bab i pendahuluan · pdf fileuntuk model matematika mangsa pemangsa di ... merupakan bab...

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Ekologi merupakan cabang ilmu dalam biologi yang mempelajari tentang

hubungan makhluk hidup dengan habitatnya. Dalam ekologi, dikenal istilah rantai

makanan. Rantai makanan merupakan lintasan konsumsi makanan yang terdiri dari

beberapa spesies. Bagian paling sederhana dari rantai makanan berupa interaksi antara

spesies mangsa(prey) dengan pemangsa (predator) [13].

Makhluk hidup di bumi ini sangat beraneka ragam, yang terdiri dari campuran

populasi dari berbagai spesies yang hidup bersama atau disebut komunitas. Hal itu

menunjukan pada hakikatnya makhluk hidup di bumi ini tidak dapat hidup sendiri

secara normal, tetapi akan saling berinteraksi dengan berbagai spesies yang ada.

Banyak sistem interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah

satunya adalah sistem interaksi mangsa-pemangsa (prey-predator). Spesies pemangsa

yang secara fisik ukurannya lebih besar dibandingkan dengan mangsa, sedangkan

mangsa adalah spesies yang dimangsa yang ukurannya lebih kecil dari pada pemangsa

[6]. Interaksi yang terjadi dapat berupa predasi (makan dimakan), kompetisi

(persaingan) maupun simbiosis (persekutuan hidup).

Model mangsa pemangsa dapat dimanfaatkan pada Taman Nasional dimana

mangsa dan pemangsa dapat hidup bersama. Mangsa yang harus dilestarikan dapat

dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batasan atau tempat penampungan

yang akan membagi habitat menjadi dua wilayah yaitu wilayah yang dilindungi dan

wilayah bebas. Adapun yang dimaksud dengan wilayah yang dilindungi adalah

dimana spesies pemangsa tidak diperbolehkan masuk kedalam wilayah tersebut,

kemudian yang dimaksud dengan wilayah bebas adalah dimana ada percampuran dari

spesies mangsa pemangsa pada wilayah tersebut.

2

Kemudian pada tulisan ini, akan dibahas suatu interaksi dari tiga spesies yang

terdiri dari satu pemangsa dan dua spesies mangsa, adapun pemangsa berinteraksi

dengan salah satu spesies mangsanya bersifat predasi kemudian spesies mangsa yang

satunya hanya mengalami perpindahan dari wilayah yang dilindungi pada wilayah

bebas dan begitu juga dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi.

Pada model ini juga terdapat dua kasus dimana kasus pertama adalah

pemangsa sepenuhnya tergantung pada mangsa di wilayah yang dilindungi dan kasus

kedua adalah pemangsa sebagian tergantung pada mangsa di wilayah yang dilindungi.

Dan pada kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa akan dianalisis jenis

kestabilan titik ekuilibriumnya. Dimana titik ekuilibrium tersebut akan menunjukan

bahwa keadaan model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa bersifat stabil,

tidak stabil, saddel atau yang lainnya.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun pada latar belakang diatas, masalah yang akan dibahas dalam tugas

akhir ini sebagai berikut:

1. Bagaimana model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi

dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

2. Bagaimana menganalisis kestabilan titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di

wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada

mangsa?

3. Bagaimana teorema yang berkaitan dengan model mangsa pemangsa di wilayah

yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

4. Bagaimana simulasi model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang

dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa?

3

1.3 Batasan Masalah

Pada tugas akhir ini hanya menganalisis model mangsa pemangsa di wilayah

yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. yang

memiliki empat titik ekuilibrium kemudian membuat simulasi dari model tersebut.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian

Adapun tujuan dalam tugas akhir ini sebagai berikut:

1. mengkaji model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi.

2. Menganalisis lebih dalam kestabilan titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di

wilayah yang dilindungi.

3. Membahas teorema yang berkaitan dengan model mangsa pemangsa di wilayah

yang dilindungi.

4. Melakukan simulasi dengan menggunakan metode adams-Bashfort-Moulton

terhadap model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi.

Adapun manfaat penelitian pada tugas akhir ini adalah memperkaya wawasan,

khususnya model matematika pada bidang biologi yang berhubungan dengan populasi

pada suatu wilayah dan semoga tugas akhir ini dapat memberi manfaat bagi

matematikawan yang berkenan untuk membahas yang berhungan dengan model

matematika.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian pada tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Mempelajari dan mengkaji lebih dalam pada buku-buku yang berhubungan

dengan tugas akhir ini diantaranya tentang pemodelan mangsa pemangsa,

persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial autonomous, sistem persamaan

diferensial, titik ekuilibrium, matriks jacobi, nilai eigen dan vektor eigen, jenis

kestabilan titik ekuilibrium, dan manifold.

4

2. Menganalisis model secara detail.

3. Membahas teorema dengan membuktikannya menggunakan metode Lyapunov.

4. Membuat simulasi dengan menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton

untuk model matematika mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan

kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

5. Simulasinya menggunakan data acak (bukan data sekunder maupun primer).

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun untuk mempermudah pembaca dalam penulisan tugas akhir ini maka

penulis membaginya dalam lima bab yang akan dituliskan sebagai berikut:

BAB I: Merupakan bab pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang

masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat

penelitian, metode penelitian, sistematika penulisan.

BAB II: Merupakan bab landasan teori yang akan dipaparkan pemodelan sistem

mangsa pemangsa, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial

autonomous, sistem persamaan diferensial, matriks Jacobi, metode

Lyapunov, nilai eigen dan vektor eigen, titik ekuilibrium, jenis

kestabilan titik ekuilibrium, manifold, metode adam-bashfort-moulton.

BAB III: Pembahasan merupakan bab inti dari penulisan yang berisikan analisis

model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus

pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

BAB IV: Bab ini merupakan simulasi model mangsa pemangsa di wilayah yang

dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

BAB V : Penutup yang merupakan kesimpulan dari pembahasan dan dilengkapi

dengan saran.

5

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Pemodelan Mangsa Pemangsa

Laju populasi mangsa dengan tidak adanya pemangsa tumbuh cepat

mendekati eksponensial dan tak terbatas dalam bentuk sebagai berikut. �� 2.1�

Dengan � merupakan angka pertumbuhan dari mangsa. Laju populasi mangsa

menjadi fungsi logistik karena sumber daya alam yang terbatas, yang kemudian dapat

menulisnya sebagaimana persamaan logistik sebelumnya yaitu sebagai berikut. �� 1 �� 2.2�

Dengan � merupakan carrying capacity. carrying capacity ini berhubungan

erat dengan ketersediaan tanaman sebagai makanan mangsa. Kemudian akan

ditunjukkan suatu persamaan dimana mangsa dan pemangsa akan saling berinteraksi

yaitu sebagai berikut. �� 2.3�

Dengan � adalah laju penangkapan mangsa oleh pemangsa, dalam hal ini

mangsa berinteraksi dengan pemangsa. Dari beberapa penjelasan diatas maka dapat

dibentuk model dinamika pertumbuhan populasi mangsa adalah sebagai berikut. �� 1 �� 2.4�

Dengan �, �, � � 0

Pada persamaan diatas bersifat mnegurangi jumlah populasi mangsa. Karena

dalam hubungannya mangsa akan berinteraksi dengan pemangsa. Akan tetapi

sebaliknya pada model pertumbuhan pemangsa maka respon ini akan bersifat

menambah jumlah pemangsa [8].

6

2.2 Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang

melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang � terhadap peubah �,

persamaan ini dapat pula melibatkan � itu sendiri.

Contoh sebagai berkut:

1. �� cos �

2. �� 4� � 0

3. ��

Dari contoh 1 sampai 3 merupakan suatu persamaan diferensial biasa [9].

2.3 Persamaan Diferensial Autonomous

Pandang sistem persamaan diferensial berikut: �� , �, ��

�� , �, �� 2.5�

�� "��, �, ��

�, , dan " adalah fungsi kontinu bernilai real dari �, � dan �, dan mempunyai

turunan parsial kontinu. Sistem persamaan diferensial (2.5) disebut sistem persamaan

diferensial autonomous, karena secara eksplisit �, , dan " tidak mengandung �

didalamnya [3].

7

2.4 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang membuat # buah

persamaan diferensial, dengan # merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama

dengan 2. Antara persamaan diferensial yang lain saling keterkaitan dan konsisten.

Bentuk umum dari suatu sistem # persamaan orde pertama mempunyai bentuk

sebagai berikut. ��$�� %$��, �$, �&, … , �(� ��&�� %&��, �$, �&, … , �(� �26�

* ��(�� %+��, �$, �&, … , �(�

Dengan �$, �&, … , �( adalah variabel bebas dan � adalah variabel terikat, sehingga �$ � �$��, �& � �&��, … , �( � �(��, dimana ,-.,/ merupakan turunan fungsi �(

terhadap �, dan %+ adalah fungsi yang tergantung pada variabel �$, �&, … , �( dan �

[5].

2.5 Matriks Jacobi

Jika 0�1, 2�, dan 6�1, 2� terdiferensialkan dalam sebuah daerah, maka

deteminan Jacobi, atau singkatnya Jacobi, 0 dan 6 terhadap 1 dan 2 adalah

deterninan fungsional orde kedua yang didefinisikan sebagai berikut.

7�0, 6�7�1, 2� � 87071 70727671 76728 � 90: 0;6: 6;9 Dengan cara yang sama, determinan orde ketiga sebagai berikut.

