barisan tak hingga kekonvergenan barisan tak hingga sifat sifat barisan...

19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan

Barisan Tak Hingga

Kekonvergenan barisan tak hingga

Sifat – sifat barisan

Barisan Monoton

Matematika 2 2

Barisan Tak Hingga

Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan

−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam

bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku

ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana

daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga

adalah

1nna


Barisan Tak Hingga

Contoh − contoh barisan

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba

–coba.

...,8,6,4,2

1n

n2

...,6

4,

5

3,

4

2,

3

1

1nn2

n


Kekonvergenan barisan

tak hingga

Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila

atau

{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga

untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan

L akan kurang epsilon}

Lalimnn

La,Nn0N0n

na



tak hingga

Contoh 1

Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena

maka divergen

1n

2

1n

n

1n

nlim

2

n

1n

2

1n

n



tak hingga

Contoh 2


Jawaban

Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk

menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

Misal ,bila maka

untuk x R.

1n

n

2

e

n

n

2

n e

nlim

nfan Lxflim

x

Lnflimn



tak hingga Jawaban (lanjutan)

Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka

Berdasarkan teorema maka .

Karena nilai limitnya menuju 0, maka

Konvergen menuju 0.

xx e

x2lim

x

2

e

xxf

x

2

x e

xlim

0e

nlim

n

2

n

1n

n

2

e

n

0e

2lim

xx



tak hingga Contoh 3


Jawaban

Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda

akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap

tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan

maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai

, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

1n

ncosn

1

ncoslimn

0n

1limn

ncos.n

1


Sifat – sifat barisan

Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu

konstanta, maka

1.

2.

3.

4.

5.

kklimn

nnnnalimkaklim

nnnnnnnblimalimbalim

nnnnnnnblimalimbalim

0blim,blim

alim

b

alim

nn

nn

nn

n

n

n

19/02/2016 Matematika 2 10

Barisan Monoton

Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan

menjadi 4 macam :

1. Monoton naik bila

2. Monoton turun bila

3. Monoton tidak turun bila

4. Monoton tidak naik bila

1nnaa

1nnaa

1nnaa

1nnaa

19/02/2016 Matematika 2 11

Deret Tak Hingga

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2+…+an .

Notasi deret tak hingga adalah .

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan

barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :

Dan

1nn

a

1n na

nn

Slim

11aS

3213aaaS

n321na...aaaS

212aaS

....,S...,,S,SS k211nn

19/02/2016 Matematika 2 12

Deret Tak Hingga

Contoh

Selidiki apakah deret konvergen ?

Jawaban

Karena , maka adalah deret

konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu

deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

1k

1

k

1

1k

1n

n

1n

11S

n

11n

nlimSlimnnn

1k

1

k

1

1k

19/02/2016 Matematika 2 13

Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-

sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang

sering digunakan :

1. Deret geometri

2. Deret harmonis

3. Deret-p

Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

19/02/2016 Matematika 2 14

Deret Suku Positif

Deret geometri

Bentuk umum :

Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga

. untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri

bergantung pada nilai r.

.......1321

1

nk

k

rarararaara

1n32

nra...rararaaS

n1n32

nrara...rararaSr

r1

r1aS

n

n

19/02/2016 Matematika 2 15

Deret Suku Positif

Deret geometri(lanjutan)

Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret

geometri :

–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret

divergen

–Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke

–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen

nalim

n

0lim

n

nr

r

a

1

n

nrlim

19/02/2016 Matematika 2 16

Deret Suku Positif

Deret harmonis

Bentuk umum :

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari

Sn nya, yaitu

1n n

1

n

1....

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11Sn

.....16

1....9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

19/02/2016 Matematika 2 17

Deret Suku Positif

Deret harmonis (lanjutan)

Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.

2

1....

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

....16

1....

16

1

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11Sn2

2

n1lim

n

2

n1

19/02/2016 Matematika 2 18

Kedivergenan

Deret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka .

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah

Bila ,maka deret akan divergen.

Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,

maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu

dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

1nna 0alimn

n

0alimnn

1nna

19/02/2016 Matematika 2 19

Kedivergenan

Deret Tak Hingga

Contoh

Periksa apakah konvergen ?

