baris dan deret · 2020. 9. 24. · hitung barisan aretmatika barisan bilangan yang tiap sukunya...
TRANSCRIPT
BARIS DAN DERET
Pola dan Barisan
Bilangan
Barisan Arimatika dan
Barisan Geometri
Deret Aritmetika dan
Deret Geometri
Sifat-sifat Deret
P
R
O
F
I
L
POLA DAN BARISAN BILANGAN
Pola Bilangan
Barisan Bilangan
Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik
mendatar, menurun, diagonal (miring).
1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang
Garis Lurus Persegi Panjang
2. Pola persegi
Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2
Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ...
Un = n(n+1)
3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)
Cara 1Mengikuti pola berikut
CARA 2Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)
Urutan1 Urutan2 Urutan3
4. Pola Kubus
• Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3
5. Pola bilangan ganjil dan genap
Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.
a. Pola bilangan ganjil
• Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
b. Pola bilangan genap
• Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
1 3 5 7 9
108642
+2
+2+2+2
+2+2+2
+2
6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
1
2 11
1 1
4641
1 3 13
1
Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1
9. Pola Bilangan Fibonaci
1 . . .85321
+++++ +
Barisan Bilangan• Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah
diurutkan menurut suatu aturan tertentu.
Un
Un
U2
U1 Suku Pertama
Suku ke-2
Suku ke - n
Barisan bilangan biasanya ditulis :
U1, U2,`U3, . . . . , Un
Dengan Un adalah suku ke – n
dan n = 1,2,3, . . .
Contoh : Barisan 0,2,4 berarti
U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4(menambahkan 2 pada suku
sebelumnya)
1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan
• Contoh:• Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan
bilangan 2, 5, 8, 11, . . .
Barisan 2, 5, 8, 11,. . .
= 2= 5 = 2 + 3
= 8 = 5 +3= 11 = 8 +3
Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)
333 U1
U2
U3
U4
2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan
Un = f (n)
Pola tingkat satu satu barisanbilangan berselisih tetap
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap
Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)
Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.
U1 U4U2 U3 Un =?
+b +b +b
Barisan bilangan ganjil
Maka rumus suku ke-nnya adalah = =2n+(1-2) = 2n -1
Un = bn + (U1 - b)
1 73 5 Un = ?
+2 +2 +2 b = 2
Un = bn + (U1 - b) Un
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap
U1 U4U2 U3 Un =?
x r x r x r Un = rn x U1/r
Contoh :Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )
Tahapan pertama dengan r=10
Rumus suku ke-n : Un = 10n x 1/10 = 10n -1
1 100010 100 Un =?
x10 x10 x10
Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap
Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut :
Un = b/2 . n (n-1) + cDengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola
b = Selisih tetap
Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . )Jawab: 3 6 10 15 21
+3 +4 +5 +6
+1 +1 +1
pola tingkat2, dengan b=1
U1 = 3=1/2 x 1 0 +3U2 = 6 = ½ x 2x 1 +5U3 = 10 = ½ x 3x2 + 7U4 = 15= ½ x 4 x 3 +9U5 = 21 = ½ x 5 x 4 +11::Un = ½. n(n-1) +c
Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu
Barisan: 3 5 7 9 11
Pola tingkat 1, b= 2
+2 +2 +2 +2
C= 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1
Jadi, suku ke-n adalah:Un = ½. n(n-1) +cUn = ½. n(n-1) + 2n + 1Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1Un = ½ n2 – 3/2 n +1
LANJUTAN
BARISAN ARIMATIKA DAN BARISAN
GEOMETRI
Barisan Arimatika atau Barisan Hitung
Barisan Aretmatika
barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu
bilangan tetap
Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :
U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b
Un = a + (n – 1 )b
Dengan n = 1, 2, 3,..
Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b
.
.
.
Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :
U2 = U1 + b => b = U2 - U1
U3 = U2 + b => b = U3 - U2
U4 = U3 + b => b = U4 - U3
.
.
.Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1
Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.
Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naikBila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun
Contoh:Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut.
a. 1, 3, 5, 7,. . . .b. 4, 2, 0, -2,. . .
Jawab :Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika.a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .
berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2
karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.
U10 = U1 (10 - 1) . bU10 = 1 + 9 . 2 = 19
b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .
