barisan bilangan real

2 BARISAN BILANGAN REAL

Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun

menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya

barisan dan deret merupakan satu kesatuan pokok bahasan. Sekarang barisan dipahami

dari sudut pandang analisis sebagai bentuk khusus dari fungsi. Sedangkan deret akan

dibahas secara khusus pada bab yang lain.

2.1 Pengertian barisan dan limitnya

Denisi 2.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real dengan domain

himpunan bilangan asli N. Jadi barisan adalah fungsi X : N R, dimana setiap n Nnilai fungsi X(n) biasa ditulis sebagai

X(n) := xn

dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang akan digunakan dalam buku iniadalah

X, (xn), (xn : n N).Contoh 2.1. Beberapa barisan dan cara penulisannya:

a. X := (2, 4, 6, 8, ) merupakan barisan bilangan genap. Dapat juga ditulis sebagaiX := (2n : n N).b. Y :=

(11, 12, 13, ). Dapat juga ditulis Y := ( 1

n: n N).c. Dalam beberapa keperluan praktis, barisan didenisikan secara rekusif atau in-

duktif sebagai berikut {x1, x2, , xn1 diberikan,xn := f(x1, x2, , xn1).

Barisan Fibonacci adalah barisan yang berbentuk F := (1, 1, 2, 3, 5, 8, ). Barisanini dapat ditulis secara rekursif sebagai berikut :

x1 := 1, x2 := 1, xn := xn1 + xn2, untuk n 3.Exercise 1. Berikut diberikan beberapa suku awal barisan (xn). Seandainya pola sepertiini tetap, tentukan formula umum suku ke n nya.

1

Bab 2. BARISAN BILANGAN REAL by Julan HERNADI

a. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ,b. 1/2,1/4, 1/8,1/16, ,c. 1, 4, 9, 16, ,Exercise 2. Diberikan barisan yang didenisikan secara rekursif berikut. Tentukan 5

suku pertamanya

a. y1 := 2, yn+1 :=12(yn + 2/yn), n 1.b. z1 := 1, z2 := 2, zn+2 := (zn+1 + zn)/(zn+1 zn), n 3.c. x1 := 1, yn+1 :=

14(2yn + 3), n 1.

Penulisan barisan menggunakan kurung biasa ( ) dimaksudkan untuk membedakan-nya dengan himpunan biasa yang ditulis menggunakan kurung kurawal { }. Padahimpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada barisan, suku-

suku yang berbeda ada kemungkinan bernilai yang sama, dan semuanya harus ditulis.

Sebagai contoh ambil barisan (xn) yang didenisikan xn := (1)n. Jadi barisannyaadalah

X := (1, 1,1, 1, ).Tetapi bila suku-suku ini dipandang sebagai anggota himpunan maka ditulis

X := {1, 1}.Denisi 2.2. Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limitdari (xn) jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan asli N (umumnya bergantung pada) sehingga berlaku

|xn x| < untuk setiap n N.

Jika x limit dari barisan X maka X dikatakan konvergen ke x dan ditulis

limX = x, atau lim(xn) = x.

Jika suatu barisan mempunyai limit kita katakan barisan itu konvergen. Sebaliknya

jika tidak mempunyai limit kita katakan ia divergen.

Diperhatikan pada denisi ini pernyataan |xnx| < dapat ditulis sebagai x < xn 0, sedangkan kriteria n dicirikan oleh adanya bilangan asli N . Tidak adanyanotasi n pada penulisan lim(xn) dapat dipahami karena barisan yang dibahasadalah barisan takberujung, yaitu banyak sukunya takterhingga.

Muncul pertanyaan apakah mungkin suatu barisan konvergen ke dua limit yang berbeda?

Jawaban diberikan secara formal dalam teorema berikut.

2


Gambar 2.1: Ilustrasi barisan konvergen

Teorema 2.1. Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit. Dengan

kata lain, jika suatu barisan konvergen maka limitnya tunggal.

