bab i matrik dan vektor

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK

(Dosen Pengampu: Dr. Rijal Abdullah, MT.)

Dalam bagian ini akan dijelaskan bagaimana kita dapat menyelesaikan atau

memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan metoda matrik.

Diharapkan mahasiswa mampu menyelesaikan atau memecahkan soal-soal

sistem persamaan linier (SPL) dengan metoda matrik tersebut.

Semesta pembicaraan tentang persamaan linier dan matrik meliputi sistem

persamaan linier, matrik, eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan, operasi hitung

matrik, matrik transpos dan matrik invers, determinan, serta ekspansi kofaktor dan

aturan Cramer.

A. Sistem Persamaan Linear

Dalam ilmu matematika kita mengenal berbagai jenis persamaan. Bentuk

persamaan:

Y = 2 X3 + 4 X2 + 2 X -- Y = f (X)

disebut dengan persamaan pangkat tiga. Pemecahannya dapat menggunakan limit

atau differensial. Sedangkan bentuk persamaan X2 - 4X + 4 = 0 disebut dengan

persamaan kuadrat. Pemecahannya dapat menggunakan pemfaktoran atau

dengan rumus ABC.

Secara aljabar, sebuah garis yang berada pada bidang xy dapat dinyatakan

dalam bentuk

a1x + a2y = b

Persamaan seperti ini dinamakan persamaan linier dengan variabel

(peubah) x dan y.

Selanjutnya secara umum didefinisikan persamaan linier dalam n variabel,

(x1, x2, .......xn ) seperti a1x1 + a2x2 + ...........+anxn = b dimana a1, a2 .......an dan b

adalah konstanta-konstanta ril

Contoh 1

Beberapa persamaan linier:

x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

y = ½ x + 3z + 1 x1 + x2 + ........+ xn = 1

Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 1

Dapat kita lihat bahwa persamaan linier tidak melibatkan hasil kali atau

akar variable, tidak juga melibatkan variabel fungsi trigonometrik, fungsi

logaritma, atau fungsi eksponensial.

Beberapa persamaan berikut bukanlah persamaan linier

X + 3y2 = 9 3x – 2y + z + xy = 8

X + sin x = 0 √x1 + 2x2 + x3 = 7

Bentuk persamaan-persamaan berikut:

2X + 3Y + 7Z = 48

3X - Y + 5 Z = 28

3X + 2Y + 5Z = 37

disebut dengan sistem persamaan linear simultan. Penyelesaian persamaan

jenis ini dapat dilakukan dengan metode substitusi, matriks, eliminasi, invers,

dan determinan. Setiap metode itu akan memberikan hasil yang sama untuk

setiap variabel. Pada bab ini pembahasan difokuskan pada penyelesaian

persamaan simultan dengan metode matriks dan determinan

B. Matrik

Matrik adalah sederetan bilangan berbentuk segi empat yang dibatasi oleh

sepasang kurung, yang biasanya merupakan ungkapan koefisien dari satu atau

beberapa persamaan linear atau sistem persamaan linier (SPL). Matrik

diungkapkan dengan huruf kapital, seperti [A].

Sistem Persamaan Linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matrik

sebagai berikut:

2 3 7 X 48

3 -1 5 Y = 28

3 2 5 Z 37

[ A ] [ V ] [ H ]

[A] adalah matrik koefisien variable atau disebut juga matrik yang diperbesar

dari variable peubah SPL, [V] adalah matrik variable dan [H] matrik hasil SPL.

Angka-angka yang ada dalam matrik tersebut dinamakan entri atau elemen.

Ukuran suatu matrik selalu diucapkan dalam bentuk m x n, dimana m

adalah jumlah baris dan n adalah banyaknya kolom. Jika m = n maka berarti

matrik itu adalah matrik bujur sangkar (n x n).


Matrik digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan penerapan operasi

baris elementer (OBE) atau eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan. Tetapi

jika SPL yang ada hanya terdiri dari dua baris persamaan linier, maka pemecahan

yang paling sederhana adalah dengan eliminasi dan subtitusi.

Contoh 2.

Tentukan pemecahan dari SPL berikut.

