barisan bilangan

Program Studi Pendidikan MatematikaUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA

BARISAN BILANGAN

STARTDisusun olehHAFID WICAKSANA (A410090 248)

BARISAN BILANGAN

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Tujuan Pembelajaran

Diagram Alur

Evaluasi

Video The Fibonacci Sequence Materi Pembelajaran

Deret Bilangan

Pola Bilangan Soal Latihan

Barisan Bilangan Tour to Jakarta

MENU

EXIT

Standar Kompetensi

Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar

Menentukan pola barisan bilangan sederhana

Menentu kan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri

Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

6.1

6.2

6.3

6.4

Tujuan Pembelajaran

Peserta didik dapat menentukan pola barisan bilangan sederhana

Peserta didik dapat menentukan suku ke-n barisan aritmatika

Peserta didik dapat menentukan suku ke-n barisan geometri

Peserta didik dapat menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika

Peserta didik dapat menentukan jumlah n suku pertama deret geometri

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

Diagram Alur

Barisan dan Deret Bilangan

Pola Bilangan

Barisan Bilangan Deret Bilangan

Deret Geometri

Deret Aritmatika

Barisan Geometri

Barisan Aritmatika

Pola Bilangan Ganjil Pola Bilangan Genap Pola Bilangan Persegi Pola Bilangan Persegi Panjang Pola Bilangan Segitiga

materi dasarnya membahas tentang

misalnya

terdiri atas terdiri atas

Pola Bilangan Ganjil

Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut

(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.

1 3 5 7 9 11 13 15

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2

Pola Bilangan

Pola Bilangan Genap

Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut

(1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal.(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.

Pola Bilangan

2 4 6 8 10 12 14 16

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2

Pola Bilangan Persegi Panjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya;

mewakili bilangan 6, yaitu 2×3 = 6.



Pola Bilangan

Pola Bilangan PersegiPersegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut.

mewakili bilangan 1, yaitu 1 × 1 = 1.




Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah :1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Pola Bilangan

Pola Bilangan SegitigaSelain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan empat bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini.

mewakili bilangan 1.




Jadi, bilangan yang mengikutipola segitiga dapat dituliskanSebagai berikut.1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ..

Pola Bilangan

Pengertian Barisan BilanganPerhatikan pola-pola bilangan berikut

a. 1,1,2,3,5,8,13,21, . . . .b. 1,2,4,8,16,32, . . . .c. 1,3,6,10,15

Ketiga susunan bilangan di atas disebut barisan bilangan. Adapun aturan pembentukan barisan bilangan tersebut sebagai berikut.

a. 1,1,2,3,5,8,13,21, . . . .Aturan pembentukannya, setiap bilangan adalah jumlah dari dua bilangan sebelumnya.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 1 (0+1=1)Suku ke-3 adalah 2 (1+1=2)Suku ke-4 adalah 3 (1+2=3)Suku ke-5 adalah 5 (2+3=5)

Barisan Bilangan

Barisan Bilangan

b. 1,2,4,8,16,32, . . .Aturan pembentukannya adalah untuk setiap bilangan dikalikan 2.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 2 (1×2=2)Suku ke-3 adalah 4 (2×2=4)Suku ke-4 adalah 8 (4×2=8)Suku ke-5 adalah 16 (8×2=16)

c. 1,3,6,10, . . .Aturan pembentukannya adalah untuk setiap bilangan dikalikan 2.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 3 (1+2=2)Suku ke-3 adalah 4 (2×2=4)Suku ke-4 adalah 8 (4×2=8)Suku ke-5 adalah 16 (8×2=16)

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1,U2,U3...Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut.

Diketahui barisan bilangan:

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

Barisan Bilangan

1 4 7 10 13 16 19 22

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

Menghitung suku ke-n dengan rumusDiketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut.

U1 U2 U3 U4 U5 .... .... Un

+b +b +b +bSelisih atau beda tiap suku dimisalkan b dan suku pertama dimisalkan a

U1 = a = a+(0×b)U2 = a + b = a+(1×b)U3 = a + b + b = a+(2×b)U4 = a + b + b + b = a+(3×b)U3 = a + b + b + b+ b = a+(4×b)...........Un= a + b + b + b + b + b + ......+ b = a+(n-1)b

(n-1) suku

Jadi, untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan aritmatika digunakan rumus :

Un= a + (n-1) b

di mana : a = U1 dan b=U2-U1=U3-U2=...

