yang senantiasa membimbing, Teman-teman

seperjuanganku yang memotivasi dan teruntuk Almamaterku tercinta.

v

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap Alhamdulillah, suatu bentuk syukur penulis kepada

Allah SWT. yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang yang senantiasa

melimpahkan rahmat, hidayah, serta inayah-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi dengan judul “Kekonvergenan Barisan Fungsi

Terintegral Darboux”. Serta, shalawat dan salam kami curahkan kepada baginda

Rasulallah Muhammad SAW. suri tauladan yang sempurna bagi seluruh umat

Islam. Shalawat dan salam pula kami haturkan kepada istri-istri beliau, keluarga,

sahabat, tabi’in, tabi’ut-tabi’in serta para pengikutnya yang senantiasa istiqamah

dijalan-Nya.

Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat akademik dalam

menyelesaikan studi (S1) Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar. Skripsi ini disusun dengan usaha

yang sungguh-sungguh dari penulis, dengan mengerahkan semua ilmu yang telah

diperoleh selama proses perkuliahan. Banyak kesulitan yang penulis hadapi selama

proses penyusunan skripsi. Namun, berkat bantuan dari berbagai pihak serta

kekuatan doa yang tiada hentinya terutama dari kedua orang tua yang merupakan

motivator terhebatku yang tiada duanya ayahanda Baso Pewa dan Ibunda Sitti

Nursidah, saudara(i)ku Besse Herlina, Baso Nurman dan Besse Helsa Inayah

serta keluarga besar yang selalu memberikan semangat selama proses penyusunan

skripsi.

vi

Tanpa adanya bantuan, bimbingan dan dukungan dari berbagai pihak

penulis tidak akan bisa menyelesaikan skripsi ini. Sehingga pada kesempatan ini

penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih dan penghargaan yang setinggi-

tingginya, kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Hamdan Juhannis, M.A., Ph.D, selaku Rektor Universitas

Islam Negeri (UIN) Alauddin Makassar.

2. Bapak Prof. Dr. Muhammad Halifah Mustami, M.Pd, selaku Dekan

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Alauddin

Makassar dan para wakil dekan atas bantuannya selama penulis mengikuti

pendidikan di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN)

Alauddin Makassar.

3. Seluruh Civitas Akademika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam

Negeri (UIN) Alauddin Makassar yang telah membantu dalam pengurusan

berkas dan persuratan selama penulis mengikuti pendidikan di Fakultas Sains

dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Alauddin Makassar.

4. Ibu Wahidah Alwi, S.Si., M.Si, selaku pembimbing I serta selaku Ketua

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri

(UIN) Alauddin Makassar atas bimbingan, motivasi, arahan dan saran yang

berharga kepada penulis dalam penulisan skripsi ini.

5. Ibu Hikmawati Pathuddin, S.Pd., M.Si, selaku pembimbing II yang telah

bersedia meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan bimbingan,

motivasi, arahan dan saran yang sangat bermanfaat dalam proses penyusunan

skripsi ini.

vii

6. Tim Penguji Bapak Adnan Sauddin, S.Pd., M.Si, selaku penguji I dan Bapak

Muh. Irwan, S.Si., M.Si, selaku penguji II atas bimbingan dan sarannya dalam

penyusunan skripsi ini.

7. Bapak/Ibu Dosen di Jurusan Matematika yang tidak dapat disebutkan satu

persatu yang telah memberikan bantuan, ilmu yang bermanfaat, arahan dan

motivasi dari awal perkuliahan hingga skripsi ini selesai.

8. Staf/pegawai Jurusan Matematika yang telah membantu dalam pengurusan

skripsi ini.

9. Kepada keluarga besar Laboratorium Komputer Matematika khususnya kepala

laboratorium, para koordinator dan teman-teman asisten yang telah

memberikan banyak ilmu, semangat dan motivasinya.

10. Staf/pegawai Ruang Baca Jurusan Matematika yang telah membantu dalam

pengurusan skripsi ini.

11. Teman-teman sejawat “TR16ONOMETRI” yang senantiasa memberikan

banyak dukungan, motivasi dan saran.

12. Teman seperjuangan dari awal perkuliahan hingga saat ini yaitu kelas A “Yang

Selalu (A)da” atas doa, semangat, serta dukungan yang telah diberikan.

13. Kepada segenap keluarga besar Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika

(HMJ-MTK) Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN)

Alauddin Makassar yang telah memberikan semangat dan motivasinya.

14. Sahabat GenBI (SAGEN) dan teman KKN “45 Hari Ji ?” yang telah banyak

memberikan dukungan, semangat dan motivasinya.

viii

15. Sahabat-sahabat terdekat penulis yaitu Nurliani, Andi Mutia Amalia dan Irfan

S. yang selalu setia membantu dan memberikan semangat, bantuan, juga

masukan yang memotivasi.

16. Serta, kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan baik dalam bentuk

apapun itu penulis mengucapkan terima kasih atas partisipasinya dalam proses

penyelesaian sskripsi ini.

Semoga amal kebaikan yang telah diberikan mendapat balasan, pahala dan

rahmat dari Allah SWT. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi

penulis khususnya dan rekan-rekan Jurusan Matematika serta pembaca pada

umumnya.

Samata, 19 Maret 2020

Penulis

ix

DAFTAR ISI

SAMPUL ................................................................................................................ i

PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ............................................................. ii

PENGESAHAN SKRIPSI .................................................................................. iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ...................................................................... iv

KATA PENGANTAR ........................................................................................... v

DAFTAR ISI ........................................................................................................ ix

DAFTAR SIMBOL ............................................................................................. xi

ABSTRAK ......................................................................................................... xiii

ABSTRACT ........................................................................................................ xiv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ........................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................. 5

C. Tujuan Penelitian .................................................................................... 5

D. Manfaat Penelitian .................................................................................. 5

E. Batasan Masalah ..................................................................................... 5

F. Sistematika Penulisan ............................................................................. 6

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................ 7

A. Barisan Bilangan Real ............................................................................ 7

1. Barisan dan Limit Barisan ............................................................... 7

2. Teorema – Teorema Limit ............................................................... 9

3. Barisan Monoton ........................................................................... 10

4. Barisan Bagian ............................................................................... 12

x

5. Barisan Cauchy .............................................................................. 14

B. Barisan Fungsi ...................................................................................... 16

1. Barisan Fungsi Konvergen Pointwise ........................................... 16

2. Barisan Fungsi Konvergen Seragam ............................................. 18

C. Integral Darboux .................................................................................. 27

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ......................................................... 32

A. Jenis Penelitian ..................................................................................... 32

B. Waktu Penelitian .................................................................................. 32

C. Bahan dan Referensi ............................................................................. 32

D. Tahapan Analisis .................................................................................. 32

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................ 33

A. Sifat Barisan Fungsi Konvergen ........................................................... 33

B. Sifat Fungsi Terintegral Darboux ......................................................... 37

C. Kekonvergenan Barisan Fungsi Terintegral Darboux .......................... 40

D. Syarat Suatu Fungsi Terintegral Darboux Sama dengan Limit dari

Integral Barisan Fungsinya ................................................................... 48

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 50

A. Kesimpulan ........................................................................................... 50

B. Saran ..................................................................................................... 50

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 51

RIWAYAT HIDUP ............................................................................................. xv

xi

DAFTAR SIMBOL

No. Simbol Keterangan

1 < Lebih kecil

2 > Lebih besar

3 ≤ Lebih kecil atau sama dengan

4 ≥ Lebih besar atau sama dengan

5 ∃ Terdapat

6 ∀ Untuk setiap

7 ∈ Elemen

8 ∋ Sedemikian hingga

9 ∄ Tidak terdapat

10 휀 Epsilon

11 𝛿 Delta

12 𝑅 Himpunan bilangan Real

13 𝑁 Himpunan bilangan asli

14 ⊂ Subset dari

15 ⊆ Subset dari atau sama dengan

16 𝑥𝑛 Barisan (sampai ke-n)

17 Sup Supremum

18 Inf Infimum

19 lim Limit

20 𝑓 Fungsi

xii

21 𝑓𝑛 Barisan fungsi

22 = Sama dengan

23 ≠ Tidak sama dengan

24 + Penjumlahan

25 - Pengurangan

26 ∞ Tak hingga (Infinity)

27 ∆ Perubahan/ Selisih

28 → Menuju/ Mendekati

29 U Upper (Atas)

30 L Lower (Bawah)

31 ∫ 𝑓 Integral

32 ∫ 𝑓𝑏

𝑎 Integral dengan batas a sampai b ([a,b])

33 𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

Integral Darboux dengan batas a sampai b

([a,b])

34 𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

Integral Darboux atas dengan batas a

sampai b ([a,b])

35 𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

Integral Darboux bawah dengan batas a

sampai b ([a,b])

36 [… ] Interval tutup

37 |… | Nilai mutlak

38 (…) Interval terbuka

39 [… ) Interval semi terbuka

xiii

ABSTRAK

Nama : Baso Irvan

NIM : 60600116025

Judul : Kekonvergenan Barisan Fungsi Terintegral Darboux

Penelitian ini membahas tentang kekonvergenan barisan fungsi terintegral

Darboux. Ada dua jenis kekonvergenan pada barisan fungsi yaitu konvergen

pointwise dan konvergen seragam. Mengingat tidak semua barisan fungsi yang

terintegral dan konvergen ke suatu fungsi, fungsi limitnya terintegral atau jika

terintegral, nilai integralnya belum tentu sama dengan nilai limit integral barisan

fungsinya. Dalam hal ini dikaji syarat cukup agar suatu fungsi terintegral Darboux

pada [𝑎, 𝑏] sama dengan limit dari integral barisan fungsinya. Diperoleh bahwa

untuk menjamin suatu fungsi terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sama dengan limit

dari integral barisan fungsinya yaitu {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi kontinu yang

konvergen seragam dan {𝑓𝑛} terbatas pada [𝑎, 𝑏].

Kata Kunci : Kekonvergenan, Barisan Fungsi, Integral Darboux

xiv

ABSTRACT

Name : Baso Irvan

NIM : 60600116025

Title : The Convergence Sequence of Function Darboux’s Integrated

This research discusses about the convergence sequence of function

Darboux’s integrated. Sequence of function had two variety convergence that was

pointwise and uniform. Given that not all sequence of function are integrated and

converge to a function, the limit function is integrated or if it is integrated, the

integral value is not necessarily the same as the limit value sequence of functions.

In this case, sufficient conditions are examined so that the Darboux integrated

function at [𝑎, 𝑏] the same as the limit of the integral sequence of functions. Is

obtained that to guarantee an integrated Darboux function in [𝑎, 𝑏] is equal to the

limit of the integral sequence of functions that is {𝑓𝑛} is the sequence of continu

functions which uniform converge and {𝑓𝑛} are limited to [𝑎, 𝑏].