2X + 3Y = 13

3X - Y = 3

Untuk eliminasi sederhana ini, dilakukan dengan mengalikan salah satu

persamaan dengan suatu angka tertentu, sehingga salah satu variabelnya dapat

saling menghilangkan dan selanjutnya dilakukan subtitusi secara bergantian.

Untuk jelasnya perhatikan sebagai berikut.

2X + 3Y = 13 x 3 6X + 9Y = 39

3X - Y = 3 x 2 6X – 2Y = 6 (-)

11Y= 33

Berarti Y = 3

Dengan mensubtitusikan nilai Y = 3 ke sembarang persamaan di atas,

misalnya:

2X + 3Y = 13 2X + 3 . 3 = 13 2X = 4 atau didapat harga X = 2.

C. Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah OBE untuk mendapatkan suatu matrik eselon

terreduksi (MER), dimana elemen-elemen diagonal dari kiri atas ke kanan bawah

bernilai 1 (satu) dan pivot bawah (elemen segitiga bawah) bernilai 0 (nol).

Setelah didapatkan MER tersebut dilakukan penyulihan dari belakang.

Contoh 3

Tentukanlah harga X1, X2, dan X3 dari SPL berikut dengan cara eliminasi

Gauss!

X1 + X2 + 2X3 = 9

2X1 + 4X2 - 3X3 = 1

3X1 + 6X2 - 5X3 = 0


Penyelesaian:

1. Buat matrik lengkap dari SPL tersebut.

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

2. Lakukan OBE untuk mendapatkan MER.

1 1 2 9 s.ulang b1 1 1 2 9 s.ulang b1

2 4 -3 1 b2 – 2b1 0 2 -7 -17 b2 x

3 6 -5 0 b3 – 3b1 0 3 -11 -27 s.ulang b3

1 1 2 9 s.ulang b1 1 1 2 9 s.ulang b1

0 1 -7/2 -17/2 s.ulang b2 0 1 -7/2 -17/2 s.ulang b2

0 3 -11 -27 b3-3b2 0 0 -1/2 -3/2 b3 x (-2)

1 1 2 9 (*)

0 1 -7/2 -17/2

0 0 1 3

Dari keadaan (matrik*) di atas sudah dapat ditentukan harga masing-

masing variable (anu), yang mana pada keadaan ini dilakukan penyulihan dari

belakang.

Dari baris ketiga didapatkan harga X3 = 3. Dari baris kedua dapat dibuat

persamaan: X2 – 7/2 X3 = -17/2, dengan memasukkan harga X3 = 3 diperoleh

harga X2 = 2.

Dari baris kesatu dibuat persamaan: X1 + X2 + 2X3 = 9, dengan

memasukkan harga X2 = 2 dan harga X3 = 3 didapatkan harga X1 = 1.

Jadi hasil eliminasi Gauss menunjukkan bahwa harga X1 = 1, harga, X2

= 2, dan harga X3 = 3.

D. Eliminasi Gauss Jordan

Jika terhadap matrik* di atas dilakukan lagi operasi baris elementer (OBE),

sehingga didapat MER dengan bentuk entri diagonal kiri atas ke kanan bawah

bernilai 1 (satu) dan pivot atas bernilai 0 (nol), maka metoda ini dinamakan


eliminasi Gauss Jordan. Pemecahan SPL sudah langsung dapat diperoleh dari

MER tersebut.

Contoh 4

1 1 2 9 b1-2b3 1 1 0 3 b1-b2

0 1 -7/2 -17/2 b2 +7/2b3 0 1 0 2 s.ulang b2

0 0 1 3 s.ulang b3 0 0 1 3 s.ulang b3

1 0 0 1 (**)

0 1 0 2

0 0 1 3

Dari keadaan (matrik**) di atas langsung dapat diperoleh nilai variable:

X1 = 1, X2 = 2, dan X3 = 3.

Soal-soal:

1. Pecahkanlah sistem persamaan linier (SPL) berikut dengan metoda

Eliminasi Gauss!

a. - X – 2Y + 3Z = 1 b. X1 + 2X2 + 3X3 = 5

X + Y + 2Z = 8 2X1 + 5X2 + 3X3 = 3

3X - 7Y + 2Z = 6 X1 + 8X3 = 17

c. P + Q + 2R = 8 3P – 7Q + 2R = 6 P – 2Q + 3R = 7 2. Pecahkan sistem persamaan linier (SPL) pada soal 1 di atas dengan

metoda eliminasi Gauss Jordan!