8

7�0, 6, <�7�1, 2, =� � 887071 7072 707=7671 7672 767=7<71 7<72 7<7=8

8 � > 0: 0; 0?6: 6; 6? <: <; <? > �2.7�

Persamaan (2.7) dinamakan matriks Jacobi 0, 6, dan < dan 1, 2, dan = [15].

2.6 Metode Lyapunov

Jenis kestabilan titik ekuilibrium ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobi.

Selain mementukan nilai eigen dari matriks Jacobi ada metode lain untuk menentukan

kestabilan titik ekuilibrium tersebut yaitu dengan memnggunakan metode lyapunov

yaitu sebagai berikut.

Didefinisikan fungsi A��, �� yang memenuhi:

AB ��, �� A��, ��C��, �� A��, ��%��, �� 2.8�

Dengan C � ,-,/ dan � ,E,/ . AB ��, �� dapat didefinisikan sebagai perubahan laju rata-

rata dari A dari sistem persamaan diferensial yang melalui titik ��, ��. Jika � � F��, � � G�� adalah solusi dari sistem persamaan diferensial, maka[3].

�AHF��, G��I�� A�HF��, G��I �F�� A�HF��, G��I �G��

� A��, ��C��, �� A��, ��%��, ��

� AB ��, ��

9

Teorema 2.1

Misal E himpunan terbuka dari J# mempunyai titik ekuilibrium �K. Misalkan

bahwa C adalah kontinu terdiferensilkan dan bahwa ada fungsi kontinu

terdiferensialkan A��, yang mana memenuhi kondisi berikut[12].

A��K� � 0; A�� 0 jika M �K .

1. Jika AB �� N 0 untuk semua � O P, maka titik ekuilibrium dikatakan stabil.

2. Jika AB �� Q 0 untuk semua � O P, maka titik ekuilibrium dikatakan stabil

asimtotik.

3. Jika AB �� 0 untuk semua � O P, maka titik ekuilibrium dikatakan tidak

stabil.

Teorema 2.2 [3].

Fungsi A��, �� R�& � S�� T�& �2.9�

Persamaan (2.9) mempunyai definit positif jika dan hanya jika.

R � 0 dan 4RT S& � 0 �2.10�

Dan persamaan (2.9) mempunyai definit negatif jika dan hanya jika.

R Q 0 dan 4RT S& � 0. �2.11�

Contoh 2.3

Akan diberi contoh dari suatu sistem diferensial yang akan diselesaikan dengan

fungsi Lyapunov, sebagai berikut. �$B � 2�& � �&�V �$V �&B � �$ �&�V �&V �VB � �$�& �VV

10

Dengan fungsi Lyapunov sebagai berikut. A�� $& � 2�&& � �V&

Memenuhi A�� 0 AB �� 2�$� 2�& � �&�V �$V� � 4�&��$ �&�V �&V� � 2�V��$�& �VV� � 4�&�$ � 2�$�&�V 2�$W � 4�&�$ 4�&�V�$ 4�&W � 2�$�&�V 2�VW � 2�$W 4�&W 2�VW � 2��$W � 2�&W � �VW� Q 0 �2.12�

Untuk � M 0 oleh kareana itu persamaan (2.12) bersifat stabil asimtotik.

2.7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika � adalah matriks # X # maka vektor taknol � didalam J# dinamakan

vektor eigen dari � jika �� adalah kelipatan skalar dari � yakni, �� Y�

Untuk suatu skalar Y. Skalar Y dinamakan nilai eigen dari � dan � dikatakan vektor

eigen yang bersesuian dengan Y.

Untuk mencari nilai eigen matriks � yang berukuran # X # maka dapat

menuliskan kembali �� Y� sebagai beriku.

�� YZ�

�YZ �� YZ�� 0 �2.13�

Supaya Y menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari

persamaan ini. jika � adalah matriks # X #, maka pernyataan-pernyataan berikut

ekivalen satu sama lain (� dapat dibalik, �� 0 hanya mempunyai pemecahan

trivial, � ekivalen baris dengan [#, �� S konsisten untuk tiap-tiap matriks S yang

berukuran # X 1, det �� M 0, � mempunayai rank #, vektor-vektor baris � bebas

linear, vektor-vektor kolom � bebas linear), maka persamaan (2.13) akan mempunyai

pemecahan tak nol jika dan hanya jika

11

�\��YZ �� 0 �2.14�

Ini dinamakan persamaan karakteristik �. skalar yang memenuhi persamaan ini

adalah nilai eigen dari �. Bila diperluas, maka determinan det� YZ �� adalah

polinom Y yang kita namakan polinom karakteristik dari � [1].

2.8 Titik Ekuilibrium

Misalkan diberikan sistem dua dimensi, sebagai berikut. ��$�� C$��$, �&� ��&�� C&��$, �&� �2.15�

Diasumsikan bahwa C$ dan C& kontinu dan mempunyai turunan parsial terhadap �$ dan �&. Titik ekuilibrium diperoleh jika sebagai berikut. C$��$, �&� � 0 C&��$, �&� � 0 �2.16�

Nilai �$ dan �& yang memenuhi persamaan (2.16) disebut titik ekuilibrium dari

persamaan (2.15) [6].

2.9 Jenis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Diberikan suatu persamaan sistem diferensial sebagai berikut. �B � R� � S� �B � T� � �� 2.17�

Adapun untuk menganalisis suatu titik ekuilibrium dengan menggunakan

matriks Jacobi kemudian dicari nilai eigen dari persamaan karakteristiknya, adapun

untuk nilai eigen disimbolkan dengan Y+ untuk _ � 1, 2, 3, … #. kemudian dari

persamaan (2.17) dimisalkan titik ekuilibriumnya (0.0). terdapat teorema kestabilan

titik ekuilibrium sebagai beberikut [5].

12

Teorema 2.4

1. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan stabil apabila nilai

eigennya negatif �Y+ Q 0�.

2. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan tidak stabil apabila

nilai eigennya positif �Y+ � 0�.

3. Titik ekuilibrium (0,0) dari persamaan (2.17) dikatakan saddel apabila

berbeda tanda dari nilai eigennya �Y$ Q 0� dan �Y& � 0� [11].

4. Penjumlahan dan perkalian dua buah Y dikatakan stabil apabila kedua Y nya

bernilai negatif. Dengan demikian ketika penjumlahan (Y$ � Y&� Q 0, dan

ketika perkalian (Y$. Y&� � 0 [7].

5. Penjumlahan dan perkalian dua buah Y dikatakan tidak stabil apabila kedua Y

nya bernilai positif. Dengan demikian ketika penjumlahan (Y$ � Y&� � 0, dan

ketika perkalian (Y$. Y&� � 0 [7].

2.10 Manifold

Manifold tebagi dua bagian yaitu saddel manifold stabil dan saddel manifold

tidak stabil, adapun untuk pengertian sebagai berikut [14].

1. Manifold stabil adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

negatif �Y Q 0�.

2. Manifold tidak stabil adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

positif �Y � 0�.

13

Contoh 2.5 �� 4� 2�

Penyelesaian

Menggunakan matriks jacobi

` � �1 14 2�

Cari persamaan karakteristik det�` YZ� � 0

�1 Y 14 2 Y� � 0 Persamaan karakteristiknya �1 Y�� 2 Y� 4 � 0

Y& � Y 6 � 0 �Y � 3��Y 2� � 0

Jadi diperoleh Y$ � 3 dan Y& � 2

Kemudian untuk mencari vektor eigen sebagai berikut.

Untuk Y$ � 3

�1 � 3 14 2 � 3� �� 0 �4 14 1� �� 0

Ambil baris pertama yaitu sebagai berikut. 4� � � � 0 � � 4�

Misal � � a maka � � 4a jadi vektor eigen yang pertama adalah sebagai berikut.

A � � a 4a� � a � 1 4�

14

Untuk Y& � 2

�1 2 14 2 2� �� 0 � 1 14 4� �� 0

Ambil baris pertama yaitu sebagai berikut. � � � � 0 � � �

Misal � � a maka � � a jadi vektor eigen yang kedua adalah sebagai berikut.

A � �aa� � a �11�

Jadi setelah dijelaskan diatas maka akan didapat kesimpulan yaitu dimana Y$ � 3

yang bersesuaian dengan vektor eigennya yaitu � 1 4� dan Y& � 2 yang bersesuaian

dengan �11� dimana akan menghasilkan grafik sebagai berikut.

Gambar 2.1 manifold

15

2.11 Metode Adam-Bashfort-Moulton

Metode numerik untuk poersamaan diferensial peranannya sangat penting

bagi rekayasawan, karena dalam prakteknnya sebagian besar persamaan diferensial

tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Adapun metode numerik terdapat dua bagian. Pertama, metode satu langkah

(one step) yang termasuk metode satu langkah adalah metode euler, metode heun,

metode deret taylor dan metode runge kutta. Kedua, metode banyak langkah (multi

step) metode tersebut sedikit lebih sukar diprogramkan dengan komputer, tetapi

mencapai ketelitian yang baik. Adapun yang termasuk metode banyak langkah

adalah metode adams-bashfort-moulton, metode milne-simpson, dan metode

hamming [10].

