bab 2 landasan teori 2.1 fungsi 2.1.1 definisi dan notasi...

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Fungsi

2.1.1 Definisi dan Notasi Fungsi

Menurut Bertrand Russell (1967), fungsi didefinisikan sebagai pemetaan

yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yakni daerah asal (domain) dan

daerah hasil (range). Lebih jauh lagi John Nolt (1997) menambahkan bahwa suatu

ekspresi / persamaan dapat dikatakan sebagai fungsi hanya jika persamaan tersebut

memiliki suatu hasil unik bagi setiap elemen dalam domain-nya.

Fungsi berbeda dengan relasi. Pada relasi hasil pemetaan dari suatu elemen

dalam domain dapat memiliki lebih dari satu hasil, sedangkan pada fungsi setiap

pemetaan hanya memiliki satu hasil.

Fungsi Relasi

Gambar 2.1 Ilustrasi Fungsi dan Relasi

Suatu fungsi yang memetakan elemen dari Himpunan A ke Himpunan B

secara umum dinotasikan sebagai BAf →: . Notasi tersebut menunjukkan bahwa

ada sebuah fungsi f yang memetakan dua buah himpunan, yaitu A kepada B. Untuk

menggambarkan bagaimana tepatnya pemetaan tersebut dilakukan dapat digunakan

8

notasi tambahan, misalnya 2:, xxfAx →∈∀ atau dapat pula ditulis sebagai

2)(, xxfAx =∈∀ .

2.1.2 Sifat-Sifat Fungsi

Menurut S. Lang (1993) berdasarkan jenis pemetaannya, terdapat tiga sifat

dari sebuah fungsi, yaitu sebagai berikut :

a. Fungsi Injektif

Fungsi BAf →: disebut fungsi injektif / satu-satu jika hasil pemetaan untuk

setiap elemen anggota Himpunan A memiliki hasil yang berbeda

)()(,, bfafAba ≠∈∀ .

b. Fungsi Surjektif

Fungsi BAf →: disebut fungsi surjektif / kepada / onto jika untuk setiap

elemen anggota Himpunan B merupakan hasil pemetaan dari paling tidak satu

elemen anggota Himpunan A.

c. Fungsi Bijektif

Fungsi BAf →: disebut fungsi bijektif jika untuk setiap elemen Himpunan B

merupakan hasil pemetaan dari tepat satu elemen Himpunan A. Dengan kata lain,

fungsi bijektif memiliki sifat injektif sekaligus surjektif.

Injektif Surjektif Bijektif

Gambar 2.2 Ilustrasi Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

9

2.2 Struktur dan Sistem Aljabar

2.2.1 Definisi Struktur dan Sistem Aljabar

Menurut Jong Jek Siang (2002,p436) sistem aljabar didefinisikan sebagai

suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan tersebut. Struktur

aljabar secara lepas didefinisikan sebagai karakteristik dari suatu sistem aljabar.

Istilah struktur aljabar juga mengacu kepada cabang ilmu matematika

bernama Aljabar Abstrak yang mempelajari mengenai karakteristik sistem aljabar

seperti Grup, Ring, dan Field.

2.2.2 Tabel Cayley

Operasi biner dari suatu himpunan merupakan operasi antara dua elemen dari

himpunan tersebut. Tabel Cayley merupakan tabel yang dirancang oleh Arthur

Cayley pada abad ke-19 untuk menggambarkan struktur dari Grup berhingga dengan

cara menyusun semua hasil operasi dari elemen Grup tersebut ke dalam tabel persegi.

Tabel 2.1 Tabel Cayley untuk Operasi Penjumlahan Modulo 5

+ 0 1 2 3 4 > baris 0 0 0 1 2 3 4 > baris 1 1 1 2 3 4 0 > baris 2 2 2 3 4 0 1 > baris 3 3 3 4 0 1 2 > baris 4 4 4 0 1 2 3 > baris 5

Tabel di atas merupakan contoh tabel Cayley untuk operasi penjumlahan

modulo 5. 0, 1, 2, 3, dan 4 pada baris dan kolom berwarna abu-abu merupakan

elemen dari himpunan, sedangkan “+” melambangkan operasi yang didefinisikan

pada himpunan tersebut. Kotak berwarna putih melambangkan hasil operasi biner

antar masing-masing pasangan elemen dalam himpunan.

