bab 4. integral lipat dua1

7/28/2019 BAB 4. Integral Lipat Dua1

1/18

63

4.1 PENDAHULUANPada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral

lipat dua dari fungsi dua peubah. Akan dibahas bentuk-bentuk integral lipat

dalam koordinat kartesius, koordinat, kutub, maupun dalam koordinat yang

lebih umum. Penerapan integral lipat diantaranya untuk menghitung

volume, pusat massa dan momen inersia.

Setelah mempelajari bab ini, saudara akan dapat:

- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kartesius,- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kutub,- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat yang lebih umum

melalui penggantian peubah.

4.2. INTEGRAL LIPAT ATAS DAERAH SEGIEMPATPada pembahasan turunan parsial, ketika menurunkan fungsif(x,y) terhadap

x maka y dianggap konstanta, dan sebaliknya. Hal demikian juga berlaku

untk integral. Misal diketahui fungsi dua variabel ( ) yxyxf 2, += . Fungsiini akan kita cari hasil integrasinya terhadap variabel x dan y , yaitu:

+ dxdyyx )2(

Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama

diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi

terhadap y .

Ketika kita mengintegral kan terhadap variabel x , maka kitamenganggap variabel lain sebagai konstanta. Begitu juga sebaliknya, bila

kita integralkan terlebih dahulu terhadap variabel y , maka variabel yang

lain dianggap sebagi konstanta.

Dengan demikian, untuk persoalan diatas, misalkan kita integralkan

terlebih dahulu terhadap x , maka


2/18

64

( ){ }dydxyxdxdyyx +=+ 2)2(

{ }dyydxxdx += 2

= + dyxyx }22

1{ 2

= dyyxdyx + 22

1 2

= 22

2

1xyyx +

= )2

1( yxxy + .

Berikutnya akan dibahas integral lipat atas daerah segiempat.

Misalkan ( ),z f x y= terdefinisi pada R, suatu daerah persegi panjang

tertutup, yaitu : R =[a,b] x [c,d] = {(x,y) : axb, cyd} di bidang

XY.

Tujuan kita adalah menentukan volume benda yang dibatasi oleh

( ),z f x y= di atas daerahR di bidang XY.

Volume ini nantinya akan dinyatakan sebagai integral lipat dua

( ),R

f x y dA . Untuk


3/18

65

memperolehnya, serupa dengan ketika kita mencari luas daerah yang

dibatasi olehy =f(x) di atas sumbu X.

Bentuk partisi [a,b] menjadi m bagian dan [c,d] menjadi n bagian.

Pilih ( ),ij ijx y

pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

Volume = ( ), .ij ijf x y A

Bentuk jumlah Riemann.


4/18

66

( )1 1

,m n

ij ij

i j

f x y dA

= =

Jika m,n (|P| 0) diperoleh integral lipat duafpadaR sebagailimit jumlah Riemann, yaitu

( ) ( ),

1 1

, lim , ,m n

ij ijm n

i jR

f x y dA f x y A

= =

=

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann padaR

Integrasi dari fungsi dengan dua peubah dinyatakan dengan

Grafik fungsi dengan dua peubah berupa luasan permukaan dalam dimensi

tiga dan integrasinya pada suatu daerahR adalah volume antara grafik

dengan daerah tersebut.

Sifat integral:

1.) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +

2.) Jika c konstanta, ( ) ( ), ,R R

c f x y dA c f x y dA=

R


5/18

67

3.) Jika ( ) ( ), ,f x y g x y untuk setiap ( ),x y di dalam ,R maka

( ) ( ), ,R R

f x y dA g x y dA

.

Jika ),( yxf = 1, maka nilai dari volume sama dengan luas daerahR.

{ }

xddyyxfdxdyyxf

dydxyxfdxdyyxf

dycbxayxR

x,yf

b

a

d

c

b

a

d

c

d

c

b

a

d

c

b

a

=

=

=

),(),(

),(),(

maka

,:),(

segiempatdaerahsuatupadakontinu)(Jika

+

2

1

1

1

2)23(

integralSelesaikan:4.1Contoh

dydxxyx

Penyelesaian .

Menggunakan denfinisi diperoleh:

[ ]

{ }

[ ]

14

)1(2)2(226

])1()1(3[])1()1(3[

3)23(

332

132

1

2

2

1

2222

2

1

1

122

2

1

1

1

2

=

===

++=

+=+

=

=

xdxx

dxxxxx

dxxyyxdydxxyxy

y


6/18

68

Gaudio Fubini ( 1879 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari

suatu fungsi kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang.

Selanjutnya teknik ini dikenal dengan Teorema Fubini.