Pada tugas akhir ini similasinya menggunakan Metode adam-bashfort-

moulton merupakan bagian dari metode banyak langkah (multi step). Pada metode

adam-bashfort-moulton , perkiraan nilai ��bc$� membutuhkan beberapa taksira nilai

sebelumnya, ��b�, ��bd$�, ��bd&�,e, ��bd(�. Karena persamaaan diferensial

biasa mempunyai satu nilai awal, yaitu �0 � ��0�, dengan demikian. Metode adam-

bashfort-moulton tidak bisa diterapkan langsung, sebab metode tersebut memerlukan

beberapa nilai awal. Inilah kelemahan metode adam-bashfort-moulton. Adapun untuk

memperoleh beberapa nilai awal tersebut maka akan diketahui dari metode satu

langkah (one step) yaitu dari metode euler, metode runge-kutta, atau metode deret

taylor.

Metode adam-bashfort-moulton mempunyai predictor-corrector adapun yang

dimaksud predictor adalah menaksir ��1 dari ��, �� 1, �� 2,e , �bd( sedangkan

yang dimaksud corrector adalah memperbaiki nilai ��1 dari predictor.

Metode adam-bashfort-moulton orde 3 sebagai berikut.

Predictor: �f��1 � �� g12 h23C� 16C� 1 � 5C� 2i

Corrector: ��1 � �� g12 h5C��1 � 18C� C� 1i

16

Metode adam-bashfort-moulton orde 4 sebagai berikut.

Predictor: �f��1 � �� g24 h 9C� 3 � 37C� 2 59C� 1 � 55C�i

Corrector: ��1 � �� g24 hC� 2 5C� 1 � 19C� � 9C��1i

Suatu metode numerik memiliki orde #, dimana # adalah bilangan integer

positif. secara umun, semakin besar ordenya maka metodenya menjadi semakin

akurat [4].

Contoh 2.6

Berikut ini persamaaan diferensial biasa akan diselesaikan dengan metode

adam -bashfort-moulton orde 3 dengan menggunakan pendekatan atau mengetahui

beberapa nilai awal menggunakan metode euler, sebagai berikut.

�� dan ��0� � 1

�K � 0 �K � 1 g � 0,02

�K � 0 j �K � 1

�$ � 0,02 j �$ � �K � gC��, �� 1 � 0,02�0 � 1� � 1,0200

�& � 0,04 j �& � �$ � gC��, �� 1 � 0,02�0,02 � 1,0200�� 1,0408

CK � 0 � 1 � 1

C$ � 0,02 � 1,0200 � 1,0400

C& � 0,04 � 1,0408 � 1,0808

17

Predictor: �f3 � �� g12 h23C� 16C� 1 � 5C� 2i

� 1,0408 � 0,0212 �23�1,0808� 16�1,0400� � 5�1��

� 1,0408 � 0,0212 �24,8584 16,64 � 5� � 1,0628

Untuk CW � 1,0628 � 0,06 � 1,1228

Corrector: �3 � �� g12 h5C��1 � 18C� C� 1i

� 1,0408 � 0,0212 h5�1,1228� � 18�1,0808� �1,0400�i

� 1,0408 � 0,0212 �5,614 � 19,4544 1,0400� � 1,0808

18

BAB III

ANALISIS MODEL MANGSA PEMANGSA DI WILAYAH YANG

DILINDUNGI DENGAN KASUS PEMANGSA SEBAGIAN

TERGANTUNG PADA MANGSA

skripsi ini membahas tentang model matematika dalam bidang biologi yaitu

makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam-macam spesies yang membentuk

populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk

hidup yang lain pada suatu wilayah yang dilindungi. Tiap individu akan selalu

berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam

satu populasi atau individu-individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis hubungan

yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu

hubungan antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator) [6].

Adapun pada model mangsa pemangsa ini mempertimbangkan unsur-unsur

yang berpengaruh terhadap spesies mangsa, spesies pemangsa ataupun pada

wilayahnya. pada kasus pemangsa sebagian tergatung pada mangsa di wilayah yang

dilindungi adalah sebagai berikut:

3.1 Unsur-Unsur yang Berpengaruh terhadap Model

Sebelum terbentuknya suatu model, ada beberapa unsur-unsur yang

berpengaruh terhadap model tersebut. Dalam skripsi ini penulis membagi mangsa

kedalam dua wilayah yaitu: kepadatan mangsa pada wilayah bebas yang disimbolkan

dengan ��, kepadatan mangsa pada wilayah dilindungi yang disimbolkan ��,

serta kepadatan spesies pemangsa pada waktu � � 0 yang disimbolkan ��.

19

� Kepadatan spesies mangsa pada wilayah bebas ��

Mangsa pada wilayah bebas adalah mangsa dan pemangsa dapat bergerak

bebas pada wilayah tersebut. Adapun yang mempengaruhi laju pertumbuhan

kepadatan spesies mangsa pada wilayah bebas persatuan waktu adalah sebagai

berikut :

1. Laju pertumbuhan rata-rata mangsa pada wilayah bebas.

2. Adanya carrying capacity.

3. Keluarnya spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi.

4. Masuknya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas.

5. Menurunnya mangsa oleh pemangsa.

Dimana Laju pertumbuhan rata-rata dari pada wilayah bebas, adanya carrying

capacity, keluar spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi,

masuknya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas,

menurunnya mangsa oleh pemangsa adalah konstan.

� Kepadatan spesies mangsa pada wilayah yang dilindungi ��

Mangsa pada wilayah yang dilindungi adalah dimana mangsa dan

pemangsanya tidak dapat hidup bersama pada wilayah tersebut. Adapaun hal-hal

yang dapat mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies mangsa pada wilayah

yang dilindungi adalah sebagai berikut :

1. Laju pertumbuhan rata-rata mangsa pada wilayah yang dilindungi.

2. Adanya carrying capacity.

3. Masuknya spesies mangsa dari wilayah bebas pada wilayah yang dilindungi.

4. keluarnya spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi pada wilayah bebas.

20

� kepadatan spesies pemangsa pada waktu � � 0 ��

Adapaun hal-hal yang dapat mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan

spesies pemangsa pada waktu � � 0 adalah sebagai berikut :

1. rata-rata pertumbuhan pemangsa.

2. kematian pemangsa.

3.2 Model Matematika Mangsa Pemangsa

Dinamika populasi mangsa pemangsa dapat dimodelkan sebagai berikut

dengan mengasumsikan kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas ��, kepadatan

spesies mangsa di wilayah yang dilindungi ��, kepadatan spesies pemangsa (z).

seperti yang terlihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1Dinamik Populasi Mangsa Pemangsa.

K L �

kl

km

� �

�

nmop

M

21

Berdasarkan bagan di atas maka akan diperoleh model matematika mangsa pemangsa

terstruktur dapat dinyatakan sebagai berikut:

�1� �� 1 �q� r$� � r&� �$�� 2� �� a� �1 �s� � r1� r2� �3.1� �3� �� R� �1 �t� � �2��

Dengan

�� Kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas. �� Kepadatan spesies mangsa di wilayah yang dilindungi. �� Kepadatan spesies pemangsa pada waktu � � 0. r1 Angka perpindahan koefisien spesies mangsa dari wilayah bebas ke wilayah

yang dilindungi. r2 Angka perpindahan koefisien spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi ke

wilayah bebas. � Koefisien laju pertumbuhan intrinsik spesies mangsa pada wilayah bebas. a Koefisien laju pertumbuhan intrinsik spesies mangsa pada wilayah yang

dilindungi. q Carrying capacity dari spesies mangsa di wilayah bebas. s Carrying capacity dari spesies mangsa di wilayah yang dilindungi. t Carrying capacity dari spesies pemangsa. �$ Angka penurunan spesies mangsa yang diakibatkan spesies pemangsa. �2 Tingkat pertumbuhan spesies pemangsa akibat interaksi dengan spesies

mangsa.

22

3.3 Titik Ekuilibrium

Untuk memcari titik ekuilibrium maka ada tahapan-tahapannya dan salah satu

tahapannya yaitu dengan men-nol kan ruas kiri sistem (1), (2), (3) pada persamaan

(3.1). Maka akan didapat persamaan sebagai berikut:

�� 1 �q� r$� � r&� �$�� 0 �3.5� a� �1 �s� � r$� r&� � 0 �3.6� R� �1 �t� � �&�� 0 �3.7�

Adapun untuk memperoleh titik ekuilibrium ini diperoleh satu persatu

kemudian ada yang disubstitusikan pada persamaan-persamaan yang berikutnya.

Dengan tahapan-tahapan sebagai berikut:

R� �1 �t� � �&�� 0

� �R �1 �t� � �&�� 0

Maka didapat � � 0 �3.8�

atau

R �1 ut� � �&� � 0

�2� � R �1 �t�

�2� � R � �t

R � �2� � R�t

thR � �2�i � R� htR � t�2�iR � �

� � tR hR � �2�i �3.9�

Dapat ditulis kembali bahwa � � 0 atau � � tR �R � �&��.

23

Kemudian tahapan berikutnya menyederhanakan persamaan (3.6).

a� �1 �s� � r$� r&� � 0 � �a �1 �s� r&� �r$� � 0

� �a �1 �s� r&� � r$�

� � r$�a �1 �s� r& �3.10�

Langkah selanjutnya substitusikan persamaan (3.8) dan persamaan (3.10) pada

persamaan (3.5).