10

Perlu diperhatikan bahwa dalam membahas sistem aljabar arti dari suatu

simbol operasi didefinisikan oleh pengguna. Sebagai contoh simbol “+” di atas

belum tentu berarti penjumlahan seperti yang lazim digunakan dalam operasi

aritmatika biasa, namun dapat juga berarti perkalian, pengurangan, dan lain-lain

sesuai definisi yang diberikan pengguna untuk simbol operasi tersebut.

Dalam sistem aljabar, hasil suatu operasi biner antara dua elemen a dengan b

(a+b) belum tentu sama dengan b+a. Untuk menghindari kesalahan pembacaan,

perlu dilakukan penyamaan persepsi mengenai cara pembacaan tabel Cayley. Dalam

skripsi ini digunakan cara pembacaan yang lazim digunakan, yakni elemen pada

baris mewakili elemen pertama dan elemen pada kolom mewakili elemen kedua.

Sebagai contoh, “0” pada baris ke-3 tabel Cayley di halaman sebelumnya merupakan

hasil operasi dari 2*3 = 0.

Tabel Cayley banyak digunakan dalam studi mengenai struktur aljabar

karena penyusunannya dapat menggambarkan sifat-sifat dari Grup. Sebagai contoh,

dapat ditentukan bahwa operasi penjumlahan modulo 5 dari himpunan 0, 1, 2, 3, dan

4 pada halaman sebelumnya merupakan Grup Abelian dengan melihat bahwa hasil

produk operasi pada tabel Cayley saling simetris terhadap sumbu diagonal tabel.

2.2.3 Sifat-Sifat Operasi Aljabar

Operasi biner pada sistem aljabar memiliki sifat-sifat yang digunakan untuk

mengklasifikasikan sistem tersebut, seperti dijelaskan E. H. Connell (2004) yakni :

A. Tertutup

Misalkan (A, ) adalah sistem aljabar. Operasi disebut operasi yang tertutup jika

hasil operasi 2 elemen sembarang dalam A juga merupakan elemen yang tunggal

dari A sendiri.

11

),( Aba ∈∀ a b A∈ tertutup

B. Asosiatif

Misalkan adalah operasi biner pada himpunan A. Operasi disebut operasi

asosiatif jika untuk setiap Acba ∈,, berlaku (a b) c = a (b c).

),,( Acba ∈∀ (a b) c = a (b c) asosiatif

C. Komutatif

Misalkan (A, ) adalah sistem aljabar. Operasi disebut operasi yang komutatif

apabila untuk setiap a,b∈A berlaku sifat a b = b a.

),( Aba ∈∀ a b = b a komutatif

D. Memiliki Elemen Identitas

Misalkan (A, ) adalah suatu sistem aljabar dengan merupakan oprasi biner

pada A. Suatu elemen e1∈A disebut identitas kiri jika untuk semua elemen a∈A

berlaku e1 a = a. Sedangkan suatu elemen e2∈A disebut identitas kanan jika untuk

semua elemen a∈A berlaku a e2 = a. Jika suatu elemen e∈A merupakan identitas

kiri dan sekaligus identitas kanan, maka e disebut elemen identitas. Dalam simbol

matematika :

)( Aa∈∀ e1 a = a e1∈A adalah identitas kiri

)( Aa∈∀ a e2 = a e2∈A adalah identitas kanan

)( Aa∈∀ e a = a e = a e∈A adalah elemen identitas

Suatu sistem aljabar (A, ) paling banyak memiliki satu buah elemen

identitas. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan pengandaian terhadap sebuah

himpunan yang memiliki dua kandidat elemen identitas e1 dan e2. Hasil operasi

12

antara kedua elemen identitas e1 e2 akan memberikan hasil antara e1 atau e2. Sesuai

sifat elemen identitas e a = a e = a, hasil operasi suatu elemen identitas dengan

elemen sembarang lainnya adalah elemen pasangannya dan bukan elemen identitas

itu sendiri. Oleh karena itu hanya ada 1 elemen identitas yang mungkin terdapat

dalam suatu himpunan.

E. Memiliki Invers

Misalkan (A, ) adalah suatu sistem aljabar dengan elemen identitas e dan

elemen a∈A.

Suatu elemen b∈A disebut invers kiri a jika b a = e.

Suatu elemen c∈A disebut invers kanan a jika a c = e.

