bab 16. model pemangsa-mangsa -...
TRANSCRIPT
1
Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa
Pada Bab ini akan dipelajari model matematis dari masalah dua spesies hidup
dalam habitat yang sama, yang dalam hal ini keduanya berinteraksi dalam hubungan
pemangsa dan mangsa.
Hubungan interaksi pemangsa dan mangsa Diberikan dua 2(dua) spesies, sebutlah pemangsa (predator) dan mangsa
(prey), hidup dalam suatu habitat yang sama dan bersifat tertutup.
Selama perjalanan hidupnya, kedua spesies tersebut saling berinteraksi.
Hubungan interaksinya adalah sebagai berikut :
Dalam hal ini pemangsa memakan mangsa, tetapi mangsa memakan makanan
lain yang ada di alam.
(i) pemangsa
Dalam hal ini pemangsa memakan mangsa, tetapi mangsa memakan makanan lain
Tanpa adanya mangsa, populasi menurun dan lama kelamaan akan musnah
(ii) mangsa
Dalam hal ini mangsa dimakan oleh pemangsa.
Mangsa memakan makanan lain yang ada di alam dalam habitat tempat hidupnya
Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh terus secara tak terbatas. Dalam hal
ini dianggap bahwa sumberdaya pendukung pertumbuhan (makanan) tersedia
secara takterbatas.
Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka
kita akan memperkirakan bagaimana populasi kedua spesies diwaktu yang akan
datang.
Apabila populasi pemangsanya lebih sedikit dibanding dengan populasi
mangsa, maka populasi mangsanya berkembang lebih cepat. Hal ini akan
mengakibatkan sumberdaya alam yang dimakan oleh mangsa akan lebih cepat
berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya.
Sebaliknya apabila populasi pemangsanya jauh lebih besar dibanding dengan
populasi mangsa, maka populasi mangsanya semakin cepat berkurang (dibanding
pertumbuhannya), bahkan lama-kelamaan akan menunju kepunahan. Ini akan
berakibat pula populasi pemangsanya akan berkurang juga dan juga lama kelamaan
akan punah.
Sebagai masalah lebih lanjut adalah bagaimanakah kita harus menjaga
(mengurangi atau menambah) populasi kedua jenis spesies tersebut agar keduanya
tidak punah dengan tetap menjaga kelestarian alam sekitarnya. Hal ini merupakan
salah satu kajian dalam ekologi.
Contoh 1.
Sebagai contoh 2(dua) spesies yang interaksi kehidupannya dipandang sebagai
pemangsa dan mangsa adalah (i) serigala dan kelinci, (ii) ular dan tikus sawah, (iii)
cicak dan nyamuk, (iv) ikan dan plankton (lumut), (v) dan sebagainya.
2
Gambar 1. Serigala dan kelinci
Pada Gambar 1, diberikan serigala dan kelinci yang hidup dalam suatu habitat
tertutup. Untuk kelangsungan hidupnya serigala memakan mangsa, sedangkan kelinci
memakan makanan lain yang ada di alam sekitarnya (misal rumput-rumputan)
Pemodelan matematis masalah
Tetapkan x(t) : populasi mangsa pada saat t
y(t) : populasi pemangsa pada saat t
(i) Dari sisi mangsa
Anggapan dasar :
Tanpa adanya pemangsa:
Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh cepat tak terbatas.
Dalam hal ini,
laju pertumbuhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama.
Secara matematis,
dt
dx ~ x atau
axdt
dx .... (1)
Dalam hal ini, a : tetapan kesebandingan atau tetapan pertumbuhan mangsa
(Anda sudah pernah mempelajari bentuk persamaan diferensial (1) pada Bab
sebelumnya., yang memberikan pertumbuhan eksponensial)
Dengan adanya pemangsa
Anggapan dasar:
Dengan adanya pemangsa maka akan terjadi interaksi antara mangsa dan
pemangsa, yaitu mangsa dimakan pemangsa. Dengan demikian populasi mangsa akan
berkurang (meluruh).