�� 1 �q� r$� � r&� �$�� 0

�� 1 �q� r$� r& r$�a �1 �s� r& �$��0� � 0

�� 1 �q� r$� r& r$�a �1 �s� r& � 0

� v� �1 �q� r$ r& r$a �1 �s� r&w � 0

Maka didapatkan � �1 -x� r$ r& yz{�$d|}�dy~ � 0

atau

� � 0 �3.11�

Kemudian substitusikan persamaan (3.11) pada persamaan (3.9) dan persamaan

(3.10). dengan tahapan sebagai berikut:

� � tR hR � �2�i � � tR hR � �2�0�i

� � tR �R�

� � t �3.12�

24

kemudian

� � r$�a �1 �s� r& �3.10�

� � r$�0�a �1 �s� r& � � 0 �3.13�

Jadi didapatkan titik ekuilibrium 0K��, �, �� 0,0,0� dan 0$��, �, �� 0,0, t�.

Langkah Selanjutnya untuk mencari titik ekuilibrium yang lainnnya yaitu

mensubstitusikan persamaan (3.8) pada persamaan (3.5) dengan tahapan sebagai

berikut:

�� 1 �q� r$� � r&� �$�� 0

�� 1 �q� r$� � r&� �$��0� � 0

�� 2q r$� � r&� � 0

� � ��2q �� r$�r&

� � ��2qr& �� r$��r&

� � 1r& ��2q �� r$��

�� 1r& ��2q �� r$�� 3.14�

Untuk mengetahui �� positif maka akan menggunakan ketaksamaan sebagai berikut: ��2q �� r$�� 0

� ��q �� r$�� 0

25

� 1� ��q �� r$�� 0 1�

��q �� r$� � 0 ��q � �� r$�

�� q�� r$�

� � q� �� r$�

�� q� �� r$� �3.15�

Jadi dari hasil (3.15), (3.14) dan (3.8) maka diperoleh titik ekuilibrium 0&��, ��, 0�.

Adapun pada titik ekuilibrium 0& ketika persamaan (3.14) disubstitusikan

pada persamaan (3.6) maka akan menghasilkan suatu polinom yang pangkat

tertingginya tiga dengan tahapan-tahapan sebagai berikut: a� �1 E� � � r$� r&� � 0 r$� � r&� a� � a�&s

r$� � r& � 1r& ��&q �� r$�� a � 1r& ��&q �� r$�� a � 1r& ��&q �� r$��&

s

r$� � r& � ��&qr& ��r& � r$�r& � a ��&qr& ��r& � r$�r& �� a ��&qr& ��r& � r$�r& � ��&qr& ��r& � r$�r& �s

r$� � �r&��&qr& r&��r& � r&r$�r& � �a��&qr& a��r& � ar$�r& � � a�&�Wq&r&&s a�&�Vqr&&s � a�r$�Vqr&&s a�&�Vqr&&s � a�&�&r&&s a�r$�&r&&s � a�r$�Vqr&&s a�r$�&r&&s � ar$&�&r&&s

26

r$ � �r&��&qr& r&��r& � r&r$�r& a��&qr& a��r& � ar$�r& � a�&�Wq&r&&s a�&�Vqr&&s � a�r$�Vqr&&s a�&�Vqr&&s� a�&�&r&&s a�r$�&r&&s � a�r$�Vqr&&s a�r$�&r&&s � ar$&�&r&&s � 1�

r$ � r&��&qr&� r&��r&� � r&r$�r&� a��&qr&� a��r&� � ar$�r&� � a�&�Wq&r&&s� a�&�Vqr&&s� � a�r$�Vqr&&s� a�&�Vqr&&s� � a�&�&r&&s� a�r$�&r&&s� � a�r$�Vqr&&s� a�r$�&r&&s� � ar$&�&r&&s�

r$ � r&��qr& r&�r& � r&r$r& a��qr& a�r& � ar$r& � a�&�Vq&r&&s a�&�&qr&&s � a�r$�&qr&&s a�&�&qr&&s � a�&�r&&s a�r$�r&&s � a�r$�&qr&&s a�r$�r&&s � ar$&�r&&s

0 � a�2�3sq2r22 2 a�2�2sqr22 � 2 a�r1�2sqr22 � a�2�sr22 2 a�r1�sr22 � ar12�sr22 a��qr2 � r2��qr2 � a�r2 r2�r2 ar1r2 � r2r1r2 r1

0 � a�2�3sq2r22 2a�� r1��2sqr22 � a�� r1�2sr22 � ��a r2�qr2 � � �� r1��a r2�r2 r1

27

R�V � S�& � T� � � � 0 �3.16�

Dengan

R � a�&sq&r&&

S � 2a�� r$�sqr&&

T � a�� r$�&sr&& ��a r&�qr&

� � �� r$��a r&�r& r$

Perhatikan bahwa persamaan (3.16) mempunyai solusi unik positif untuk � � �f jika

memenuhi pertidaksamaan sebagai berikut:

SR � � 2a�� r$�sqr&& �a�&sq&r&& � 0

� 2a�� r$�sqr&& � 0 �3.17�

TR � a�� r$�&sr&& ��a r&�qr&a�&sq&r&& � 0

� a�� r$�&sr& ��a r&�q � 0

� a�� r$�&sr& � ��a r&�q �3.18�

�R � �� r$��a r&�r& r$�a�&sq&r&& � 0

28

� �� r$��a r&�r& � r$ � 0

� �� r$��a r&�r& � r$ � �� r$��a r&� � r$r&

� �� r$��a r&� Q r$r& �3.19�

Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (3.9) pada persamaan (3.5). Dengan

tahapan-tahapanya sebagai berikut:

�� 1 �q� r$� � r&� �$�� 0 �� 1 �q� r$� � r&� � r$� � �$��

�� &q � r&� � r$� � �$��

��&q � r&� � r$� � �$��

��&�r&�qq � r$� � �$��

��&�r&�q � �r$� � �$�� q�

��&�r&�q � r$�q � �$�q� ��q

r2�q � r1�q � �1�q� ��q � ��2

� � r$�q � �$�q� ��q � ��&r&q

� r$�q � �$�q �Rt � �&�tR � ��q � ��&r&q

� r$�q � ��$�qRt � �$�&q�&tR � ��q � ��&r&q

29

� r$�qR��$�qRt � �$�&q�&t ��qR � ��&RRr&q

� r$�qR��$�qRt � �$�&q�&t ��qR � ��&Rr&qR

� 1r& �r$�qR��$�qRt � �$�&q�&t ��qR � ��&RqR �

� 1r& ��&R � �$�&q�&t ��qR � r$�qR��$�qRtqR �

� 1r& ��&R � �$�&q�&tqR ��qR � r$�qR��$�qRtqR �

� 1r& ��&RqR � �$�&q�&tqR ��qR � r$�qR��$�qRtqR �

� 1r& ��&q � �$�&�&tR �� r$��$�t�

� 1r& ��q � �$�&tR � �& �� r$ �$t��

�f � 1r2 ��q � �1�2tR � �2 �� r1 �1t�� 3.20�

Untuk mengetahui �f positif maka akan menggunakan pertidaksamaan sebagai

berikut:

��q � �1�2tR � �2 h� r1 �1ti� � 0

� ��q � �1�2tR � � h� r1 �1ti� � 0

� 1� ��q � �1�2tR � � h� r1 �1ti� � 0 1�

��q � �1�2tR � � h� r1 �1ti � h� r1 �1ti � h� r1 �1ti

30

��q � �1�2tR � � � h� r1 �1ti �3.21�

Kemudian dari persamaan (3.21) akan didapatkan �f adapun tahapannya sebagai

berikut:

��q � �1�2tR � � � h� r1 �1ti � � h� r1 �1ti

��q � �1�2tR �

� � h� r1 �1tiqRh�R � �1�2tqi

�f � h� r1 �1tiqRh�R � �1�2tqi �3.22�

Jadi dari hasil persamaan (3.22), (3.20) dan (3.9) maka diperoleh titik

ekuilibrium 0f��f, �f, �f�.

Selanjutnya substitusikan persamaan (3.20) pada persamaan (3.6) akan tetapi

persamaan (3.6) akan disederhankan dengan cara perpindahan ruas kiri pada ruas

kanan dengan tahapan-tahapan sebagai berikut:

a� �1 �s� � r$� r&� � 0

r1� � r2� a� �1 �s�

r1� � r2� a� � a�2s �3.23� Setelah terbentuknya suatu persamaan (3.23) maka akan disubstitusikan persamaan

(3.20) pada persamaan (3.23) dengan tahapan sebagai berikut:

31

r$� � r& 1r& ��q � �$�&tR � �& �� r$ �$t�� a � 1r& ��q � �$�&tR � �& �� r$ �$t�� a � 1r& ��q � �$�&tR � �& �� r$ �$t��&

s

r1� � �r2�2qr2 � �1�2tr2�2r2R ��r2r2 � r2r1�r2 � r2�1t�r2 a��2qr2 a�1�2t�2Rr2 � a��r2 ar1�r2 a�1t�r2 � a�&�4q&r&&s � �a�1�2t�4qsRr&& a�&�Vqr&&s � a�r1�Vqr&&s� a�t�1�Vqr&&s � �a�1�2t�4qsRr&& � a�1&�2&t2�4sR&r&& �a�1�2t�VsRr&&� a�1�2tr1�VsRr&& � a�1&�2t2�VsRr&& a�&�Vsqr&& �a�1�2t�VsRr&& � a�&�&sr&& r1a��&sr&& �1ta��&sr&& � �r1a�Vqsr&& � �1�2tr1a�Vsr&&R r1a��&sr&& � r1&a�&sr&&� �1r1ta�&sr&& � a�1&t&�&sr&& � a�1r1t�&sr&& a�1t��&sr&& � a�1&�2t&�Vsr&&� a��1t�Vqsr&&

