barisankonvergen - wonosb.files.wordpress.com · barisan konvergen barisankonvergen 1 misalkan...

Barisan Konvergen

Wono Setya Budhi

October 16, 2014

Wono Setya Budhi Barisan Konvergen October 16, 2014 1 / 49

Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Fungsi f : N → R disebut barisan, dan nilainya

f (n) = xn


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


f (n) = xn

2 Contoh xn = nn+1 , maka x1 =

12 , x2 =

23 , x3 =

34 , . . .

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


f (n) = xn


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


f (n) = xn

2 Contoh xn = (−1)n, maka x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, . . .

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


f (n) = xn


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


f (n) = xn

2 Kita akan menyelidiki nilainya jika n dibuat besar.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


f (n) = xn

2 Kita akan menyelidiki nilainya jika n dibuat besar.

3 Secara resmi limn→∞ xn = L jika untuk setiap ǫ > 0, ada bilangan asli

N sehingga untuk n > N berlaku

|xn − L| < ǫ


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Contoh barisan konvergen

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Contoh barisan konvergen

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Contoh barisan yang tidak konvergen

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Misalkan diketahui barisan

xn =√n−

⌊√n⌋

dengan tanda ⌊x⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih

kecil atau sama dengan x .


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =√n−

⌊√n⌋



2

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =√n−

⌊√n⌋




Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =√n−

⌊√n⌋


kecil atau sama dengan x .2 Histogram dari {xn} mulai dari n = 1 sampai dengan N = 1000;

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

120


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =√n−

⌊√n⌋




Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =√n−

⌊√n⌋


kecil atau sama dengan x .2 Histogram dari {xn}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

200

400

600

800

1000

1200


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Misalkan diketahui barisan xn =√n−

⌊√n⌋


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋

2 Berdasarkan hasil investigasi, kita melihat bahwa nilai {xn}terdistribusi ”rata” di [0, 1].


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋


3 Jika n = k2, maka xk2 = 0


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋


3 Jika n = k2, maka xk2 = 0

4 Apakah ada n sehingga xn = 1?


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

3 Jika ada n sehingga√n−

⌊√n⌋

= 1, maka . . .


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

3 Jika ada n sehingga√n−

⌊√n⌋

= 1, maka . . .

4 Tetapi, untuk ǫ > 0 akan selalu ada N sehingga xN > 1− ǫ.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 Apa bentuk bilangan asli N sehingga xN > 1− ǫ


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Perhatikan nilai xk2+2k =√k2 + 2k −

⌊√k2 + 2k

⌋


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√k2 + 2k

⌋

2 Dalam hal ini

√

k2 + 2k −⌊

√

k2 + 2k⌋

=√

k2 + 2k − k

=2k√

k2 + 2k + k

=2

√

1+ 2k+ 1

> 1− ǫ

jika

√1+ 2

k+1

2 <1

1−ǫatau


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√k2 + 2k

⌋

2 Dalam hal ini

√

k2 + 2k −⌊

√

k2 + 2k⌋

=√

k2 + 2k − k

=2k√

k2 + 2k + k

=2

√

1+ 2k+ 1

> 1− ǫ

jika

√1+ 2

k+1

2 <1

1−ǫatau

3√

1+2

k<

2

1− ǫ− 1 =

2− (1− ǫ)

1− ǫ=

1+ ǫ

1− ǫ


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1√

1+2

k<

2

1− ǫ− 1 =

2− (1− ǫ)

1− ǫ=

1+ ǫ

1− ǫ


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1√

1+2

k<

2

1− ǫ− 1 =

2− (1− ǫ)

1− ǫ=

1+ ǫ

1− ǫ

2

1+2

k<

(

1+ ǫ

1− ǫ

)2

atau2

k<

(

1+ ǫ

1− ǫ

)2

− 1 =4ǫ

(1− ǫ)2


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1√

1+2

k<

2

1− ǫ− 1 =

2− (1− ǫ)

1− ǫ=

1+ ǫ

1− ǫ

2

1+2

k<

(

1+ ǫ

1− ǫ

)2

atau2

k<

(

1+ ǫ

1− ǫ

)2

− 1 =4ǫ

(1− ǫ)2

3 atau

k >(1− ǫ)2

2ǫ


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Apakah ada n sehingga√n−

⌊√n⌋

= 12?


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋

= 12?

2 Jika tidak ada, lakukan penyelidikan melalui komputer untuk mencari:


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋

= 12?