Barisan Bilangan

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r).

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2.Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Barisan Bilangan

3 6 12 24 48 96 192

×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2

Menghitung suku ke-n dengan rumusDiketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut.

Misalkan : U1 = a , maka:U1 = a = a × r 0

U2 = a × r = a × r 1

U3 = a × r × r = a × r 2

U4 = a × r × r × r = a × r 3

U3 = a × r × r × r × r = a × r 4

...........Un= a × r × r × r × r × r × r ×...... × r = a × r n-1

(n-1) faktor

Jadi, untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan geometri digunakan rumus :

Un = a × r n-1

di mana: a = U1 dan r= =...2

3

1

2

u

u

u

u

( r = rasio)

Barisan Bilangan

U1 U2 U3 U4 U5 .... .... Un

× r × r × r × r

Pengertian Deret Bilangan

Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un

Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un

Bentuk seperti ini disebut deret bilangan . Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

Deret Bilangan

Deret Aritmatika

Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut.

3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un

Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagaiberikut.

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un

Jadi, deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan aritmatika.

Deret Bilangan

Menentukan jumlah -n suku pertama deret aritmatika

Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ..... + Un = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + ..... + UnKemudian, Sn = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + ..... + Un Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + (Un-3b) + (Un-4b) + ..... + a

2Sn = (a+U) + (a+U) + (a+U) + (a+U) + ...... + (a+U)

+

sebanyak n kali

2Sn = n(a+Un)

Sn = )(2

)(2

1Una

nUnan

Deret Bilangan

Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmatika adalah sebagai berikut.

)(2

Unan

Sn

Oleh karena Un= a+ (n-1) b , rumus itu juga dapat ditulis sebagai berikut.

))1(2(2

bnan

Sn

Deret Bilangan

Deret Geometri

Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini.

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un

Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un

Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri.

Deret Bilangan

Menentukan jumlah -n suku pertama deret geometri

Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama dari deret geeometri maka :

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ..... + Un

= a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ..... + a r n – 1

Kemudian,Sn = a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ..... + a r n – 1

rSn = ar + a r 2 + a r 3 + a r 4 + a r 5 ..... + a r n

Sn - rSn = a - a r n

Sn- rSn = a(1- r n )Sn(1-r) = a (1- r n )

-

)1(

)1(

r

raSn

n

Deret Bilangan

Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret geometri adalah sebagai berikut.

atau

)1(

)1(

r

raSn

n

)1(

)1(

r

raSn

n

Deret Bilangan

Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut. 10,13,16,19,22,25,...... . Tentukan suku ke dua belas barisan

tersebut!

Jawab :Un = a + (n-1) b maka U12 = 10+(12-1) 3

= 10+11 . 3 = 10+33 = 43

Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.

Contoh Soal

Carilah suku ke – 3 pada barisan geometri di bawah ini :a. 2,6,18,54,…b. 3,6,12,24,…

Jawab :

a. Un = a r n - 1

= 2 x 3 3 - 1

= 2 x 3 2

= 2 x 9 = 18, jadi suku ke – 3 dari barisan geometri tersebut adalah 18.

b.Un = a r n - 1

= 3 x 2 3 - 1

= 3 x 2 2

= 3 x 4 = 12, jadi suku ke – 3 dari barisan geometri tersebut adalah 12.

Contoh Soal

Tentukan Deret Aritmatika berikut:5+18+21+. . .samapai 15 suku.

Jawab :a = 15 b = 18 – 15 = 3 n = 15

bnan

Sn )1(22

3.115(15.215.2

115 S

3.14302

15

540722

15

Contoh Soal

Tentukan jumlah 3 suku pertama dari deret geometri berikut 8+4+2+1+…

Jawab : r

raSn

n

1

)1(

21

1

))21(1(8 3

21

)81

1(8

14

21

)87(8

Contoh Soal

Evaluasi

1. Pola noktah-noktah berikut yang menunjukkan pola bilangan persegi panjang adalah....

a

b

c

d

SALAH

BENAR

SALAH

SALAH

Evaluasi

2. Diketahui barisan bilangan aritmatika sebagai berikut,42, 45, 48, 51, 54, . . . .Suku ke 12 barisan tersebut adalah . . . . .

a

b

c

d

75

55

85

65 BENAR

SALAH

SALAH

SALAH

Evaluasi

3. Perhatikan barisan bilangan berikut.1, 3, 9, 27, 81, m, 729, . . . .Agar barisan tersebut menjadi barisan geometri makanilai m yang memenuhi adalah . . . .