Dalam hal ini, laju peluruhan populasi mangsa sebanding dengan interaksi antara
keduanya.
Secara matematis,
dt
dx ~ -xy atau
-bxydt
dx .... (1’)
Dalam hal ini b : tetapan interaksi antara mangsa dan pemangsa
3
Gabungan antara kedua hal di atas memberikan laju pertumbuhan populasi
mangsa.
Secara matematis dapat dinyatakan sebagai
dt
dx ~ x dan
dt
dx ~ - xy
memberikan
dt
dx = ax - bxy .. (2)
Hal ini menyatakan bahwa
Walaupun populasi mangsa tumbuh tetapi laju pertumbuhan populasinya dihambat
oleh interaksinya dengan pemangsa.
Perhatikan persamaan diferensial (2).
dt
dx = ax - bxy
Ruas kiri :
dt
dx menyatakan laju pertumbuhan mangsa
Ruas kanan :
x menyatakan populasi mangsa
xy menyatakan interaksi populasi mangsa dan pemangsa
Tanda ’-’ menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa dihambat (berkurang)
karena adanya interaksi mangsa dan pemangsa.
Selanjutnya perhatikan,
Dalam hal y = 0 (tidak ada pemangsa), maka diperoleh persamaan diferensial (1),
yang berarti bahwa populasi mangsa tumbuh secara tak terbatas.
(ii) Dari sisi pemangsa
Tanpa adanya mangsa:
Anggapan dasar:
Tanpa adanya mangsa, populasinya akan meluruh menuju kepunahan.
Dalam hal ini,
laju peluruhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama.
Secara matematis,
laju pertumbuhan mangsa
pertumbuhan mangsa
interaksi mangsa dan pemangsa
dihambat
4
dt
dy ~ y atau
dt
dy = - cy .... (3)
c : tetapan kesebandingan atau tetapan peluruhan pemangsa
(Anda sudah pernah mempelajari bentuk persamaan diferensial (3) Bab
sebelumnya, yang memberikan peluruhan eksponensial)
Dengan adanya mangsa
Anggapan dasar
Dengan adanya mangsa maka akan terjadi interaksi antara pemangsa dan
mangsa, yaitu pemangsa akan makan mangsa. Dengan demikian akan menyebabkan
bertumbuhnya populasi populasi pemangsa.
Dalam hal ini,
Laju pertumbuhan populasi pemangsa sebanding dengan interaksi antara pemangsa
dan mangsa.
Secara matematis.
dt
dy ~ xy atau
dt
dy = dxy .... (3’)
Gabungan antara (3) da (3’) memberikan laju pertumbuhan populasi pemangsa,
dt
dy= - cy + dxy ... (4)
Hal ini menyatakan bahwa
Laju pertumbuhan populasi pemangsa didorong karena adanya interaksi
dengan mangsa tetapi dihambat oleh kelangkaan mangsa.
Cobalah Anda jelaskan setiap suku dalam ruas kiri dan ruas kanan dari (4) seperti
yang telah dijelaskan di atas dalam (i).
Oleh karena mangsa dan pemangsa hidup dalam habitat yang sama, maka
model matematis dari masalah pemangsa dan mangsa merupakan gabungan antara (2)
dan (4), yaitu
dxycydt
dy
bxyaxdt
dx
... (5)
Sesuai dengan observasi yang dilakukan, pada awal observasi ditentukan populasi
mangsa dan pemangsa :
Populasi awal dari hasil observasi ini merupakan syarat awal dari (5), yaitu
5
x(t0) = 0t
x dan y(t0) = 0t
y ...(5’)
atau untuk mudahnya,
x(0) = x0 dan y(0) = y0. ...(5”)
Perhatikan bentuk model matematis masalah (5) dengan syarat awalnya seperti
ditulis di atas.