32

r1 � ��r2�2qr2 � �1�2tr2�2r2R ��r2r2 � r2r1�r2 � r2�1t�r2 a��2qr2 a�1�2t�2Rr2 � a��r2 ar1�r2 a�1t�r2 � a�&�4q&r&&s � �a�1�2t�4qsRr&& a�&�Vqr&&s � a�r1�Vqr&&s� a�t�1�Vqr&&s � �a�1�2t�4qsRr&& � a�1&�2&t2�4sR&r&& �a�1�2t�VsRr&&� a�1�2tr1�VsRr&& � a�1&�2t2�VsRr&& a�&�Vsqr&& �a�1�2t�VsRr&& � a�&�&sr&& r1a��&sr&& �1ta��&sr&& � �r1a�Vqsr&& � �1�2tr1a�Vsr&&R r1a��&sr&& � r1&a�&sr&&� �1r1ta�&sr&& � a�1&t&�&sr&& � a�1r1t�&sr&& a�1t��&sr&& � a�1&�2t&�Vsr&&� a��1t�Vqsr&& � 1�

r1 � �r2�2�qr2 � �1�2tr2�2�r2R ��r2�r2 � r2r1��r2 � r2�1t��r2 a��2�qr2 a�1�2t�2�Rr2 � a��r2 ar1��r2 a�1t��r2 � a�&�4�q&r&&s � �a�1�2t�4�qsRr&& a�&�V�qr&&s � a�r1�V�qr&&s� a�t�1�V�qr&&s � �a�1�2t�4�qsRr&& � a�1&�2&t2�4�sR&r&& �a�1�2t�V�sRr&&� a�1�2tr1�V�sRr&& � a�1&�2t2�V�sRr&& a�&�V�sqr&& �a�1�2t�V�sRr&& � a�&�&�sr&& r1a��&�sr&& �1ta��&�sr&& � �r1a�V�qsr&& � �1�2tr1a�V�sr&&R r1a��&�sr&& � r1&a�&�sr&&� �1r1ta�&�sr&& � a�1&t&�&�sr&& � a�1r1t�&�sr&& a�1t��&�sr&& � a�1&�2t&�V�sr&&� a��1t�V�qsr&&

33

r1 � �r2�qr2 � �1�2tr2�r2R �r2r2 � r2r1r2 � r2�1tr2 a��qr2 a�1�2t�Rr2 � a�r2 ar1r2 a�1tr2 � a�&�Vq&r&&s � �a�1�2t�VqsRr&& a�&�&qr&&s � a�r1�&qr&&s � a�t�1�&qr&&s� �a�1�2t�3qsRr&& � a�1&�2&t2�3sR&r&& �a�1�2t�&sRr&& � a�1�2tr1�&sRr&&� a�1&�2t2�&sRr&& a�&�&sqr&& �a�1�2t�&sRr&& � a�&�sr&& r1a��sr&& �1ta��sr&&� �r1a�&qsr&& � �1�2tr1a�&sr&&R r1a��sr&& � r1&a�sr&& � �1r1ta�sr&& � a�1&t&�sr&&� a�1r1t�sr&& a�1t��sr&& � a�1&�2t&�&sr&& � a��1t�&qsr&&

r1 � a�&�Vq&r&&s � �a�1�2t�VsRr&& � �a�1�2t�3qsRr&& � a�1&�2&t2�3sR&r&& � a�r1�&qr&&s � a�t�1�&qr&&s a�&�&qr&&s �a�1�2t�&sRr&& � a�1�2tr1�&sRr&& � a�1&�2t2�&sRr&& a�&�&sqr&& �a�1�2t�&sRr&& � �r1a�&qsr&& � �1�2tr1a�&sr&&R � a�1&�2t&�&sr&& � a��1t�&qsr&&� �r2�qr2 � �1�2tr2�r2R a��qr2 a�1�2t�Rr2 � a�&�sr&& r1a��sr&& �1ta��sr&& r1a��sr&& � r1&a�sr&& � �1r1ta�sr&& � a�1r1t�sr&& � a�1&t&�sr&& a�1t��sr&& �r2r2� r2r1r2 � r2�1tr2 � a�r2 ar1r2 a�1tr2

r1 � asr&& � �q � �1�2tR �& �V 2asr&& � �q � �1�2tR � h� r1 �1ti�&� � asr&& h� r1 �1ti& �a r2�r2 � �q � �1�2tR �� a r2r2 h� r1 �1ti

34

0 � asr&& � �q � �1�2tR �& �V 2asr&& � �q � �1�2tR � h� r1 �1ti�&� � asr&& h� r1 �1ti& �a r2�r2 � �q � �1�2tR �� a r2r2 h� r1 �1ti r1

Maka didapat persamaan polinom yang pangkat tertingginya tiga. Sebagai berikut:

R�V � S�& � T� � � � 0 �3.24�

dengan

R � asr&& � �q � �1�2tR �&

S � 2asr&& � �q � �1�2tR � h� r1 �1ti

T � asr&& h� r1 �1ti& �a r2�r2 � �q � �1�2tR �

� � a r2r2 h� r1 �1ti r1

perhatikan bahwa persamaan (3.24) mempunyai akar real positif yaitu � � �f jika

memenuhi kondisi berikut:

SR � �� 2asr&& ��q � �$�&tR � �� r$ �$t�

asr&& � �q � �$�&tR �&�� 0

� 2asr&& ��q � �$�&tR � �� r$ �$t� � 0

� �� r$ �$t� � 0 �3.25�

35

TR � asr&& �� r$ �$t�& �a r&�r&r$ � �q � �$�&tR �asr&& � �q � �$�&tR �& � 0

� asr&& �� r$ �$t�& �a r&�r& � �q � �$�&tR � � 0

� �a r&�r&r$ ��q � �$�&tR � � asr&& �� r$ �$t�&

� �sr&��a r&� � �q � �$�&tR � � a�� r$ �$t�&

� �sr&��a r&� � �q � �$�&tR � Q a�� r$ �$t�& �3.26�

�R � ��a r&r& �� r$ �$t� r$asr&& � �q � �$�&tR �&

�� 0

� a r&r& �� r$ �$t� � r$ � 0

� a r&r& �� r$ �$t� � r$

� �a r&�� r$ �$t� � r$r&

� �a r&�� r$ �$t� Q r$r& �3.27�

36

3.4 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Pada analisis titik ekuilibrium model mangsa pemangsa di wilayah yang

dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dengan

menggunakan beberapa syarat adapun untuk salah satu syarat tersebut adalah �� r$� � 0 dan �a r&� � 0, titik ekuilibrium yang dianalisis yaitu 0K, 0$, 0&, dan 0f. Adapun tahapan-tahapan untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium

sebagai berikut:

3.4.1 Titik Ekuilibrium ��, �, ��

Pelinearan menggunakan matriks jacobi. Karena sesuai dengan persamaan

(3.1) maka akan menggunakan matriks jacobi yang berordo 3 X 3 kemudian matriks

jacobi akan disimbolkan dengan �.

Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya.

�� 2q r1� � r2� �1��

�� a� a�2s � r1� r2� �� R� R�2t � �2��

� ��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��

��

37

� ��

� 2��q r$ �$� r& �$�r$ a 2a�s r& 0

�&� 0 R 2R�t � �&�� 3.28�

kemudian substitusikan 0K�0,0,0� pada persamaan (3.28). maka akan diperoleh

sebagai berikut:

��K,K,K� � �� r$ r& 0r$ a r& 00 0 R� �3.29�

Setelah mendapatkan (3.29) maka akan dicari persamaan karakteristik dengan

tahapan sebagai berikut:

det�� YZ� � 0

�� r$ r& 0r$ a r& 00 0 R� Y �1 0 00 1 00 0 1� � 0

�� r$ r& 0r$ a r& 00 0 R� �Y 0 00 Y 00 0 Y� � 0

�� r$ Y r& 0r$ a r& Y 00 0 R Y� � 0 �3.30�

Maka dari persamaan (3.30) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari

persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai

berikut:

�� r$ Y��a r& Y��R Y� r$r&�R Y� � 0

�R Y�H�� r$ Y��a r& Y� r$r&I � 0 �3.31�

38

Pada persamaan (3.31) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y$ � R,

kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu polinom yang

pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:

h�� r$� Yih�a r&� Yi r$r& � 0

�� r$��a r&� �� r$�Y �a r&�Y � Y& r$r& � 0

Y& �a r&�Y �� r$�Y � �� r$��a r&� r$r& � 0 �3.32�

Setelah memperoleh persamaan (3.32) maka akan dicek kestabilan titik

ekuilibrium dengan menggunakan syarat yang sudah ditentukan adapaun syarat

tersebut dapat ditulis kembali yaitu �� r$��a r&� Q r$ , �� r$� � 0 dan �a r&� � 0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut

stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut:

Y& � YV � h �� r$� �a r&�i � �� r$� � �a r&� � 0 �3.33� Y&. YV � �� r$��a r&� r$r& Q 0 � �� r$��a r&� � r$r& � 0 �3.34�

Dapat dilihat pada persamaan (3.33) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda positif,

begitu juga pada persamaan (3.34) ketika perkalian dua buah Y bertanda positif. Oleh

karena itu dapat ditulis bahwa (Y$, Y&, YV � 0�, dan apabila semua Y-nya bernilai

positif maka dapat disimpulkan bahwa 0K�0, 0, 0� tidak stabil.

