TRANSFORMASI KOORDINAT TRANSFORMASI KOORDINAT & PERUBAHAN VARIABEL & PERUBAHAN VARIABEL PADA INTEGRAL LIPATPADA INTEGRAL LIPAT

TIM DOSEN KALKULUS 2

Desember 2011

Transformasi KoordinatTransformasi KoordinatDalam menyelesaikan integral

lipat atas suatu daerah R, dapat diselesaikan dengan menggunakan koordinat lain selain dengan menggunakan koordinat persegi panjang xy.

Transformasi dari satu koordinat persegi panjang ke sistem koordinat lainnya.

2

Transformasi KoordinatTransformasi KoordinatTinjau suatu fungsi T, yang

mempunyai domain D (daerah pada bidang xy) dan mempunyai range E (daerah pada bidang uv), sehingga T(x,y)=(u,v).

T transformasi koordinat dari bidang xy ke bidang uv.

u dan v adalah fungsi dari x dan y

EvuDyxyxgvyxfu ),(,),();,(),,(

Transformasi KoordinatTransformasi Koordinat

y v

(x,y) T (u,v)

x u

ContohContohT suatu transformasi koordinat yang

didefinisikansbb: u=x+2y , v=x-2y. (T(x,y)

a. Tentukan nilai untuk (0,1),(1,2) dan (2,-3)

b. Gambarkan pada bidang uv garis vertikal untuk u=2,u=4,u=6,u=8 dan garis horisontal untuk v=-1,v=1,v=3,v=5.

c. Gambarkan hubungan kurva u dan kurva v dalam bidang xy.

Transformasi KoordinatTransformasi KoordinatJika T suatu transformasi koordinat

satu-satu, maka bisa dicari invers atau transformasi balikannya dari T, yakni T-1 dari bidang uv ke bidang xy

x = F(u,v) y = G(u,v)Jika T suatu transformasi satu-satu

maka inversnya T-1 . Dalam hal ini ,T-1(T(x,y)) = (x,y) dan T(T-1(u,v)) = (u,v)

untuk setiap (x,y) di D dan setiap (u,v) di E.

ContohContohTentukan invers dari

transformasi T yang didefinisikan pada contoh sebelumnya.

Gambarkan kurva pada bidang uv yang memetakan ellips atas T-1

14 22 yx

Perubahan Variabel pada Perubahan Variabel pada Integral LipatIntegral Lipat

Tinjau untuk suatu daerah R dalam bidang xy, substitusi x=f(u,v) dan y=g(u,v).

Persamaan ini menyatakan transformasi koordinat W dari bidang uv ke bidang xy.

Dalam hal ini menentukan daerah S di bidang uv yang ditransformasi dari R oleh W(menentukan batas integral baru)

R

dAyxF ),(

SR

dAvugvufFdAyxF )),(),,((),(

Matriks JacobianMatriks JacobianJika x=f(u,v) dan y=g(u,v), maka

Jacobian dari x dan y adalah

v

x

u

y

v

y

u

x

v

y

u

yv

x

u

x

vu

yx

),(

),(

ContohContohTentukan jacobian dari

Jika , tentukan jacobian

),(

),(

vu

yx

vu euyvex 22 ,

xyvyxu 2,22

),(

),(

vu

yx

TheoremaTheoremaJika x=f(u,v) dan y=g(u,v) adalah

transformasi koordinat, maka

Dimana G(u,v) = F{f(u,v),g(u,v)}

SR

dvduvu

yxvuGdydxyxF

),(

),(),(),(

ContohContohHitung untuk daerah R pada bidang xy

yang dibatasi oleh trapezoid dengan titik sudut (0,1), (0,2), (2,0) dan (1,0).

Hitung untuk daerah R di kuadran pertama

pada bidang xy antara lingkaran yang berjari-jari 1 dan berjari-jari 2.

dxdyeR

xyxy )/()(

dxdyeR

yx )( 22

Transformasi diatas dapat diperluas untuk menyelesaikan integral lipat tiga. Diberikan transformasi x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) , z=h(u,v,w) dari sistem koordinat uvw ke sistem koordinat xyz.

Jacobian = w

z

v

z

u

zw

y

v

y

u

yw

x

v

x

u

x

wvu

zyx

),,(

),,(

TheoremaTheoremaJika x=f(u,v,w) , y=g(u,v,w) ,

z=h(u,v,w) transformasi koordinat, maka

Dimana G(u,v,w)=F{f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)}

SR

dwdvduwvu

zyxwvuGdzdydxzyxF

),,(

),,(),,(),,(

ContohContohTentukan jacobian dari x = 2u + 3v – w, y = u – 5w ,z =

u + 4w

Dengan menggunakan koordinat silinder, tentukan volume benda di atas bidang xy, yang dibatasi oleh paraboloid dan silinder

),,(

),,(

wvu

zyx

ContohContohDengan menggunakan koordinat

bola tentukan volume benda yang bagian atasnya dibatasi oleh bola

dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut

16222 zyx

22 yxz