bab 3 geometri terurut

/ Geometri Terurut 60

BAB 3

PENGENALAN GEOMETRI TERURUT

Di Kazan, Nikola Ivanovich Lobachevsky mengikuti Kazan

Gymnasium pada tahun 1802. dan lulus tahun 1807.

Manfaat utama teori yang ditemukan Lobachevsky adalah

perkembangan geometri Non-Euclide yang tidak berbeda

dari Janos Bulyai. Sebelumnya para matematikawan

mencoba membuat kesimpulan 5 postulat euclide dari

aksioma-aksioma lain.kelima postulat euclide adalah postulat

kesejajaran euclide biasanya diganti dengan postulat John

Playfair yang mengatakan bahwa diberikan sebuah garis

dan sebuah titik di luar garis, hanya ada satu garis yang

sejajar dengan garis tersebut yang melalui sebuah titik

diluar garis tersebut. geometri Lobachevsky menerima

semua postulat geometri euclidedengan membuang postulat

kesejajarannya. Lobachevsky mengganti postulat kesejajaran

euclide dengan suatu postulat bahwa ada lebih dari satu

garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui

suatu titik diluar garis tersebut.geometri lobachevsky

memandang bahwa setiap segitiga jumlah besar sudutnya

kurang dari 180 derajat. perkembangan geometri non-euclide

Lobachevsky disebut geometri hiperbolik.

Pada Geometri Terurut ditentukan titik-titik A,

B, C..... sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan

Lobachevsky Lahir di

Nizhny Novgorad, Rusia.

orangtuanya bernama Ivan

Maksimovich Lobachevsky

dan Praskovia Alexan

drovina Lobachevsky.

Pada tahun 1800 ayahnya

meninggal dan ibunya

pindah ke Kazan.

Geometri Terurut / 61

relasi keantaraan sebagai relasi yang tidak

didefinisikan. Relasi ini dinyatakan dengan [A B C],

yang berarti B terletak antara A dan C. Jika B tidak

terletak antara A dan C, maka dikatakan tidak

[ABC].

Aksioma-aksioma pada Geometri Terurut:

Aksioma 3.1

Ada paling sedikit dua titik

Aksioma 3.2

Jika A dan B dua titik berlainan, maka ada satu

titik C yang memenuhi [A B C].

Aksioma 3.3

Jika [A B C], maka A dan C berlainan A C

Aksioma 3.4.

Jika [A B C], maka [C B A] tetapi tidak [B C A]

Dari aksioma-aksioma di atas diturunkan teorema-

teorema seperti berikut.

Teorema 3.1

Jika [A B C], maka tidak [C A B]

Bukti: Menurut Aksioma 3.4

Jika [C A B], maka tidak [A B C]

Ini ekuivalen dengan jika [A B C], maka tidak [CAB]

Teorema 3.2

Jika [A B C], maka A, B dan C berlainan atau A B C

Bukti:

Andaikan B = C, maka [A B B]

Jika [A B B] maka [B B A] (aksioma 3.4)

Jika [A B B] maka tidak [B B A] (aksioma 3.4).

Kontradiksi

Jadi BC

Andaikan A = B, maka [A A C]

Jika [A A C], maka [C A A] (menurut Aksioma 3. 4)


Jika [A A C], maka tidak [C A A] (menurut Teorema

3.1) terdapat kontradiksi, jadi A B.

Aksioma 3.3 didapat A C

Terbukti, bahwa A B C

Definisi 3.1

Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB

atau ruas garis AB ialah himpunan titik P yang

memenuhi [A P B]. Dikatakan titik P terletak pada

segmen AB.

Teorema 3.3

Titik A maupun titik B tidak terletak pada segmen AB

Bukti :

Andaikan A atau B terletak pada segmen AB maka

terdapat [AAB] atau [A B B]. Ini bertentangan

dengan Teorema 3.2. Jadi A maupun B tidak

terletak pada segmen AB.

