documents.tips sub bab 3 integral komplex

24
Matematika Teknik 2 1 Bab 2: Integral Garis (Integral Komplex) Integral G aris Lintasan Lintasan Terbuka Tertutup Fungsi Fungsi Fungsi Fungsi Analitik Non- Analitik Non- Analitik Analitik z o ada di luaratau di dalam lintasan

Upload: ferry-rivaldy

Post on 09-Feb-2016

260 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

TRANSCRIPT

Page 1: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 1

Bab 2: Integral Garis(Integral Komplex)

IntegralGaris

Lintasan LintasanTerbuka Tertutup

Fungsi Fungsi Fungsi FungsiAnalitik Non- Analitik Non-

Analitik Analitik

zo ada di luar atau di dalam lintasan

Page 2: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 2

Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Cara 1:

Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y)serta x = x(t) dan y = y(t), maka

b

c adimana ż = dz / dt

dan c adalah suatu lintasanz = z(t), di mana a ≤ t ≤ b

f [z(t)] ż (t) dtf(z) dz =

Page 3: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 3

Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Cara 1, contoh:y z = 1 + i a) Sepanjang c1

b) Melalui c2 dan c3

c1 Jawab:c3 Persamaan garis

x c1: z(t) = t + i tc2 c2: z(t) = t

c3: z(t) = 1 + i t0 ≤ t ≤ 1

f(z) = Re z = x = ta) ż = (1 + i)

1

o(t)(1 + i) dt = ½ (1 + i)

Page 4: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 4

Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Cara 1, contoh (lanjutan):b) c2: z(t) = t ż = 1 x = t

c3: z(t) = 1 + i t ż = i y = t1 1

o o

Latihan:Hitung f(z) dz jika:

c1) f(z) = az + b c garis lurus dari

-1 - i ke 1 + i2) f(z) = Im (z 2) dari 0 ke 2 + 4 ia) sepanjang garis lurusb) melalui sumbu x kemudian naikc) melalui parabola y = x 2

(t)dt + i dt = ½ + i

Page 5: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 5

Integral GarisJika z = x + iy, makaf(z) = f (x + iy) = u(x,y) + i v (x,y)sehingga c f(z) dz

dalam domain D akan tergantung:* bentuk f(z), analitik atau tidak

dalam domain D* bentuk lintasan C,Jika f(z) analitik, maka c f(z) dztidak akan tergantung pada lintasan

Page 6: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 6

Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Contoh:

Hitung dz c adalah lingkaranc z satuan ccw

z (t) = cos t + i sin tdz/dt = - sin t + i cos t 0 ≤ t ≤ 2π

dz 2π - sin t + i cos tc z 0 cos t + i sin t

0

Cara lain: z = e it 1/z = e -it

dz = i e it dtdz 2π

c z 0= e -it i e it dt = 2πi

= dt

= dti = 2πi

Page 7: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 7

Integral Garis (secara langsung)Cara 2:

Jikamaka

b

c a= F(b) - F(a)

c lintasan dari a sampai ke b

Contoh, hitung f(z) dz jikac

f(z ) = z cos z dari πi sampai ke 0f(z) = (z 2 - 1) 3 dari i ke 2if(z) = sin 2 z dari - πi ke π i

F (z)

f (z) dzf(z) dz =

f(z) =

Page 8: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 8

Integral Garis (secara langsung)Contoh:

Hitungc

c adalah parabola y = x 2

dari 0 sampai ke 1 + iJawab: z = x + iy maka Re z = x

dz = dx + idydy = 2x dx

batas integrasi: x dari 0 1maka

c cx dx + ix dy = x dx + ix (2x dx) =

1

1/2 x 2 + 2/3 ix 3 = 1/2 + 2/3 i0

Re z dz

Re z dz = x (dx + idy) =

Page 9: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 9

Integral Tertutup

cJika tidak analitik di dalam D,maka akan ada harganya.

dzc z

c adalah lingkaran satuan, ccw

Jika f(z) analitik dalam domain D, dan c adalah setiap lintasan tertutup sederhana di dalam D.

maka f(z) dz = 0

= 2πi

Page 10: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 10

Teori Integral CauchyDefinisi:

f(z) dz = 0c

Hitung: (z 2 - 3z) dzc dimana

c lintasan tertutup dari a ke amaka hasilnya a

= 2/3 z 3 - 3/2 z 2 = 0a

Jika f(z) analitik dalam domain D yang terhubung sederhana, maka untuk setiap lintasan tertutup c di dalam D, berlaku:

Contoh

Page 11: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 11

Integral TertutupContoh:

Hitung: 7z - 6c z 2- 2z

c adalah lingkaran satuan ccwJawab 7z - 6

c z 2- 2z3

c z z - 23 c lingkaran

c z satuan

4 karena f(z)c z-2 analitis di D

f(z) tidak analitis di z = 2

+ dz = 6πi

dz

4 0+

dz =

dz =

dz =

6πi

0

Page 12: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 12

Integral TertutupMetoda ResiduJika f(z) analitik di mana-manadi dalam dan pada c, makanilai integral f(z) dz akan = 0.Tetapi jika f(z) memiliki sebuahsingularitas di sebuah titik z = zo

di dalam c, tetapi selain di titik tsb analitik di dalam dan pada c , makaf(z) akan memenuhi deret Laurent :

∞z - zo (z-zo)