3.4.2 Titik Ekuilibrium �m��, �, ��

Adapun untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium 0$ tahapan-tahapannya

sama seperti 0K. Yaitu dengan pelinearan menggunakan matriks jacobi berordo 3 X 3

disimbolkan dengan � yang disesuaikan dengan persamaan (3.1) dan dapat

diperhatikan pada tahapan sebagai berikut:

39

Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya. �� 1 �q� r1� � r2� �1��

� �� &q r$� � r&� �$�� a� �1 �s� � r1� r2� � a� a�&s � r$� r&� �� R� �1 �t� � �2��

� R� R�&t � �&��

� ��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��

��

� ��

� 2��q r$ �$� r& �$�r$ a 2a�s r& 0

�&� 0 R 2R�t � �&�� 3.35�

kemudian substitusikan 0$�0,0, t� pada persamaan (3.35). maka akan diperoleh

matriks sebagai berikut:

��K,K,�� r$ �$t r& 0r$ �a r&� 00 0 R� �3.36�



40

�\�� YZ� � 0

�� r$ �$t� r& 0r$ �a r&� 00 0 R� Y �1 0 00 1 00 0 1� � 0

�� r$ �$t� r& 0r$ �a r&� 00 0 R� �Y 0 00 Y 00 0 Y� � 0

�� r$ �$t� Y r& 0r$ �a r&� Y 00 0 R Y� � 0 �3.37�

Maka dari persamaan (3.37) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu juga dari

persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan sebagai

berikut:

h�� r$ �$t� Yih�a r&� Yi� R Y� r$r&� R Y� � 0 � R Y��h�� r$ �$t� Yih�a r&� Yi r$r&� � 0 �3.38�

Pada persamaan (3.38) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y$ � R,

kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu polinom yang

pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:

h�� r$ �$t� Yih�a r&� Yi r$r& � 0

�� r$ �$t��a r&� �� r$ �$t�Y �a r&�Y � Y& r$r& � 0

Y& �a r&�Y �� r$ �$t�Y � �� r$ �$t��a r&� r$r& � 0 �3.39�


ekuilibrium dengan menggunakan syarat-syarat yang sudah ditentukan yaitu sebagai

berikut �� r$ �$t� � 0, �a r&�� r$ �$t� Q r$r&, �� r$� � 0 dan �a r&� � 0 maka akan diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut

stabil, tidak stabil, atau saddel. Dengan tahapan sebagai berikut:

41

Y& � YV � h �a r&� �� r$ �$t�i

� �a r&� � �� r$ �$t� � 0 �3.40�

Y& . YV � �� r$ �$t��a r&� r$r& Q 0

� �� r$ �$t��a r&� � r$r& � 0 �3.41�

Dapat dilihat pada persamaan (3.40) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda

positif, begitu juga pada persamaan (3.41) ketika perkalian dua buah Y bertanda

positif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y$ Q 0� dan �Y&, YV � 0� jadi dapat

disimpulkan bahwa titik ekuilibrium 0$�0, 0, t� saddel akan tetapi pada titik

ekuilibrium 0$ juga menggunakan definisi manifold. Menurut definisi manifold

bahwa ada manifold stabil 1-dimensi pada sumbu � dapat dilihat dari persamaan

(3.37) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai negatif yang terdapat pada sumbu �, dan

terdapat manifold tidak stabil 2-dimensi pada sumbu �� begitu juga dapat dilihat dari

persamaan (3.37) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai positif yang terdapat pada

sumbu ��.

3.4.3 Titik Ekuilibrium �l�o�, �,� ��

Adapun untuk analisis kestabilan titik ekuilibrium 0& tahapan-tahapannya

sama seperti 0Kdan 0$ . Yaitu dengan pelinearan menggunakan matriks jacobi

berordo 3 X 3 disimbolkan dengan � yang disesuaikan dengan persamaan (3.1) dan

dapat diperhatikan pada tahapan sebagai berikut:

42

Persamaan (3.1) beserta penyederhanaannya.

�� 1 �q� r1� � r2� �1��

� �� &q r$� � r&� �$�� a� �1 �s� � r1� r2� � a� a�&s r$� r&� �� R� �1 �t� � �2��

� R� R�&t � �&��

� ��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��7 ��7�� 7 ��7�� 7 ��7��

��

� ��

� 2��q r$ �$� r& �$�r$ a 2a�s r& 0

�&� 0 R 2R�t � �&�� 3.42�

kemudian substitusikan 0&��, �,� 0� pada persamaan (3.42). maka akan diperoleh

matriks sebagai berikut:

43

��-�,E,� K� �� r$ 2��q r& �$��

r$ a r& 2a��s 00 0 R � �&�� 3.43�



�\�� YZ� � 0

�� r$ 2��q r& �$��

r$ a r& 2a��s 00 0 R � �&�� Y �1 0 00 1 00 0 1� � 0

�� r$ 2��q r& �$��

r$ a r& 2a��s 00 0 R � �&�� Y 0 00 Y 00 0 Y� � 0

�� r$ 2��q Y r& �$��

r$ a r& 2a��s Y 00 0 R � �&�� Y�� 0 �3.44�

Maka dari persamaan (3.44) akan diperoleh persamaan karakteristik, begitu

juga dari persamaan karakteristik akan diperoleh suatu nilai eigen, dengan tahapan

sebagai berikut:

�� r$ 2��q Y� �a r& 2a��s Y� �R � �&�� Y� r$r&�R � �&�� Y� � 0

�R � �&�� Y� �� r$ 2��q Y� �a r& 2a��s Y� r$r&� � 0 �3.45�

Pada persamaan (3.45) sudah terlihat bahwa terdapat satu nilai eigen yaitu Y$ � R � �&�� kemudian nilai eigen yang berikutnya akan diperoleh dari suatu

polinom yang pangkat tertingginya dua, dengan tahapan sebagai berikut:

44

�� r$ 2��q Y� �a r& 2a��s Y� r$r& � 0

�a �r1 2�a��s �Y r1a � r1r2 � 2r1a��s � r1Y 2a��q � 2r2��q � 4a��qs� 2��q Y Ya � Yr2 � 2a��s Y � Y2 r1r2 � 0 �3.46�


ekuilibrium dengan menggunakan syarat-syarat yang sudah ditentukan yaitu sebagai

berikut �a r&�� r$� Q r$r&, �� r$� Q 0 dan �a r&� Q 0 maka akan

diperoleh suatu kestabilan apakah titik ekuilibrium tersebut stabil, tidak stabil, atau

saddel. Dengan tahapan sebagai berikut:

Y& � YV � �2a��s � r& a � 2��q � r$ ��

� 2a��s r2 � a 2��q r1 � �

� a r2 � � r1 2a��s 2��q Q 0 �3.47�

Y&. YV � �a �r$ 2�a��s r$a � r$r& � 2r$a��s 2a��q � 2r&��q � 4a��qs r$r&

� �� r$��a r&� r$r& 2�a��s � 2r$a��s 2a��q � 2r&��q � 4a��qs

� �� r$��a r&� r$r& 2a��s �� r$� 2��q �a r&� � 4a��qs � 0 �3.48�

Dapat dilihat pada persamaan (3.47) ketika penjumlahan dua buah Y bertanda

negatif, begitu juga pada persamaan (3.48) ketika perkalian dua buah Y bertanda

negatif. Oleh karena itu dapat ditulis bahwa (Y$ � 0� dan �Y&, YV Q 0� jadi dapat

disimpulkan bahwa titik ekuilibrium 0&��, �,� 0� saddel akan tetapi pada titik

ekuilibrium 0& juga menggunakan definisi manifold . Menurut definisi manifold

bahwa ada manifold tidak stabil 1-dimensi pada sumbu � dapat dilihat dari

persamaan (3.44) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai positif yang terdapat pada

sumbu �, dan terdapat manifold stabil 2-dimensi pada sumbu �� begitu juga dapat

45

dilihat dari persamaan (3.44) ditunjukkan adanya suatu Y bernilai negatif yang

terdapat pada sumbu ��.

3.4.4 Untuk Ekuilibrium �f�of, �f, pf�

Pada sub bab ini akan membahas tentang titik ekuilibrium 0f��f, �f, �f�

dimana pada titik ekuilibrium �f ini mencari jenis kestabilannya berbeda dengan sub

bab yang sebelumnya. Pada tiik ekuilibrium ini akan dicari menggunakan metode

Lyapunov.

Teorema 3.1. Titik ekuilibrium 0f��f, �f, �f� adalah stabil asimtotik.

Untuk mengetahui �f bersifat stabil asimtotik maka akan dicari menggunakan

metode Lyapunov. Untuk lebih jelas akan dipaparkan dengan pembuktian sebagai

berikut.

Bukti

Misal � � �f � �, � � �f � �, � � �f � � �3.49)

Dan akan diberikan fungsi Lyapunov sebagai berikut.

A�� 12 �& � T$ 12 �& � T& 12 �& �3.50�

Dimana T$ dan T& konstan positif, adapun untuk mengetahui turunan dari fungsi

Lyapunov tersebut negatif maka akan ditunjukan sebagai berikut.

Hal pertama yang harus dilakukan pada pembuktian ini adalah dengan

menurunkan persamaan (3.49), kemudian setelah mendapatkan turunan dari

persamaan (3.49) maka akan dikalikan dengan persamaan sistem (3.1). Dengan

tahapan-tahapan sebagai berikut.