Teorema 3.4

Segmen AB = segmen BA

Bukti

Segmen AB = himpunan titik P sedemikian hingga

[APB] (definisi)

= himpunan titik P sedemikian hingga

[BPA] (aksioma 3.4)

= segmen BA (definisi)

Definisi 3.2

Interval AB ialah segmen AB ditambah ujung-

ujungnya yaitu A dan B.

Jadi AB= A + AB + B

Sinar A/B (dari A menjauhi B) ialah himpunan

titik-titik P yang memenuhi [P A B].


Garis AB ialah interval AB ditambah sinar-sinar

A/B dan B/A. Jadi garis AB = A/B + AB + B/A Akibat :

Interval AB = interval BA

Garis AB = garis BA,

Bukti

Interval AB = segmen AB ditambah A dan B = segmen AB ditambah B dan A

= segmen BA ditambah B dan A

= interval BA

Aksioma 3.5

Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB,

maka A pada garis CD.

Teorema 3.5

Jika C dan D titik-titik berlainan pada garis AB, maka

garis AB = garis CD.

Bukti :

Jika A, B, C dan D tidak semuanya berlainan, maka

dapat dimisalkan B = D dan akan dibuktikan,

bahwa garis AB = garis BC.

Untuk membuktikan, bahwa garis AB = garis BC,

kita tunjukkan, bahwa setiap titik pada garis BC

adalah juga titik pada garis AB dan sebaliknya.

i) C pada garis AB (premis)

Misalkan X pada garis AB. maka menurut

Aksioma 3.5, B pada garis CX

B pada garis CX

C pada garis CX (C ujung CX)

Maka menurut aksioma 3.5, X pada garis BC.

Jadi, jika X pada garis AB, maka X pada garis BC.


Kesimpulan garis AB himpunan bagian dari garis

BC

ii) Misalkan Y pada garis BC,

C pada AB (premis)

B pada AB (B ujung AB)

maka menurut Aksioma 3.5, A pada garis BC.

Y pada garis BC

A pada garis BC

menurut Aksioma 3.5, maka B pada garis AY

B pada garis AY

A pada garis AY (A ujung AY)

Jadi menurut Aksioma 3.5, Y pada garis AB.

Jika Y pada garis BC, maka Y pada garis AB.

Kesimpulan garis BC himpunan bagian dari garis

AB

Dari i) dan ii) terbukti bahwa garis AB = garis BC.

Jika D B, maka dengan jalan yang sama dapat

dibuktikan, bahwa garis BC sama dengan garis CD,

sehingga garis AB = garis BC = garis CD. Jadi jika

A, B, C dan D semua berlainan garis AB = garis CD.

Akibat 1: Dua titik berlainan terletak tepat pada

satu garis. Dua garis berlainan (jika ada)

mempunyai paling banyak 1 titik persekutuan.

Titik persekutuan ini disebut titik potong

kedua garis itu.

Akibat 2: Tiga titik berlainan A, B dan C pada

suatu garis memenuhi tepat hanya salah satu

dari relasi-relasi [A B C], [B C A], atau [C A B].

Aksioma 3.6


Jika AB suatu garis, ada suatu titik C tidak pada

garis ini.

Teorema 3.6

Jika C tidak pada garis AB, maka A tidak pada BC, juga

B tidak pada AC. Garis-garis BC, CA dan AB berlainan.

Bukti :

Andaikan A pada garis BC

B pada garis BC (B ujung BC)

Jadi C pada garis AB, kontradiksi dengan C tidak

pada garis AB.

Kesimpulan A tidak pada garis BC

Dengan cara yang sama untuk yang lain.

Definisi 3.3

1. Titik-titik yang terletak pada garis yang sama

disebut Collinear (kolinier atau segaris).

2. Tiga titik noncollinear A, B, C menentukan

suatu segitiga ABC yang memuat tiga titik ini,

yang disebut titik-titik sudut, dan tiga segmen

AB, BC, CA yang disebut sisi-sisi.