Dilihat dari bentuknya, (5) merupakan suatu
sistem persamaan diferensial (atau secara lengkap disebut dengan sistem
persamaan diferensial) non linear orde satu (dengan koefisien tetapan)
Di sini dikatakan non linear karena adanya suku non linear, yaitu xy dan xy.
Bandingkan dengan model matematis masalah kerjasama antara dua spesies
pada Bab 15.
Bentuk (5) dilengkapi dengan syarat awal (5’) atau (5”) disebut dengan sistem
persaman diferensial dengan syarat awal.
Sistem persamaan diferensial (5) di atas disebut juga dengan Model Matematis
Masalah Pemangsa dan Mangsa (Predator and Prey) atau singkatnya Model
Pemangsa – Mangsa atau dapat juga disebut Model Mangsa – Pemangsa. Sistem
persamaan diferensial (5) tersebut sering disebut juga dengan persamaan Lotka-
Volterra.
Model matematis penyelesaian masalah.
Penyelesaian dari (5) merupakan 2 fungsi terhadap t, yaitu x(t) dan y(t).
Jadi apabila diberikan (5) kita harus mencari x(t) dan y(t) yang keduanya memenuhi
(5).
Untuk mencari penyelesaian sistem (5) secara analitis cukup sulit dilakukan
oleh karena bentuknya berupa sistem persamaan non linear. Berbeda dengan sistem
persamaan linear seperti yang telah dipelajari pada model kerjasama (Bab
sebelumnya).
Oleh karena itu untuk menyelesaikannya (menentukan x(t) dan y(t)) biasanya
digunakan metode yang terdapat dalam metode numerik. Dalam hal ini yang sering
digunakan adalah metode Euler ataupun metode Runge-Kuta. Akan tetapi di dalam
Bab ini ini tidak dijelaskan lebih lanjut. Anda dapat mempelajarinya dalam literatur
lain yang khusus menjelaskan metode numerik.
Dalam Bab ini digunakan perangkat lunak Matlab yang di dalamnya
mengandung fungsi-fungsi yang diperlukan. Dengan fungsi-fungsi tersebut akan
dihasilkan penyelesaian numerik x(t) dan y(t) untuk setiap t serta grafik (plot)
kurvanya.
Dengan melihat hasil numerik dan grafik kurvanya dapat dimaknai
(interpretasi) perilaku antar kedua populasi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.
Hubungan perilaku pertumbuhan
Dalam memeriksa hubungan perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa,
kita cari dahulu titik kritis dari sistem persamaan (5).
6
(1)Titik kritis Nyatakan sistem persamaan (5) sebagai
),(
),(
yxgdt
dy
yxfdt
dx
... (6)
dengan f(x) = ax – bxy dan g(x,y) = -cy + dxy
Titik kritis diperoleh melalui sistem persamaan
0
0
dt
dydt
dx
yang dalam hal ini memberikan
(i) 0dt
dx 0 = ax – bxy ,
0 = x(a-by) = 0, sehingga x = 0
atau a-by = 0 y = a/b
(ii) 0dt
dx 0 = -cy + dxy ,
0 = y(-c+dx) = 0, sehingga y = 0
atau –c+dx = 0 x = c/d
Dari (i) dan (ii) diperoleh titik kritisnya yaitu (0,0) dan (c/d, a/b)
Jenis titik kritis:
Kita ketahi bahwa matriks Jacobian dari (6) adalah
J =
dy
dg
dx
dg
dy
df
dx
df
Untuk system persamaan (5),
J =
dxcdy
bxbya
Pada titik kritis pertama (0,0),
J |(0,0) =
c
a
0
0
Nilai eigen matriks tersebut adalah a dan –c, yaitu dua bilangan real berbeda tanda.
Dalam hal ini titik kritis (0,0) berjenis titik pelana, bersifat tak stabil.