46

AB �� T$� �� T&� �� 3.51�

� � �� &q r$� � r&� �$�� T$� �a� a�&s r$� r&�� T&� �R� �1 �t� � �&�� 3.52�

Kemudian substitusikan persamaan (3.49) pada persamaan (3.52) dengan tahapan

sebagai berikut.

� � ��f � �� f � ��&q r$��f � �� r&��f � �� $��f � ��f � �� T$� �a��f � �� a��f � ��&s r$��f � �� r&��f � �� T2� �R��f � �� 1 ��f � ��t � � �2��f � ��f � ��

� ��f� � ��& ��f&� 2��f�& ��Vq r$�f� r$�& � r&�f� � r&�� $�f�f �$�f�� $�&�f �$�&�� a�fT$� � aT$�& a�f&T$� 2a�fT$�& a�Vs � r$�fT$�� r$�T$� r&�fT$� r&T$�&�� R�fT&� � RT&�& R�f&T&� 2R�fT&�& R�Vt � �&�f�fT&�� &�fT&�& � �&�f�T&� � �&�T&�&� �3.53�

Dari persamaan (3.53) maka akan didapatkan suatu persamaan yang

memenuhi kriteria kestabilan Lyapunov. Dimana syarat fungsi Lyapunov itu

dikatakan stabil asimtotik apabila memenuhi teorema 1 dan teorema 2 yang berada

47

pada bab dua yang sudah dipaparkan sebelumnya. Adapun untuk turunan fungsi

Lyapunov dapat dilihat pada persamaan berikut.

AB �� 2��fq r$ �$�f� �& � T$ �a 2a�fs r&� �& � ��r& � T$r$�

��T&�&�f �$�f� (3.54)

Pada teorema ini diasumsikan bahwa T& � �z-f�~-f dan T$ � y~yz. Teorema 2.2 yang

berada pada bab dua yang akan memenuhi bahwa AB �� Q 0 (definit negatif) jika dan

hanya jika R Q 0 dan 4RT S& � 0 apabila terpenuhi maka dikatakan stabil

asimtotik menurut teorema 2.1 pada bab dua. Untuk lebih jelasnya maka dapat dilihat

dengan tahapan-tahapan sebagai berikut.

R � �� r$� 2��fq �$�f Q 0

4RT S& � 4 �� r$� 2��fq �$�f� �a 2a�fs r&� �r& � T$r$�

� 4 �� r1 2��fq �1�f� �a r2 2a�fs � �r2 � r&r$ r1�

� 4 �� r1 2��fq �1�f� �a 2a�fs r2� hr22i

Jadi syarat yang harus dipenuhi agar 0f bersifat stabil asimtotik yaitu.

(i) �� r$� Q 0

(ii) 4 �� r1 2��fq �1�f� �a 2a�fs r2� � hr22i

Setelah terpenuhi bahwa AB �� Q 0 (definit negatif) maka titik ekuilibrium 0f��f, �f, �f� bersifat stabil asimtotik �

48

BAB IV

SIMULASI MODEL PEMANGSA SEBAGIAN TERGANTUNG

PADA MANGSA

Pada bagian ini akan dibahas tentang simulasi model mangsa pemangsa di

wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa,

kemudian simulasi model mangsa pemangsa ini akan menggunakan metode adam

bashfort moulton dan untuk parameter terhadap model tersebut menggunakan data

acak. Adapun untuk programnya menggunakan software Matlab R2007b.

sistem dinamika model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan

kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut.

�� 1 �q� r$� � r&� �$�� 4.1� �� a� �1 �s� � r$� r&� �4.2� �� R� �1 �t� � �&�� 4.3�

Untuk mengetahui suatu pertumbuhan model mangsa pemangsa dengan kasus

pemangsa sebagian tergantung pada mangsa maka akan diperlihatkan suatu grafik

dari ketiga sistem tersebut. Melakukan simulasi menggunakan metode adam bashfort

moulton (ABM) dengan bantuan software matlab yaitu dengan cara mensubstitukan

suatu nilai sistem parameter pada persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) kemudian akan

diperoleh hubungan dari ketiga sistem tersebut dimana kepadatan mangsa pada

wilayah bebas ��, kepadatan mangsa pada wilayah yang dilindungi ��, dan

kepadatan pemangsa pada waktu � � 0 yang disimbolkan dengan ��.

49

4.1 Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa maka akan

diberikan nilai parameter sebagai berikut. R � 4, � � 5, a � 4.5, q � 50, s � 60, t � 10, �$ � 3, �& � 2, r$ � 12, dan r& � 0.5. nilai awal yang diberikan adalah � � 12, � � 7 dan � � 0.5 adapun untuk g � 0.005. Untuk hasil simulasi dapat

dilihat pada gambar 4.1 yang menunjukan dari populasi dua mangsa satu pemangsa

dengan menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.1. Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa

Gambar 4.1 untuk menunjukan bahwa adanya laju pertumbuhan populasi pada

pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dimana model tersebut yang terdiri dari

sistem persamaan (4.1) sampai (4.3) bahwa kepadatan spesies mangsa dari wilayah

yang dilindungi ��, kepadatan spesies mangsa dari wilayah bebas �� kemudian

kepadatan spesies pemangsa �� dan dapat dilihat pada Tabel 4.1 bahwa kurvanya

akan menuju pada titik ekuilibrium yaitu sebagai berikut:

50

Tabel 4.1. Dinamika Populai Dua Mangsa dan Satu Pemangsa

t x y z

0 12 7 0.5

1 11.4355 7.841625 0.5695

2 10.89179 8.661528 0.645367

3 10.17225 9.810797 0.764117

4 9.486375 10.92194 0.896812

*

457 0.611781 58.91067 13.79311

458 0.611781 58.91067 13.79311

459 0.611781 58.91067 13.79312

460 0.611781 58.91067 13.79312 * 1999 0.611782 58.91073 13.79312

2000 0.611782 58.91073 13.79312

Kemudian dari Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa dari ketiga sistem tersebut akan

menuju kesatu titik. Dimana titik tersebut dimanakan titik ekuilibrium dan akan

mengalami kestabilan pada saat � mencapai 589 ketika �� = 0.611782, �� 58.91073, dan �� 13.79312 ini mendekati pada titik ekuilibrium yang sesuai

dengan teori yang sudah dibahas pada bab sebelumnya adalah Cf��f, �f, �f� ��0.611782, 58.91073,13.79312� dimana keadaannya stabil asimtotik. Untuk data

selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-1.

4.2 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Menggunakan Tiga Dimensi

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa tersebut

maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R � 4, � � 5, a � 4.5, q � 50, s � 60, t � 10, �$ � 3, �& � 2, r$ � 12, dan r& � 0.5. Pada tiga dimensi ini

penulis membedakan nilai awalnya. Dimana nilai awal tersebut memiliki perubahan

empat kali yaitu � � �0.07, 8, 87, 9�, � � �8, 2.5, 12, 3� dan � � �1, 13, 6, 20�

dan g � 0.005 Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.2 yang menunjukan

dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan tiga dimensi.

51

Gambar 4.2. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa menggunakan Tiga Dimensi

Dari Gambar 4.2 sebenarnya sama seperti Gambar 4.1 hanya saja pada kasus

ini untuk memperjelas arah kurva ketika memiliki nilai awal yang perbedaan dan

nilai awal tersebut mengalami perubahan sebanyak emapat kali ternyata pada gambar

tiga dimensi tersebut kurvanya terlihat jelas yaitu menuju kesatu titik. yang mana � � 13.793122, � � 58.910726, dan � � 0.611782 dan titik ekuilibrium tersebut

memenuhi teori yang berada di bab 3 dimana titik ekuilibrium tersebut harus

memenuhi syarat �� r$� Q 0 dan 4 �� r$ &b-fx �$�f� �a &{Ef� r&� � �r&&� adapun

syarat tersebut terlihat jelas ketika nilai parameternya di inputkan yaitu 7 Q 0 dan 938.3354489 � 0.25 setelah syarat tersebut mencukupi maka untuk 0f��f, �f, �f�=( 0.611782, 58.910726, 13.793122� yang jenis kestabilannya

bersifat stabil asimtotik. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-2.