Teorema Fubini pada daerah segiempat

Jikafkontinu pada daerah segi empat { },:),( dycbxayxR =

maka

Contoh 4.2:

Selesaikan R

dAyx )( , denganR=[0,1] x [0,2]

Penyelesiaan:

==

2

0

1

0

2

2

0

1

02

1)()( dyxyxdxdyyxdAyx

R

=

2

0

20).11.

21( dyy

=

2

0 2

1dyy

d

c

a b

x

y

==b

a

d

c

d

c

b

a

dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(R


7/18

69

= 12

1

2

12

0

2=

yy .

Atau

==

1

0

2

0

21

0

2

0 2

1)()( dxyxydydxyxdAyx

R

=

1

0

22.2

12. dxx

= ( ) 1

0

22 dxx

= [ ] 12 102 = xx .

Terlihat dengan urutan intergral berbeda diperoleh hasil yang sama.

Pada kasus ( ) ( ) ( ), ,f x y g x h y= maka ( ) ( ) ( )( )b d

a cR

g x h y dA g x dx h y dy= , dengan [ ] [ ], , .R a b c d=

Contoh 4.3 : Jika 0, 0, ,2 2

R

= tentukan sin cos

R

x y dA .

Penyelesaian:

Teorema Fubini untuk daerah sembarang

Ada dua tipe , seperti pada dua gambar berikut:


8/18

70

=b

a

y

yR

dydxyxfdAyxf2

1

),(),( =d

c

x

xR

dxdyyxfdAyxf2

1

),(),(

Contoh 4.4: Cari 1

0 2

30x

x

ydydx

Penyelesaian:

[ ]

[ ]2

3535

)1515(

1530

1

053

1

0

42

1

0

21

0

2

2

=

==

=

=

=

=

xx

dxxx

dxyydydxxy

xy

x

x

Contoh 4.5 : Hitung +R

y)dA(x 3 dimana

}1211){( 22 xyx,x|-x,yR +=

Type II

)(22 yhx =)(11 yhx =

d

c

x

yType I

)(11 xgy =

)(22 xgy =

a b x

y


9/18

71

Penyelesaian.

.--

)x-xxx-x(

dxx-xxx-xx

)dx)x-()x(()x-xx(

y)dydx(xy)dA(x

-

-

R-

x

x

22

11

2

3

1

1

2

1

2

3

4

1

2

1

42

33

2

32

212

321

33

5342

1

1

44233

1

1

222222

1

1

1

2

2

2

=+=++=

++++=

+++=

+=+

+

Contoh 4.6 : Tentukan R

dAyxf ),( jika:

{ }

(-2,1)and(3,1)(0,0),suduttitik-ikdengan titsegitiga;),((iii)

sindan0,,0olehdibatasiyangdaerah;),((ii)

20,2:),(;4),((i)

2

2

Rxyyxf

xyyxxRyyxf

yyxyyxRyxyxf

=

=====

==

Penyelesaian.

(i). DaerahR adalah sebagai berikut

x

y

2=y

0=y

yx 2=

2yx =


10/18

72

Maka diperoleh

[ ]

5

36

5

2

4

2

)26(

]})(2[]2)2(2{[

2)4()4(

2

0

543

2

0

432

2

0

32222

2

0

22

2

0

2

2

2

=

+=

+=

=

==

==

=

=

=

=

yyy

dyyyy

dyyyyy

dyxyxdxdyyxdAyx yx yx

y

y

yx

yxR

(ii) DaerahR adalah sebagai berikut:

Diperoleh

.42

2sin

4

1

)2cos1(4

1

2

sin

2

0

0

0

2

0

sin

0

2

0

sin

0

=

=

=

=

==

=

=

=

=

xx

dxx

dxx

dxy

dydxydAy

xx

x

xy

yR

x

y

xy sin=

0=y0=x

=x


11/18

73

(iii). DaerahR adalah

Maka

.2

1

22

5)49(

2

2

1

0

51

0

41

0

222

1

0

3

2

221

0

3

2

22

=

===

==

=

=

=

=

=

=

ydy

ydyyy

y

dyyx

dxdyxydAxy

yx

yx

y

y

yx

yxR

Catatan`:

Aturan integrasi:

Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung daribentuk D (daerah integrasi).

Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutanpengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan

pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkandaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi

dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

x

y

1

0=y

yx 2=

1=y

yx 3=

2 3


12/18

Cont

dan s

Peny

2(R

Atau

2(R

h 4.7 : Hi

umbuy.

lesaian:

)

1

1

1

=

=

=

=dAex

dibalik ur

)1

0

=

=

=

= dAex

tung

( )

(2

2

2

1

0

2

0

0

2

2

2

2

y

ey

ey

ey

y

y

yx

yx

tan integr

( )2

1

0

1

0

12

1

+

xee

xee

ye

dey

xx

xx

x

x

x

x

R

2 ,

11

)1

= e

dy

y

dyx

alnya:

(1

0= ee

x

dx

dxy

x

x dAe daerah y

.2= e

() + ee

ng dibata

)10 =+

si olehx =

.2e

74

y2, y =1,


13/18

75

LATIHAN 4.2 :

Untuk soal no. 1 5 , hitung R dAyxf ),( , jika:

1. }21,21:),{(;812),(32

== yxyxRxxyyxf

2. Rxyyxf ;2),( += daerah segiempat yang dibatasi oleh (-1,-1), (2,-1),

(2,4) dan (-1,4).