Aksioma 3.7

Jika A B C suatu segitiga, [B C D] dan [C E A], maka

pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A

F B].

Teorema 3.7

Antara dua titik berlainan ada suatu titik lain.

Bukti :

Misalkan A dan B kedua titik itu seperti pada

gambar berikut.


Menurut Aksioma 3.6 ada suatu titik E

tidak pada AB.

Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik C

memenuhi [A E C].

Mengingat Teorema 3.5 maka garis AC

sama dengan garis AE, B tidak terletak

pada garis ini, maka ABC suatu segitiga.

Menurut Aksioma 3.2 ada suatu titik D

yang memenuhi [B C D].

Menurut Aksioma 3.7 ada titik F antara A

dan B. terbukti.

Contoh 3.1

Didefinisikan, bahwa suatu segmen ialah himpunan

titik-titik. Apakah himpunan ini dapat berupa

himpunan kosong?

Jawab:

Jika A dan B dua titik berlainan, maka segmen AB

ialah himpunan titik P yang memenuhi [A P B].

Dikatakan titik P terletak pada segmen AB.

Menurut Teorema 3.7 yang mengatakan, bahwa

antara dua titik berlainan ada suatu titik lain, maka

himpunan titik P tersebut tidak mungkin berupa

himpunan kosong.

A

D

C

E

F B


Teorema 3.8

Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka

pada garis DE ada suatu titik F yang memenuhi [A F B

] dan [D E F].

Bukti :

Karena F terletak pada garis DE, maka ada 5

kemungkinan:

a) F = D; b. F = E;

c) [E F D]; d. [F D E] e) [D E F]

Kemungkinan:

a) Jika F = D, maka [B C D] dan [A D B], jadi A, B

dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu

segitiga.

Jadi F D.

b) Jika F = E, maka [C E A] dan [A E B], jadi A, B

dan C collinear. Kontradiksi dengan ABC suatu

segitiga. Jadi F E

c) Jika [E F D], maka perhatikan gambar berikut.

Dalam segitiga D C E dengan [C E A] dan [E F D]

Menurut Aksioma 3.2 pada A F ada X yang

memenuhi [D X C].

Karena AF dan CD tidak mungkin

berpotongan lebih dari satu kali, maka X =

B, sehingga terdapat [D B C].

Kontradiksi dengan ketentuan [B C D]. Jadi


tidak mungkin [E F D]

d) Jika [F D E], maka gambarnya adalah sebagai

berikut.

Dalam segitiga AFE dengan [A F B], maka

menurut Aksioma 3.7 pada garis BD ada suatu

titik X sedemikian, sehingga [A X E].

Karena BD dan AE tidak berpotongan di lebih

dari satu titik, maka X = C, sehingga terdapat [A

C E]. Ini bertentangan dengan ketentuan [A E

C].

Jadi tidak mungkin [F D E].

Jadi kemungkinan hanya [D E F].

Contoh 1.2

Tunjukkan bahwa suatu garis mempunyai titik yang

tidak terhingga banyaknya.

Jawab:

Menurut definisi garis AB ialah interval AB

ditambah sinar-sinar A/B dan B/A. Jadi garis

AB = A/B + AB + B/A.

Garis AB ialah himpunan titik P yang

memenuhi [P A B] digabung dengan himpunan

titik P yang memenuhi [A P B] dan digabung

lagi dengan himpunan titik P yang memenuhi

[A B P] dan ditambah titik-titik A dan B.


Sehingga banyaknya titik pada garis AB tidak

terhingga (Aksioma 3.2 dan Teorema 3.8).