3 Dengan menggunakan komputer, carilah semua nilai n sehingga

0, 4 ≤ xn ≤ 0, 6


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋

= 12?



0, 4 ≤ xn ≤ 0, 6

4 Dapatkah dibuktikan secara analitik?


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋

= 12?



0, 4 ≤ xn ≤ 0, 6

4 Dapatkah dibuktikan secara analitik?


0, 45 ≤ xn ≤ 0, 55


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


⌊√n⌋

mempunyai nilai rasional, kecuali

nol.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =2n2

7−

⌊

2n2

7

⌋




Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =2n2

7−

⌊

2n2

7

⌋



2

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =2n2

7−

⌊

2n2

7

⌋




Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =2n2

7−

⌊

2n2

7

⌋


kecil atau sama dengan x .2

0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =2n2

7−

⌊

2n2

7

⌋




Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


xn =2n2

7−

⌊

2n2

7

⌋


kecil atau sama dengan x .2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

10

20

30

40

50

60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

20

40

60

80

100

120


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Misalkan diketahui barisan xn = 2n2

7 −⌊

2n2

7

⌋


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

10

20

30

40

50

60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

20

40

60

80

100

120


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

10

20

30

40

50

60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

20

40

60

80

100

120

3 Dalam hal ini{

2n2

7 −⌊

2n2

7

⌋

: n ∈ N

}

terkumpul di empat titik,

artinya ada sebagian dari {xn} yang konvergen ke salah satu dari

empat titik tersebut.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

10

20

30

40

50

60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

20

40

60

80

100

120

3 Dalam hal ini{

2n2

7 −⌊

2n2

7

⌋

: n ∈ N

}



empat titik tersebut.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

.

2 Dalam hal ini{

2n2

7 −⌊

2n2

7

⌋

: n ∈ N

}



empat titik tersebut. Sebagian dari {xn} dengan sifat{

xg(n)

}

dengan g : N → N monoton naik, disebut sebagai subbarisan.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

.

2 Dalam hal ini{

2n2

7 −⌊

2n2

7

⌋

: n ∈ N

}




xg(n)

}


3

0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


7 −⌊

2n2

7

⌋

.

2 Dalam hal ini{

2n2

7 −⌊

2n2

7

⌋

: n ∈ N

}




xg(n)

}


3

0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

4 Bisa dicari ke empat titik tersebut tersebut?


Barisan Konvergen

Penyelidikan

1 Selidiki barisan

xn =(

2+√3)n

−⌊(

2+√3)n⌋


Barisan Konvergen

Penyelidikan

1 Selidiki barisan

xn =(

2+√3)n

−⌊(

2+√3)n⌋

2 Apakah barisan ini konvergen? Jika tidak, bagaimana dengan nilai

{xn}?


Barisan Konvergen

Penyelidikan

1 Selidiki barisan

xn =(

2+√3)n

−⌊(

2+√3)n⌋


{xn}?3 Apakah ada sub barisan yang konvergen ke suatu nilai? Jika ada,

carilah!


Barisan Konvergen

Penyelidikan

1 Untuk α ∈ Q selidiki sifat barisan

xn = nα − ⌊nα⌋


Barisan Konvergen

Penyelidikan




{xn}?


Barisan Konvergen

Penyelidikan




{xn}?3 Apakah ada sub barisan yang konvergen ke suatu nilai?


Barisan Konvergen

Penyelidikan






xn = nα + c − ⌊nα + c⌋

dengan c merupakan bilangan real.


Barisan Konvergen

Penyelidikan






xn = nα + c − ⌊nα + c⌋

dengan c merupakan bilangan real.

5 Tentukan secara eksak!


Barisan Konvergen

Penyelidikan

1 Untuk α 6∈ Q selidiki sifat barisan



Barisan Konvergen

Penyelidikan




{xn}?


Barisan Konvergen

Penyelidikan




{xn}?3 Apakah ada sub barisan yang konvergen ke suatu nilai


Barisan Konvergen

Penyelidikan


xn = sinπnα


Barisan Konvergen

Penyelidikan


xn = sinπnα


{xn}?


Barisan Konvergen

Penyelidikan


xn = sinπnα




Barisan Konvergen

Penyelidikan


xn = sinπnα


{xn}?


Barisan Konvergen

Penyelidikan


xn = sinπnα


{xn}?3 Apakah ada sub barisan yang konvergen ke suatu nilai


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain

1 Misalkan diketahui barisan xn+1 = xn +1xn

dengan x1 = 1. Kita akan

menyelidiki barisan yang terbentuk.


