ma5031 bab 2.2 sistem bilangan real sebagai lapangan terurut

MA5031 Analisis Real LanjutSemester I, Tahun 2015/2016

Hendra Gunawan

2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut

Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan danaritmetika dari Sistem Bilangan Rasional dapatdiperluas ke Sistem Bilangan Real secara “sukudemi suku” pada barisan Cauchy.Catatan. Di sini, frasa “barisan Cauchy” berartibarisan bilangan rasional Cauchy, kecuali nantiketika Sistem Bilangan Real telah selesai di-konstruksi.

(c) Hendra Gunawan (2015) 2

Lemma(a) Jika (xk) dan (yk) adalah barisan Cauchy, maka

(xk + yk) juga merupakan barisan Cauchy.(b) Sebagai tambahan, jika (xk’) dan (yk’) adalah

barisan Cauchy yang ekuivalen dengan (xk) dan (yk) berturut-turut, maka (xk’ + yk’) ekuivalen dengan (xk + yk).

Catatan. Bukti bagian (b) mirip dengan buktibagian (a). [Dijelaskan di papan tulis.]


Operasi Penjumlahan

Definisi. Misalkan (xk) dan (yk) adalah barisanCauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Kita definisikan x + y sebagai kelas ekuivalen yang memuat barisan (xk + yk).

Catatan. Lemma bagian (b) tadi menjamin bhwdefinisi x + y tidak bergantung pada pemilihanbarisan Cauchy yang mewakili x dan y.


Untuk mendefinisikan perkalian, kita memerlu-kan lemma berikut.

Lemma. Setiap barisan Cauchy (xk) terbatas, yakni terdapat bilangan asli M sedemikiansehingga untuk setiap bilangan asli k berlaku|xk| ≤ M.

Ide Pembuktian. Bilangan M dapat diperolehsebagai bilangan asli yang lebih besar daripada|x1|, …, |xm-1|, dan |xm| + 1, untuk suatu m yang ‘menangkap’ ekor barisan (xk) dengan‘jala’ yang lebarnya 1.


Lemma(a) Jika (xk) dan (yk) adalah barisan Cauchy, maka

(xkyk) juga merupakan barisan Cauchy.(b) Sebagai tambahan, jika (xk’) dan (yk’) adalah

barisan Cauchy yang ekuivalen dengan (xk) dan (yk) berturut-turut, maka (xk’yk’) ekui-valen dengan (xkyk).

Definisi. Misalkan (xk) dan (yk) adalah barisanCauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Kita definisikan xy sebagai kelas ekuivalen yang memuat barisan (xkyk).


LapanganHimpunan F dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (∙) yang didefinisikan padanyadisebut lapangan apabila(a) (F,+) membentuk grup komutatif dengan

unsur identitas 0.(b) (F, ∙) membentuk grup komutatif dengan

unsur identitas 1 ≠ 0.(c) Untuk setiap x, y, dan z di F berlaku x∙(y + z) =

xy + xz (hukum distributif).


Sifat LapanganTeorema. Sistem Bilangan Real membentuksuatu lapangan.

Ide Pembuktiana. Unsur identitas penjumlahannya adalah kelas

ekuivalen 0 yang memuat barisan (0), dan unsuridentitas perkaliannya adalah kelas ekuivalen 1 yang memuat barisan (1).

b. Jika x ≠ 0 diwakili oleh barisan Cauchy (xk), makax mempunyai kebalikan, yaitu x-1, yang diwakilioleh barisan Cauchy (xk

-1) dengan (xk-1xk) = (1).


Lemma. Misalkan x adalah bilangan real yang tidak sama dengan 0. Maka terdapat bilanganasli N sedemikian sehingga untuk setiap barisanCauchy (xk) yang mewakili x terdapat m sedemi-kian sehingga |xk| ≥ 1/N untuk setiap k ≥ m.

Catatan. Bilangan m bergantung pada barisanCauchy (xk), tetapi N tidak!


Lemma berikut merupakan bagian dari buktiteorema di atas berkenaan dengan eksistensiunsur kebalikan x-1.

Urutan (1)Jika r adalah bilangan rasional, maka hanya satudi antara tiga kemungkinan berikut berlaku: atau r > 0 (positif), atau r < 0 (negatif), atau r = 0. Sehubungan dengan itu, jika r dan s bilanganrasional, maka:

atau r – s > 0, atau r – s < 0, atau r – s = 0;yang setara dengan:

atau r > s, atau r < s, atau r = s.Himpunan bilangan rasional positif tertutupterhadap penjumlahan dan perkalian.


Urutan (2)Sekarang kita ingin mendefinisikan hal serupauntuk bilangan real. Bila (xk) adalah barisanCauchy yang mewakili bilangan real x > 0, apakah kita harus mempunyai xk > 0 untuksetiap k? Jawabannya tidak harus!Apakah mesti terdapat m sedemikian sehinggaxk > 0 untuk setiap k ≥ m? Jawabannya tidakjuga! Sebagai contoh, 1/k > 0 untuk setiap k ≥ 1, tetapi (1/k) tidak mewakili bilangan positif.


Definisi. Bilangan real x dikatakan positif, ditulisx > 0, apabila terdapat bilangan asli N sedemi-kian sehingga untuk setiap barisan Cauchy (xk) yang mewakili x terdapat m sedemikian se-hingga xk ≥ 1/N untuk setiap k ≥ m.Bilangan real x dikatakan negatif, ditulis x < 0, apabila –x > 0.