Pada titik kritis kedua (c/d, a/b)
J |(c/d, a/b) =
0/
/0
bad
dbc
7
Nilai eigen matriks tersebut adalah aci dan aci , yaitu berupa dua bilangan
kompleks (dengan bagian real yang sama) berbeda tanda.
Dalam hal ini titik kritis (c/d, a/b) berjenis pusat, bersifat stabil
Yang dipertimbangkan selanjutnya adalah titik kritis kedua yaitu yang memberikan
kestabilan sistem.
Untuk memeriksa secara visual perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan
pemangsa dapat digunakan trayektori pada bidang fase.
(2) Trayektori pada bidang fase
Dari sistem persamaan (5) kita nyatakan dx
dy
Dalam hal ini, dx
dy =
dtdx
dtdy
/
/
Selanjutnya kita nyatakan sebagai dxx
dxcdy
y
bya )()(
Kedua ruas di-integralkan,
Memberikan,
a ln |y| – by = -c ln |x| + dx + K’ (K’ : tetapan pengintegralan)
Persamaan terakhir memberikan penyelesaian (implisit) yaitu:
..... (7)
Pada persamaan di atas, K merupakan parameter.
Persamaan (7) di atas disebut dengan trayektori (atau disebut juga potret) dari x(t) dan
y(t) pada bidang fase xy.
Trayektori pada bidang fase tersebut menggambarkan hubungan pertumbuhan
x(t) dan y(t) untuk setiap t.
Dinamika sistem :
Perilaku hubungan pertumbuhan x(t) dan y(t) dari sistem persamaan (5)
merupakan bagian pembahasan dinamika sistem. Untuk mengetahui pembahasan
secara menyeluruh yang berhubungan dengan dinamika sistem, termasuk klasifikasi
jenis titik kritis serta kestabilannya, Anda dapat mempelajarinya dalam literatur yang
di dalamnya dibahas materi-materi tersebut.
xbya
ydxc
)(
)(
dxx
dxcdy
y
bya
Ke
xydxby
ca
.
8
Di dalam Bab ini pembahasan terbatas hanya pada penentuan titik kritis
berikut visualisasi pertumbuhan x(t) dan y(t) serta hubungan pertumbuhannya pada
bidang fase.
Contoh 1
Diberikan sistem persamaan (5) dengan
a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01
(1) Titik kritis
Dengan melihat kembali (5), maka dalam contoh ini kita ketahui bahwa
a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01
Dalam hal ini, titik kritis pertama adalah (0,0) .
Sedangkan titik kritis kedua adalah
(c/d , a/b) = (0,5/0,01 , 0,5/0,01) = (50, 50).
Kita ketahui bahwa pada titik kritis pertama, nilai eigennya adalah dua bilangan real
yang sama yatu 0,5. Terhadap titik kritis ini sistem adalah tidak stabil.
Pada titik kritis kedua, nilai eigennya adalah 25,0i dan - 25,0i . Terhadap titik
kritis kedua tersebut sistem adalah stabil.
(2) Penyelesaian implisit dan trayektori
Penyelesaian implisit (7), yaitu
menyatakan hubungan pertumbuhan x(t) dan y(t) dalam bentuk persamaan trayektori.
Grafik trayektori pada bidang fase xy diberikan pada Gambar 1. di bawah ini.
Gambar 2 . Trayektori x(t) dan y(t) pada bidang fase
Ke
xyxy
01,001,0
5,05,0
9
Pada gambar 2 tersebut diberikan grafik trayektori untuk 4 buah parameter K yang
berbeda.
Contoh 2.
Dengan x(t) : populasi kelinci (sebagai mangsa)
y(t) : populasi serigala (sebagai pemangsa)
dan pada awalnya terdapat 80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala.
Model matematis masalah pemangsa-mangsa yang diberikan adalah sebagai berikut:
xyydt
dy
xyxdt
dx
01,05,0
01,05,0
Syarat awal x0 = 80, y0 = 100.