Keyword : Convergence, Sequence of Function, Darboux Integral

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika ialah ilmu yang memiliki banyak sekali cabang. Salah

satu cabang diantaranya adalah Analisis Real. Analisis adalah proses mengurai

suatu hal menjadi berbagai unsur yang terpisah agar memenuhi sifat, hubungan

dan peranannya masing- masing suatu unsur. Analisis juga sering disebut

dengan pembagian. Secara persis, analisis berarti pemecah-belah atau

penguraian secara jelas berbeda kebagian-bagian dari suatu keseluruhan.

Salah satu cabang dari analisis yaitu barisan. Secara umum barisan

adalah suatu fungsi dengan domain himpunan bilangan asli. Barisan

dinotasikan dengan {𝑥𝑛} dan ditulis 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, … Pada umumnya telah

dikenal barisan bilangan real (𝑋: ℕ → ℝ), yaitu suatu barisan dengan daerah

hasil bilangan real. Barisan bilangan real {𝑥𝑛} dikatakan konvergen ke 𝑥

(dinotasikan dengan lim {𝑥𝑛} = 𝑥) jika untuk setiap bilangan positif 휀 yang

diberikan terdapat bilangan asli 𝑁 sedemikian sehingga |𝑥𝑛 − 𝑥| < 휀, 𝑛 ≥

𝑁 . Dengan kata lain, jika lim {𝑥𝑛} = 𝑥 maka {𝑥𝑛} konvergen ke 𝑥.

Suatu barisan objeknya tidak mesti bilangan, tetapi bisa juga objek

yang lain, misalnya jika objeknya fungsi maka diperoleh barisan fungsi. Di

mana barisan fungsi adalah salah satu bentuk dari barisan yang objek-objeknya

berupa fungsi. Bentuk fungsi yang merupakan suku ke-𝑛 bergantung pada

bilangan asli. Sehingga barisan fungsi dapat dituliskan dengan {𝑓𝑛} dan ditulis

𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛 , … .

2

Seperti barisan pada umumnya, kekonvergenan suatu barisan fungsi

juga dapat diselidiki. Akan tetapi, tentu terdapat perbedaan perihal

kekonvergenannya. Jika dianalogikan dengan suatu barisan bilangan real yang

di mana terdiri dari titik-titik yang konvergen ke suatu titik, maka barisan

fungsi juga akan konvergen ke suatu fungsi.

Sebagaimana firman Allah SWT dalam Q.S An-Nuur/24:42.

صيرو ٱلم إل ىٱلله و ٱل رض تو و ملكٱلسهم ٢٤لله

Terjemahnya :

“Dan kepunyaan Allah-lah kerajaan langit dan bumi dan kepada

Allah-lah kembali (semua makhluk)”.1

Disebutkan dalam ayat diatas : “Dan kepunyaan Allah-lah kerajaan

langit dan bumi”. Menurut Syaikh ‘Abdurrahman bin Nashir As-Sa’di

maksudnya adalah Allah menciptakan langit dan bumi. Allah yang

memberikan rezeki pula kepada langit dan bumi. Allah juga yang mengatur

langit dan bumi. Allah mengaturnya secara syar’i dan qadari (artinya semua

harus tunduk pada aturan syariat Allah dan semua yang Allah tetapkan pasti itu

terjadi). Di bumi ini tempat kita beramal , sedangkan di akhirat adalah tempat

amalan kita itu dibalas. Sehingga dalam lanjutan ayat disebutkan, “dan kepada

Allah-lah kembali (semua makhluk)”. Artinya, kepada Allah tempat kita

kembali dan kita akan dibalas.2

1 Kementrian Agama RI, Al-Qur’an dan Terjemah Al-Kaffah (Surabaya: Sukses

Publishing, 2012), h.356 2 Syaikh Abdurrahman, Tafsir Sa’di (Jakarta : Muassasah Ar-Risalah, 2012), h.600-601

3

Ayat diatas menjelaskan tentang Allah-lah yang menciptakan semua

makhluk dan kepada Allah-lah kembali (semua makhluk). Sama halnya dengan

kekonvergenan, menuju satu titik dan kembali ketitik atau bersifat memusat.

Adapun salah satu konsep yang penting pada analisis ialah teori

integral. Teori integral memiliki peranan yang sangat penting dalam

kehidupan. Sehingga permasalahan-permasalah yang tidak bisa diselesaikan

secara langsung dapat dibawa kedalam bentuk model matematika. Ada

berbagai jenis integral yang bertumbuh pesat pada analisis salah satunya jenis

integral yang lumayan banyak diketahui yaitu integral Riemann. Integral

Riemann ini tidak hanya digunakan atau dipakai dalam matematika saja, akan

tetapi dapat diaplikasikan dan digunakan pada bidang-bidang lainnya, seperti

pada bidang teknik dan fisika.

Sebelum adanya Integral Riemann, salah satu ilmuan metematika

yaitu I. Newton menyusul teori integral dari kalkulus menggunakan anti

derivative. Kemudian pada tahun 1854 G. F. B. Riemann yang juga merupakan

ilmuan matematika menyusun teori integral dengan cara yang berbeda yaitu

menggunakan partisi-partisi. Selanjutnya pada tahun 1875, I. G. Darboux

memodifikasi integral Riemann dengan terlebih dahulu mendefinisikan jumlah

Darboux atas dan jumlah Darboux bawah serta mendefinisikan integral

Darboux bawah dan integral Darboux atas.

Munculnya integral Darboux awalnya hanya untuk memperlihatkan

bahwasanya semua fungsi yang monoton adalah terintegral dan

memperlihatkan bahwa hasil dari fungsi yang terintegral adalah terintegral juga

4

dengan menggunakan definisi integral Riemann itu sendiri. Sehingga

digunakanlah integral Darboux yang lebih sederhana. Maka pada integral

Darboux kita dapat pemperlihatkan semua bagian yang berada pada Integral

Riemann dan akan mudah menunjukkan bahwa suatu fungsi yang monoton itu

terintegral. Kedua integral memiliki kesamaan yaitu 𝑅 ∫ 𝑓𝑏

𝑎= 𝐷 ∫ 𝑓

𝑏

𝑎.

Adapun penelitian yang telah dilakukan oleh Rita P.Khotimah dkk,

telah dibuktikan bahwa syarat-syarat cukup yang menjamin fungsi limit dari

barisan fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan nilai integralnya sama

dengan nilai limit barisan fungsinya yaitu yang pertama barisan fungsi {𝑓𝑛}

konvergen seragam pada [𝑎, 𝑏], yang kedua barisan fungsi {𝑓𝑛} terbatas pada

[𝑎, 𝑏] dan yang terakhir barisan fungsi {𝑓𝑛} monoton pada [𝑎, 𝑏].3

Mengingat tidak semua barisan fungsi yang terintegral dan konvergen

ke suatu fungsi, fungsi limitnya terintegral atau jika terintegral, nilai

integralnya belum tentu sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya.

Maka akan dikaji mengenai kekonvergenan barisan fungsi terintegral Darboux

di mana pada hasilnya nanti kita akan menemukan suatu syarat cukup untuk

barisan fungsi terintegral Darboux yang mengakibatkan limit fungsinya juga

terintegral Darboux.

Sehingga pada penelitian ini akan dikaji lebih dalam dan

membahasnya dengan judul “Kekonvergenan Barisan Fungsi Terintegral

Darboux”.

3 Rita P.Khotimah dkk, Teorema-torema Kekonvergenan pada Integral Riemann,

Lebesque dan Henstock (Jurnal Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Vol.1 No.184,

2011).

5

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah pada penelitian ini yaitu apa saja yang menjadi

syarat agar suatu fungsi terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sama dengan limit dari

integral barisan fungsinya?

C. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui syarat agar suatu fungsi

terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sama dengan limit dari integral barisan

fungsinya.

D. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian ini yaitu :

1. Bagi Penulis

Penulisan skripsi ini dapat memperluas wawasan dan menambah

pengetahuan penulis mengenai kekonvergenan barisan fungsi yang

terintegral Darboux.

2. Bagi Pembaca

Penelitian ini dapat dijadikan tambahan ilmu dan bahan materi untuk

mempelajari matematika, terutama pada bidang analisis.

3. Bagi Universitas

Penelitian ini dapat menjadi referensi tambahan untuk universitas,

terutama pada bidang matematika

E. Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini dibatasi pada kekonvergenan

barisan fungsi bernilai real pada interval [a,b] yang terintegral Darboux.

6

F. Sistematika Penulisan

Untuk mengetahui gambaran yang menyeluruh sehingga bisa

memudahkan pemahaman dalam penelitian ini, maka diberikan sistematika

penulisan pada penelitian ini yaitu :

BAB I PENDAHULUAN

Pada bagian ini berisi tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan

penelitian, manfaat penelitian, batasan masalah dan sistematika penulisan.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bagian ini berisi tentang teori-teori (konsep) yang digunakan

sebagai acuan kerangka berpikir dalam menganalisis masalah yang akan diteliti

dan juga terdapat teori yang berkaitan dengan judul dalam penelitian ini.

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

Pada bagian ini berisi mengenai jenis penelitian, waktu penelitian,

bahan dan referensi serta prosedur penelitian.

BAB IV PEMBAHASAN

Pada bagian ini berisi tentang pembahasan mengenai hasil kajian

berdasarkan referensi buku, jurnal, skripsi/thesis dan website.

BAB V PENUTUP

Pada bagian ini merupakan bab akhir yang di dalamnya membahas

tentang kesimpulan dan saran.

DAFTAR PUSTAKA

7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Barisan Bilangan Real

1. Barisan dan Limit Barisan

Barisan (Sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan

domain N dan mempunyai range dalam S. Selanjutnya akan dibahas mengenai

barisan di R dan konvergensi dari suatu barisan.

Definisi 2.1

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada

himpunan N dengan range dalam R. dengakan kata lain, barisan dalam R

mengawankan setiap bilangan asli 𝑛 = 1,2,3, … kepada sesuatu bilangan real.

Jika 𝑋 ∶ 𝑁 → 𝑅 merupakan barisan, maka biasanya dituliskan dengan nilai dari

𝑋 pada 𝑛 dengan notasi 𝑥𝑛. Barisan sering dinotasikan dengan 𝑋 atau {𝑥𝑛}

atau (𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ 𝑁 ) atau { 𝑥𝑛} atau {𝑥𝑛}𝑛≥1. Apabila diketahui suatu barisan

𝑌, artinya 𝑌 = {𝑦𝑘}.

Definisi 2.2 (Limit Barisan)

Diketahui {𝑥𝑛} barisan bilangan real. Barisan 𝑋 = (𝑥𝑛) dikatakan

konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑅, atau 𝑥 dikatakan limit barisan {𝑥𝑛} jika untuk setiap 휀 >

0 terdapat 𝐾(휀) ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛 >

𝐾(휀) berlaku

|𝑥𝑛 − 𝑥| < 휀. (1)

Jika 𝑥 adalah limit sesuatu barisan {𝑥𝑛}, maka dikatakan {𝑥𝑛}

konvergen ke 𝑥, atau {𝑥𝑛} mempunyai limit 𝑥. Dalam hal ini ditulis

8

lim𝑛→∞{𝑥𝑛} = 𝑥 atau lim {𝑥𝑛} = 𝑥 atau 𝑥𝑛 → 𝑥. Jika {𝑥𝑛} tidak konvergen,

maka {𝑥𝑛} diakatakan divergen.