U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus
Un = U1 (n - 1) . bU10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14
Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14
Barisan Geometri atau Barisan Ukur
Barisan Geometri
barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu
bilangan tetap
Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :
U1 = aU2 = U1 . r = arU3 = U2 . r = ar2
U4 = U3 . r = ar3
Un = Un-1 . r = arn-1
1. Un = r × Un-1 atau 𝑟 =𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
2. Un = a × rn-1
Dengan: r = rasio atau pembandingn = bilangan aslia = suku pertama
Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.
Bila r > 1 maka barisan geometri naik.Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.
Contoh :a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
Jawab:a.
Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729
b.
Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah
DERET ARITMETIKADAN DERET GEOMETRI
Deret Aritmetika atau DeretHitung
Deret bilanganjumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛
Menyatakan deret ke-n
Bentuk umum:
Contoh:
1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah 𝑆𝑛 = 3 + 5 + 7 +⋯+ (2𝑛 + 1)Maka, 𝑆1 = 3 𝑆2 = 3 + 5 = 8 𝑆4 = 3 + 5 + 7 = 15
2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, 2𝑛−1 adalah 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 4 +⋯+ 2𝑛−1
Maka, 𝑆1 = 1 𝑆2 = 1 + 2 = 3 𝑆4 = 1 + 2 + 4 = 7
Deret aritmetikajumlah suku yang ditunjukkan oleh
barisan aritmetika
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛
Dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
Deret aritmetika
𝑆𝑛 =𝑛
22𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑛 =
𝑛
2(𝑎 + 𝑈𝑛)
Dengan: 𝑈𝑛 = suku ke-nn = bilangan aslib = beda
Rumus n suku pertamaderet aritmetika:
Contoh:1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret
−2 + 0 + 2 +⋯
Jawab: 𝑈1= −2; 𝑈2 = 0𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 0 − −2 = 2𝑛 = 10
𝑆10=10
22(−2) + 10 − 1 2 = 5 −4 + 18 = 70
2. Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertamaadalah 20
Jawab:𝑈1= 20; 𝑈5 = 240; 𝑛 = 5, maka:
𝑆5=5
220 + 240 = 650
Deret Geometri atau Deret Ukur
Deret geometrijumlah suku-suku yang ditunjuk
oleh barisan geometri
𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛
Barisan geometri:
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛
dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1
Deret geometri:
𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)
(1 − 𝑟); 𝑟 > 1
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑆𝑛 =𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑟 − 1; 𝑟 < 1
Rumus n suku pertamaderet geometri:
Contoh:1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 +⋯
Jawab:
𝑈1= 3; 𝑈2 = 6; 𝑟 =6
3= 2; 𝑛 = 8
𝑆8=3 28 − 1
2 − 1=3(256 − 1)
1= 765
2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, 𝑈2 = 10 dan 𝑈4 = 40. Bila𝑈𝑛= 160, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.
Jawab:𝑈2= 10 → 𝑎𝑟 = 10𝑈4= 40 → 𝑎𝑟3 = 40
𝑎𝑟 𝑟2 = 4010𝑟2 = 40𝑟2 = 4∴ 𝑟 = ±2
Karena suku-suku positif maka 𝑟 = 2𝑎𝑟 = 102𝑎 = 10𝑎 = 5
maka:
𝑈𝑛= 160𝑎𝑟𝑛−1= 160
5 ∙ 2𝑛−1 = 1602𝑛−1= 322𝑛−1= 25
𝑛 − 1 = 5∴ 𝑛 = 6
SIFAT-SIFAT DERET
Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.