52

4.3 Dinamika Populasi Dari Spesies Pemangsa

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari ketiga model tersebut maka akan

diberikan nilai parameter sebagai berikut. R � 5, � � 7, a � 1.5, q � 45, s � 20, t � 35, �$ � 2.5, r$ � 4.2, dan r& � 1.2 adapun untuk �$ � �8.6, 4.1 ,1.7� dan

nilai awalnya yaitu � � 5, � � 7 dan � � 2 dan g � 0.005. Untuk hasil simulasi

dapat dilihat pada gambar 4.3 yang menunjukan dari populasi dari spesies pemangsa

dengan menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa

Kasus Gambar 4.3 ini terlihat bahwa ada hubungan anatara kepadatan spesies

mangsa di wilayah bebas �� dengan kepadatan spesies pemangsa �� diamana

pada �� terdapat pemangsa yang berinteraksi dengan mangsa pada wilayah

tersebut. Ketika keadaan �� mengalami penurunan dikarenkan adanya interaksi

maka secara otomatis kepadatan spesies pemangsa �� akan mengalami

pertumbuhan dan pada �� itu sendiri terdapat �&. Ketika �& nya semakin besar

maka akan mengakibatkan pertumbuhan �� akan semakin tinggi. Dan Gambar 4.3

akan diperjelas oleh Tabel 4.3 sebagai berikut:

53

Table 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa

z(t) z(t) z(t)

T beta2=8.6 beta2=4.1 beta2=1.7

0 2 2 2

1 2.477143 2.252143 2.132143

2 3.063818 2.53417 2.272227

3 4.097431 2.988234 2.488053

4 5.447343 3.51638 2.722436

5 7.161776 4.123754 2.975807

6 9.264306 4.814457 3.248729

7 11.72471 5.589496 3.54156

8 14.43654 6.445727 3.854408 *

1997 42.98024 40.10593 38.38403

1998 42.98024 40.10593 38.38403

1999 42.98024 40.10593 38.38403

2000 42.98024 40.10593 38.38403

Untuk Tabel 4.3 pada saat waktu tertentu kepadatan spesies pemangsa ��

saat t=1964 akan mencapai 42.98024 ribu dengan �& � 8.6, kemudian pada saat

t=1908 akan mencapai 40.10593 ribu dengan �& � 4.1, begitu juga pada saat t=1869

akan mencapai 38.38403 ribu dengan �& � 1.7. ketika dinamika populasi kepadatan

pemangsa datanya semakin besar maka ada kemungkinan laju pertumbuhan spesies

pemangsa tidak akan sama dengan yang didapatkan pada kasus ini, dikarenakan data

pada kasus ini dibatasi yaitu # � 2000. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada

lampiran A-3.

4.4 Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan nm � m dan km � kl

Adapun untuk mengetahui suatu kurva spesies mangsa di wilayah bebas

maupun mangsa di wilayah yang dilindungi dengan �$ � 1 dan r$ � r& maka akan

diberikan nilai parameter sebagai berikut. R � 16, � � 7, a � 1.5, q � 45, s � 20,

54

t � 35, �$ � 1, �& � 0.001, r$ � 8.5, dan r& � �2.8, 2, 1.2�. nilai awal yang

diberikan adalah � � 5, � � 7 dan � � 2 adapun untuk g � 0.0005. Untuk hasil

simulasi dapat dilihat pada gambar 4.4 yang menunjukan dinamika populasi mangsa

dengan �$ � 1dan r$ � r& menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.4. Dinamika Populasi Spesies Mangsa �$ � 1 dan r$ � r&

Pada kasus Gambar 4.4. ini adalah dinamika mangsa yang berada di

wilayah bebas dan mangsa di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r& yang

berbeda yaitu (2.8, 2, 1.2) dan �$ � 1. Ketika r& semakin kecil maka mangsa yang

berada di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi pertumbuhannya.

Pertumbuhan mangsa tersebut bukah hanya di akibatkan oleh r& saja akan tetapi ada

faktor lain yaitu �$ � 1. Dimana pemangsa memiliki kemampuan yang tinggi untuk

berinteraksi dengan mangsa yang berada di wilayah bebas. Jadi keadaaan mangsa di

wilayah bebas akan menurun pertumbuhannya dan mangsa di wilayah yang

dilindungi akan naik pertumbuhannya. Adapun untuk pertumbuhan mangsa yang di

wilayah yang dilindungi pada saat � � 1787. akan mencapai 11.999959 ribu dengan r& � 1.2, ketika saat � � 1508 akan mencapai 7.999650 ribu dengan r& � 2, dan

55

kemudian ketika saat � � 1556 akan mencapai 4.999668 ribu dengan r& � 2.8.

Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-4.

4.5 Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan nm Q 1 dan km Q kl

Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari spesies mangsa maka akan

diberikan nilai parameter sebagai berikut. R � 16, � � 7, a � 1.5, q � 45, s � 20, t � 35, �$ � 0.001, �& � 2, r$ � 2.5, dan r& � �10.5, 5, 3�. nilai awal yang

diberikan adalah � � 5, � � 7 dan � � 2 adapun untuk g � 0.0005. Untuk hasil

simulasi dapat dilihat pada gambar 4.5 yang menunjukan dinamika populasi mangsa

dengan �$ Q 1 dan r$ Q r& menggunakan dua dimensi.

Gambar 4.5. Dinamika Populasi Spesies Mangsa �$ Q 1 dan r$ Q r&

Pada kasus Gambar 4.5. ini adalah dinamika mangsa yang berada di wilayah

bebas dan mangsa yang berada di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r&

yang berbeda yaitu (10.5, 5, 3) dan �$ Q 1. Ketika r& semakin besar maka mangsa

yang berada di wilayah bebas akan semakin tinggi pertumbuhannya. Dan sebaliknya

keadaan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin menurun pertumbuhannya.

56

Hal tersebut di akibatkan juga oleh �$ Q 1. Karena pada kasus ini pemangsa memiliki

peran yang kecil untuk berinteraksi dengan mangsa di wilayah bebas. adapun untuk

pertumbuhan mangsa di wilayah bebas pada saat � � 1314 akan mencapai 46.002987

ribu dengan r& � 10.5, ketika saat � � 1627 akan mencapai 45.001242 ribu dengan r& � 5, dan kemudian ketika saat � � 1470 akan mencapai 42.002752 ribu dengan r& � 3. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-5.

57

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

1. Model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa

sebagian tergantung pada mangsa dapat dibentuk kedalam model matematika

sebagai berikut: �� 1 �q� r$� � r&� �$�� a� �1 �s� � r1� r2� �� R� �1 �t� � �2�� 2. Untuk jenis kestabilan titik ekuilibrium adalah sebagai berikut:

a. 0K�0, 0, 0� jenis kestabilannya adalah tidak stabil.

b. 0$�0, 0, t� jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold stabil

1-dimensi pada sumbu � dan manifold tidak stabil 2-dimensi pada

sumbu ��.

c. 0&��, �,� 0� jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold tidak

stabil 1-dimensi pada sumbu � dan manifold stabil 2-dimensi pada

sumbu ��.

3. Dari teorema yang dibuktikan menggunakan metode Lyapunov maka 0f��f, �f, �f� jenis kestabilannya adalah stabil asimtotik.

4. Simulasi model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut:

a. Dinamika populasi dua mangsa dan satu pemangsa menggunakan dua

dimensi akan menuju pada titik ekuilibrium 0f��f, �f, �f� jenis

kestabilannya adalah stabil asimtotik.

b. Dinamika populasi mangsa pemangsa menggunakan tiga dimensi

yang dibedakan nilai awalnya maka lebih jelas bahwa kurvanya

58

menuju pada titik ekuilibrium 0f yang bersifat stabil asimtotik yaitu � � 13.793122, � � 58.910726, dan � � 0.611782.

c. Dinamika populasi spesies pemangsa ketika �& semakin besar maka

pertumbuhan pemangsa akan semakin tinggi.

d. Dinamika populasi spesies mangsa dengan �$ � 1 dan r$ � r& ketika r& semakin kecil maka pertumbuhan mangsa di wilayah yang

dilindungi akan semakin tinggi.

e. Dinamika populasi spesies mangsa dengan �$ Q 1 dan r$ Q r& ketika r& semakin besar maka pertumbuhan mangsa di wilayah bebas akan

semakin tinggi.

5.2 Saran

Pada tugas akhir ini mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di

wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

Adapun untuk kajian selanjutnya maka saran dari penulis tugas akhir ini dapat

mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di wilayah bebas dengan kasus

pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.

59

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, H. Aljabar Linear Elementer, edisi 7 jilid 1, terjemahan Pantur Silaban, I.

Nyoman Susila, Penerbit Erlangga, 1987.

2. Dubey, B. a prey-predator model with a reserved area, mathematics group,

Jurnal modeling and control, 12(4):479-494, 2007.

3. Boyce, W.E dan Diprima, R.C. elementary differential equation and boundary

value problems, Seventh edition, Jhon Wiley & Sons, 2001.

4. Bronson, R, dan Costa, G.B, Persamaan Diferensial, Edisi Tiga, Alih Bahasa

Thombi Layukallo, Penerbit Erlangga, 2007.

5. Fitria, V.A. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey Dengan

Perlambatan, ISSN: 2086-0382, Jurnal Cauchy, 2(1):42-53, 2011.

6. Gubu, L. Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda

(Time Delay), Universitas Haluolea Kampus Bumi Tridharma Anduonohu

Kendari.

7. Haberman, R. Mathematical Model: Mechanical Vibration, Population

Dynamics, and Traffc Flow. An Inroduction to Applied Mathematics, SIAM,

1998.

8. Iswanto, R.J. Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya, edisi 1, Geraha

Ilmu, Yogyakarta, 2012.

9. Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. 9th ed, Jhon Wiley & Sons,

Singapore, 2006.

10. Munir, R. Metode Numerik, edisi 3, Penerbit Informatika Bandung, 2010.

11. Murray, J.D. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer

Verlag Berlin Heidelberg University Press Cambridge,1993.

12. Perko, L. Differential Equations And Dynamical System, TAM 7, Springer

Verlag New York, 1991.

13. Pratikno, W.B, dan Sunarsih. Model Dinamis Rantai Makanan Tiga Spesies,

Jurnal Matematika, 13(3):151-158, 2010.

60

14. Robinson, J.C. An Introductionto: Ordinary Differential Equation, Cambridge

University Press Cambridge, 2004.

15. Wrede, R dan Spiegel M.R. Alih Bahasa refina Indriasari, Schaum’s Oouline:

Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut, edisi kedua, Alih Bahasa refina Indriasari,

Penerbit Erlangga, 2007.

bab i pendahuluan · pdf fileuntuk model matematika mangsa pemangsa di ... merupakan bab...

Documents