Contoh 2.1

Tunjukkan bahwa lim𝑛→∞

1

𝑛≈ 0

Penyelesaian:

Akan ditunjukkan bahwa {𝑥𝑛} =1

𝑛 konvergen ke 0, yaitu

1

𝑛→ 0.

Harus dibuktikan bahwa ∀휀 > 0 ∃ 𝐾(휀) ∈ 𝑁 ∋ ∀𝑛 ∈ 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝐾(휀)

berlaku |𝑥𝑛 − 𝑥| < 휀.

Ambil 휀 > 0, maka 1

> 0. Memuat sifat Archimedes maka terdapat

𝐾(휀) ∈ 𝑁 ∋1

< 𝐾(휀) atau 1

𝐾( )< 휀. Akibatnya ∀𝑛 ≥ 𝐾(휀) berlaku |

1

𝑛− 0| =

|1

𝑛| =

1

𝑛≤ 휀. Jadi terbukti bahwa ∀휀 > 0 ∃ 𝐾(휀) ∈ 𝑁 ∋ ∀𝑛 ∈ 𝑁.

Teorema 2.1

Jika barisan {𝑥𝑛} konvergen, maka {𝑥𝑛} memiliki paling banyak satu

limit (limitnya tunggal).

Bukti :

Andaikan lim𝑛→∞{𝑥𝑛} = 𝑥′ atau lim𝑛→∞{𝑥𝑛} = 𝑥′′ dengan 𝑥′ ≠ 𝑥′′.

Maka untuk sebarang 휀 > 0 terdapat 𝐾′ sedemikian sehingga

|𝑥𝑛 − 𝑥′| <휀

2

untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾′ dan terdapat 𝐾′′ sedemikian sehingga

|𝑥𝑛 − 𝑥′′| <휀

2

9

untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾′′. Dipilih K = max {𝐾′, 𝐾′′}. Menggunakan ketaksamaan

segitiga, maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾 diperoleh,

|𝑥′ − 𝑥′′| = |𝑥′ − 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 − 𝑥′′|

= |𝑥′ − 𝑥𝑛| + |𝑥𝑛 − 𝑥′′|

=휀

2+

휀

2= 휀

Karena berlaku untuk setiap 휀 > 0, maka 𝑥′ − 𝑥′′ = 0 berarti 𝑥′ =

𝑥′′. Kontradiksi dengan pengandaian. Jadi terbukti limitnya tunggal.

2. Teorema-teorema Limit

Ada beberapa materi mengenai teorema yang berkaitan dengan limit

pada barisan bilangan real, seperti barisan terbatas dan kekonvergenan barisan.

Definisi 2.3

Barisan bilangan real 𝑋 = {𝑥𝑛} dikatakan terbatas jika terdapat

bilangan real 𝑀 > 0 sedemikian sehingga |𝑥𝑛| ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ. Oleh

karena itu, barisan {𝑥𝑛} terbatas jika dan hanya jika himpunan {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ}

merupakan subset terbatas dalam R.

Teorema 2.2

Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} konvergen maka 𝑋 = {𝑥𝑛} terbatas .

Bukti :

Diketahui 𝑋 = {𝑥𝑛} konvergen, misalkan konvergen ke 𝑥. Diambil

휀 = 1, maka terdapat 𝑘 ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku

|𝑥𝑛 − 𝑥| < 1

Menggunakan akibat Ketaksamaan Segitiga, maka

|𝑥𝑛| − |𝑥| < 1

10

atau

|𝑥𝑛| < 1 + |𝑥|

untuk semua 𝑛 ≥ 𝐾. Pilih

𝑀 = sup {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘−1, |𝑥| + 1}

maka |𝑥𝑛| ≤ 𝑀, untuk semua 𝑛 ∈ ℕ. Jadi terbukti bahwa {𝑥𝑛} terbatas.

Teorema 2.3

Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} → 𝑥, 𝑌 = {𝑦𝑛} → 𝑦, dan 𝑐 ∈ ℝ, maka

a) 𝑋 ± 𝑌 → 𝑥 + 𝑦 (2)

b) 𝑋 . 𝑌 → 𝑥𝑦 (3)

c) 𝑐𝑋 → 𝑐𝑥 (4)

3. Barisan Monoton

Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun

monoton.

Definisi 2.4

Diberikan barisan bilangan real 𝑋 = {𝑥𝑛}

a) Barisan 𝑋 dikatakan naik (increasing) jika 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 untuk semua 𝑛 ∈

ℕ.

b) Barisan 𝑋 dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 untuk

semua 𝑛 ∈ ℕ.

c) Barisan 𝑋 dikatakan turun (descreasing) jika 𝑥𝑛 ≥ 𝑥𝑛+1 untuk semua 𝑛 ∈

ℕ.

d) Barisan 𝑋 dikatakan turun tegas (strictly descreasing) jika 𝑥𝑛 > 𝑥𝑛+1

untuk semua 𝑛 ∈ ℕ.

11

Definisi 2.5

Barisan 𝑋 = {𝑥𝑛} diakatakan monoton jika berlaku salah satu 𝑋 naik

atau 𝑋 turun.

Teorema 2.4 (Konvergensi Monoton)

a. Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka 𝑋 = {𝑥𝑛}

konvergen dengan

lim{𝑥𝑛} = sup {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ} (5)

b. Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka 𝑋 = {𝑥𝑛}

konvergen dengan

lim{𝑥𝑛} = inf {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ} (6)

Bukti :

a. Karena 𝑋 = {𝑥𝑛} terbatas ke atas, maka terdapat 𝑀 ∈ ℕ sedemikian

sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ. Namakan 𝐴 = {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ}, maka

𝐴 ⊂ ℝ, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut sifat kelengkapan R,

maka supremum 𝐴 ada, namakan 𝑥 = sup 𝐴. Diambil 휀 > 0, maka

terdapat 𝐾 ∈ ℕ sedemikian sehingga 𝑥 − 휀 < 𝑥𝑘 ≤ 𝑥. Karena 𝑋 naik

monoton, maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku

𝑥 − 휀 < 𝑥𝑘 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 휀

atau

𝑥 − 휀 < 𝑥𝑛 < 𝑥 + 휀 ⇔ |𝑥𝑛 − 𝑥| < 휀

Jadi terbukti bahwa 𝑋 = {𝑥𝑛} konvergen ke 𝑥 = lim{𝑥𝑛} =

sup {𝑥𝑛 ∶ 𝑛 ∈ ℕ}

b. Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).

12

4. Barisan Bagian

Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences)

dari suatu barisan bilangan real.

Definisi 2.6

Diberikan barisan bilangan real 𝑋 = {𝑥𝑛} dan diberikan barisan

bilangan asli naik tegas 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘 < ⋯ barisan 𝑋′ = 𝑥𝑛𝑘 dengan

{𝑥𝑛𝑘} = {𝑥𝑛1, 𝑥𝑛2, … , 𝑥𝑛𝑘, … } (7)

Disebut dengan barisan bagiaan atau sub barisan (subsequences) dari X.

Teorema 2.5

Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} konvergen ke 𝑥, maka setiap barisan 𝑋′ = {𝑥𝑛𝑘} dari 𝑋

juga konvergen ke 𝑥.

Bukti :

Diambil 휀 > 0. Karena {𝑥𝑛} → 𝑥, maka terdapat 𝐾(휀) ∈ ℕ

sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾(휀) berlaku 𝑛𝑘 ≥ 𝑘 ≥ 𝐾(휀). Sehingga

|𝑥𝑛𝑘 − 𝑥| < 휀

Terbukti bahwa 𝑋′ = {𝑥𝑛𝑘} konvergen ke 𝑥.

Teorema 2.6 (Teorema Barisan Bagian Monoton)

Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} barisan bilangan real, maka terdapat barisan bagian dari

𝑋 yang monoton.

Bukti :

Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu 𝑋 mempunyai tak hingga

banyak puncak dan 𝑋 mempunyai berhingga banyak puncak.

13

Kasus I : 𝑋 mempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak

berurutan naik, yaitu

𝑥𝑚1, 𝑥𝑚2, … , 𝑥𝑚𝑘, …

maka

𝑥𝑚1 ≥ 𝑥𝑚2 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑚𝑘 , …

Oleh karena itu {𝑥𝑚𝑘} merupakan barisan bagian yang turun (monoton).

Kasus II : 𝑋 mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak

berurutan naik, yaitu

𝑥𝑚1, 𝑥𝑚2, … , 𝑥𝑚𝑘, …

Misalkan 𝑠1 ≔ 𝑚𝑟 + 1 adalah indeks pertama dari puncak yang terakhir.

Karena 𝑥𝑠1 bukan puncak, maka terdapat

𝑠2 > 𝑠1

sedemikian hingga

𝑥𝑠1 < 𝑥𝑠2

Karena 𝑥𝑠2 bukan puncak, maka terdapat

𝑠3 > 𝑠2

sedemikian hingga

𝑥𝑠2 < 𝑥𝑠3

Jika proses ini diteruskan, diperoleh barisan bagian 𝑥𝑠1 yang naik (monoton).

14

5. Barisan Cauchy

Definisi 2.7

Barisan bilangan real 𝑋 = {𝑥𝑛} disebut barisan Cauchy jika untuk

setiap 휀 > 0 terdapat 𝐻(휀) ∈ ℕ sedemikian hingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ

dengan 𝑛, 𝑚 ≥ 𝐻(휀) berlaku

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| < 휀 (8)

Lemma 2.1

Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} barisan bilangan real yang konvergen, maka 𝑋

merupakan barisan Cauchy.

Bukti :

Misalkan 𝑥 ≔ lim 𝑋. Diberikan 휀 > 0, maka terdapat 𝐾 (2) ∈ ℕ

sedemikian sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾 (2), maka

|𝑥𝑛 − 𝑥| <휀

2

Oleh karena itu, jika 𝐻(휀) ≔ 𝐾 (2) dan jika 𝑛, 𝑚 ≥ 𝐻(휀), maka

diperoleh

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| = |(𝑥𝑛 − 𝑥) + (𝑥𝑚 − 𝑥)|

= |𝑥𝑛 − 𝑥| + |𝑥𝑚 − 𝑥|

<휀

2+

휀

2= 휀

Karena berlaku untuk sebarang 휀 > 0 , maka terbukti bahwa {𝑥𝑛}

barisan Cauchy.

15

Teorema 2.7

Jika 𝑋 = {𝑥𝑛} barisan Cauchy, maka 𝑋 barisan terbatas.