Bukti. Andaikan barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xadan xb dengan xa 6= xb. Diberikan := 13 |xb xa|. Karena lim(xn) = xa makauntuk ini terdapat Na sehingga

|xn xa| < untuk setiap n Na.

Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Nb sehingga

|xn xb| < untuk setiap n Nb.

Sekarang untuk n maks {Na, Nb} maka berlaku

|xa xb| = |xa xn + xn xb| |xn xa|+ |xn xb|< +

=2

3|xa xb|.

Akhirnya diperoleh |xaxb| < 23 |xaxb| suatu pernyataan yang kontradiksi.Pengandaianxa 6= xb salah dan haruslah xa = xb, yaitu limitnya mesti tunggal.

Exercise 3. Diberikan barisan bilangan real (xn).

a. Tuliskan denisi barisan (xn) tidak konvergen ke x.

b. Tuliskan denisi barisan (xn) divergen.

Pembahasan barisan di sini ditekankan pada pemahaman teoritis bukan pada aspek

teknis seperti menghitung nilai limit barisan. Pekerjaan dominan adalah membuktikan

suatu barisan dengan limit telah diketahui, bukan menghitung berapa nilai limit suatu

barisan. Contoh-contoh berikut memberikan gambaran bagaimana denisi digunakan

untuk membuktikan kebenaran limit suatu barisan.

3


Contoh 2.2. Buktikan bahwa lim(1/n) = 0.

Bukti. Secara intuitif fakta ini adalah benar karena kita membagi bilangan 1 denganbilangan yang semakin membesar menuju takhingga sehingga hasilnya mesti nol.

Tapi bukti ini tidak formal karena tidak didasarkan pada teori yang ada, misalnya

denisi. Berikut bukti formalnya. Disini kita mempunyai xn :=1n, dan x = 0.Diberikan > 0 sebarang. Harus ditemukan bilangan asli N sehingga

|xn x| = |1/n 0| = 1n< untuk setiap n N.

Mudah saja, pada bentuk terakhir ketidaksamaan ini berlaku

1n< . Diselesaikan,diperoleh n > 1

. Jadi N cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebihbesar dari

1, atau ceiling dari x yaitu

N = d1/e .Sebagai contoh, misalkan diberikan := 0.013 maka 1

= 76.9231. Jadi cukupdiambil N := 77. Untuk meyakinkan dapat diperiksa bahwa

x77 = 0.0130, x78 = 0.0128, x79 = 0.0127, x80 = 0.0125, x81 = 0.0123, x82 = 0.0122

kesemuanya kurang dari 0.013. Lebih telitinya x77 = 0.012987. Terbukti bahwalim( 1

n) = 0. Contoh 2.3. Buktikan lim

(n+13n+2

)= 1/3.

Penyelesaian. Di sini kita mempunyai xn :=(n+13n+2

)dan x = 1/3.

|xn x| = n+ 13n+ 2 13

=

3n+ 3 3n 23(3n+ 2)

=1

3(3n+ 2)

Bentuk terakhir ini akan kurang dari bila

(9n+ 6) > 1, yaitu n >6 9

.

Jadi N cukup diambil sebagai bilangan asli terkecil yang lebih besar dari 69, yaitu

N =

6 9

.

Sebagai contoh, misalkan diberikan := 0.013 maka 69

= 7.8803. Jadi cukupdiambil N := 8. Agar lebih meyakinkan diambil beberapa nilai xn 1/3, untukn = 8, 9, 10, 11, 12, hasilnya

0.0128, 0.0115, 0.0104, 0.0095, 0.0088,

yang kesemuanya kurang dari := 0.013. Terbukti bahwa lim(n+13n+2

)= 1/3.

4


Exercise 4. Gunakan denisi limit barisan untuk membuktikan

lim

(3n+ 1

2n+ 5

)=

3

2.

Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 0.0023, juga := 0.0132. Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.


lim

((1)nnn2 + 1

)= 0.

Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 1/4, juga := 1/16.Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.


lim

(1

n 1n+ 1

)= 0.

Tentukan bilangan asli terkecil N yang dapat diambil jika diberikan := 1/4, juga bila := 1/16. Ujilah kebenarannya untuk n = N,N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.