Dengan melihat kembali (5), maka dalam contoh ini kita ketahui bahwa
a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01
Kita ketahui dari contoh 1, titik kritis pertama adalah (0,0) sedangkan titik kritis
kedua adalah (50, 50).
(1) Fungsi pertumbuhan
Pertumbuhan serigala dan kelinci untuk setiap saat t, diberikan dalam bentuk kurva
pertumbuhan seperti yang diberikan pada gambar 3 di bawah ini.
10
Gambar 3 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, padaawalnya terdapat
80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala
Pada Gambar 3 di atas terlihat bahwa pertumbuhan x(t) (yaitu kelinci) dan y(t) (yaitu
serigala) mengikuti pertumbuhan sinusoidal secara periodik. Hal ini karena
matriksnya adalah mempunyai nilai eigen bilangan kompleks.
Pada pertumbuhannya, baik populasi kelinci maupun populasi serigala
mencapai populasi maksimal dan minimal yang sama. Dalam hal ini populasi
maksimalnya adalah 112 ekor dan populasi minimalnya adalah 16 ekor.
Dapat dilihat pada gambar tersebut,
(i) populasi kelinci pada awalnya 80 ekor menurun menuju populasi minimal, yaitu 16
ekor. Pada saat yang sama populasi serigala adalah 49 ekor. Kemudian populasi
kelinci naik mencapai populasi maksimal yaitu 112 ekor (pada saat yang sama,
populasi serigala adalah 51 ekor). Demikian seterusnya populasinya menurun dan
naik secara periodik.
(ii) Sedangkan populasi serigala pada awalnya 100 ekor, naik mencapai populasi
maksimal 112 ekor (pada saat yg sama populasi kelinci adalah 48 ekor). Selanjutnya
turun sampai mencapai 16 ekor (pada saat yang sama populasi kelinci adalah 51
ekor). Kemudian naik lagi sampai mencapai populasi maksimal 112 ekor. Demikian
seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik.
(2) Perilaku pertumbuhan populasi
Selanjutnya, dari gambar 3 di atas dapat dilihat bahwa pada waktu setelah saat awal :
(I) Populasi kelinci menurun, populasi serigala naik.
Kemudian,
(II) Populasi kelinci menurun, populasi serigala menurun
Selanjutnya
(III) populasi kelinci naik, populasi serigala turun
Selanjutnya,
(IV) Populasi kelinci naik, populasi serigala naik
Demikian seterusnya perilaku pertumbuhan kedua populasi tersebut.
Secara lebih jelas perilaku pertumbuhan tersebut dapat dilihat dalam diagram bidang
fase sebagai berikut:
(*)
11
Gambar 4. Bidang fase : Potret hubungan pertumbuhan pop kelinci dan pop
serigala
Lengkungan (di sini disebut dengan trayektori) tertutup dalam gambar 4 di atas
merupakan potret hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala yang
disajikan dalam bidang fase. Pada bidang fase tsb, sumbu mendatar menyatakan
populasi kelinci, sedangkan sumbu tegak menyatakan populasi serigala.
Berdasarkan titik kritis yang diperoleh yaitu (50,50), bidang fase tersebut terbagi
menjadi 4 daerah atau kuadran, yaitu kuadran I, II, III, dan IV.
Terlihat pada Gambar 4 di atas, dengan melihat arah panah dan kurvanya dapat
diperiksa bahwa pada,
Kuadran I : populasi kelinci menurun, populasi serigala naik,
Kuadran II : populasi kelinci dan populasi serigala menurun
Kuadran III : populasi kelinci naik, populasi serigala menurun
Kuadran IV : populasi kelinci dan populasi serigala naik.
Contoh 3.