Teorema 2.8 (Kriterian Konvergensi Cauchy)

Barisan bilangan real 𝑋 = {𝑥𝑛} konvergen jika dan hanya jika 𝑋 =

{𝑥𝑛} barisan Cauchy. 4

Bukti :

⇒ Jelas (Lemma 2.1)

⇐ Diketahui 𝑋 = {𝑥𝑛} barisan Cauchy. Diambil 휀 > 0, maka terdapat 𝐻 =

𝐻(휀) > 0 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ dengan 𝑛, 𝑚 ≥ 𝐻

berlaku

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑚| <휀

2

Karena 𝑋 barisan Cauchy, maka 𝑋 terbatas, sehingga 𝑋 memuat barisan bagian

𝑋′ = {𝑥𝑛𝑘} yang konvergen ke 𝑥∗. Oleh karena itu terdapat 𝐾 ≥ 𝐻 dengan

𝐾 ∈ {𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, … } sedemikian sehingga

|𝑥𝐾 − 𝑥∗| <휀

2

Akibatnya untuk 𝑚 = 𝐾 diperoleh.

|𝑥𝑛 − 𝑥∗| = |𝑥𝑛 − 𝑥𝐾 + 𝑥𝐾 − 𝑥∗)|

≤ |𝑥𝑛 − 𝑥𝐾| + |𝑥𝐾 − 𝑥∗|

<휀

2+

휀

2= 휀

4 Wahidah Alwi, Analisis Real (Makassar : UIN Alauddin, 2013), h.37-71

16

Karena berlaku untuk sebarang 휀 > 0 , maka terbukti bahwa 𝑋 = {𝑥𝑛}

konvergen.

B. Barisan Fungsi

Barisan fungsi memiliki dua jenis kekonvergenan yaitu konvergen

pointwise dan konvergen seragam.

1. Barisan Fungsi Konvergen Pointwise

Definisi 2.8

Barisan fungsi {𝑓𝑛} dikatakan konvergen pointwise ke suatu fungsi 𝑓

jika lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 dimana 𝐸 ⊆ ℝ.5

Lemma 2.2

Suatu barisan fungsi {𝑓𝑛} pada himpunan 𝐸 ⊆ ℝ konvergen ke suatu

fungsi jika dan hanya jika untuk setiap 휀 > 0 dan setiap 𝑥 ∈ 𝐸 ada bilangan

asli 𝑁 ,𝑥 sedemikian hingga untuk semua 𝑛 ≥ 𝑁 ,𝑥 berlaku : 6

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀 (9)

Bukti :

(⇒) Jika {𝑓𝑛} ∈ 𝐸 ⊆ ℝ konvergen pointwise ke suatu fungsi maka ∀휀 > 0 dan

∀𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑁 ,𝑥 ∈ ℕ ∋ ∀𝑛 ≥ 𝑁 ,𝑥, berlaku

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀

Menurut Definisi 2.8 jika barisan fungsi konvergen ke suatu fungsi

pada himpunan 𝐸 maka diperoleh

5 Richard R. Goldberg, Method of Riil Analysis (New York : John Wiley and Sons, 1976),

h.252 6 R. G & Donald R. Sherbert Bartle, Introduction to Riil Analysis (New York : John Wiley

and Sons, 2000), h.229

17

lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Akibatnya

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 .

Untuk pertidaksamaan di atas tidak hanya nilai 휀 yang berpengaruh

untuk menentukan nilai 𝑛 agar pertidaksamaan tersebut dapat terpenuhi, akan

tetapi didalam barisan fungsi juga terdapat nilai 𝑥 yang berpengaruh terhadap

pertidaksamaan, sedemikian sehingga untuk nilai 𝑛 bergantung terhadap nilai

𝑥 dan 휀.

(⇐ ) Jika ∀휀 > 0 dan ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑁 ,𝑥 ∈ ℕ ∋ ∀𝑛 ≥ 𝑁 ,𝑥, berlaku

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀

maka {𝑓𝑛} konvergen pointwise ke suatu fungsi.

Untuk pernyataan diatas mirip dengan definisi dari suatu barisan yang

konvergen dimana pada pernyataan tersebut diakatan bahwa barisan fungsi

konvergen ke suatu fungsi, pada barisan yang konvergen nilai 𝑛 yang

memenuhi agar barisan tersebut bilangan asli 𝑛 selain bergantung pada 휀,

bilangan asli 𝑛 bergantung pada nilai 𝑥 yang diberikan dikarenakan untuk nilai

suatu fungsi bergantung pada domain yang diberikan. Jadi, jika ada nilai 𝑛 yang

memenuhi dengan syarat diatas maka barisan fungsi tersebut konvergen ke

suatu fungsi.

18

2. Barisan Fungsi Konvergen Seragam

Definisi 2.9

Barisan fungsi {𝑓𝑛} bernilai real di 𝐸 ⊆ ℝ. Barisan fungsi {𝑓𝑛}

dikatakan konvergen seragam ke fungsi 𝑓 di 𝐸, jika diberikan 휀 > 0, ∃ 𝑁 ∋

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 , 𝑥 ∈ 𝐸. Fungsi 𝑓(𝑥) merupakan nilai limit dari

𝑓𝑛(𝑥) untuk nilai 𝑛 → ∞.

Akibat 2.1

Barisan fungsi {𝑓𝑛} tidak konvergen seragam ke 𝑓 di 𝐸 jika dan hanya

jika ∃휀0 > 0 ∋ ∄ ℕ yang memenuhi 7

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀0 ∀𝑛 ≥ 𝑁0 , ∀𝑥 ∈ 𝐸. (10)

Lemma 2.3

Barisan fungsi {𝑓𝑛} tidak konvergen seragam ke fungsi 𝑓 di 𝐸 jika dan

hanya jika untuk suatu 휀0 > 0 ada subbarisan {𝑓𝑛𝑘} dari {𝑓𝑛} dan barisan {𝑥𝑘}

pada 𝐸 sedemikian sehingga berlaku

|𝑓𝑛𝑘(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘)| ≥ 휀0 (11)

untuk semua 𝑘 ∈ ℕ.8

Bukti :

(⇒) Karena barisan fungsi {𝑓𝑛} tidak konvergen seragam menuju fungsi 𝑓

maka ada 휀0 > 0 dan subbarisan 𝑓𝑛𝑘 sedemikian sehingga

|𝑓𝑛𝑘(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘)| ≥ 휀0


h. 255-256 8 R. G & Donald R. Sherbert Bartle, Introduction to Riil Analysis (New York : John Wiley

and Sons, 2000), h. 230

19

untuk semua 𝑘 ∈ ℕ. Untuk suatu 휀0 terdapat nilai 𝑥 pada 𝐸 sedemikian

sehingga pertidaksamaan tersebut bernilai lebih dari atau sama dengan 휀0. Nilai

𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat berupa sebuah barisan {𝑥𝑘}

pada 𝐸 sedemikian sehingga


(⇐) Andai 𝑓𝑛 konvergen seragam ke 𝑓 pada 𝐸, diberikan 휀0 > 0 maka ada 𝑛 ≥

𝑁 sedemikian sehingga

|𝑓𝑛𝑘(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘)| < 휀0, ∀ 𝑥𝑘 ∈ 𝐸

Barisan fungsi {𝑓𝑛𝑘} merupakan sub barisan dari {𝑓𝑛} maka sub

barisan tersebut juga konvergen

|𝑓𝑛𝑘(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘)| < 휀0

Terjadi kontradiksi, maka pengandaian haruslah dinegasikan. Jadi

terbukti bahwa 𝑓𝑛 tidak konvergen seragam ke 𝑓.

Lemma 2.4

Barisan fungsi {𝑓𝑛} tidak konvergen seragam ke fungsi 𝑓 di 𝐸 jika dan

hanya jika untuk suatu 휀0 > 0 ada subbarisan {𝑓𝑛𝑘} dari {𝑓𝑛} dan barisan {𝑥𝑘}

pada 𝐸 sedemikian sehingga berlaku


untuk semua 𝐾 ∈ 𝑁.9

9 R. G & Donald R. Sherbert Bartle, Introduction to Riil Analysis (New York : John

Wiley and Sons, 2000), h. 230

20

Bukti :

Karena barisan fungsi {𝑓𝑛} tidak konvergen seragam menuju fungsi 𝑓

maka ada 휀0 > 0 dan subbarisan 𝑓𝑛𝑘 sedemikian sehingga


untuk semua 𝐾 ∈ 𝑁. Untuk suatu 휀0 terdapat nilai 𝑥 pada 𝐸 sedemikian

sehingga pertidaksamaan tersebut bernilai lebih dari atau sama dengan 휀0.

Nilai 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat berupa sebuah barisan

{𝑥𝑘} pada 𝐸 sedemikian sehingga


Andai 𝑓𝑛 konvergen seragam ke 𝑓 pada 𝐸, diberikan 휀0 > 0 maka ada

𝑛 ≥ 𝑁 sedemikian sehingga

|𝑓𝑛(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘)| < 휀0, ∀𝑥𝑘 ∈ 𝐸

Barisan fungsi {𝑓𝑛𝑘} merupakan subbarisan dari {𝑓𝑛} maka subbarisan tersebut

juga konvergen

|𝑓𝑛𝑘(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘)| < 휀0

Terjadi kontradiksi, maka pengandaian harus dinegasikan. Jadi terbukti bahwa

𝑓𝑛 tidak konvergen seragam ke 𝑓.

Teorema 2.9 (Kriteria Cauchy)

Barsian fungsi {𝑓𝑛} konvergen seragam ke 𝑓 di 𝐸 jika dan hanya jika

diberikan 휀 > 0 maka ada bilangan asli 𝑁 ∈ ℕ sedemikan hingga

|𝑓𝑚(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| < 휀 (12)

21

untuk semua 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 ; 𝑥 ∈ 𝐸. 10

Bukti :

Untuk barisan fungsi {𝑓𝑛} konvergen seragam ke 𝑓 di 𝐸. Diberikan

휀 > 0 ⟹2

> 0, barisan fungsi {𝑓𝑛} konvergen seragam ke 𝑓 sedemikian

sehingga

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| = |𝑓(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| <휀

2

𝑚 merupakan bilangan asli juga dimana 𝑚 ≥ 𝑁 , berlaku

|𝑓𝑚(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <휀

2

maka diperoleh

|𝑓𝑚(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| = |(𝑓𝑚(𝑥) − 𝑓(𝑥)) + (𝑓(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥))|

≤ |𝑓𝑚(𝑥) − 𝑓(𝑥)| + | 𝑓(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)|

<2

+2

= 휀.

Teorema 2.10

Misalkan {𝑓𝑛} konvergen seragam ke 𝑓 pada suatu interval 𝐼 ⊆ 𝑅.