a

b

c

d

324

234

243

342 BENAR

SALAH

SALAH

SALAH

Evaluasi

4. Suatu deret aritmatika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertamaderet aritmatika tersebut adalah . . . . .

a

b

c

d

242

121

81

45BENAR

SALAH

SALAH

SALAH

Evaluasi

5. Dalam sebuah deret geometri, diketahui nilai S10 = 1023. Jika rasio pada deret tersebut adalah 2, suku pertama deret tersebut adalah . . . .

a

b

c

d

1

2

3

4BENAR

SALAH

SALAH

SALAH

Evaluasi

6. Sebuah bambu dibagi menjadi 4 bagian dan panjangsetiap bagian membentuk suatu bagian geometri. Jikapanjang potongan bambu terpendek adalah 25 cm dan potongan bambu terpanjang adalah 200 cm, panjang bambu mula-mula adalah . . .

a

b

c

d

225

375

400

425 BENAR

SALAH

SALAH

SALAH

M A S U K K E I b u K o t a J A K A R T A

Selamat datang di Ibu Kota JAKARTA. Sekarang kamu telah sampai di Monumen Nasional. Klik Schedule untuk melihat jadwal perjalanan dan klik peta untuk melihat peta.

Schedule Peta

SELAMAT DATANG DI JAKARTA

Perjalanan kamu dimulai dengan mengunjungi DUFAN, kemudian melihat pertunjukan teater, dan terakhir ke Sea World Indonesia. Untuk memulai perjalanan klik tempat tujuan pertama yaitu DUFAN . Let’s Go!!!

1. DUFAN

2. Jakarta Theater

3. Sea World Indonesia

Tekan tombol di kanan untuk melanjutkan

L A N J U T P E R J A L A N A N

Hai, pola bilangan apa yang terbentuk pada tempat dudukDi roller coaster tersebut?

Pola bilangan Persegi Panjang

W E L C O M E T O D U F A N

BENAR SEKALI .......

W E L C O M E TO JA K A R TA T H E AT E R


L A N J U T P E R J A L A N A N

Oke, perhatikan susunan kursi penonton. Susunannya membentuk pola barisan aritmatika, dapatkah kamu menghitung jumlah keseluruhan kursi tersebut?

Apakah ada data yang dapat membantu untuk menghitung?

Baris ke 3 tersebut terdiri dari 36 kursi dan baris ke 7 terdiri dari 48.

Jumlah ke seluruhan di ruangan tersebut ada berapa baris?

Keseluruhan ada 20 baris.

Misalkan baris ketiga = U3=36 , dan baris ke tujuh = U7=48.Maka akan di peroleh 2 persamaan berikut

U3 = a+(3-1)b U7 = a+(7-1)b 36 = a + 2b 48 = a + 6b

Lalu langkah selanjutnya bagaimana?

Eliminasi kedua persamaan tersebut maka akan di peroleha = 30 dan b = 3. lalu kita subtitusikan ke Sn = n/2 (2a+(n-1)b)S 20 = 20/2 (2.30+(20-1)3)

= 1170Jadi jumlah keseluruhannya ada 1170 kursi.

TEPAT SEKALI . . . . .

S e a Wo r l d , I ’ M C O M I N G

Selamat, Anda sekarang telah tiba di Sea World Indonesia. Tapi sekarang bantulah permasalahan Pak Samsul (pegawai Sea world).


KEMBALI KE SOLO

OKEY . . . . .

Pak Samsul ingin menghitung perkembang biakan Amoeba. Jika Amoeba yang terdiri atas satu sel yang berkembang biak dengan cara membelah diri. Setelah 20 menit, Amoeba itu membelah menjadi 2 ekor, setelah 40 menit menjadi 4 ekor, setelah 60 menit men jadi 8 ekor, dan demikian seterusnya. Berapa banyaknya Amoeba setelah 3 jam??

3 jam = 180 menit

20 menit → 2 ekor40 menit → 4 ekor60 menit → 8 ekor....................Un = a × r n - 1

U9 = 2 × 2 9 - 1

= 2 × 2 8

= 512Jadi setelah 3 jam ada 512 amoeba.

BETUL . . . . . . .

F INISH

Sekarang kamu telah selesai study tour dari Jakarta. Bagaimana perasaanmu? Selain menikmati pemandangan di Jakarta kamu diharapkan sudah mengerti mengenai Barisan dan Deret.

barisan bilangan

Education