Pada contoh ini diberikan bahwa model matematis masalahnya adalah sama dengan
contoh sebelumnya. Akan tetapi syarat awalnya berbeda yaitu :
Untuk t = 0, populasi kelinci 100 ekor, populasi serigala 80 ekor.
Diperoleh bahwa grafik kurva pertumbuhan kedua populasi adalah sebagai berikut:
I II
III IV
(50,50)
12
Gambar 5 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, dengan awalnya
terdapat 100 ekor kelinci dan 80 ekor serigala
Terlihat pada Gambar 5 di atas bahwa seperti pada contoh 3 sebelumnya, pada
awalnya populasi serigala naik dan populasi kelinci menurun. Populasi maksimal dan
minimal kedua populasi juga sama yaitu 112 (ekor) dan 16 (ekor).
Contoh 4.
Pada contoh ini model matematis yang diberikan juga sama, dengan syarat awal yang
berbeda juga, yaitu
Populasi kelinci 40 ekor (jauh lebih kecil dari contoh sebelumnya) dan
populasi serigala adalah 100.
Grafik kurva pertumbuhan kedua populasi yang diperoleh adalah sebagai berikut:
13
Gambar 6 . kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, dengan awalnya
terdapat 40 ekor kelinci dan 100 ekor serigala
Dalam hal ini populasi maksimal yang dapat dicapai oleh kedua populasi adalah 100
ekor (lebih kecil daripada pada Contoh sebelumnya), sedangkan populasi minimalnya
adalah 19 ekor (lebih besar daripada pada Contoh sebelumnya).
Pada gambar terlihat bahwa pada awalnya kedua populasinya menurun. Populasi
kelinci lebih dahulu mencapai populasi minimal (yaitu 19), juga dalam mencapai
populasi maksimalnya (yaitu 100).
Gambar 7. Bidang fase : Hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala
I
II III
IV
(50,50)
14
Sedangkan hubungan pertumbuhan kedua populasi diberikan pada Gambar 7 di atas.
Terlihat bahwa bentuk trayektorinya sama seperti sebelumnya, berbeda dalam
populasi maksimal dan minimalnya.
Di sini, kuadran I (awal pertumbuhan) letaknya berbeda dengan contoh sebelumnya.
Contoh 5.
Model sama, pada awalnya populasi kelinci sama dengan populasi serigala yaitu 60
ekor
Dalam hal ini populasi maksimal dan minimal yang dapat dicapai oleh kedua
populasi adalah 64 ekor dan 38 ekor.
Gambar 8. kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, dengan awalnya terdapat
60 ekor kelinci dan 60 ekor serigala
Pada gambar 8 terlihat bahwa pada awalnya populasi serigala naik dan populasi
kelinci menurun. Dengan demikian, susunan setiap kuadrannya diberikan pada
gambar di bawah ini.
Gambar 7. Bidang fase : Hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala
I II
III IV
15
Ragam lain model matematis pemangsa dan mangsa
Perhatikan kembali model matematis masalah mangsa dan pemangsa yang telah
dipelajari, yaitu (5). Model matematis (5) tersebut sering disebut dengan model dasar
dari masalah pemnagsa dan mangsa. Disamping model dasar tersebut terdapat ragam
lain dari model matematis pemangsa dan mangsa, yaitu
fxyeydydtdy
cxybxaxdtdx2
2
/
/
Pada model matematis tersebut, tanpa adanya interaksi kedua spesies tumbuh atau
meluruh menurut fungsi logistik. Oleh karena itu model ini disebut dengan model
logistik pemangsa dan mangsa. Selain model tersebut, masih terdapat banyak lagi
ragam model hubungan mangsa dan pemangsa dalam bentuk lanjut.
Latihan
Bagian A.
Cicak dan nyamuk hidup bersama dalam habitat tertutup. Pada awalnya
populasi nyamuk dan cicak masing-masing adalah 100 ekor dan 40 ekor.