Jika 𝑓𝑛 kontinu di 𝑐 ∈ 𝐼 untuk tiap 𝑛 ∈ 𝑁, maka 𝑓 juga kontinu di 𝑐.11

Bukti:

Diberikan 휀 > 0, pilih 𝑁 ∈ ℕ sedmeikian sehingga untuk setiap 𝑛 ≥

𝑁 dan 𝑥 ∈ 𝐼 berlaku

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <휀

3


h. 257 11 Hendra Gunawan, Pengantar Analisis Real (Bandung: ITB, 2009), h.134

22

Karena 𝑓𝑁 kontinu di 𝑐, maka suatu interval 𝐼𝛿(𝑐) ⊆ 𝐼 yang memuat

𝑐 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝛿(𝑥) berlaku

|𝑓𝑁(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀

3

Jadi, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝛿(𝑐), kita mempunyai

|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓𝑁 (𝑥)| + |𝑓𝑁 (𝑥) − 𝑓𝑁(𝑐)| + |𝑓𝑁 (𝑐) − 𝑓(𝑐)|

< 휀

3+

휀

3 +

휀

3 = 휀

Ini membuktikan bahwa 𝑓 kontinu di 𝑐.

Teorema 2.11

Jika barisan {𝑓𝑛} konvergen seragam, maka {𝑓𝑛} terbatas.

Bukti:

Diketahui {𝑓𝑛} konvergen ke 𝑓 dan ambil 휀 = 1, maka terdapat

bilangan asli 𝐾(휀) = 𝐾(1) sedemikian hingga berlaku |𝑓𝑛 − 𝑓| < 1 untuk

semua 𝑛 ≥ 𝐾 . Jika digunkan ketaksamaan segitiga dengan 𝑛 ≥ 𝐾 maka

didapat

|𝑓𝑛| = |𝑓𝑛 − 𝑓 + 𝑓| ≤ |𝑓𝑛 − 𝑓| + |𝑓| < 1 + |𝑓|

Jika dipilih

𝑀 = sup {|𝑓1|, |𝑓2|, … , |𝑓𝑘−1|, 1 + |𝑓|}

Maka itu menyatakan bahwa |𝑓𝑛| ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ. Jadi

terbukti bahwa {𝑓𝑛} terbatas.

Sebagaimana dalam barisan bilangan real, barisan {𝑓𝑛} dikatakan naik

monoton jika 𝑓𝑛 ≤ 𝑓𝑛+1 dan barisan {𝑓𝑛} dikatakan turun monoton jika 𝑓𝑛 ≥

𝑓𝑛+1. Sebuah barisan {𝑓𝑛} dikatakan monoton apabila {𝑓𝑛} monoton naik atau

23

monoton turun. Suatu barisan {𝑓𝑛} yang monoton naik atau monoton turun dan

juga terbatas belum tentu konvergen seragam. Hal ini disebakan barisan {𝑓𝑛}

belum tentu memiliki supremum atau infimum.

Teorema 2.12

a. Jika barisan {𝑓𝑛} naik monoton dan mempunyai supremum maka barisan

{𝑓𝑛} konvergen seragam ke supremumnya.

b. Jika barisan {𝑓𝑛} turun monoton dan mempunyai infimum maka barisan

{𝑓𝑛} konvergen seragam ke infimumnya.

Bukti:

a. Misalkan 𝐴 = {𝑓𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} dan 𝑠 = sup 𝐴. Diambil 휀 > 0, maka terdapat

𝐾(휀) ∈ ℕ sedemikian hingga 𝑠 − 휀 < 𝑓𝑘 ≤ 𝑠. Karena {𝑓𝑛} naik monoton,

maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾(휀) berlaku

𝑠 − 휀 < 𝑓𝑘 ≤ 𝑓𝑛 ≤ 𝑠 < 𝑠 + 휀

Atau

𝑠 − 휀 < 𝑓𝑛 < 𝑠 + 휀 ⇔ |𝑓𝑛 − 𝑠| < 휀

Jadi, terbukti bahwa {𝑓𝑛} konvergen ke 𝑠 = sup {𝑓𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}.

b. Misalkan 𝐴 = {𝑓𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} dan 𝑖 = inf 𝐴. Diambil 휀 > 0, maka terdapat

𝐾(휀) ∈ ℕ sedemikian hingga 𝑖 ≤ 𝑓𝑘 < 𝑖 + 휀. Karena {𝑓𝑛} turun monoton,

maka untuk 𝑛 ≥ 𝐾(휀) berlaku

𝑖 − 휀 < 𝑖 ≤ 𝑓𝑛 ≤ 𝑓𝑘 < 𝑖 + 휀

Atau

𝑖 − 휀 < 𝑓𝑛 < 𝑓 + 휀 ⇔ |𝑓𝑛 − 𝑖| < 휀

24

Jadi, terbukti bahwa {𝑓𝑛} konvergen ke 𝑖 = inf {𝑓𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}.12

Setelah mengetahui barisan fungsi tersebut konvergen, selanjutnya

adalah sifat-sifat barisan konvergen. Adapun sifat dari barisan fungsi yang

konvergen yaitu yang melekat pada fungsi kontinu dan fungsi terintegral.

Teorema 2.13

Barisan fungsi {𝑓𝑛} merupakan barisan fungsi yang kontinu dalam

himpunan 𝐸 ⊆ ℝ dan konvergen seragam ke 𝑓 di 𝐸. Maka 𝑓 kontinu di 𝐸. 13

Bukti :

Barisan fungsi {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi kontinu maka 𝑓𝑛 merupakan

fungsi kontinu. Fungsi 𝑓𝑛 kontinu di 𝑎 ∈ 𝐸, maka diberikan

휀 > 0 ⇒휀

3> 0

ada 𝛿 > 0 sedemikian sehingga

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑎)| <휀

3

untuk |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Barisan fungsi {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi yang konvergen

seragam ke 𝑓, jika diberikan 휀 > 0 ⇒3

> 0, maka ada bilangan asli 𝑁 ∈ ℕ

sedemikian sehingga

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <휀

3, 𝑎 ∈ 𝐸

dan {𝑓𝑛} konvergen seragam di 𝐸 maka

|𝑓𝑛(𝑎) − 𝑓(𝑎)| <휀

3

12 Ishak R, Ekuivalensi Kekonvergenan Seragam dan Kekonvergenan Pointwise pada

Barisan Fungsi (Jurnal MSA Vol.6 No.2, 2018) 13 Hendra Gunawan, Pengantar Analisis Real (Bandung: ITB, 2009), h.134

25

Akan dibuktikan 𝑓 kontinu di 𝐸.

|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| + |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑎)| + |𝑓𝑛(𝑎) − 𝑓(𝑎)|

<3

+3

+3

< 휀

Teorema 2.14

Jika {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi kontinu yang konvergen seragam ke

suatu fungsi 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] maka :14

lim𝑛→∞

∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ∫ [ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥𝑏

𝑎

(13)

Bukti :

Barisan {𝑓𝑛} konvergen seragam maka {𝑓𝑛} konvergen pointwise ke 𝑓,

sedemikian sehingga

lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Barisan fungsi {𝑓𝑛} merupakan konvergen seragam pada interval

[𝑎, 𝑏]. Jika diberikan

휀

𝑏 − 𝑎> 0

maka ada 𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan 𝑛 ≥ 𝑁

berlaku

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <휀

𝑏 − 𝑎

|∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

| < 휀

Jadi,

14 Witold A.J. Kosmala, A Friendly Introduction to Analysis Single and Multivariable

(New Jersey : Pearson Education, 2004), h.347-348

26

lim𝑛→∞


𝑎

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Ekuivalen dengan,

lim𝑛→∞


𝑎

= ∫ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Adapun contoh yang terkait dengan fungsi yang tidak konvergen

seragam sehingga menyebabkan limit dari barisan fungsi yang terintegral tidak

sama dengan integral dari fungsinya.

Contoh 2.2

Tentukan barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛

1+𝑛𝑥, 𝑥 ∈ [0,1].

Penyelesaian:

Syarat kekonvergenan barisan fungsi yaitu lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛

1+𝑛𝑥, 𝑥 ∈ [0,1]. 𝑓𝑛(𝑥) konvergen ke 0 dengan

lim𝑛→∞

𝑛

1+𝑛𝑥= 0. Tetapi 𝑓𝑛(𝑥) tidak konvergen seragam di 𝑥 ∈ [0,1] karena jika

diambil 휀 =1

8 dan 𝑥 = 1, maka |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| = |

𝑛

1+𝑛− 0| =

𝑛

1+𝑛>

1

8. Yang

berarti tidak ada nilai 𝑛 yang memenuhi agar 𝑛

𝑛+1<

1

8. Nilai ∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥

1

0=

∫𝑛

1+𝑛𝑥𝑑𝑥

1

0= 𝑙𝑛|1 + 𝑛| dan lim

𝑛→∞∫

𝑛

1+𝑛𝑥𝑑𝑥

1

0= lim

𝑛→∞𝑙𝑛|1 + 𝑛| = ∞. Maka

∫ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) 𝑑𝑥1

0≠ ∫ ∞ 𝑑𝑥

1

0. Hal ini menunjukkan bahwa lim

𝑛→∞∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥

1

0≠

∫ [ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥1

0.

27

C. Integral Darboux

Definisi 2.10

Misal diberikan interval tertutup dan terbatas [𝑎, 𝑏]. Partisi dari [𝑎, 𝑏]

adalah himpunan berhingga 𝑃 dari titik-titik 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 di mana

𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏 (14)

Partisi 𝑃 terdiri dari 𝑛 + 1 titik. Jelasnya sebarang anggota partisi dari

[𝑎, 𝑏] dapat berbeda jumlahnya sesui dengan yang diinginkan.

Berdasarkan partisi diatas diperoleh subinterval-subinterval dari [𝑎, 𝑏]

yaitu [𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], … , [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], … , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] . subinterval ke-i [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

disimbolkan dengan ∆𝑥𝑖. Symbol ∆𝑥𝑖 juga merupakan Panjang 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

sehingga,

∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) (15)

Misalkan 𝑓 adalah fungsi bernilai real yang terbatas pada [𝑎, 𝑏].

Karena itu 𝑓 juga terbatas pada setiap subinterval yang bersesuian dengan salah

satu partisi 𝑃. Misal 𝑀𝑖, 𝑚𝑖 berturut-turut adalah supremum dan infimum dari

𝑓 pada ∆𝑥𝑖. Dibentuk dua jumlahan,

𝑈(𝑃, 𝑓) = ∑ 𝑀𝑖 ∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑀1 ∆𝑥1, +𝑀2 ∆𝑥2 + ⋯ + 𝑀𝑛 ∆𝑥𝑛 (16)

𝐿(𝑃, 𝑓) = ∑ 𝑚𝑖 ∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝑚1 ∆𝑥1, +𝑚2 ∆𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛 ∆𝑥𝑛 (17)

Berturut-turut disebut Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux

Bawah dari 𝑓 terhadap partisi 𝑃.