𝑆1 = 𝑈1𝑆2 = 𝑈1 + 𝑈2 → 𝑆2 = 𝑆1 + 𝑈2 → 𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1𝑆3 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 → 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑈3 → 𝑈3 = 𝑆3 − 𝑆2𝑆4 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 → 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑈4 → 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3...𝑆𝑛 = 𝑈 1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 +⋯+ 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛
𝑆𝑛−1
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑈𝑛 → 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertamadari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Contoh:
Dalam deret aritmatika ditemukan 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 , hitunglah :a. 𝑈𝑛 b. 𝑈5 c. Beda
Jawab :a. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛𝑆𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 1𝑆𝑛−1 = 2 𝑛2 − 2𝑛 + 1 + 𝑛 − 1𝑆𝑛−1 = 2𝑛2 − 4𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 1𝑈𝑛= 2𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛2 + 3𝑛 − 1𝑈𝑛= 4𝑛 − 1
b. 𝑈5= 4 ∙ 5 − 1 = 20 − 1 = 19
c. 𝑏 = 𝑈5 − 𝑈4𝑈4= 4 ∙ 4 − 1 = 16 − 1 = 15
∴ 𝑏 = 19 − 15 = 4
Sifat Dasar Deret Aritmetika
1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛 merupakan deret aritmatika, maka :
2. Bila𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:
𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = 𝑈5 − 𝑈4 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1
2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
Contoh:Tentukan nilai dari 𝑥 agar barisan 𝑥 + 1, 3𝑥 − 5, 4 merupakan suku-suku dari deret aritmatika.
Jawab:
Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
2(3x - 5) = x + 1 + 46x –10= x + 56x –x= 5 + 105x = 15x = 3
Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain.Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :
𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1
Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya.𝑈7 = 𝑎 + 6𝑏𝑈7 = 𝑎 + 3𝑏 + 3𝑏 = 𝑈4 + 3𝑏𝑈7 = 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑏 = 𝑈5 + 2𝑏𝑈7 = 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑏 = 𝑈3 + 4𝑏
Memo
7 = 1 + 67 = 4 + 37 = 5 + 27 = 3 + 4
Secara umum dapat dituliskan:
𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 + 𝑝 − 𝑘 𝑏 𝑏 =𝑈𝑝 − 𝑈𝑘𝑝 − 𝑘
Contoh:
Bila 𝑈6 = 65 dan 𝑈10 = 97 dari deret aritmatika, tentukanlah :a. b b. 𝑈12
Jawab:
a. 𝑏 =𝑈10−𝑈6
10−6=
97−65
4= 8
b. 𝑈12 = 𝑈10 + 2𝑏𝑈12= 97 + 2 ∙ 8𝑈12= 97 + 16𝑈12= 113
atau
𝑈6 = 𝑈6 + 2𝑏𝑈6 = 65 + 6 ∙ 8𝑈6 = 65 + 48𝑈6 = 113
Sift Dasar Deret Geometri
1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑛 merupakan deret geometri, maka :
2. Bila 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:
𝑈2𝑈1
=𝑈3𝑈2
= ⋯ =𝑈𝑛𝑈𝑛−1
= 𝑟
𝑈22 = 𝑈1 × 𝑈3
Contoh:
Tentukan nilai 𝑥 agar barisan 𝑥 + 2, 2, 𝑥 − 1 merupakan barisan geometri.
Jawab:
Memo
4 = 4 ∙ 1 atau
4 = (−1)(−4)
Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu 𝑈22 = 𝑈1 × 𝑈3 ,
diperoleh:
22 = 𝑥 + 2 𝑥 − 14 = 𝑥 + 2 𝑥 − 1↔ 4 = 2 + 2 ∙ 2 − 1 , 𝑥 = 2↔ 4 = −3 + 2 ∙ −3 − 1 , 𝑥 = −3
Jadi, nilai 𝑥 adalah −3 atau 2
Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deretgeometri.Perhatikan Un = arn-1
Dengan formula itu didapat:U10 = ar9
U10 = (ar2) . r7= U3 . r7
U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5
Memo
Lihat Indeks
10 = 1 + 9
10 = 3 + 7
10 = 5 + 5
Secara umum di tuliskan:
𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 ∙ 𝑟𝑝−𝑘 𝑟𝑝−𝑘 =
𝑈𝑝𝑈𝑘
Contoh:
Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :a. r b. U2
Jawab :
a. 𝑟3 =𝑈6
𝑈3
𝑟3 =192
24
𝑟3 = 8𝑟3 = 23
𝑟 = 2
b. 𝑈2 =𝑈3
𝑟𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑈2 =
𝑈6
𝑟4
𝑈2 =24
2𝑈2 =
192
24
𝑈2= 12 𝑈2 =192
16= 12
• KASMINA DAN TOALI. (2013). MATEMATIKA UNTUK SMK KELAS X. JAKARTA:
ERLANGGA
• HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=KTBROFJEXSC
• HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=YKZGO6YQNCG&T=6S
DAFTAR PUSTAKA