invers matrik

22
INVERS MATRIK TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012 BY NURUL SAILA

Upload: alda

Post on 24-Feb-2016

172 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

INVERS MATRIK. TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012. Sub Pokok Bahasan :. Invers Matrik Menentukan Invers Matrik dengan definisi Menentukan invers matrik dengan kofaktor Menentukan invers matrik dengan OBE Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dg perkalian matrik. “ Invers Matrik ”. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: INVERS MATRIK

INVERS MATRIK

TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012

BY NURUL SAILA

Page 2: INVERS MATRIK

BY NURUL SAILA

1. Invers Matrik2. Menentukan Invers Matrik dengan definisi3. Menentukan invers matrik dengan

kofaktor4. Menentukan invers matrik dengan OBE5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

dg perkalian matrik

Sub Pokok Bahasan:

Page 3: INVERS MATRIK

Definisi:Jika A adalah sebarang matriks kuadrat dan jika dapat dicari sebuah matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A (B = A-1).

Contoh:

A adalah invers dari B karena AB = I dan BA = I.

“Invers Matrik”

A = ቂ3 51 2ቃ dan B = ቂ2 −5−1 3 ቃ

Page 4: INVERS MATRIK

Teorema:1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers

dari matriks A maka B = C.

2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama maka:

AB dapat dibalik (AB)-1 = B-1 A-1

Buktikan!

Page 5: INVERS MATRIK

Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat dan n adalah

sebuah bilangan bulat positif maka kita mendefinisikan:A0 = I

Jika A dapat dibalik maka kita mendefinisikan:

An = 𝐴.𝐴.𝐴.𝐴…𝐴ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

A-n = (A-1)n = 𝐴−1𝐴−1𝐴−1 ⋯𝐴−1ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Page 6: INVERS MATRIK

Teorema:3. Jika A adalah sebarang matriks yang dapat

dibalik maka:a. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = Ab. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n , untuk

n = 0, 1, 2, … c. Untuk setiap scalar k yang tak sama

dengan 0 maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 = 1/k A-1.

Page 7: INVERS MATRIK

BY NURUL SAILA

Definisi:Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij maka matriks:

Dinamakan matriks kofaktor dari A.

Transposisi matriks ini dinamakan adjoint dari A dan dinyatakan dengan adj (A).

“Menentukan Invers Matrik dg Kofaktor”

𝐶11 𝐶12𝐶21 𝐶22 ⋯ 𝐶1𝑛⋯ 𝐶2𝑛⋮ ⋮𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 ⋮⋯ 𝐶𝑛𝑛൪

Page 8: INVERS MATRIK

BY NURUL SAILA

Teorema:Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik maka:

Contoh:Tentukan A-1 menggunakan kofaktor, jika:

A-1 = 1detሺ𝐴ሻ𝑎𝑑𝑗(𝐴)

A = 3 1 −42 5 61 4 8 ൩

Page 9: INVERS MATRIK

OBEOperasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada baris suatu matriks, yaitu:

1. Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0.

2. Pertukarkan sebarang dua baris.3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd

baris yang lain.

“Menentukan Invers Matrik dengan OBE”

Page 10: INVERS MATRIK

OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1) OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1 B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

Contoh:

𝐴= 1 2 3−2 3 13 −2 1−12−3൩

Page 11: INVERS MATRIK

Matrik Elementer (E)Definisi:Sebuah matrik nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan nxn yakni In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

Contoh:

ቂ1 00 −3ቃ

1 0 00 0 00 0 10100 1 0 0 1 0 30 1 00 0 1൩

Page 12: INVERS MATRIK

Teorema: Jika matriks elementer E dihasilkan dari

melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada Im dan jika A adalah matrik mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.

Contoh:

Page 13: INVERS MATRIK

Contoh:

EA = …B3+3B1 …

E = ൭1 0 00 1 03 0 1൱ dan A =൭

1 0 2 32 − 1 3 61 4 4 0൱

Page 14: INVERS MATRIK

Operasi Invers Jika sebuah OBE dikenakan pada sebuah matriks

satuan I untuk menghasilkan sebuah matriks elementer E maka ada OBE kedua yg apabila dikenakan pada E akan menghasilkan kembali I. OBE kedua ini disebut operasi invers.

OBE pd I Operasi InversKalikan baris ke i dengan c ≠ 0 Kalikan baris ke I dengan 1/cPertukarkan baris ke i dengan baris ke j

Pertukarkan baris ke j dengan baris ke i

Tambahkan c kali baris ke i ke baris ke j

Tambahkan –c kali baris ke I ke baris ke j

Page 15: INVERS MATRIK

Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks elementerBuktikan!

Teorema:

Page 16: INVERS MATRIK

Definisi:Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan serangkaian OBE maka A dpt diperoleh dari B dengan serangkaian OBE inversnya. B dikatakan ekuivalen baris dengan A dan sebaliknya.

Contoh:

Matrik-matrik yg Ekuivalen Baris

A = ൭1 0 2 32 − 1 3 61 4 4 0൱ , B = ൭

3 − 1 5 92 − 1 3 61 4 4 0൱

Page 17: INVERS MATRIK

Jika A adalah sebuah matrik nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semuanya benar dan semuanya palsu.

1. A dapat dibalik2. AX = 0 hanya mempunyai satu

pemecahan trivial3. A ekuivalen baris kepada In.Buktikan!

Teorema:

Page 18: INVERS MATRIK

“ Urutan operasi baris yang mereduksi matriks A menjadi In akan mereduksi In kepada A-1 “.

Contoh:

Tentukan A-1 dengan Operasi Baris Elementer.

A = 1 2 32 5 31 0 8൩

Page 19: INVERS MATRIK

Menyelesaikan system persamaan linier dengan ‘Perkalian Matrik’ adalah:

1. Mengubah system persamaan menjadi bentuk perkalian matriks

2. Menyelesaikan perkalian matriks dengan menentukan invers matriks koefisien system persamaan

“Menyelesaikan SPL dg Perkalian Matrik”

Page 20: INVERS MATRIK

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan perkalian matrik.

൝2𝑥− 3𝑦+ 𝑧= 16−4𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −633𝑥− 𝑦+ 5𝑧= 80

Page 21: INVERS MATRIK

BY NURUL SAILA

Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan perkalian matrik.

e. >>>

Tugas:

a. ൜𝑥+ 2𝑦= 72𝑥+ 5𝑦= −3 c. ൜

3𝑥− 6𝑦= 82𝑥+ 5𝑦= 1

b. ൝𝑥+ 2𝑦+ 2𝑧= −1𝑥+ 3𝑦+ 𝑧= 4𝑥+ 3𝑦+ 2𝑧= 3 d. ൝

2𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 73𝑥+ 2𝑦+ 𝑧= −3𝑦+ 𝑧= 5

Page 22: INVERS MATRIK

BY NURUL SAILA

e.

CCە۔����

ۓ������������������

15𝑥+ 15𝑦+ 15𝑧= 115𝑥+ 15𝑦− 45𝑧= 2−25𝑥+ 110 𝑦+ 110 𝑧= 0 f. ൞

3𝑤+ 𝑥+ 7𝑦+ 9𝑧= 4𝑤+ 𝑥+ 4𝑦+ 4𝑧= 7−𝑤− 2𝑦− 3𝑧= 0−2𝑤− 𝑥− 4𝑦− 6𝑧= 6