Jika 𝑀, 𝑚 adalah batas dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏], didapatkan

28

𝑚 ≤ 𝑚𝑖 ≤ 𝑀𝑖 ≤ 𝑀 (18)

dan mengakibatkan,

𝑚 ∆𝑥𝑖 ≤ 𝑚𝑖 ∆𝑥𝑖 ≤ 𝑀𝑖 ∆𝑥𝑖 ≤ 𝑀 ∆𝑥𝑖 (19)

Dengan menjumlahkan untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , didapatkan

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝐿(𝑃, 𝑓) ≤ 𝑈(𝑃, 𝑓) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) (20)

Setiap partisi dapat memberikan sepasang jumlahan, jumlah Darboux

atas dan jumlah Darboux bawah. Dari semua patisi pada [𝑎, 𝑏], didapatkan

himpunan 𝑈 sebagai himpunan semua jumlah Darboux atas himpunan 𝐿

sebagai himpunan semua jumlah Darboux bawah. Ketidaksamaan (20) diatas

menunjukkan bahwa kedua himpunan ini terbatas dan setiap himpunan tersebut

mempunyai supremum dan infimum. Infimum dari himpunan jumlah Darboux

atas disebut Integral Darboux Atas dan sumremum dari himpunan jumlah

Darboux bawah disebut Integral Darboux Bawah dari 𝑓 pada [𝑎, 𝑏], yakni :

�� ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎= inf 𝑈 = inf{𝑈(𝑃, 𝑓); 𝑃 adalah partisi dari [𝑎, 𝑏]} (21)

𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎= sup 𝐿 = sup{𝐿(𝑃, 𝑓); 𝑃 adalah partisi dari [𝑎, 𝑏]} (22)

Kedua integral tersebut dapat bernilai sama atau mungkin tidak sama.

Definisi 2.11 (Kondisi Terintegral Darboux)

Apabila integral diatas memiliki nilai yang sama, yaitu :

�� ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎

(23)

Maka dikatakan bahwa 𝑓 terintegral Darboux terhadap [𝑎, 𝑏], ditulis

dengan 𝑓 ∈ 𝐷[𝑎, 𝑏]. Berdasarkan ketaksamaan (20), berlaku

29

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎

≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) (24)

Jadi integral Darboux atas dan integral Darboux bawah terdefinisi

untuk setiap fungsi terbatas tetapi nilai dari keduanya tidak perlu sama pada

setiap fungsi terbatas tersebut. Terdapat fungsi yang membuat integral tersebut

tidak sama, sehingga fungsi ini tidak terintegral Darboux.

a. Pernyataan bahwa 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎 ada, mengakibatkan fungsi 𝑓 terbatas dan

terintegral terhadap [𝑎, 𝑏]

b. Konsep integral untuk sebuah fungsi yang dibicarakan di atas dibatasi pada

dua hal, yaitu fungsi tersebut terbatas dan interval pengintegralannya

tertutup dan terbatas.

c. Dari ketaksamaan (20) dan (24) di peroleh;

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝐿(𝑃, 𝑓) ≤ 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎

≤ 𝑈(𝑃, 𝑓) ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) (25)

d. Karena integral Darboux atas adalah infimum dari himpunan jumlah

Darboux atas, maka setiap 휀1 > 0 terdapat sejumlah Darboux atas 𝑈(𝑃, 𝑓)

sehingga

𝑈(𝑃, 𝑓) < �� ∫ 𝑓 𝑑𝑥 + 휀1

𝑏

𝑎

(26)

Begitupun dengan jumlah Darboux bawah 𝐿(𝑃, 𝑓) sehingga,

𝐿(𝑃, 𝑓) < 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥 − 휀1

𝑏

𝑎

(27)

e. 𝑈(𝑃, 𝑓) − 𝐿(𝑃, 𝑓) = ∑ 𝑀𝑖∆𝑥𝑖𝑖 − ∑ 𝑚𝑖∆𝑥𝑖𝑖 = ∑ (𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)∆𝑥𝑖𝑖 . (𝑀𝑖 −

𝑚𝑖) menunjukkan osilasi dai 𝑓 pada subinterval ∆𝑥𝑖, 𝑈(𝑃, 𝑓) − 𝐿(𝑃, 𝑓)

30

disebut jumlah osilasi dan disimbolkan dengan 𝜔(𝑃, 𝑓) dan nilainya tak

negatif.

Definisi 2.12 (Arti 𝐃 ∫ 𝐟 𝐝𝐱𝐛

𝐚 Apabila 𝐛 ≤ 𝐚 )

Jika 𝑓 terbatas dan terintegral Darboux pada [𝑏, 𝑎], untuk 𝑎 > 𝑏,

didefinisikan


𝑎= −𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥

𝑎

𝑏, dimana 𝑎 > 𝑏 (28)

Ini mengakibatkan


𝑎= 0, diamana 𝑎 = 𝑏 (29)

Adapun ketidaksamaan yang terkait dengan integral Darboux yaitu :

Sudah dibuktikan bahwa untuk fungsi 𝑓 terbatas yang terintegral Darboux

berlaku :15

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎), dimana 𝑏 ≥ 𝑎 (30)

Jika 𝑏 < 𝑎 atau 𝑎 > 𝑏, maka dibuktikan bahwa

𝑚(𝑎 − 𝑏) ≤ 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑎

𝑏≤ 𝑀(𝑎 − 𝑏), dimana a>b (31)

Sehingga,

−𝑚(𝑎 − 𝑏) ≥ −𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑎

𝑏

≥ −𝑀(𝑎 − 𝑏) (32)

Atau

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≥ 𝐷 ∫ 𝑓 𝑑𝑥𝑏

𝑎≥ 𝑀(𝑏 − 𝑎), dimana 𝑏 < 𝑎 (33)

15 Maria Asepti Endarwati, Integral Riemann-Darboux (Yogyakarta: Universitas Sanata

Dharma, 2009), h.32-74

31


𝑎≥ 𝐷 ∫ 𝑔 𝑑𝑥

𝑏

𝑎 dimana 𝑏 ≥ 𝑎 (38)

Dan


𝑎≤ 𝐷 ∫ 𝑔 𝑑𝑥

𝑏

𝑎 dimana 𝑏 ≤ 𝑎 (39)

32

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian ini adalah kajian pustaka.

B. Waktu Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan mulai pada bulan Oktober 2019 sampai

Februari 2020.

C. Bahan dan Referensi

Bahan dan referensi yang digunakan adalah buku, jurnal, artikel,

skripsi dan website.

D. Tahapan Analisis

Langkah-langkah penelitian ini sebagai berikut :

1. Mengidentifikasi sifat dari barisan fungsi yang konvergen

2. Mengidentifikasi sifat dari fungsi yang terintegral Darboux

3. Menentukan kekonvergenan barisan fungsi yang terintegral Darboux

dimana suatu fungsi yang terintegral Darboux sama dengan limit dari

integral barisan fungsinya.

4. Menentukan syarat suatu fungsi terintegral Darboux sama dengan limit

dari integral barisan fungsinya.

33

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Sifat Barisan Fungsi Konvergen

Suatu barisan fungsi memiliki dua jenis kekonvergenan yaitu

konvergen pointwise dan konvergen seragam. Kekonvergenan pointwise yang

dinyatakan konvergen dengan bergantung pada setiap nilai dalam interval yang

diberikan. Sedangkan kekonvergenan seragam yang dinyatakan konvergen

berlaku untuk semua nilai interval yang diberikan.

Berdasarkan definisi 2.8, barisan fungsi {𝑓𝑛} dikatakan konvergen

pointwise ke suatu fungsi 𝑓 jika lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 dimana

𝐸 ⊆ ℝ.

Kasus 4.1

Tentukan kekonvergenan barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥𝑛

𝑛} untuk 𝑥 ∈

[0,1].

Penyelesaian:


𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥𝑛

𝑛} konvergen ke 0 karena lim

𝑛→∞{

𝑥𝑛

𝑛} = 0 untuk 𝑥 ∈

[0,1]. Yang berarti ∀휀 > 0, 𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝑛 ≥ 𝑁 ,𝑥 berlaku |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| =

|𝑥𝑛

𝑛− 0| ≤

1

𝑛< 휀, yang berarti berdasarkan 휀 dan 𝑥 yang diberikan barisan

𝑓𝑛(𝑥) konvergen pointwise ke 0 pada interval [0,1] dan nilai limit untuk 𝑛 →

∞ dari barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} atau lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 0. Untuk 𝑥 ∈ [1, ∞) barisan

34

fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥𝑛

𝑛} tidak mempunyai nilai limit. Sebab, nilai limit

1

{𝑓𝑛(𝑥)}

untuk 𝑛 → ∞ adalah lim𝑛→∞

1

𝑓𝑛(𝑥)= 0, akibatnya nilai lim

𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥) = ∞. Sehingga,

barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥𝑛

𝑛} konvergen pointwise pada interval [0,1] tetapi

tidak konvergen pointwise pada interval [1, ∞).

Dapat dilihat bahwa ada tidaknya suatu limit pada barisan fungsi

tergantung pada nilai 𝑥 yang diberikan. Barisan fungsi yang konvergen

pointwise pada barisan fungsi sering dikatakan barisan fungsi tersebut

konvergen. Selain itu pada barisan fungsi yang konvergen pointwise, nilai

𝑛 yang memenuhi agar barisan tersebut konvergen bergantung pada nilai 𝑥 dan

휀 yang diberikan.

Selanjutnya, berdasarkan definisi 2.9, barisan fungsi {𝑓𝑛} bernilai real

di 𝐸 ⊆ ℝ. Barisan fungsi {𝑓𝑛} dikatakan konvergen seragam ke fungsi 𝑓 di 𝐸,

jika diberikan 휀 > 0, ∃ 𝑁 ∋ |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 , 𝑥 ∈ 𝐸. Fungsi

𝑓(𝑥) merupakan nilai limit dari 𝑓𝑛(𝑥) untuk nilai 𝑛 → ∞.

Kasus 4.2

Tentukan kekonvergenan barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥

𝑛} untuk 𝑥 ∈

[0,1].

Penyelesaian:


𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) = {𝑥

𝑛} konvergen ke 0 karena lim

𝑛→∞

𝑥

𝑛= 0, 𝑥 ∈ [0,1] yang

berarti ∀휀 > 0, 𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝑛 ≥ 𝑁 ,𝑥 berlaku |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| = |𝑥

𝑛− 0| ≤

1

𝑛< 휀,

35

yang berarti berdasarkan 휀 dan 𝑥 yang diberikan barisan 𝑓𝑛(𝑥) konvergen

pointwise ke 0 pada interval [0,1] karena nilai limitnya ada dan barisan fungsi

{𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥

𝑛} konvergen seragam menuju 𝑓(𝑥) = 0 pada 𝑥 ∈ [0,1] karena

nilai |𝑥

𝑛− 0| ≤

1

𝑛< 휀, yang berarti jika diambil sebarang nilai 휀 > 0 ada nilai

𝑛 ≥ 𝑁 sedemikian sehingga |𝑥

𝑛− 0| < 휀 berlaku untuk semua 𝑥 ∈ [0,1].

Dari kasus 4.2 menunjukkan bahwa kekonvergenan pointwise

memuat kekonvergenan seragam yang berarti suatu barisan {𝑓𝑛} dikatakan

konvergen seragam jika dan hanya jika {𝑓𝑛} konvergen pointwise dan ketika

nilai keduanya ada maka nilainya sama.