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain




2

0 5 10 15 201

2

3

4

5

6

7


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain




2

0 5 10 15 201

2

3

4

5

6

7

3 Gambarkan berbagai grafik untuk barisan di atas untuk

n = 1, 2, 3, . . . ,N dengan N cukup besar.


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain





Barisan Konvergen

Barisan yang Lain




2 Gambarkan grafik untuk barisan di atas untuk n = 1, 2, 3, . . . ,N

dengan N cukup besar dengan berbagai cara.


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain






3 Carilah suatu fungsi y = f (x) yang mirip dengan grafik dari tersebut!


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain







4 Terka order dari cara barisan tersebut membesar!


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain








5 Dapatkah tebakan tersebut dibuktikan secara analitik!


Barisan Konvergen

Barisan yang Lain








5 Dapatkah tebakan tersebut dibuktikan secara analitik!

6 Apa yang terjadi jika barisan tersebut diganti dengan xn+1 = axn +bxn

dengan x1 = 1.


Barisan Konvergen

Barisan Sinus

1 Kita akan menyelidiki barisan xn = sin (n) dengan n merupakan

bilangan asli.


Barisan Konvergen

Barisan Sinus


bilangan asli.2 Gambarkan grafik barisan tersebut untuk n = 1, 2, . . . ,N dengan N

cukup besar, misalkan N = 5000.


Barisan Konvergen

Barisan Sinus



cukup besar, misalkan N = 5000.3 Berdasarkan gambar tersebut, apakah dugaan anda tentang

konvergensi barisan tersebut?


Barisan Konvergen

Barisan Sinus




konvergensi barisan tersebut?4 Bagaimana dengan distribusi nilai xn?


Barisan Konvergen

Barisan Sinus




konvergensi barisan tersebut?4 Bagaimana dengan distribusi nilai xn?5 Maksudnya frekuensi dari nilai tersebut! Misalkan interval [−1, 1]

dibagi 10. Berapa banyak nilai yang berada di

[−1,−0.9] , [−0.9,−0.8] dan seterusnya.


Barisan Konvergen

Barisan Sinus






[−1,−0.9] , [−0.9,−0.8] dan seterusnya.6 Misalkan diberikan [a, b] ⊂ [−1, 1], gambarkan sebanyak mungkin

titik yang berada di dalam jangkauan interval tersebut! Apakah

mungkin semuanya digambarkan?


Barisan Konvergen

Barisan Sinus








mungkin semuanya digambarkan?7 Perbesar himpunan [a, b] dan ambillah N yang berbeda serta amati

perubahan titik yang terjadi di dalam interval tersebut.


Barisan Konvergen

Barisan Sinus








mungkin semuanya digambarkan?7 Perbesar himpunan [a, b] dan ambillah N yang berbeda serta amati

perubahan titik yang terjadi di dalam interval tersebut.8 Berdasarkan hasil observasi tersebut, dimanakah fokus penyusunan

nilai sin (n) . Apakah anda bisa membuktikan secara analitik!Wono Setya Budhi Barisan Konvergen October 16, 2014 32 / 49

Barisan Konvergen

Barisan Batu Hujan Es

1 Definisikan barisan bilangan bulat

xn+1 =

{

3xn + 1 jika xn merupakan bilangan ganjilxn2 jika xn merupakan bilangan genap


Barisan Konvergen



xn+1 =

{


2 Diberikan bilangan x0, hitung nilai xn.


Barisan Konvergen



xn+1 =

{



3 Gambarkan grafik barisan tersebut dengan berbagai cara.


Barisan Konvergen



xn+1 =

{




4 Lihatlah hasilnya untuk berbagai x0.


Barisan Konvergen



xn+1 =

{





5 Jika untuk x0 tertentu, apakah barisan tersebut akan selalu mencapai

barisan konvergen?


Barisan Konvergen



xn+1 =

{






barisan konvergen?

6 Apakah bisa dijelaskan hanya dengan menggunakan pensil dan kertas

saja?


Barisan Konvergen



xn+1 =

{






barisan konvergen?

6 Apakah bisa dijelaskan hanya dengan menggunakan pensil dan kertas

saja?

7 Misalkan, kita akan berhenti jika suku barisan mempunyai nilai 1.

Sebagai contoh 8, 4, 2, 1. Dalam empat langkah. Selidiki banyak

langkah untuk bilangan yang lain.