Ditinjau dari sisi populasi nyamuk :
Apabila tak ada cicak, populasi nyamuk tumbuh dengan tetapan laju
pertumbuhan pertumbuhan sebesar 0,04. Apabila ada cicak, pertumbuhan populasi
nyamuk menurun dengan tetapan laju peluruhan sebesar 0,02.
Dari sisi populasi cicak :
Apabila tak ada nyamuk, populasi cicak meluruh (menurun) dengan tetapan
laju peluruhannya sebesar 0,8. Apabila ada nyamuk, pertumbuhan populasi cicak naik
dengan tetapan laju pertumbuhannya sebesar 0,01
1.Nyatakan model masalah masalahnya.
2.Tentukan titik kritis kedua dari sistem:
3. Tentukan matriks Jacobian (sebut J) dari sistem
(i) Tentukan J pada titik kritis pertama, (0,0)
Tentukan nilai eigen-nya
(ii) Tentukan J pada titik kritis kedua
Tentukan nilai eigen-nya
4.Tentukan persamaan trayektorinya
5. Setelah dilakukan simulasi menggunakan perangkat lunak, diperoleh grafik
pertumbuhan populasi cicak dan nyamuk seperti di bawah in
16
Dari perhitungan diperoleh bahwa :
populasi maksimal dan minimal nyamuk masing-masing adalah 138 dan 41,
populasi maksimal dan minimal cicak masing-masing adalah 42 dan 7.
Nyatakan letak titik kritis, arah trayektori, kemudian nyatakan letak kuadran I, II, III,
dan IV pada bidang fase dari trayektori yang diperoleh di bawah ini :
Pada gambar di atas, sumbu mendatar : populasi nyamuk dan sumbu tegak : populasi
cicak
Bagian B.
Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang benar.
Untuk soal nomor 1 s/d nomor 10:
Dua spesies hidup dalam habitat yang sama.
p(t) : populasi spesies pertama (sebut P) pada saat t
q(t) : populasi spesies kedua (sebut Q) pada saat t
17
1.Tanpa adanya Q populasi P akan tumbuh tanpa batas
Model matematis masalah populasi P adalah
A. dp/dt = -ap
B. dp/dt = ap
C. dq/dt = -ap
D. dq/dt = ap
(a : tetapan positif)
2. Dengan model matematis masalah pada soal nomor 1 diatas, model matematis
penyelesaiannya adalah
A. p(t) = Ceat
B. p(t) = Ce-at
C. q(t) = Ceat
D. q(t) = Ce-at
(C : tetapan)
3. Dengan adanya Q, populasi P akan terhambat karena adanya interaksi antara P dan
Q Model matematis masalah populasi P adalah
A. dp/dt = -aq + bpq
B. dp/dt = aq - bpq
C. dp/dt = ap – bpq
D. dp/dt = -ap + bpq
(a, b : tetapan positif)
4. Tanpa adanya P, populasi Q akan meluruh menuju kepunahan.
Model matematis masalah populasi Q adalah
A. dq/dt = -cy
B. dq/dt = cy
C. dp/dt = -cy
D. dp/dt = cy
(c : tetapan positif)
5. Dengan model matematis masalah pada soal nomor 4 diatas, model matematis
penyelesaiannya adalah
A. p(t) = Ced.t
B. p(t) = Ce-d.t
C. q(t) = Ce d.t
D. q(t) = Ce-d.t
(C : tetapan)
6. Dengan adanya P, populasi Q akan terdorong tumbuh karena adanya P.
Model matematis masalah populasi Q adalah
A. dq/dt = cp - dpq
B. dq/dt = -cp + dpq
C. dq/dt = cq - dpq
D. dq/dt = -cq + dpq
(c,d : tetapan positif)
18
7. Oleh karena P dan Q hidup dalam habitat yang sama, maka model matematis
pertumbuhan P dan Q adalah
A.
fpqeqdqdtdq
cpqbpapdtdp2
2
/
/
B.