E. Operasi Hitung Matrik

1. Macam-macam matrik

a. Matrik Sama, A = B jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dan

pangkatnya sama. Atau dengan kata lain jika matrik yang satu merupakan

duplikat dari matrik yang lainnya.

Contoh 5


1 2 3 1 2 3

A = 2 4 6 B = 2 4 6

3 4 7 3 4 7

dikatakan bahwa A = B.

b. Matrik Nol adalah matrik yang semua entrinya nol.

c. Matrik Satuan = Matrik Identitas = Matrik I, jika entri-entri diagonal kiri

atas ke kanan bawah bernilai 1 (satu) dan entri lain bernilai 0.

Contoh 6

1 0 0 Pivot atas

1 0 0 1 0 Diagonal

0 1 0 0 1

Pivot bawah

Catatan:

Perkalian sembarang matrik dengan matrik I dalam pangkat yang sama

adalah = perkalian dengan angka 1 atau menghasilkan matrik itu juga.

d. Matrik Skalar, adalah matrik yang pivot atas dan bawahnya = 0 tetapi

diagonalnya ≠ 1

Contoh 7

2 0 0

Matrik B = 0 3 0 adalah matrik skalar.

0 0 4

2. Operasi-operasi hitung dalam matrik

Operasi hitung yang dapat diterapkan dalam matrik adalah

pertambahan, perkurangan, dan perkalian.

a. Pertambahan dan Perkurangan

Jika A = [aij], B = [bij] adalah matrik m x n, maka jumlah A dan B

atau A + B = jumlah elemen-elemen yang seletak.

Contoh 8


1 2 3 2 3 0

A = 0 2 4 B = -1 2 5

3 5 3

A + B = -1 4 9

Catatan:

Dua matrik yang pangkatnya atau ukurannya berbeda tidak dapat

dijumlahkan atau dikurangkan.

Kaedah penjumlahan berlaku pula bagi pengurangan, dimana A – B

akan sama dengan A + (-B).

1 2 3 2 3 0

Contoh 9 A = 0 2 4 B = -1 2 5

-1 -1 3

A - B = 1 0 -1

Jika k (skalar) dikalikan dengan A, maka hasil kalinya adalah suatu

matrik dimana setiap elemennya dikalikan dengan k.

Contoh 10

k = 3

-1 -2 -1 -2 -3 -6 A = 2 3 k.A = 3.A = 3 2 3 = 6 9

Nilainya juga akan sama dengan A + A + A.

Jika A, B, dan C bersesuaian, maka berlaku hukum:

1) Komutatif A + B = B + A

2) Assosiatif A + (B + C) = (A + B) + C

3) Perkalian skalar k (A + B) = k A + k B = (A + B) k

Soal-soal


1. Jika diketahui matrik

1 2 -1 0 3 -4 1 2 A = 4 0 2 1 B = 1 5 0 3 2 -5 1 2 2 -2 3 -1

Tentukan:

a. A + B b. A – B c. Jika k = -2 hitung kB d. Buktikan hukum komutatif 1 4 -2 3 e. Buktikan hukum assosiatif jika C = 4 0 2 2 4 6 3 3

b. Perkalian matrik

Operasinya: Jumlah (Baris x Kolom)

1 Contoh 11 2 3 4 -1 = 7 2 1x3 3x1 = 1x1

Contoh 12 2 3 4 2 5 5 6 7 -5 = 8 4

2x3 3x1 = 2x1

Pola dasar perkalian matrik adalah sebagai berikut:

a11 a12 a13 b11 b12 b13

A = a21 a22 a23 B = b21 b22 b23

a31 a32 a33 b31 b32 b33

a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13 b33

AB = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 a21b13 + a22b23 + a23 b33

a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32 a31b13 + a32b23 + a33 b33