Pada akibat 2.1 dijelaskan mengenai suatu barisan fungsi yang tidak

konvergen seragam, maka dapat dilihat pada kasus 4.3 di bawah.

Kasus 4.3

Tentukan kekonvergenan barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛

1+𝑛𝑥, 𝑥 ∈ [0,1].

Penyelesaian:

Barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) =𝑛

1+𝑛𝑥, 𝑥 ∈ [0,1]. 𝑓𝑛(𝑥) konvergen ke 0

dengan lim𝑛→∞

𝑛

1+𝑛𝑥= 0. Tetapi 𝑓𝑛(𝑥) tidak konvergen seragam di 𝑥 ∈ [0,1]

karena jika diambil 휀 =1

8 dan 𝑥 = 1, maka |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| = |

𝑛

1+𝑛− 0| =

𝑛

1+𝑛>

1

8. Yang berarti tidak ada nilai 𝑛 yang memenuhi agar

𝑛

𝑛+1<

1

8.

Sehingga dapat dikatakan bahwa suatu barisan fungsi yang konvergen

seragam pastilah konvergen pointwise akan tetapi barisan fungsi yang

konvergen pointwise belum tentu konvergen seragam.

36

Setelah mengetahui barisan fungsi tersebut konvergen, selanjutnya

akan dibahas mengenai sifat-sifat dari barisan konvergen. Sifat yang dimaksud

adalah sifat barisan fungsi konvergen yang melekat pada fungsi kontinu dan

fungsi yang terintegral. Pada teorema 2.13 sudah dijelaskan bahwa barisan

fungsi {𝑓𝑛} merupakan barisan fungsi yang kontinu dalam himpunan 𝐸 ⊆ ℝ

dan konvergen seragam ke 𝑓 di 𝐸. Maka 𝑓 kontinu di 𝐸. Pada teorema 2.14

juga dijelaskan bahwa Jika {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi kontinu yang konvergen

seragam ke suatu fungsi 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] maka lim𝑛→∞


𝑎=

∫ [ lim𝑛→∞


𝑎.

Kasus 4.4

Tentukan kekonvergenan barisan fungsi {{𝑓𝑛(𝑥)}} = {𝑥

𝑛+1} kontinu

pada interval [0,1].

Penyelesaian:

Barisan fungsi {{𝑓𝑛(𝑥)}} = {𝑥

𝑛+1} kontinu pada interval [0,1] karena

nilai lim𝑥→𝑐

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓𝑛(𝑐) dan juga barisan fungsi tersebut konvergen seragam

menuju ke fungsi 𝑓 dengan lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 0 pada interval [0,1]. Nilai

∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥1

0= ∫

𝑥

𝑛+1𝑑𝑥

1

0=

1

2(𝑛+1) dan lim

𝑛→∞∫

𝑥

𝑛+1𝑑𝑥

1

0= lim

𝑛→∞

1

2(𝑛+1)= 0.

Nilai ∫ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) 𝑑𝑥1

0= ∫ 0 𝑑𝑥

1

0= 0. Hal ini menunjukkan bahwa

lim𝑛→∞

∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥1

0= ∫ [ lim

𝑛→∞𝑓𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥

1

0.

37

Sehingga dapat dikatakan bahwa syarat kekonvergenan suatu barisan

fungsi terintegral yaitu apabila fungsi tersebut kontinu dan konvergen seragam.

B. Sifat Fungsi Terintegral Darboux

Ada beberapa syarat suatu fungsi terintegral Darboux. Berdasarkan

definisi 2.10 menjelaskan bahwa integral Darboux untuk fungsi real yang

terbatas pada suatu interval tertutup dan terbatas [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya

berdasarkan definisi 2.11 kondisi terintegral Darboux ketika kedua nilai

integral mempunyai nilai yang sama, yang dimaksudkan dengan kedua integral

tersebuat ialah integral Darboux bawah dan integral Darboux atas.

Kasus 4.5

Akan ditunjukkan bahwa fungsi konstan 𝑘 terintegral Darboux

dengan

𝐷 ∫ 𝑘𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎)

Untuk partisi 𝑃 pada interval [𝑎, 𝑏].

Penyelesaian:

𝐿(𝑃, 𝑓) = 𝑘 ∆𝑥1 + 𝑘 ∆𝑥2 + ⋯ + 𝑘 ∆𝑥𝑛

= 𝑘(∆𝑥1 + ∆𝑥2 + ⋯ + ∆𝑥𝑛)

= 𝑘(𝑏 − 𝑎)

Sehingga

𝐷 ∫ 𝑘 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = sup 𝐿(𝑃, 𝑓) = 𝑘(𝑏 − 𝑎)

Sejalan dengan hal yang di atas, diperoleh

38

𝐷 ∫ 𝑘 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = inf 𝑈(𝑃, 𝑓)

= inf(𝑘∆𝑥1 + 𝑘∆𝑥2 + ⋯ + 𝑘∆𝑥𝑛)

= 𝑘(𝑏 − 𝑎)

Jadi

𝐷 ∫ 𝑘 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝐷 ∫ 𝑘 𝑏

𝑎

= 𝑘(𝑏 − 𝑎)

Yang mengakibatkan fungsi konstan 𝑘 terintegral dan

𝐷 ∫ 𝑘 𝑏

𝑎

= 𝑘(𝑏 − 𝑎)

Kasus 4.6

Akan ditunjukkan bahwa fungsi 𝑓 yang didefinisikan dengan

𝑓(𝑥) = {0, jika 𝑥 rasional1, jika 𝑥 irasional

Tidak terintegral Darboux disebarang interval [𝑎, 𝑏].

Penyelesaian:

Dengan memperhatikan sebuah partisi 𝑃 pada interval [𝑎, 𝑏], berlaku

𝑈(𝑃, 𝑓) = ∑ 𝑀𝑖∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 1∆𝑥1 + 1∆𝑥2 + ⋯ + 1∆𝑥𝑛

= 𝑏 − 𝑎

Sehingga

𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = inf 𝑈(𝑃, 𝑓) = 𝑏 − 𝑎

Dan

39

𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = sup 𝐿(𝑃, 𝑓)

= sup{0∆𝑥1 + 0∆𝑥2 + ⋯ + 0∆𝑥𝑛}

= 0

Dalam hal ini digunakan sifat kepadatan bilangan real

Jadi

𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≠ 𝐷 ∫ 𝑓𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi 𝑓 tidak terintegral Darboux.

Kasus 4.7

Akan ditunjukkan bahwa 𝑥2 terintegral Darboux pada sebarang

interval [0, 𝑘], dimana 𝑘 > 0

Penyelesaian:

Dibuat partisi 𝑃 pada [0, 𝑘] dengan cara membagi interval tersebut

menjadi 𝑛 bagian yang sama, sehingga [0,𝑘

𝑛,

2𝑘

𝑛, … ,

𝑛𝑘

𝑛] adalah partisi 𝑃,

[(𝑖 − 1) (𝑘

𝑛)]

2

dan [𝑖𝑘

𝑛]

2

berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas

fungsi di ∆𝑥𝑖 dan Panjang masing-masing intervalnya adalah 𝑘

𝑛.

𝑈(𝑃, 𝑥2) =𝑘3

𝑛3 (12 + 22 + ⋯ + 𝑛2)

=𝑘3

𝑛3.𝑛

6(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

=𝑘3

6(1 +

1

𝑛) (2 +

1

𝑛)

Dan

40

𝐿(𝑃, 𝑥2) =𝑘3

𝑛3 {0 + 12 + 22 + ⋯ + (𝑛 − 1)2}

=𝑘3

6(1 −

1

𝑛) (2 −

1

𝑛)

Jadi

inf 𝑈(𝑃, 𝑥2) =𝑘3

3= sup 𝐿(𝑃, 𝑥2)

Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi 𝑥2 terintegral Darboux dan

𝐷 ∫ 𝑥2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 =𝑘3

3

Berdasarkan dari beberapa kasus maka dapat dikatakan bahwa syarat

suatu fungsi terintegral Darboux apabila intervalnya tertutup dan terbatas [𝑎, 𝑏]

serta nilai dari kedua integral Darboux atas dan integral Darboux bawahnya itu

sama.

C. Kekonvergenan Barisan Fungsi yang Terintegral Darboux

Setelah kita megetahui syarat kekonvergenan barisan suatu fungsi dan

fungsi yang terintegral darboux maka kita dapat menentukan barisan fungsi apa

sajakah yang dapat terintegral Darboux. Mengingat tidak semua barisan fungsi

yang terintegral dan konvergen kesuatu fungsi, fungsi limitnya terintegral, atau

jika terintegral, nilai integralnya belum tentu sama dengan nilai limit integral

barisan fungsinya.

Pada teorema 2.14 sudah di jelaskan mengenai syarat suatu barisan

fungsi terintegral. Maka akan diberi beberapa kasus yang terkait tentang

kekonvergenan barisan fungsi yang terintegral Darboux.

41

Kasus 4.8

Tentukan kekonvergenan barisan fungsi yang terintegral Darboux

{𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥

𝑛} untuk 𝑥 ∈ [0,1]

Penyelesaian:

Barisan Fungsi 𝑓𝑛(𝑥) =𝑥

𝑛 , konvergen ke 0 karena lim

𝑛→∞{

𝑥

𝑛} = 0 untuk

𝑥 ∈ [0,1]. Yang berarti ∀휀 > 0, 𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝑛 ≥ 𝑁 ,𝑥 berlaku |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| =

|𝑥

𝑛− 0| ≤

1

𝑛< 휀, yang berarti berdasarkan 휀 dan 𝑥 yang diberikan barisan

𝑓𝑛(𝑥) konvergen pointwise ke 0 pada interval [0,1] karena nilai limitnya ada

dan barisan fungsi {𝑓𝑛(𝑥)} = {𝑥

𝑛} konvergen seragam menuju 𝑓(𝑥) = 0 pada

𝑥 ∈ [0,1] karena nilai |𝑥

𝑛− 0| ≤

1

𝑛< 휀, yang berarti jika diambil sebarang nilai

휀 > 0 ada nilai 𝑛 ≥ 𝑁 sedemikian sehingga |𝑥

𝑛− 0| < 휀 berlaku untuk semua

𝑥 ∈ [0,1].

Dibuat partisi 𝑃 pada interval [0,1] dengan cara membagi interval

tersebut menjadi 𝑘 bagian yang sama, sehingga

[0,1

𝑘,2

𝑘, … ,

𝑘

𝑘= 1] adalah partisi 𝑃

Dapat ditulis [[(𝑖 − 1) (1

𝑘)] , [(𝑖) (

1

𝑘)]]. Subtitusi masuk ke fungsi

sehingga, [𝑖−1

𝑘𝑛,

𝑖

𝑘𝑛] berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas fungsi di

∆𝑥𝑖 dengan panjang masing-masing intervalnya adalah 1

𝑘 .