fpqeqdqdtdq
cpqbpapdtdp2
2
/
/
C. dpqcqdtdq
bpqapdtdp
/
/
D. dqcpdtdq
bqapdtdp
/
/
(a, b, c, dan d : tetapan positif)
8. Dari bentuk matematisnya, model matematis masalah pada soal nomor 7 berupa
A. Sistem persamaan diferensial biasa orde satu non linear
B. Sistem persamaan diferensial biasa orde satu linear
C. Sistem persamaan diferensial biasa orde dua non linear
D. Sistem persamaan diferensial biasa orde dua linear
9. Yang dicari pada model matematis masalah pada soal nomor 7 adalah
A. a, b, c, dan d
B. p(t) dan q(t)
C. dp/dt dan dq/dt
D. matriks Jacobian
10. Model matematis masalah yang diperoleh pada soal no 1 s/d no 7 di atas disebut
dengan
A. Model kerjasama dua spesies
B. Model mangsa – pemangsa
C. Model kompetisi dua spesies
D. Model saling menyerang dua spesies
Untuk soal nomor 11 s/d nomor 20.
Diberikan model matematis masalah mangsa-pemangsa sbb:
x(t) : populasi mangsa ; y(t) : populasi pemangsa
xyydt
dy
xyxdt
dx
01,02,0
02,04,0
Dengan syarat awal untuk t = 0, x(0) = 100, y(0) = 60
11. Titik kritis pertama dan kedua dari sistem persamaan di atas adalah
A. (0,0) dan (100,60)
B. (0,0) dan (80, 20)
C. (0,0) dan (20,20)
D. (0,0) dan (20, 60)
19
12. Matriks Jacobian J dari sistem persamaan di atas adalah
A.
yx
yx
01,001,02,0
02,04,002,0
B.
xy
xy
02,002,04,0
01,002,01,0
C.
y
yx
01,02,0
02,002,0
D.
xy
xy
01,02,001,0
02,002,04,0
13. Nilai eigen J di titik kritis pertama adalah
A. -0,4 dan 0,2
B. -0,01 dan 0,02
C. -0,2 dan 0,4
D. -0,02 dan 0,01
14. Nilai eigen J di titik kritis kedua adalah
A. - 22,0 i dan 22,0 i
B. - )8,0(i dan )8,0(i
C. - 24,0 i dan 24,0 i
D. - i2,0 dan i2,0
15. Persamaan trayektori dari sistem persamaan di atas adalah
A.
B.
C.
D.
16. Setelah dilakukan pencarian penyelesaian dari model matematis masalah,
diperoleh bahwa bentuk kurva pertumbuhan x(t) dan y(t) masing-masing adalah
A. x(t) dan y(t) keduanya berbentuk dasar eksponensial tak terbatas
B. x(t) dan y(t) keduanya berbentuk dasar eksponensial terbatas
C. x(t) dan y(t) keduanya berbentuk dasar sinusoidal
D. x(t) berbentuk dasar eksponensial terbatas dan y(t) berbentuk dasar eksponensial
terbatas.
17. Jika pada awal pertumbuhannya :
Ke
xyxy
01,002,0
2,04,0
Ke
xyxy
2,04,0
1,02,0
Ke
yxxy
01,002,0
4,0)(
Ke
yxxy
2,04,0
2,0)(
20
x(t) menurun dan y(t) naik maka susunan setiap kuadran adalah
A. B.
C. D.
18. Jika pada awal pertumbuhannya :
x(t) dan y(t) keduanya menurun maka susunan setiap kuadran adalah
A. B.
C. D.
19. Jika pada awal pertumbuhannya :
x(t) naik, y(t) menurun maka susunan setiap kuadran adalah
21
A. B.
C. D.
20. Jika pada awal pertumbuhannya :
x(t) dan y(t) keduanya naik maka susunan setiap kuadran adalah
A. B.
C. D.