Catatan. Definisi di atas konsisten denganurutan pada bilangan rasional, karena bilanganrasional memenuhi Sifat Archimedes: untuksetiap bilangan rasional r > 0 terdapat bilanganasli N sedemikian sehingga r ≥ 1/N.


Ilustrasi: Bilangan real positif


. . .1 2 3 4 m m+1 m+2 m+3

Setelah suku ke-m, titik xkberada di atas garis merah

1/N

Hukum Trikotomi

Teorema. Jika x adalah bilangan real, makahanya satu di antara tiga kemungkinan berikutyang berlaku: atau x > 0, atau x < 0, atau x = 0.

Bukti. Bilangan 0 yang dapat diwakili olehbarisan (0) bukan bilangan positif, juga bukanbilangan negatif. Selanjutnya misalkan x ≠ 0. Akan ditunjukkan: atau x > 0 atau –x > 0.


Bukti (lanjutan). Misalkan (xk) adalah barisanCauchy yang mewakili x. Menurut lemma se-belumnya, terdapat bilangan asli N dan m se-demikian sehingga |xk| ≥ 1/N utk setiap k ≥ m.Mengingat bahwa (xk) adalah barisan Cauchy, xk yang memenuhi |xk| ≥ 1/N tidak mungkinberubah tanda tak terhingga kali. Karena itumestilah xk ≥ 1/N atau xk ≤ -1/N untuk setiap k ≥ m*. Jadi x > 0 atau x < 0, tetapi hanya satu diantara keduanya yang berlaku. [QED]


Teorema. Jika x dan y positif, maka x + y danxy positif.

Bukti. Latihan.

Definisi. Jika x dan y adalah bilangan real, maka kita definisikan x > y apabila x – y > 0. Selanjutnya, x ≥ y berarti x > y atau x = y. Secara tak langsung kita telah mendefinisikanpula x < y dan x ≤ y.


Definisi (Nilai Mutlak). |x| := x apabila x > 0, |x| := -x apabila x < 0, dan |0| := 0.

Ketaksamaan < pada bilangan rasional tidakselalu dipertahankan pada bilangan real. Sbgcontoh, 1/k > 0 untuk setiap k, tetapi (1/k) merepresentasikan bilangan 0, dan tentu sajakita tidak mempunyai 0 > 0.

Namun, lemma berikut menyatakan bahwaketaksamaan ≤ terbawa dari bilangan rasionalke bilangan real.


Lemma. Misalkan (xk) dan (yk) adalah barisanCauchy yang mewakili bilangan real x dan y. Jikaterdapat m sedemikian sehingga xk ≤ yk untuksetiap k ≥ m, maka x ≤ y.

Bukti. Andaikan x > y, yakni x – y > 0. Maka, per definisi, terdapat bilangan asli N dan m sedemi-kian sehingga xk – yk ≥ 1/N untuk setiap k ≥ m, bertentangan dengan hipotesis. [QED]


Ketaksamaan SegitigaTeorema. |x + y| ≤ |x| + |y| untuk setiapbilangan real x dan y.

Bukti. Terapkan lemma sebelumnya padaketaksamaan segitiga |xk + yk| ≤ |xk| + |yk|, dimana (xk) dan (yk) adalah barisan Cauchy yang mewakili x dan y berturut-turut. [QED]

Catatan. Jika (xk) adalah barisan Cauchy yang mewakili x, maka (|xk|) adalah barisan Cauchy yang mewakili |x|.


Sifat Archimedes

Teorema. Untuk setiap bilangan real x > 0 terdapat bilangan asli N sedemikian sehinggax ≥ 1/N.

Bukti. Misalkan (xk) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Berdasarkan lemma ter-dahulu terdapat bilangan asli N dan m se-demikian sehingga xk ≥ 1/N utk setiap k ≥ m. Akibatnya, x ≥ 1/N. [QED]


Kepadatan Bilangan Rasional

Teorema. Untuk setiap bilangan real x danbilangan asli n, terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga |x – r| ≤ 1/n.

Bukti. Misalkan (xk) adalah barisan Cauchy yang mewakili x. Diberikan n, terdapat m sedemikian|xk – xj| ≤ 1/n untuk setiap j, k ≥ m. Pilih r = xm, sehingga |xk – r| ≤ 1/n untuk setiap k ≥ m. Menurut lemma sebelumnya, |x – r| ≤ 1/n. [QED]


Latihan1. Buktikan jika (xk) adalah barisan Cauchy yang

mewakili bilangan real x, maka (|xk|) adalahbarisan Cauchy yang mewakili |x|.

2. Berikan contoh bilangan real x dan y, besertabarisan (xk) dan (yk) yang mewakilinya, yang memenuhi x ≤ y tetapi tidak terdapat m se-demikian sehingga xk ≤ yk untuk setiap k ≥ m.

3. Buktikan bahwa Sistem Bilangan Real takterhitung, dan mempunyai kardinalitas yang sama dengan 2N.

4. Buktikan jika x adalah bilangan real, makaterdapat barisan Cauchy (xk) yang mewakili x sedemikian sehingga xk < x untuk setiap k.


ma5031 bab 2.2 sistem bilangan real sebagai lapangan terurut

Documents