Dari contoh 11 dan 12 di atas dapat terlihat bahwa dua matrik yang dapat

diperkalikan adalah jika jumlah kolom matrik yang dikalikan sama dengan

jumlah baris matrik pengali dan tidak harus jumlah baris matrik yang dikali sama

dengan jumlah kolom matrik pengali. Secara lebih tegas dikatakan bahwa A x B


terdefinisi bila banyak kolom A = banyak baris B, tetapi B tidak perlu

bersesuaian dengan A.

c. Hukum perkalian

1. Distributif 1 -- A ( B + C ) = AB + AC

2. Distributif 2 -- ( A + B ) C = AC + BC

3. Assosiatif -- A ( BC ) = ( AB ) C

Tetapi AB BA (secara umum)

AB = 0 tidak perlu A = 0 atau B = 0

AB = AC tidak perlu B = C

IA = AI = IAI = A (perkalian dengan matrik I).

4. Jika AB = BA, maka dikatakan bahwa A dan B saling bertukaran

atau komutatif.

a b c d Contoh 13 A = b a B = d c , disini AB = BA (buktikanlah!)

Soal-soal

Hitung perkalian matrik berikut!

1 2 1. 1 2 1 4 7 6 3

1 2 1 3 -4 2 4 0 2 1 5 -2 2

2 4 7 4 6 9 3. 3 5 8 3 5 8 4 6 9 2 4 7

4. Hitung AB dan BC dan buktikan hukum distributif 1 dan 2 serta hukum assosiatif dari matrik berikut. Apakah AB = BA ? 1 2 3 4 3 2 1 6 3

A = 4 0 3 B = 1 7 2 C = 7 3 3 2 1 4 4 3 6 4 4 3

5. Pecahkanlah persamaan matrik berikut untuk a, b, c, dan d

a - b b + c 8 1 3d + c 2a – 4d = 7 6


F. Matrik Transpose

Matrik transpose (lambangnya AT) adalah suatu matrik yang diperoleh dari

pertukaran baris dengan kolomnya.

Contoh 14

1 2 3 1 4 2 A = 4 0 3 AT = 2 0 1 2 1 4 3 3 4

Sifat-sifat Transpose: 1. ( AT )T = A 2. ( k A )T = k AT

3. ( A + B )T = AT + BT

4. ( AB )T = BT AT

Pembuktian dari sifat-sifat matrik transpos di atas diharapkan sebagai

tugas latihan saudara, yakni: Tentukan dua matrik sembarangan dan satu skalar,

lalu uji keempat sifat transpose di atas!.

G. Matrik Invers

Jika A dan B masing-masing adalah matrik bujur sangkar

sedemikian rupa, sehingga AB = BA = I, maka B disebut balikan

A dan A balikan B (ditulis B = A-1 atau A = B-1).

Contoh 15:

1 2 3 6 -2 -3 A = 1 3 3 B = -1 1 0 1 2 4 -1 0 1

1 0 0 AB = BA = I = 0 1 0 0 0 1

Sifat Invers: A.A-1 = I A-1.A = I

A-n = A-1. A-1. A-1…… A-1 (Factor n).

1. Invers matrik 2 x 2

a b 1 d -b A = c d A-1 = ad – bc -c a

Catatan: ad – bc dinamakan determinan.

Contoh 16

1 2


A = 3 4 determinan A = | A | = 1.4 – 3.2 = -2

4 -2 -2 1

A-1 = 1/-2 -3 1 = 3/2 -1/2

2. Invers matrik 3 x 3

Matrik invers dari suatu matrik yang diberikan dapat ditentukan

dengan jalan menggandengkan matrik yang akan dicari inversnya dengan

matrik I dalam ukuran yang sama, lalu lakukan OBE, sehingga didapatkan

matrik I berada di sebelah kiri. Matrik yang berada di sebelah kanan

otomatis sebagai matrik invers dari matrik tersebut.