Jawaban

Jadi divergen

n12

1limn

1n 1n2

n

1n2

nlimalimn

nn

1n 1n2

n

02

1

19/02/2016 Matematika 2 20

Uji Deret Positif

1. Uji integral

2. Uji Banding

3. Uji Banding limit

4. Uji Rasio

5. Uji Akar

19/02/2016 Matematika 2 21

Uji Deret Positif

Uji integral

Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,

dimana , maka integral tak wajar dari f(x)

adalah .

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak

ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret

konvergen.

1nna

Bnnfan

dxxflimdxxfb

1b1

19/02/2016 Matematika 2 22

Deret Suku Positif

Contoh 1: Uji Integral Deret–p

Bentuk umum :

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga

merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan

bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa

deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

Misal maka .

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1

sampai .

1npn

1

pnn

1nfa

px

1xf

19/02/2016 Matematika 2 23

Deret Suku Positif

Deret–p (lanjutan)

Integral tak wajar dari f(x) adalah

Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar

tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.

Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga

akan divergen.

dxx

1lim

b

1pb

dxx

1

1p

b

1

p1

b p1

xlim

p1

1

p1

blim

p1

b

19/02/2016 Matematika 2 24

Deret Suku Positif

Deret–p (lanjutan)

Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :

– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret

divergen

– Bila p>1, maka ,

sehingga deret konvergen.

1pb b1p

1

1p

1lim

p1

1

p1

blim

p1

b

p1

1

p1

blim

p1

b

1p

1

19/02/2016 Matematika 2 25

Uji Deret Positif

Contoh 2

Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji

integral yaitu :

Misal , maka

Perhitungan integral tak wajar :

dxxlnx

1lim

b

2b

2nnlnn

1

nlnn

1nfan

xlnx

1)x(f

dxxlnx

1

2

b2

bxlnlnlim

19/02/2016 Matematika 2 26

Uji Deret Positif

Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral

tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga

divergen.

2nnlnn

1

19/02/2016 Matematika 2 27

Uji Deret Positif

Uji Banding

Bila untuk n N, berlaku bn an maka

a. Bila konvergen, maka juga konvergen

b. Bila divergen, maka juga divergen

Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan

suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.

Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat divergen.

1nnb

1nna

1nna

1nnb

19/02/2016 Matematika 2 28

Uji Deret Positif

Contoh 1

Uji kekonvergenan

Jawaban

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih

yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

Dapat dipilh sebagai deret pembanding.

Karena dan merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

1n 2n

1

1n n3

1

1n n3

1

n3

1

2n

1

19/02/2016 Matematika 2 29

Uji Deret Positif

Contoh 2

Uji kekonvergenan

Jawaban

Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,

dimana . Karena merupakan deret

konvergen, maka juga konvergen.

1n2 5n

3

1n2n

3

22 n

3

5n

3

1n2n

3

1n2 5n

3

19/02/2016 Matematika 2 30

Uji Deret Positif

Contoh 3

Uji kekonvergenan

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang

digunakan adalah .Karena dan

merupakan deret konvergen, maka juga konvergen

12

1

n n

ntg

2, 1

ntgn

1n22

n

2

2

2

1

nn

ntg

1n22

n

12

1

n n

ntg

19/02/2016 Matematika 2 31

Uji Deret Positif

Uji Banding Limit

Misal dan , merupakan deret suku positif dan

, berlaku

– Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen

atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .

juga konvergen

– Bila L = dan adalah deret divergen maka .

juga divergen

1nna

1nnb

n

n

n b

alimL

1nnb

1nna

1nnb

1nna

19/02/2016 Matematika 2 32

Uji Deret Positif

Contoh 1

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ).

Karena . dan deret pembandingnya

divergen, maka . juga divergen.

1n23

2

3nn5

n

1n1n

3

2

n5

1

n5

n

1nnb

13nn5

n5limL

23

3

n

1n23

2

3nn5

n

19/02/2016 Matematika 2 33

Uji Deret Positif

Contoh 2


Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).

Karena . dan deret

pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama

divergen .

1i2 5n

1

1n1n

2 n

1

n

1

11n

nlim

5n

nlimL

2

2

n2

2

n

19/02/2016 Matematika 2 34

Uji Deret Positif

Uji Rasio

Misal merupakan deret suku positif dan

maka berlaku

– Bila <1, maka deret konvergen

– Bila >1, maka deret divergen

– Bila =1, maka uji gagal

1nna

n

1n

n a

alim

19/02/2016 Matematika 2 35

Uji Deret Positif

Contoh


Jawaban

Dengan uji rasio diperoleh

Karena = 0 < 1 , maka konvergen.