2

n=o + . . .maka f(z) dz = 2 π i b1

di mana c melingkupi zo, ccw

b2b1+ao(z - zo)n

+∑f(z) =

Page 13: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 13

Metoda Residub1 disebut residu dari f(z) untuk z = zoditulis: Residu f(z) = Res f(z) = b1

b1 adalah koefisien dari suku (z - zo) yang berpangkat -1

Contoh, cari residu dari f(z) = z-4sin zJawab: sin z 1 z

z4 z3 3!z 5!maka b1 = 1/3! = 1/6

sehingga sin z -π ic z4 3

+

z = zoz = zo

= -

dz =

1+

Page 14: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 14

Dua cara mencariResidu1) Cara limit:

Res f(z) = lim (z-zo) f(z)

2) Cara turunan:p(z)q(z)

dan q(z) dapat dideferensiir,maka

p(zo)q'(zo)

di mana q'(zo) = dq / dz z = zo

z = zo z zo

Jika f(z) =

z = zo

Res f(z) =

Page 15: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 15

Contoh mencari titik pole (titik singular)Cari Res f(z) pada titik-titik polenya

9z + iz(z 2 + 1)

Jawab: Res f(z) = lim (z-zo) f(z)

9z + i 9z + iz(z 2 + 1) z(z + i)(z - i)

ada 3 titik pole:zo1 = 0 (pole tunggal)zo2 = i (pole tunggal)zo3 = - i (pole tunggal)

f(z) =

z = zo z zo

=

Page 16: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 16

Contoh mencariResidu cara limitJawab:a) Res

lim (z - 0) 9z + iz o z (z + i)(z - i)

9(0) + i i(0 + i)(0 - i) 1

b) Res

lim (z - i) 9z + iz i z (z + i)(z - i)9(i) + i 10 i(i)(i + i) - 2

z = i

9z + iz = 0 z(z 2 + 1)

= = i

9z + i

= = - 5i

=

=

=

=

z(z 2 + 1)

Page 17: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 17

Contoh mencariResidu cara TurunanCari Res f(z) pada titik z = - i

p(z)z(z2 + 1) q(z)

q(z) =q'(z) =

p(zo)q'(zo)

= 4i

z = - i

=9(-i) + i

3(-i) 2+1

=

z 3 + z3 z 2+ 1

f(z) = 9z + i = 9z + iz 3 + z

z = - i=

maka Res f(z)=

9z + i

3 z 2+ 1

Page 18: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 18

Residu Orde m

z = zom -1

d mm -1

z zo dz

Contoh, cari residu 50zdi z = 1 (z +4)(z -1)2

Res f(z) =

f(z)]1

lim(m -1)!

[(z -zo)

Page 19: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 19

Residu Orde mContoh:Contoh, cari residu 50z

di z = 1 (z +4)(z -1)2

Jawab: zo = 1 , m = 2

(z - 1)2 50 z 50z(z +4)(z -1)2 z + 4

Res f(z) = 1 d 50zz = 1 (2 - 1)! dz z + 4

= 50(z + 4) -1 - 50z (z + 4)-2

z = 1= 50 / 5 - 50 / 25 = 10 - 2 = 8

(z -zo)m f(z) = =

Page 20: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 20

Nilai Integral dengan beberapa Residu

k

c j = 1 z = zo

Contoh, hitung: 4 - 3zc z 2 - z

a) c melingkupi 0 dan 1b) c melingkupi 0 sajac) c melingkupi 1 sajad) c tidak melingkupi 0 dan 1

dz

Jika ada beberapa titik pole ber-ada di dalam atau pada lintasan c, maka nilai integral menjadi:

f(z) dz = 2π i ∑ Res f(z)

Page 21: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 21

Contoh Integral dengan beberapa Residu4 - 3z 4 - 3zz 2 - z z (z - 1)

Res 4 - 3z lim z(4 - 3z)z = 0 z (z - 1) z o z (z - 1)

= (4 - 0) / (0 - 1)= - 4

Res 4 - 3z lim (z-1)(4-3z)z = 1 z (z - 1) z 1 z (z - 1)

= (4 - 3) / 1 = 1a) f(z)dz = 2πi (- 4+1) = - 6πib) f(z)dz = 2π i (- 4) = - 8π ic) f(z)dz = 2π i (1) = 2π id) f(z)dz = 2π i (0) = 0

=

=

=

Page 22: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 22

Cara lain mencari titik pole4 - 3z 4 - 3z a bz 2 - z z (z - 1) z z - 1

a & b dicari dari:a (z - 1) + b(z) = 4 - 3z

(a + b) z - a = 4 - 3z

a + b = -3 a = - 4- a = 4 b = 1

sehinggaRes 4 - 3z

z = 0 z 2 - zRes 4 - 3z

z = 1 z 2 - z= b = 1

+

maka

a= = - 4

= =

Page 23: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 23

Latihan: Cari Residu pada setiap titik polenya

1) (z 4) / (z 2 - iz + 2)

2) 2 / (z 2 - 1) 2

3) (z - 23) / (z 2 - 4z - 5)

4) (-z 2- 22z + 8) / (z 3 - 5z 2 + 4z)

5) (3z + 6) / (z + 1)(z 2 + 16)

Page 24: Documents.tips Sub Bab 3 Integral Komplex

Matematika Teknik 2 24

Hitung Int. f(z)dz dengan f(z) dan lintasan tertutup c sbb:1) (9z - 8)/(z 2+ z - 6)

c= lingkaran | z - i | = 4, cw2) (iz - 1)/(z 2- iz + 2)

c= lingkaran | z - 1| = 3, cw3) (15z + 9)/(z 3- 9z)

c= lingkaran | z +2 + i| = 3, ccwUntuk soal-soal berikut,c = lingkaran satuan ccw4) (30z 2- 23z +5)/(2z -1)2(3z -1)5) (1 - 4z + 6z 2)/(z 2+ 1/4)(2 - z)6) (z + 4)3/(z 4+ 5z 3+ 6z 2)