Teorema 3.9

Suatu garis tidak mungkin memotong ketiga sisi suatu

segitiga (sisi berupa segmen)

Teorema 3.10

Jika [A B C] dan [B C D], maka [A B D]

Teorema 3.11

Jika [A B C] dan [A B D] serta C D, maka:

1) [B C D] atau [B D C], dan

2) [A C D] atau [A D C] lihat gambar a), b)

Teorema 3.12

Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, maka [A B C]

atau [A C B] lihat gambar c), d)

Teorema 3.13

Jika [A B C] dan [A C D], maka [B C D] dan [A B D]

lihat gambar e)

a)

b)

c)

d)

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

D

C

A

B

C

D

A

C

B

D


e)

Definisi 3.3

Jika [A B C] dan [A C D], kita tulis [A B C D]

Urutan 4 titik ini mempunyai sifat, jika [A B C D],

maka [D C B A]. Urutan titik-titik ini dapat diperluas

sebagai berikut. Seperti telah kita ketahui sebarang titik

O pada segmen AB membagi segmen itu dalam dua

segmen, AO dan OB.

Sebarang titk O pada sinar dari A membagi sinar

dalam suatu segmen dan suatu sinar, A O dan O/A.

Sebarang titik pada garis membagi garis dalam

dua sinar berlawanan, jika [A O B], maka sinar-sinar

itu ialah O/A dan O/B, sinar O/A yang memuat titik

B, kadang-kadang lebih mudah disebut sinar OB.

Untuk n > 1, maka n titik berlainan membagi

garisnya dalam 2 sinar dan n-1 segmen. Titik titiknya

dapat T1, T2, .Tn sedemikian hingga kedua sinar itu

T1/Tn dan Tn/T1,

A

B

C

D

A

0

B

A

0

A

0

B


sedang n 1 segmen itu T1T2, T2T3,.. Tn-1Tn,

masing-masing tidak memuat titik itu. Kita katakan,

bahwa titik-titik itu dalam urutan T1T2. Tn dan ditulis

[T1T2, T2T3, .., Tn]. Syarat perlu dan cukup untuk ini

ialah : [T1T2T3], [T2 T3 T4], [T3 T4 T5], .. [Tn-2 Tn-1 Tn].

Marilah kita perhatikan kembali Aksioma 3.8.

Perkembangan logika yang terbaik dari suatu subjek

menggunakan himpunan aksioma yang paling

sederhana atau yang paling lemah. Pasch memberikan

pernyataan yang lebih kuat tentang Aksioma 3.7 Ia

menyatakan :

Jika sebuah garis dalam bidang suatu segitiga memotong

satu sisi, maka ia juga akan memotong sisi yang lain

(atau melalui suatu titik sudut).

Aksioma 3.7 yang kita pakai yaitu suatu

aksioma dari Peano, lebih baik, karena

a. kata bidang tidak dipakai sama sekali

b. garis DE memasuki segitiga ABC dengan cara

yang khusus, yaitu sebelum memotong CA ia

berasal dari titik D pada C/B

Aksioma ini cukup kuat dan dari ini dapat

diturunkan Teorema 3.14. Jika Teorema 3.14 ini

diambil sebagai aksioma, maka dari ini tidak dapat

diturunkan Aksioma 3.7 sebagai Teorema.

Teorema 3.14

Jika ABC suatu segitiga dan [A F B] dan [B C D] maka

pada garis DF, ada suatu titik E yang memenuhi [C E

A].

T1

T2

T3

Tn


Bukti :

Diambil G pada B/F dan dipandang BOF dengan

[F B G] dan [B C D]. Maka menurut aksioma VII

pada garis GC ada titik H sedemikian, sehingga [D

H F]. Menurut Teorema 3.8 [G C H].

Menurut Teorema 3.10, karena [A F H] dan [F B G],

maka [A F G]. Di pandang AFD dengan [A F G]

dan [D H F]. Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis

GH ada suatu titik K sedemikian, sehingga [D K A],

dan menurut Teorema 3.8 [G H K]. Karena [G C H]

dan [G H K], maka [C H K]. Jadi ada segitiga ACK

dengan [A K D] dan [K H C], maka menurut

Aksioma 3.7 pada garis DH (atau garis DF) ada

suatu titik E yang memenuhi [C E A] terbukti.