1

2

!i n

n

0n)1n(

)1n(lim

n

!n

!)1n(

)1n(lim

2

2

n2

2

n

n

1i

2

!n

n

19/02/2016 Matematika 2 36

Uji Deret Positif

Uji Akar

Misal merupakan deret suku positif dan ,

maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret konvergen

– Bila r > 1, maka deret divergen

– Bila r = 1, maka uji gagal

1nna n

nn

alimr

1nna

1nna

19/02/2016 Matematika 2 37

Uji Deret Positif

Contoh


Jawaban

Dengan uji akar diperoleh

Karena , maka konvergen.

1

2

in

n

e

e

2

e

2limr n

n

n

n

n

1in

n

e

21

e

2r

19/02/2016 Matematika 2 38

Uji Deret Positif

Panduan Pemilihan uji deret

Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka

dapat dipilih uji banding atau uji banding limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan

atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n

Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –

sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

19/02/2016 Matematika 2 39

Deret Ganti Tanda

Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk

menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret

yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk

. dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji

tersendiri.

Notasi deret ganti tanda adalah . atau .

Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

a. (monoton tak naik)

b.

1

1)1(i

n

n a

1

)1(i

n

na

n1n aa0

0alimnn

...aaaa 4321

19/02/2016 Matematika 2 40

Deret Ganti Tanda

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

merupakan deret ganti tanda

dengan rumus suku ke–nnya adalah .

Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :

a. .

b. Nilai

1n

1n

1nn

3n1

1n

1n

1nn

3n1

n1n aa0

1nn

3nan

0alimnn

19/02/2016 Matematika 2 41

Deret Ganti Tanda

a.

Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.

b.

Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

1nn

3n

2n1n

4n0

16n5n

n4n

3n2n

4nn

a

a2

2

n

1n

1a

a

n

1n

0

1nn

3nlimalimn

nn

13n

1nn

2n1n

4n

a

a

n

1n

19/02/2016 Matematika 2 42

Konvergen Mutlak dan

Konvergen Bersyarat

Deret dikatakan konvergen

mutlak, bila deret mutlak konvergen

(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila

divergen, maka . juga divergen.

Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi

divergen.

321

1nn aaaa

|| 321

1

aaaan

n

1nna

1nna

1nna

1nna

19/02/2016 Matematika 2 43


Konvergen Bersyarat

Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji

banding, dimana deret pembandingnya adalah maka

diperoleh bahwa untuk semua nilai n.

Karena merupakan deret konvergen, maka

juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

1n3n

ncos

1n3n

ncos

1n3n

1

33 n

1

n

ncos

1n3n

1

1n3n

ncos

1n3n

ncos

19/02/2016 Matematika 2 44


Konvergen Bersyarat

Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau

bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah .

Dengan uji rasio diperoleh .

Karena =0<1, maka konvergen.

Sehingga konvergen mutlak.

1n

nn

!n

21

1n

n

!n

2

n

1n

n 2

!n

!1n

2lim

1n

n

!n

2

1n

nn

!n

21

01n

2limn

19/02/2016 Matematika 2 45


Konvergen Bersyarat

Contoh 3

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.

Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda

a. (monoton tak naik)

Diperoleh bahwa benar

b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.

Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret

mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .

1n

n

n

11

1n n

1

n1n aa0

n

1

1n

10

0n

1limalimn

nn

19/02/2016 Matematika 2 46

Uji rasio untuk

kekonvergenan mutlak

Misal deret dengan suku tak nol dan ,

tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :

• Bila r<1, maka konvergen mutlak

• Bila r>1, maka divergen

• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)

Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

1nna

n

1n

n a

alimr

1nna

1nna

19/02/2016 Matematika 2 47


Konvergen Bersyarat

Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau

divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena , maka konvergen mutlak.

en

1nlim

3

3

n

1n

n

3n

e

n1

3

n

1n

3

n n

e

e

1nlimr

1n

n

3n

e

n11

e

1r

e

1

19/02/2016 Matematika 2 48


Konvergen Bersyarat

Contoh 2

Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?

Jawaban

Dengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena r > 1, maka divergen .

2

1nlimn

1n

n

n

2

!n1

!n

2

2

!1nlimr

n

1nn

1n

n

n

2

!n1

19/02/2016 Matematika 2 49

Deret Pangkat

Bentuk umum :

Contoh deret pangkat

1.

2.

3.