Jika ada suatu anggota A yang merupakan invers kiri sekaligus invers kanan elemen

a, maka anggota tersebut disebut invers a (simbol a-1).

a-1 a = a a-1 = e a-1∈A adalah invers dari a

F. Distributif

Misalkan (A, , ) adalah suatu sistem aljabar dengan dua buah operasi biner

dan . Operasi dikatakan bersifat distributif terhadap operasi apabila untuk

setiap Acba ∈,, berlaku a (b c) = (a b) (a c). Contohnya pada operasi

perkalian terhadap penjumlahan biasa : )()()( cabacba ×+×=+× .

),,( Acba ∈∀ a (b c) = (a b) (a c) distributif terhadap

atau

),,( Acba ∈∀ (a b) c = (a c) (b c) distributif terhadap

13

2.2.4 Klasifikasi Struktur Aljabar

Berdasarkan sifat-sifat pada operasinya, menurut John R. Durbin (2002) struktur

suatu sistem aljabar dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa kategori, yakni :

2.2.4.1 Klasifikasi Sistem Aljabar dengan 1 Operasi Biner

A. Semigrup

Misalkan (A, ) adalah suatu sistem aljabar. (A, ) disebut Semigrup bila

memenuhi kondisi-kondisi :

1. merupakan operasi tertutup

2. merupakan operasi asosiatif

Contoh :

A adalah himpunan bilangan-bilangan bulat genap positif = {2, 4, 6, ...}, dengan

adalah operasi penjumlahan biasa.

Pembuktian sifat-sifat :

1. Tertutup

A adalah himpunan bilangan genap positif, oleh karenanya setiap

elemen dalam A memenuhi sifat bilangan bulat, yaitu 2n (n>0, n bilangan

bulat positif).

Hasil penjumlahan antar elemen dalam A yang dilakukan operasi

juga akan membentuk pola bilangan genap positif 2m (m>0, m bilangan bulat

positif).

Terbukti merupakan operasi tertutup.

2. Asosiatif

Himpunan A merupakan bagian dari himpunan bilangan bulat. Pada

himpunan bilangan bulat operasi penjumlahan biasa akan memberikan hasil

14

yang sama meskipun urutannya pengerjaannya berbeda. Oleh karena itu

(a b) c = a (b c).

Terbukti merupakan operasi asosiatif.

3. Elemen identitas

Pada himpunan bilangan bulat genap positif, tiap operasi penjumlahan biasa

antar 2 elemen sembarang akan memberikan hasil lebih besar dari kedua

elemen sembarang tersebut, a b>a dan a b>b. Oleh karena itu sifat elemen

identitas tidak dapat dipenuhi.

4. Invers

(A, ) tidak memiliki elemen identitas, maka (A, ) tidak memiliki invers.

(A, ) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Maka (A, ) merupakan Semigrup.

B. Monoid

Misalkan (A, ) adalah suatu sistem aljabar. (A, ) disebut Monoid bila


1. (A, ) merupakan Semigrup

2. (A, ) memiliki elemen identitas

Contoh :

A adalah himpunan atlit dari suatu klub basket tertentu dengan tinggi yang

bervarisi, dan didefinisikan sebagai :

),( Aba ∈∀ a b = a (jika a lebih tinggi dari b)

),( Aba ∈∀ a b = b (jika b lebih tinggi dari a)

15


1. Tertutup

Definisi operasi menunjukkan bahwa jangkauan hasil dari suatu operasi

a b pasti berkisar antara a atau b tergantung kondisi yang dipenuhi.


2. Asosiatif

Baik (a b) c maupun a (b c).akan memberikan hasil yang sama, yakni

elemen dengan tinggi yang lebih besar.

Terbukti merupakan operasi asosiatif.

3. Elemen identitas

Jika diambil suatu elemen e dalam himpunan A, yakni atlit yang paling

pendek, maka tiap operasi e dengan elemen sembarang manapun dari A (e a

atau a e) akan menghasilkan nilai a karena mereka memiliki tinggi yang

lebih dari e. Oleh karena e merupakan identitas kiri dan identitas kanan dari

(A, ) maka atlit paling pendek (e) merupakan elemen identitas dari (A, ).

Terbukti (A, ) memiliki elemen identitas gabungan e

4. Invers

Karena e merupakan atlit paling pendek, maka tidak ada operasi yang dapat

menghasilkan nilai e. Oleh karena itu (A, ) tidak memiliki invers.