Contoh 17

Carilah invers dari

1 2 3 A = 2 5 3 1 0 8 Penyelesaian:

1 2 3 1 0 0 t.ulang b1 1 2 3 1 0 0 t.ulang b1

2 5 3 0 1 0 b2-2b1 0 1 -3 -2 1 0 t.ulang b2

1 0 8 0 0 1 b3-b1 0 -2 5 -1 0 1 b3+2b2

1 2 3 1 0 0 t.ulang b1 1 2 3 1 0 0 b1-3b3 0 1 -3 -2 1 0 t.ulang b2 0 1 -3 -2 1 0 b2-3b3 0 0 -1 -5 2 1 b3x (-1) 0 0 1 5 -2 -1 t.ulang b3

1 2 0 -14 6 3 b1–2b2 1 0 0 -40 16 9 (***) 0 1 0 13 -5 -3 t.ulang b2 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1 t.ulang b3 0 0 1 5 -2 -1

Dari matrik (***) di atas terlihat bahwa invers dari A atau

-40 16 9

A-1 = 13 -5 -3 5 2 -1

Catatan:

Jika dalam OBE didapatkan baris yang bernilai 0 0 0, maka tidak ada

invers.

Contoh 18


1 6 4 A = 2 4 -1 Tentukanlah A-1

-1 2 5

1. Pemakaian Invers untuk Memecahkan SPL

Jika A adalah matrik n x n dapat dibalik, maka untuk setiap matrik B

dengan n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai satu pemecahan, yakni

X = A-1 . B.

Contoh 19

Pecahkan SPL berikut dengan menerapkan rumus:

X = A-1 . B X1 + 2X2 + 3X3 = 5 2X1 + 5X2 + 3X3 = 3 X1 + 8X3 = 17

Penyelesaian:

1 2 3 X1 5 A = 2 5 3 X = X2 B = 3 1 0 8 X3 17

Karena matrik A = matrik yang terdapat pada contoh 17 di atas, maka berarti:

-40 16 9 A-1 = 13 -5 -3 5 -2 -1

-40 16 9 5 1

Rumus: X = A-1 x B = 13 -5 -3 3 = -1

5 -2 -1 17 2

Jadi diperoleh: X1 = 1 X2 = -1 X3 = 2

Rumus: X = A-1 x B dapat dilakukan untuk sederet SPL yang mempunyai A

sebagai matrik koefisiennya.

Soal-soal

Pecahkan SPL-SPL berikut dengan penerapan rumus: X = A-1 x B

a. X1 + 2X2 + 3X3 = 4 b. X1 + 2X2 + 3X3 = 1 2X1 + 5X2 + 3X3 = 5 2X1 + 5X2 + 3X3 = 6 X1 + 8X3 = 9 X1 + 8X3 = -6


c. X + Y + 2Z = 9 d. P + 2Q + 2R = -1 2X + 4Y - 3Z = 1 P + 3Q + R = 4 3X + 6Y - 5Z = 0 P + 3Q + 2R = 3

H. Determinan Matrik

Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu

matrik. Determinan A ditulis det (A) atau |A|

Penentuan determinan suatu matrik dapat dilakukan dengan cara Sarrus dan

Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris atau Kolom.

1. Cara Sarrus

Untuk Matrik 2 x 2

a11 a12

a21 a22

Determinan matrik 2 x 2 di atas adalah (a11.a22) – (a21.a12)

Untuk Matrik 3 x 3

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Determinan matrik 3 x 3 di atas adalah:

(a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32) – (a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)

Contoh 20. Hitunglah determinan matrik berikut!

1 2 3

A = 3 1 B = -4 5 6

4 -2 7 -8 9

Penyelesaian:

3 1 1 2 3 1 2

4 -2 B = -4 5 6 -4 5

7 -8 9 7 -8


|A| = {3 . (-2)} – {4 . 1} = - 6 – 4 = -10

|B| = {1 . 5 . 9 + 2 . 6 . 7+ 3 . (-4) . –8} – {3 . 5 . 7 + 1 . 6 .(-8) + 2 . (-4) . 9}

|B| = {45 + 84 + 96} – {105 – 48 – 72}

|B| = 225 + 15

|B| = 240.

2. Cara Ekspansi Baris atau Kolom

Ekspansi baris dalam menentukan determinan adalah menjumlahkan

hasil kali elemen baris atau kolom yang dipilih dengan masing-masing

minornya (elemen yang tidak termasuk dalam baris dan kolomnya).