......2

210

0

n

n

n

n

n xaxaxaaxa

......2

210

0

n

n

n

n

n bxabxabxaabxa

......1 2

0

n

n

n xxxx

...!6!4!2

1!2

1642

0

2

xxx

n

x

n

nn

...

5

1

4

1

2

1

2

12

0

xx

n

x

n

n

19/02/2016 Matematika 2 50

Deret Pangkat

Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,

yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan

nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,

yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret

maupun disebut interval kekonvergenan.

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki

ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –

masing deret.

n

0nnxa

n

0nn bxa

19/02/2016 Matematika 2 51

Deret Pangkat

Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = 0

• Deret konvergen mutlak di x R

• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau

ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret

• Deret konvergen hanya di x = b

• Deret konvergen mutlak di x R

• Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)

atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

n

0nnxa

n

0nn bxa

19/02/2016 Matematika 2 52

Deret Pangkat

Contoh 1

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Deret akan konvergen untuk semua nilai x

Atau x R

01n

xlimn

0n

n

!n

x

n

1n

n x

!n

!1n

xlimr

19/02/2016 Matematika 2 53

Deret Pangkat

Contoh 2


Jawaban


Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi

adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

1nxlimn

0n

nx!n

n

1n

n x

!1n

!n

xlimr

19/02/2016 Matematika 2 54

Deret Pangkat

Contoh 3


Jawaban



adalah –3 < x < 3.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara

terpisah.

2n

1n

3

xlimn

0nn

nn

1n3

x1

n

n

1n

1n

n x

1n3

2n3

xlimr

11.

3

x

19/02/2016 Matematika 2 55

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini

diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

• Saat x = 3 deretnya menjadi dengan

uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

0n 1n

1

0n

n

1n

11

0nn

nn

1n3

x1

3x3

19/02/2016 Matematika 2 56

Deret Pangkat

Contoh 4


Jawaban



adalah 4 < x < 6.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara

terpisah.

1n2n

n5xlim

2

2

n

1n2

n

n

5x

n

2

2

1n

n 5x

n

1n

5xlimr

11.5x

19/02/2016 Matematika 2 57

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = 4 deretnya menjadi karena

. konvergen maka deret ganti tandanya juga

konvergen. .

• Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan

deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

1n2

n

n

11

0n2n

1

1n2n

1

1n2

n

n

5x

6x4

19/02/2016 Matematika 2 58

Operasi-operasi

deret pangkat

1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,

pembagian, dan substitusi

2. Turunan deret :

3. Integral deret :

1

1

0 n

n

n

n

n

nx xnaxaD

Cx1n

adxxadxxa 1n

0n

nn

0n 0nn

n

n

19/02/2016 Matematika 2 59

Deret Pangkat

Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan

an = 1 .

Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,

maka diperoleh

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi

yang memuat x.

1n

nx

...xxx1x1

1 32

1x

...uuu1u1

1 32

1u

19/02/2016 Matematika 2 60

Deret Pangkat

Contoh 1

Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan deret geometri

x1

1

x1

1

x1

1

x1

1

x1

1

...xxx1 32

1xx

1x

19/02/2016 Matematika 2 61

Deret Pangkat

Contoh 2


Jawaban

Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

x1

x

...xxxx...xxx1xx1

x

x1

x 43232

19/02/2016 Matematika 2 62

Deret Pangkat

Contoh 3


Jawaban

Jadi

x1

x1ln

x1lnx1lnx1

x1ln

...x

3

1x2

1xdx...xxx1dx

x1

1x1ln 3232

...x

3

1x2

1xdx...xxx1dx

x1

1x1ln 3232

...x5

2x3

2x2x1lnx1ln

x1

x1ln 53

19/02/2016 Matematika 2 63

Deret Pangkat

Contoh 4


Jawaban

adalah turunan dari sehingga

2x1

1

2x1

1

x1

1

...x4x3x21

dx

...xxx1d

dx

x1

1d

x1

1 3232

2

19/02/2016 Matematika 2 64

Deret Taylor dan Maclaurin

Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat

digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,

dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di

x = b sampai turunan ke-n, yaitu

332

210 bxabxabxaaxf

!n

bfa

!2

bfa

bfa

bfa

n

n

''

2

'1

0

19/02/2016 Matematika 2 65


Atau f(x) bisa dituliskan sebagai

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial

taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial

taylor, dinamakan deret taylor.

Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,

yaitu

n

n

3'''

2''

'

bx!n

bf

bx!3

bfbx

!2

bfbxbfbfxf

n

n3

'''2

''' x

!n

0fx!3

0fx!2

0fx0f0fxf

19/02/2016 Matematika 2 66


Contoh 1

Perderetkan ke dalam deret maclaurin

Jawaban

Sehingga

10fexf x

10fexf 'x'

10fexf ''x''

10fexf '''x'''

10fexf nxn

x,!n

x

!3

x

!2

xx1e

0n

n32x

xexf

19/02/2016 Matematika 2 67


Contoh 2

Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor

Jawaban

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa

Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh

perderetannya adalah

1x2exf

x,!n

x

!3

x

!2

xx1e

0n

n32x

!3

1x2

!2

1x21x21e

321x2

19/02/2016 Matematika 2 68


Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam

deret Maclaurin

x,!1n2

x1

!7

x

!5

x

!3

xxxsin

0n

1n2n

753

x,!n2

x1

!6

x

!4

x

!2

x1xcos

0n

n2n

642

1x1,1n

x1

4

x

3

x

2

xxx1ln

0n

1nn

432

1x1,1n2

x1

7

x

5

x

3

xxxtan

0n

1n2n

7531

1x,xxxxx1x1

1

0n

n432

19/02/2016 Matematika 2 69


Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau

maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat

seperti pada bagian sebelumnya, misal :

7

x

5

x

3

xx

753

xCos

xtan1

dx

xSind

!6

x

!4

x

!2

x1

642

dxx1

12

dx

!7

x

!5

x

!3

xxd

753

dxxxx1 642

19/02/2016 Matematika 2 70

Soal Latihan

A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

1. 2.

3. 4.

5. 6.

1n

2 1n2

n

1n

2

nsin

1n2

n

1n2n

1nln

1n

nn

22

1

1n

n ncose

1n

2

!n

n

19/02/2016 Matematika 2 71

Soal Latihan

A (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

11. 12.

1n

n2

nn2

6e

e2e

1n

n

n

4

1n

n

n

2

e

1n

2n

n

1n

n

n

11

1nnn

19/02/2016 Matematika 2 72

Soal Latihan

A (Lanjutan)

13. 14.

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

1. 2.

3. 4.

1n2

1n

1n

11

1n

n2

n

e

100

1n n

nln

1n3 n5n3

n

1n 1nn

1

1n3 6n

1n3

19/02/2016 Matematika 2 73

Soal Latihan

B. (lanjutan)

5. 6.

7. 8.

9. 10.

1n

n

!n

60

1n

n

!n

n25

1nn2e

nln

1nn e

1

1n3n

ncos

1n

n2

!2n2

2!n

19/02/2016 Matematika 2 74

Soal Latihan

B. (lanjutan)

11. 12.

13. 14.

15. 16.

1n

2

!n

nsin5

1n18

5n2

1

1n5 2n

n

1nn4!n!4

!4n

1n3

1

n

ntan

1n

1n

2n3

1n1

19/02/2016 Matematika 2 75

Soal Latihan

B. (lanjutan)

17. 18.

19. 20.

21. 22.

1n

nne1

n

3

1n

1n

e

n1

1n5

2

n

5ncos

1n

n

3

1n

1n2 nn3

1

1n3 2 nn6

1

19/02/2016 Matematika 2 76

Soal Latihan

B. (lanjutan)

23. 24.

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan

konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

1. 3.

2. 4.

1n

n

1n2

2n3

1n 5n

1

1n

1n

n3

11

1n5

n

n

4

n

1n

1n

1n3

2n1

1n2 1n

ncosn

19/02/2016 Matematika 2 77

Soal Latihan

D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

1. 4.

2. 5.

3. 6.

0n

nn

!n

x1

1n

n1n

n

1x1

0nn

n

2

3x

0n

1nn

1n

x2

2n

n

nln

x

n

0nn

x2

!n

19/02/2016 Matematika 2 78

Soal Latihan

D. (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat

1. 2.

4

x

3

x

2

xx

432

!6

x

!4

x

!2

x1

642

!3

3x

!2

3x3x1

32

6

3x8

5

3x4

4

3x2

3

132

xlnxf x3exf

19/02/2016 Matematika 2 79

Soal Latihan

E. (Lanjutan)

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

xexxf

2x41

1xf

2xsinxf

x31exf

x1

1xf

x1lnxxf

x31

xxf

2

x3lnxxf

barisan tak hingga kekonvergenan barisan tak hingga sifat sifat barisan...

Documents