Barisan Konvergen


1 Antara x0 = 100 dan x0 = 101

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

250

300

350


Barisan Konvergen


1 Antara x0 = 100 dan x0 = 102

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

250

X = 1Y = 102


Barisan Konvergen


1 Antara x0 = 100 dan x0 = 105

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 400

100

200

300

400

500

600

700

800

900

x0=105


Barisan Konvergen


1 Antara x0 = 100 dan x0 = 105

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 400

100

200

300

400

500

600

700

800

900

x0=105

2 Klasifikasi: tentukan semua bilangan kurang dari 100 yang akan

berakhir kurang dari 20, 30, 40, . . . langkah.


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan

1 Misalkan xn menyatakan jumlah penduduk pada tahun ke n .


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan


2 Jika tidak ada masalah dengan pertumbuhan, maka penambahan

∆xn = xn+1 − xn sebanding dengan jumlah penduduk saat itu.


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan




3 Jadi

∆xn ∼ xn


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan




3 Jadi

∆xn ∼ xn

4 Model yang paling sederhana adalah

∆xn = rxn

atau

xn+1 − xn = rxn atau xn+1 = (1+ r) xn


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan




3 Jadi

∆xn ∼ xn


∆xn = rxn

atau

xn+1 − xn = rxn atau xn+1 = (1+ r) xn

5 Dalam hal ini pertumbuhan mengikuti barisan geometri.


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan


∆xn = rxn


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan


∆xn = rxn

2 Tetapi kenyataannya, tentu ada yang mati.


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan


∆xn = rxn


3 Model yang lebih wajar adalah

∆xn = rxn (M − xn)

dengan M menyatakan kapasitas. Atau

xn+1 = µxn (K − xn)


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan


∆xn = rxn


3 Model yang lebih wajar adalah

∆xn = rxn (M − xn)

dengan M menyatakan kapasitas. Atau

xn+1 = µxn (K − xn)

4 Saat ini kita hanya akan menyelidiki sifat barisan x1, x2, . . .


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan

1 Misalkan kita mempunyai barisan xn+1 = µxn (4− xn) denganx1 = 0.4 dengan µ = 0.8


Barisan Konvergen

Model Pertumbuhan

1 Misalkan kita mempunyai barisan xn+1 = µxn (4− xn) denganx1 = 0.4 dengan µ = 0.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

0

1

2

3

4

5


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

Misalkan kita mempunyai barisan xn+1 = µxn (4− xn) dengan x1 = 0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

0

1

2

3

4

5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Misalkan kita mempunyai barisan xn+1 = µxn (4− xn) denganx1 = 0.4


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

0

1

2

3

4

5


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−1

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Misalkan kita mempunyai barisan xn+1 = µxn (4− xn) denganx1 = 0.4.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2 Jika kita hanya memperhatikan barisan x1, x3, x5, . . . maka akan

diperoleh barisan

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



diperoleh barisan

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



diperoleh barisan

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

3 Perhatikan bahwa x3 = f (f (x1)), x5 = f (f (x3))Wono Setya Budhi Barisan Konvergen October 16, 2014 45 / 49

Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Kita dapat memfokus di sekitar daerah yang menarik

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.81.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen

1 Misalkan kita mempunyai barisan xn+1 = µxn (1− xn) dengan x1 = a.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen


2 Selidiki nilai a agar menghasilkan suatu barisan yang konvergen.

Apakah ini mungkin?


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Apakah ini mungkin?

3 Selidiki nilai a agar menghasilkan suatu barisan dengan sifat pada

contoh. Apakah bisa dengan cara lain memperoleh hal ini?


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Apakah ini mungkin?



4 Selidiki nilai a agar menghasilkan barisan dengan sifat lain.


Barisan Konvergen

Barisan Konvergen



Apakah ini mungkin?



4 Selidiki nilai a agar menghasilkan barisan dengan sifat lain.

5 Bagaimana dengan perubahan nilai µ?


Barisan Konvergen

Kemungkinan Jenis Barisan yang Muncul

1

0 20 40 60 80 100 1200.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Pertumbuhan Penduduk, r:3.555

Waktu

Nila

i


Barisan Konvergen

Kemungkinan Jenis Barisan yang Muncul

1

0 20 40 60 80 100 1200.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Pertumbuhan Penduduk, r:3.75

Waktu

Nila

i


barisankonvergen - wonosb.files.wordpress.com · barisan konvergen barisankonvergen 1 misalkan...

Documents