Dalam penerapan cara ekspansi baris atau kolom ini harus diperhatikan

tanda posisi elemen tersebut. Dalam perjanjian tanda yang ada secara

internasional posisi tanda elemen tersebut adalah sebagai berikut:

+ - + - + - + - +

Contoh 21.

Tentukanlah determinan matrik berikut!

1 2 3 -4 5 6 7 -8 9

Penyelesaian: Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris pertama,

5 6 -4 6 -4 5 |B| = 1 -8 9 - 2 7 9 + 3 7 -8

|B| = 1 {5.9-(-8).6} - 2{(-4).9-7.6} + 3{(-4).(-8)-7.5}|B| = 1 { 45 + 48 } – 2{ -36 – 42 } + 3 { 32 –35 }|B| = 1 . 93 – 2 . (-78) + 3 . (-3) |B| = 93 + 156 – 9|B| = 249 – 9|B| = 240 (cocokkan dengan cara Sarrus)

Jika ekspansi dilakukan dengan mengambil kolom pertama, hasilnya adalah:


5 6 2 3 2 3

|B| = 1 -8 9 - (-4) -8 9 + 7 5 6

|B| = 1 {5.9-(-8).6} + 4{2.9-(-8).3} + 7{2.6-5.3}|B| = 1 { 45 + 48 } + 4 { 18 + 24} + 7 {12 – 15}|B| = 1 . 93 + 4 . 42 + 7 . (-3) |B| = 93 + 168 – 21|B| = 261 – 21

|B| = 240 (cocok dengan cara ekspansi sepanjang baris pertama)

Demikian selanjutnya bahwa untuk mencari determinan dapat

dilakukan ekspansi sepanjang kolom atau baris mana saja dan akan

memberikan hasil yang sama. Buktikan sendiri!

3. Sifat-sifat Determinan

Jika A adalah sembarang matrik kuadrat, determinan A = determinan

AT. Karena hasil ini, maka hampir setiap determinan yang mengandung

perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila kata kolom

disubtitusikan untuk baris. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita

hanya perlu mentranspos (memindahkan) matrik yang ditinjau.

Contoh 22.

Buktikan det A = det AT

1 2 3

A = 4 5 6

7 8 9

Jawab:

1 4 7 AT = 2 5 8 3 6 9

Det A = 1 (45 - 48) – 2 (36 - 42) + 3 (32 - 35) Det A = - 3 + 12 – 9Det A = 0

Det AT = 1 (45 – 48) – 4 (18 – 24) + 7 (12 – 15)Det AT = - 3 + 24 – 21Det AT = 0 (Terbukti).


Determinan dapat dihitung dengan menggunakan OBE untuk

mereduksi A pada eselon baris. Sebaliknya kita dapat menaruh A pada

bentuk pivot bawah dalam beberapa langkah reduksi.

Contoh 23

Tentukan determinan matrik A berikut dengan reduksi.

1 0 0 3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 -5

Jawab: Dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat,

kita dapatkan matrik:

1 0 0 0 2 7 0 0 0 6 3 0 7 3 1 -26

Selanjutnya nilai determinannya adalah perkalian angka-angka yang terdapat

sepanjang diagonal utama, yakni:

Det A = (1) (7) (3) (-26) = -546.

Contoh 23 di atas memperlihatkan bahwa adalah merupakan hal yang paling

tepat untuk selalu jeli memperhatikan operasi kolom dimana memungkinkan

guna meringkas perhitungan.

Jika A adalah matrik n x n dan k adalah skalar, maka det (kA) = kn det A.

Untuk membuktikan hal ini perhatikan contoh berikut.

Contoh 24

Hitunglah determinan matrik 5A, jika:

3 1 A = 2 2

Jawab: kA = 5 3 1 = 15 5 2 2 10 10


Det A = 6 – 2 = 4 Det kA = kn det A 150 – 50 = 52 . 4 100 = 100 (terbukti)

Jika A, A’, dan A” adalah matrik n x n yang hanya berbeda dalam

baris tunggal, misalnya baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A”

dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam

baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A”, Maka det (A”) = det (A) + det

(A’)

Contoh 25

Hitunglah det (A”), jika

1 7 5 A” = 2 0 3 1+0 4+1 7+(-1)