Dari beberapa contoh dan latihan ini mestinya dapat disimpulkan bahwa semakin kecil

> 0 yang diberikan maka semakin besar indeks N yang dapat diambil. Kenyataan inisesuai dengan denisi bahwa semakin kecil > 0 maka semakin kecil lebar "kerangkeng"dan semakin lama pula suku-suku barisan mulai mengumpul di dalam "kerangkeng" ini.

Kekonvergenan barisan (xn) ditentukan oleh pola suku-suku yang sudah jauh berada diujung, bukan oleh suku-suku awal. Walaupun pada awalnya suku-suku barisan beruk-

tuasi cukup besar namun bila pada akhirnya suku-suku ini mengumpul di sekitar titik

tertentu maka barisan ini tetap konvergen. Fakta ini diformal dalam istilah ekor barisan.

Denisi 2.3. Misalkan barisan X := (x1, x2, x3, , xn, ) dipotong pada suku ke mdan dibentuk barisan baru

Xm := (xm+1, xm+2, )maka barisan Xm disebut ekor ke m barisan X.

Jadi ekor barisan merupakan barisan yang dibentuk dengan memotong m buah sukupertama pada barisan semula. Ternyata sifat kekonvergenan ekor barisan dan barisan

semula adalah identik, seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 2.2. Barisan X konvergen bila hanya bila ekor barisan Xm juga konvergen,dan berlaku

limX = limXm.

5


Bukti. () Diberikan > 0. Karena X = (xn : n = 1, 2, ) konvergen, katakanlim(xn) = x maka terdapat bilangan asli N sehingga

|xn x| < untuk setiap n = N,N + 1, N + 2,

Misalkan ekor barisan Xm = {xm+n : n = 1, 2, 3, }. Karena jika n N beraki-bat m+ n N maka untuk N ini berlaku

|xm+n x| < untuk setiap n = N,N + 1, N + 2,

Ini menunjukkan bahwa limXm = x.()Diketahui Xm konvergen, yaitu limXm = x maka untuk > 0 sebarang ter-dapat bilangan asli N sehingga

|xm+n x| < untuk setiap m+ n = N,N + 1, N + 2,

Dengan mengambil N1 = N m maka berlaku

|xn x| < untuk setiap n = N1, N1 + 1, N1 + 2,

Karena itu berdasarkan denisi disimpulkan limX = x.

Pembuktikan limit barisan langsung dari denisi akan menjadi sulit bilamana bentuk

barisan yang dihadapi cukup rumit. Melalui denisi dikembangkan "alat-alat" seder-

hana yang dapat digunakan untuk membuktikan limit barisan, khususnya barisan yang

mempunyai bentuk tertentu. Berikut sebuah teorema sederhana yang dapat mendeteksi

dengan mudah kekonvergenan suatu barisan.

Teorema kekonvergenan terdominasi (TKD)

Teorema 2.3. Misalkan ada dua barisan bilangan real (an) dan (xn). Jika ada C > 0dan m N sehingga berlaku

|xn x| C|an| untuk semua n m dan lim(an) = 0

maka lim(xn) = x.

Bukti. Diberikan > 0. Karena lim(an) = 0 maka ada Na N sehingga

|an| < /C untuk setiap n Na.

Jadi untuk setiap n N := maks {Na,m} berlaku

|xn x| C|an| < C(/C) = .

Terbukti bahwa lim(xn) = x.

6


Dikatakan teorema terdominasi karena suku-suku |xnx| pada akhirnya selalu terdom-inasi dari atas oleh barisan (an) yang konvergen ke nol. Dalam penggunaan teorema inidiperlukan menemukan barisan (an) dan konstanta C > 0 seperti dalam teorema.

Contoh 2.4. Bila a > 0, buktikan barisan lim(

11+na

)= 0.

Bukti. Karena a > 0 maka berlaku 0 < na < na+ 1, dan akibatnya kita mempunyai

1

na+ 1

barisan bilangan real

Documents