3. }1,21:),{(;),( 2 xyxxyxRyxyxf ==

4. }20,2:),{();4(),(2

== yyxyyxRyxyxf

5.2

),( xyyxf = ;R daerah segitiga yang dibatasi oleh (0,0), (3,1) and (-

2,1).

Untuk soal no. 6 9, sketsakan daerah integrasi R, kemudian tulis kembali

integral dengan menukar urutan integrasi

6. 1

0

24

2

),(x

dydxyxf 7. 1

0

),(

y

y

dxdyyxf

8. 1

0 1

),(

xe

dydxyxf 9.

1

0

1

1

2

2

),(

y

y

dxdyyxf .

Untuk soal no. 10 12, hitung integral lipat :

1.1 2

0 1

xxedy dx

y

2.2

2

1

1R

xdA

y

+

+ dengan [ ] [ ]0,1 0,1 .R =

3. ( )1 1

2

0sin ,

xy dy dx


14/18

76

4.3 PENGGANTIAN VARIABEL DALAM INTEGRAL LIPAT

Dari transformasi T yang diberikan oleh x = g(u, v) dan y = h(u, v)didefinisikan jacobian :

Misalkan T adalah Transformasi C1

satu ke satu yang Jacobiannya tidak nol

dan yang memetakan daerah S di bidang uv pada daerah R di bidang xy.

Andaikan bahwa f kontinu pada R dan bahwa R serta S adalah daerah-

daerah bidang jenis I atau II, maka:

Dalam hal ini kita mengubah dari integral dalam x dany ke integral dalam

u dan v dengan cara mengekspresikan x dan y dalam suku u dan v dan

menuliskan :

Sebagai ilustrasi, perhatikan koordinat polar. Di sini transformasi T

dari bidang rke bidangxy diberikan oleh:x = g(r, ) = r cos y = h(r, ) = r sin

Dan geometri transformasi, T memetakan persegi panjang biasa

dalam bidang r

ke persegi panjang polar di bidangxy. Jacobian Tadalah:

! " #Jadi diperoleh:


15/18

77

$ $ %&'(

Contoh 4.8 : Gunakan penggantian variabelx = u2-v

2, y = 2uv untuk

menghitung integral

) , denganR adalah daerah yang dibatasi oleh

sumbux dan parabola-parabolay2 = 4 4x dan y2 = 4 + 4x.

Penyelesaian:

Pertama kita perlu menghitung Jacobain.

* ** * + + " #Karena itu :

* $ $ *+, ,-.-. / 0-. 0 1 1-. / 0 2345 36,17-. 89.89-

$ * +1

-

. :,

5

;89.89-

*

Contoh 4.9:

Hitung integral ) ?@=A? , dengan R adalah daerah trapesiumdengan titik sudut (1,0),(2,0),(0,-2), dan (0,-1).


16/18

78

Penyelesaian:

-, -, Jacobian Tadalah

B* B*B* B* B*

# x-y=2 x=0 x-y=1 * BJadi daerah Sadalah daerah trapesium dengan titik sudut (1,1), (2,2), (-2,2)

dan (-1,1). C DE FB G G * G G HSehingga:

?=A?


17/18

79

Contoh 4.10: Hitung

) dengan R adalah daerah trapesium yang

dibatasi oleh titik titik ## M# NO, O,PQ!NO, O,P dengantransformasi * RQ! * RPenyelesaian :

Untuk y = x untuk y = -x

* R * R * R * RS # + # # #Untuk M untuk M

* R * R M

* R * R M

+ M S M O5 OT# G G M+ # G G MS U

*

RE E R

RU S S B*

$$* R * RFB*FO5.OT.


18/18

80

$$+/O5.

OT. $*+, JO5#E

OT.

$VM*OT.

VM* WOT# E

B*M+X

LATIHAN 4.3 :

1. Hitung) YZ[4\?>,= , jikaR adalah daerah yang dibatasi oleh + * + M R * B *.2. Hitung

jikaR adalah daerah yang dibatasi oleh : # # R B .3. Gambarkan daerah integrasi berikut, kemudian selesaikan

menggunakan transformasi koordinat yang sesuai.

+

++

1

0

2

2

x

x

dydxyx

xy+

+

+

2

1

4x

x

dydxyx

xy.

bab 4. integral lipat dua1

Documents