Jawab: det (A”) = det (A) + det (A’)

1 7 5 1 7 5 1 7 5 det 2 0 3 = det 2 0 3 + det 2 0 3 1+0 4+1 7+(-1) 1 4 7 0 1 -1

1 7 5 1 7 5 1 7 5 det 2 0 3 = det 2 0 3 + det 2 0 3 1 5 6 1 4 7 0 1 -1

1(-15) – 7(9) + 5(10) = 1(-12) – 7(11) + 5(8) + 1(-3) – 7(-2) + 5(2) -15 – 63 + 50 = -12 – 77 + 40 + -3 + 14 + 10 - 28 = - 49 + 21 - 28 = - 28 (terbukti).

Sebuah matrik yang mempunyai determinan = 0, tidak mempunyai invers.

Soal-soal

1. Tentukan |A|, |B|, dan |C| dari matrik berikut!

2 7 8 4 8 12 0 1 5 A = 3 2 4 B = 0 1 4 C = 3 -6 9 2 7 8 1 2 1 2 6 1

2. Buktikan bahwa det (AB) = det (A) det (B) bila:


2 1 0 1 -1 3 A = 3 4 0 B = 7 1 2 0 0 2 5 0 1

3. Buktikanlah bahwa det (A) = det (AT) untuk

1 2 7 1 -1 3 A = -1 0 6 B = 7 1 2 3 2 8 5 0 1

I. Ekspansi Kofaktor

Jika A adalah suatu matrik kuadrat, maka minor entri aij didefinisikan

menjadi determinan submatrik yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j

dicoret dari A.

Bilangan (-1) I+j .Mij dinyatakan dengan Cij dan dinamakan kofaktor

entri aij.

Contoh 26

3 1 -4 A = 2 5 6 1 4 8

Minor entri a11 adalah M11 = 5 6 = 16

4 8

Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1.M11 = M11 = 16

3 -4

Demikian juga minor entri a32 = 2 6 = 26

Kofaktor a32 adalah C32 = = (-1)3+2.M32 = -M11 = -26

Definisi: Jika A adalah sembarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka

matrik :

C11 C12 …. C1n

C21 C22 …. C2n

Cn1 Cn2 …. Cnn

dinamakan matrik kofaktor A. Transpos matrik ini dinamakan

adjoin A dinyatakan dengan adj(A).


Contoh 27

3 2 -1

A = 1 6 3

2 -4 0

Kofaktor A adalah: C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16

C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

Sehingga matrik kofaktornya adalah:

12 6 -16 12 4 12

4 2 16 dan Adj (A) = 6 2 -10

12 -10 16 -16 16 16

Selanjutnya matrik Adj(A) dapat kita gunakan untuk menentukan invers A

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik maka A-1 = 1/|A| x Adj(A)

Contoh 28

3 2 -1

Tentukanlah A-1 dari A = 1 6 3

2 -4 0

Jawab: |A| = 3 (12) – 2 (-6) –1 (-16) = 36 + 12 + 16 = 64

12 4 12

A-1 = 1/|A| x Adj(A) = 1/64 6 2 -10

-16 16 16

12/64 4/64 12/64

A-1 = 6/64 2/64 -10/64

-16/64 16/64 16/64


J. Aturan Cramer

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n

bilangan tak diketahui, sehingga det A 0, maka sistem tersebut mempunyai

pemecahan yang unik sebagai berikut:

X1 = |A1|/|A|, X2 = |A2|/|A|, Xn = |An|/|A| dimana A1, A2, ..An adalah matrik

yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri kolomnya dengan entri hasil

sistem persamaan linearnya.

Contoh 29. Pecahkanlah SPL berikut dengan Aturan Cramer!