Selanjutnya menentukan integral Darboux bawah dan integral

Darboux atas. Dengan memperhatikan partisi 𝑃 pada interval [0,1], berlaku

42


𝑘

𝑖=1

= ∑𝑖

𝑘𝑛 .

𝑘

𝑖=1

1

𝑘

= 1

𝑘2𝑛 ∑ 𝑖

𝑘

𝑖=1

= 1

𝑘2𝑛 (1 + 2 + ⋯ + 𝑘)

=1

𝑘2𝑛 [

𝑘(𝑘 + 1)

2]

=1

2𝑛[(𝑘 + 1)

𝑘]

=1

2𝑛[1 +

1

𝑘]

= 1

2𝑛+

1

2𝑘𝑛

Maka

inf 𝑈(𝑃, 𝑓) = 1

2𝑛

Selanjutnya

𝐿(𝑃, 𝑓) = ∑ 𝑚𝑖∆𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

= ∑𝑖 − 1

𝑘𝑛 .

𝑘

𝑖=1

1

𝑘

= 1

𝑘2𝑛 ∑ 𝑖 − 1

𝑘

𝑖=1

43

= 1

𝑘2𝑛 (0 + 1 + 2 + ⋯ + (𝑛 − 1))

=1

𝑘2𝑛 [

𝑘(𝑘 − 1)

2]

=1

2𝑛[(𝑘 − 1)

𝑘]

=1

2𝑛[1 −

1

𝑘]

= 1

2𝑛−

1

2𝑘𝑛

Maka

sup 𝐿(𝑃, 𝑓) = 1

2𝑛

Diperoleh

𝐷 ∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑏

𝑎


𝐷 ∫𝑥

𝑛

1

0

𝑑𝑥 =1

2𝑛

Dan


𝑎


𝐷 ∫𝑥

𝑛

1

0

𝑑𝑥 =1

2𝑛

Jadi


𝑎

𝑑𝑥 = 𝐷 ∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑏

𝑎


𝑎

𝑑𝑥

44

Sehingga terbukti bahwa 𝑓𝑛(𝑥) terintegral Darboux di interval [0,1].

Selanjutnya akan diselidiki apakah fungsi terintegral Darboux sama dengan

limit integral barisan fungsinya.

lim𝑛→∞

𝐷 ∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝐷 ∫ 𝑛1

0

𝑑𝑥

= lim𝑛→∞

[1

2𝑛]

= 0

Dan

𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)]𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞

𝑥

𝑛]

1

0

𝑑𝑥

= 𝐷 ∫ 01

0

𝑑𝑥

= 0

Sehingga

lim𝑛→∞


𝑎

= 𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)]𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 0

Kasus 4.9

Tentukan kekonvergenan barisan fungsi yang terintegral Darboux

pada interval [0,1].

𝑓𝑛(𝑥) =𝑥

𝑛 + 1

Penyelesaian:

Ada beberapa langkah yang harus dipenuhi, yang pertama dilakukan

ialah menentukan nilai limit dari barisan fungsinya.

45

Barisan fungsi {{𝑓𝑛(𝑥)}} = {𝑥

𝑛+1} kontinu pada interval [0,1] karena

nilai lim𝑥→𝑐

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓𝑛(𝑐) dan juga barisan fungsi tersebut konvergen seragam

menuju ke fungsi 𝑓 dengan lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 0 pada interval [0,1].

Selanjutnya menentukan bahwa fungsi tersebut dapat terintegral

Darboux atau tidak.

Dibuat partisi 𝑃 pada interval [0,1] dengan cara membagi interval

tersebut menjadi 𝑘 bagian yang sama, sehingga

[0,1

𝑘,2

𝑘, … ,

𝑘

𝑘= 1] adalah partisi 𝑃

Dapat ditulis [[(𝑖 − 1) (1

𝑘)] , [(𝑖) (

1

𝑘)]]. Subtitusi masuk ke fungsi

sehingga, [𝑖−1

𝑘(𝑛+1),

𝑖

𝑘(𝑛+1)] berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas

fungsi di ∆𝑥𝑖 dengan panjang masing-masing intervalnya adalah 1

𝑘 .

Selanjutnya menentukan integral Darboux bawah dan integral

Darboux atas. Dengan memperhatikan partisi 𝑃 pada interval [0,1], berlaku


𝑘

𝑖=1

= ∑𝑖

𝑘(𝑛 + 1) .

𝑘

𝑖=1

1

𝑘

= 1

𝑘2(𝑛 + 1) ∑ 𝑖

𝑘

𝑖=1

= 1

𝑘2(𝑛 + 1) (1 + 2 + ⋯ + 𝑘)

46

=1

𝑘2(𝑛 + 1) [

𝑘(𝑘 + 1)

2]

=1

2(𝑛 + 1)[(𝑘 + 1)

𝑘]

=1

2(𝑛 + 1)[1 +

1

𝑘]

= 1

2(𝑛 + 1)+

1

2𝑘(𝑛 + 1)

Maka

inf 𝑈(𝑃, 𝑓) = 1

2(𝑛 + 1)

Selanjutnya

𝐿(𝑃, 𝑓) = ∑ 𝑚𝑖∆𝑥𝑖

𝑘

𝑖=1

= ∑𝑖 − 1

𝑘(𝑛 + 1) .

𝑘

𝑖=1

1

𝑘

= 1

𝑘2(𝑛 + 1) ∑ 𝑖 − 1

𝑘

𝑖=1

= 1

𝑘2(𝑛 + 1) (0 + 1 + 2 + ⋯ + (𝑛 − 1))

=1

𝑘2(𝑛 + 1) [

𝑘(𝑘 − 1)

2]

=1

2(𝑛 + 1)[(𝑘 − 1)

𝑘]

=1

2(𝑛 + 1)[1 −

1

𝑘]

47

= 1

2(𝑛 + 1)−

1

2𝑘(𝑛 + 1)

Maka

sup 𝐿(𝑃, 𝑓) = 1

2(𝑛 + 1)

Diperoleh


𝑎


𝐷 ∫𝑥

𝑛 + 1

1

0

𝑑𝑥 =1

2(𝑛 + 1)

Dan


𝑎


𝐷 ∫𝑥

𝑛 + 1

1

0

𝑑𝑥 =1

2(𝑛 + 1)

Jadi


𝑎


𝑎


𝑎

𝑑𝑥

Sehingga terbukti bahwa 𝑓𝑛(𝑥) terintegral Darboux di interval [0,1].

Selanjutnya akan diselidiki apakah fungsi terintegral Darboux sama dengan

limit integral barisan fungsinya.

lim𝑛→∞


𝑎

= lim𝑛→∞

𝐷 ∫𝑥

𝑛 + 1

1

0

𝑑𝑥

= lim𝑛→∞

[1

2(𝑛 + 1)]

= 0

48

Dan

𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)]𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞

𝑥

𝑛 + 1]

1

0

𝑑𝑥

= 𝐷 ∫ 01

0

𝑑𝑥

= 0

Sehingga

lim𝑛→∞


𝑎

= 𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)]𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 0

Dari kasus 4.8 dan 4.9 terlihat bahwa fungsi kontinu yang konvergen

seragam terbukti sebagai syarat agar suatu fungsi terintegral Darboux pada

[𝑎, 𝑏] sama dengan limit integral barisan fungsinya.

D. Syarat Suatu Fungsi Terintegral Darboux Sama dengan Limit dari

Integral Barisan Fungsinya.

Berdasarkan langkah-langkah sebelumnya dan beberapa kasus yang

telah di analisis, maka diperoleh suatu lemma sehingga syarat suatu fungsi

terintegral Darboux sama dengan limit dari integral barisan fungsinya:

Lemma 4.1

Jika {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi kontinu yang konvergen seragam ke

suatu fungsi 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] dan fungsinya terintgral Darboux pada [𝑎, 𝑏] maka :

lim𝑛→∞


𝑎

= 𝐷 ∫ [ lim𝑛→∞


𝑎

49

Bukti :

Barisan {𝑓𝑛} konvergen seragam maka {𝑓𝑛} konvergen pointwise ke 𝑓,

sedemikian sehingga

lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Barisan fungsi {𝑓𝑛} merupakan konvergen seragam pada interval

[𝑎, 𝑏]. Jika diberikan

휀

𝑏 − 𝑎> 0

maka ada 𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan 𝑛 ≥ 𝑁

berlaku

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <휀

𝑏 − 𝑎

|𝐷 ∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

− 𝐷 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

| < 휀

Jadi,

lim𝑛→∞


𝑎

= 𝐷 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Ekuivalen dengan,

lim𝑛→∞


𝑎

= 𝐷 ∫ lim𝑛→∞

𝑓𝑛(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥

50

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa syarat

cukup agar suatu fungsi terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sama dengan limit

integral barisan fungsinya yaitu:

1. {𝑓𝑛} adalah barisan fungsi kontinu yang konvergen seragam

2. {𝑓𝑛} terbatas pada [𝑎, 𝑏]

B. Saran

Adapun saran pada penelitian ini yaitu mahasiswa dapat

mengembangkan bagaimana penelitian ini jika dikerjakan pada interval selain

[𝑎, 𝑏] dan pada integral selain Darboux.

51

DAFTAR PUSTAKA

Alwi, W. (2012). Analisis Real. Makassar: UIN Alauddin.

Bartle, R., & R.Sherbert, D. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John

Wiley and Sons.

Endarwati, M. (2009). Integral Riemann-Darboux. Yogyakarta: Universitas Sanata

Dharma.

Goldberg, R. (1976). Method of Real Analysis. New York: Jhon Wiley and Sons.

Gunawan, H. (2009). Pengantar Analisis Real. Bandung: ITB.

Kementerian Agama RI. (2012). Al-Qur'an dan Terjemah Al-Kaffah. Surabaya:

Sukses Publishing.

Kosmala, W. (2004). A Friendly Introduction to Analysis Single and Multivariable.

New Jursey: Pearson Education.

P.Khotimah, R., Darmawijaya, S., & Indrati, C. (2011). Teorema-teorema

Kekonvergenan Integral Riemann, Lebesque dan Henstock. Proseding

Seminar Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta, 184.

R.Ishak. (2018). Ekuivalensi Kekonvergenan Seragam dan Kekonvergenan

Pointwise. Jurnal MSA, 2.

Syaikh, A. (2012). Tafsir sa'di. Arab Saudi: Muassasah Ar-Risalah.

xv

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Baso Irvan, biasa dipanggil Baso,

lahir 27 Desember 1998 di Wajo. Pertama kali

menempuh Pendidikan pada SD Negeri 310

Assorajang, kemudian dilanjutkan di SMP Negeri 1

Sajoanging, setalah itu melanjutkannya di SMK

Negeri 1 Sajoanging yang saat ini berubah nama

menjadi SMK Negeri 4 Wajo dan sekarang menempuh

Pendidikan di Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar tepatnya pada Jurusan

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.

kekonvergenan barisan fungsi terintegral darboux

Documents