Contoh 3.3

Buktikan.bahwa jika ABC suatu segitiga dan [B L C],

[C M A] dan [A N B], maka ada suatu titik E yang

memenuhi [A E L] dan [M E N].

A B

C

G

F

D

K H

E

A N B

L

D E

M

C


Diketahui segitiga ABC, [B L C], [C M A] dan [A N B]

Dibuktikan : ada titik E yang memenuhi [A E L] dan

[M E N].

Bukti :

Dipandang segitiga C N B dengan [B N A] (karena

[A N B] dan [B L C]. Menurut Teorema 3.14 pada

garis A L ada titik D yang memenuhi [C D N].

Dipandang segitiga C M N dengan [C D N] dan [C

M A]. Maka menurut Teorema 3.14 pada garis AD

ada titik E yang memenuhi [M E N]. Karena [A D

L], maka garis AD sama dengan garis AL. Jadi ada

titik E yang memenuhi [M E N] dan [A E L]

Terbukti.

Contoh 3.4

Jika ABC suatu segitiga, maka ketiga sinar B/C, A/C,

A/B mempunyai transversal (yaitu suatu garis yang

memotong ketiganya). Buktikan!

Diketahui segitiga ABC

Dibuktikan : B/C, A/C, A/B mempunyai transversal

Bukti :

Ambillah titik B pada B/C dan titik A pada A/B dan

dipandang segitiga BAB. Dipenuhi [BBC] dan

[BAA].

A A

B

B

D


Maka menurut Aksioma 3.7 pada garis CA ada

suatu titik D yang memenuhi [A D B] dan

menurut Teorema 3.8 [C A D]. Jadi garis AB

merupakan transversal dari B/C, A/C dan A/B

Terbukti.

Contoh 1.5

Jika ABC suatu segitiga, maka B/C, C/A dan A/B

tidak mempunyai transversal.

Diketahui segitiga ABC

Buktikan ; B/A, C/A, A/B tidak mempunyai

transversal.

Bukti :

Ambillah B pada B/C dan A pada A/B.

Telah terbukti (pada soal 4) bahwa AB memotong

A/C jadi tidak mungkin AB memotong C/A.

Maka B/C, C/A dan A/B tidak mempunyai

transversal. Terbukti.

Definisi 3.4

1. Jika A, B, C tiga titik noncolinier, bidang ABC

adalah himpunan semua titik yang colinier

dengan pasangan titik-titik pada satu atau dua

sisi dari segitiga ABC.

2. Suatu segmen, interval, garis atau sinar

dikatakan terletak dalam bidang, jika semua

A

A B

B


titiknya terletak dalam bidang itu.

Aksioma 3.1 sampai 3.7 dapat digunakan

membuktikan letak dalam bidang. Aksioma lainnya

yang dapat digunakan adaladh aksioma yang

dikemukakan Hilbert, yaitu:

1. Sekarang tiga titik noncolinier dalam bidang

menentukan dengan lengkap bidang tersebut.

2. Jika dua titik berlainan pada suatu garis m

terletak pada bidang , maka setiap titik dari m

terletak dalam bidang .

Definisi 3.5

Suatu sudut terdiri dari suatu titik O dan dua sinar

yang noncoliner yang titik pangkalnya O. Titik O

disebut titik sudut dan sinar-sinar itu adalah sisi-sisi

sudut.

Aksioma 3.8 (Dalam ruang dimensi dua)

Semua titik ada dalam satu bidang

Aksioma 3.9

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis

dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian

hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan

yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya,

maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak

antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik

himpunan lainnya.

LATIHAN 3.

1. Jika [A B D] dan [A C D] dan B C, buktikan [A

B C]. atau [A C B].


2. Buktikan Teorema 3.9



bab 3 geometri terurut

Documents