X1 + + 2X3 = 6

-3X1 + 4X2 + 6X3 = 30

- X1 – 2X2 + 3X3 = 8

1 0 2

Penyelesaian: A = -3 4 6 |A| = 44

-1 -2 3

6 0 2

A1= 30 4 6 |A1| = -40

8 -2 3

1 6 2

A2 = -3 30 6 |A2| = 72

-1 8 3

1 0 6

A3 = -3 4 30 |A3| = 152

-1 -2 8

Maka dengan demikian diperoleh:

X1 = -40/44 = - 10/11

X2 = 72/44 = 18/11

X3 = 152/44 = 38/11


Soal - soal

1. Dengan menerapkan Adjoin matrik tentukanlah invers dari matrik berikut:

0 1 2 1 0 1

A = 2 4 3 B = -1 3 0

3 7 6 1 0 2

2. Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer

a. 4X + 5Y = 2 b. P - 3Q + R = 4

11X + Y + 2Z = 3 2P – Q =-2

X + 5Y + 2Z = 1 4P - 3R = 0

c. 2A – B + C = 8 d. 2X1 – X2 + X3 – 4X4 = -32

4A + 3B + C = 7 7X1 + 2X2 + 9X3 – X4 = 14

6A + 2B + 2C = 15 3X1 – X2 + X3 + X4 = 11

X1 + X2 – 4X3 – 2X4 = -4

Soal-soal Rangkuman

1. Carilah matrik diperbesar dari SPL berikut.

a. X – 2Y = 0 b. X1 + X3 = 1

3X + 4Y = -1 -X1 + 2X2 - X3 = 3

2X - Y = 3

c. A + C = 1 d. X1 = 1

2B - C + E = 2 X2 = 2

2C + D = 3

2. Carilah persamaan linier atau sistem persamaan linier yang bersesuaian dengan

masing-masing matrik diperbesar berikut.

1 0 0 1 0 0

a. 0 1 0 b. 0 1 0

0 -1 2 1 -1 1

1 2 3 4 5 1 0 0 0 1

c. 5 4 3 2 1 d. 0 1 0 0 2

0 0 1 0 3

0 0 0 1 4


3. Pecahkanlah SPL berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

a. X1 + 3X2 - 2X3 + 2X5 = 0

2X1 + 6X2 - 5X3 - 2X4 + 4X5 - 3X6 = -1

5X3 + 10X4 + 15X6 = 5

2X1 + 6X2 + 8X4 + 4X5 + 18X6 = 6

b. - X – 2Y + 3Z = 1 c. X1 + 2X2 + 3X3 = 5

2X + 2Y + 4Z = 16 2X1 + 5X2 + 3X3 = 3

3X - 7Y + 2Z = 6 X1 + 8X3 = 17

4. Carilah invers dari matrik-matrik berikut:

a. 3 4 -1 b. 3 1 5 c. 1 0 1

1 0 3 2 4 1 0 1 1

2 5 -4 -4 2 -9 1 1 0

d. 2 6 6 e. 1 0 1 f. 1/5 1/5 1/5

2 7 6 -1 1 1 1/5 1/5 -4/5

2 7 7 0 1 0 -2/5 2/10 1/10

5. Dengan menggunakan rumus X = A-1 B pecahkan SPL berikut.

a. X1 + 2X2 = 7 b. 3X1 - 6X2 = 8

2X1 + 5X2 = -3 2X1 + 5X2 = 1

c. X1 + 2X2 + 2X3 = -1 d. 2X1 + X2 + X3 = 7

X1 + 3X2 + X3 = 4 3X1 + 2X2 + X3 = -3

X1 + 3X2 + 2X3 = 3 X2 + X3 = 5

6. Gunakan aturan Cramer untuk penyelesaian SPL berikut.

a. X1 + 2X2 = 7 b. 3X1 - 6X2 = 8

2X1 + 5X2 = -3 2X1 + 5X2 = 1

c. X1 + 2X2 + 2X3 = -1 d. 2X1 + X2 + X3 = 7

X1 + 3X2 + X3 = 4 3X1 + 2X2 + X3 = -3

X1 + 3X2 + 2X3 = 3 X2 + X3 = 5

f. 4X + Y + Z + W = 6

3X + 7Y - Z + W = 1

7X + 3Y - 5Z + 8W = -3

X + Y + Z + 2W = 3

REFERENSI


1. Anton. Howard. By. Pantur Silaban. Aljabar Linear Elementer. Edisi

Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta. 1995.

2. Kreyszig. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi VI. Penerbit PT. Gramedia

Pustaka Utama. Jakarta. 1993.


bab i matrik dan vektor

Documents