(A, ) memenuhi sifat tertutup, asosiatif, dan memiliki elemen identitas. Maka

(A, ) merupakan Monoid.

16

C. Grup

Misal (A, ) adalah suatu sistem aljabar. (A, ) disebut Grup bila memenuhi

kondisi-kondisi :

1. (A, ) merupakan Monoid

2. Setiap elemen dalam A memiliki invers

Contoh :

A adalah himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dengan adalah

operasi penjumlahan biasa.


1. Tertutup

Hasil operasi penjumlahan biasa dari sembarang elemen dalam himpunan

bilangan bulat juga akan menghasilkan suatu bilangan bulat tertentu.


2. Asosiatif

Dalam himpunan bilangan bulat, hasil dari suatu operasi penjumlahan biasa

akan sama meskipun urutan pengerjaannya berbeda (a b) c = a (b c).

Terbukti bersifat asosiatif.

3. Elemen identitas

Dalam himpunan bilangan bulat terdapat suatu elemen, yakni 0, yang jika

dilakukan operasi penjumlahan biasa dengan elemen sembarang lainnya

dalam himpunan A akan memberikan hasil berupa elemen itu sendiri, 0 a =

a dan a 0 = a. Oleh karena 0 merupakan identitas kiri dan identitas kanan

dari (A, ), maka 0 merupakan elemen identitas dari (A, ).

Terbukti (A, ) memiliki elemen identitas gabungan; e = 0

17

4. Invers

Jika a dan b merupakan elemen sembarang dalam himpunan A, maka a b =

0 dan b a = 0 jika b merupakan nilai negatif dari a. Karena b merupakan

invers kanan dan invers kiri dari a, maka b disebut sebagai invers a. Setiap

elemen sembarang selain elemen identitas (0) dalam himpunan bilangan bulat

A memiliki pasangan inversnya (-1 dengan 1, -2 dengan 2, dan seterusnya).

Terbukti (A, ) memiliki invers.

(A, ) memenuhi sifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan

memiliki invers. Maka (A, ) merupakan Grup.

2.2.4.2 Klasifikasi Sistem Aljabar dengan 2 Operasi Biner

Klasifikasi pada bagian sebelumnya melibatkan suatu himpunan dengan sebuah

operasi biner. Selain itu terdapat klasifikasi untuk himpunan yang memiliki dua

macam operasi biner berbeda. Berdasarkan hubungan sifat dari masing-masing

operasi binernya, himpunan dengan dua operasi biner dapat diklasifikasikan

sebagai berikut :

A. Ring

Misalkan (A, , ) adalah sebuah sistem aljabar. (A, , ) disebut Ring bila


1. (A, ) merupakan Grup Komutatif (Abelian)

2. (A, ) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif (Semigrup)

3. Operasi bersifat distributif terhadap

18

Contoh :

A adalah himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} dengan

didefinisikan sebagai operasi penjumlahan aritmatika biasa dan didefinisikan

sebagai operasi perkalian biasa.


1. Untuk sistem aljabar (A, )

a. Pada contoh pembuktian Grup di halaman 15 telah dibuktikan bahwa

(A, ) adalah Grup.

b. Pada operasi penjumlahan biasa hasil dari a b akan sama dengan b a.

Terbukti bersifat komutatif

(A, ) adalah Grup dan operasi bersifat komutatif, maka (A, ) adalah Grup

Komutatif.

2. Untuk sistem aljabar (A, )

Dengan mengikuti cara pembuktian sifat-sifat operasi aljabar pada bagian

sebelumnya akan didapatkan bahwa.

a. bersifat tertutup, hasil perkalian antar bilangan bulat juga anggota A.

b. bersifat asosiatif, a (b c) = (a b) c

(A, ) memenuhi sifat tertutup dan asosiatif, maka (A, ) setidaknya adalah

Semigrup.

3. terhadap

Sesuai sifatnya, operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi

penjumlahan, )()()( cabacba ×+×=+× atau a (b c) = (a b) (a c).

(A, , ) memenuhi ketiga sifat Ring, maka (A, , ) adalah Ring.

19

B. Field

Sebuah Ring juga dapat dikategorikan sebagai Field jika dengan pembuktian

lanjutan didapatkan bahwa kedua operasi biner memenuhi sifat Grup Komutatif.

Dengan demikian syarat Field adalah :

1. (A, ) merupakan Grup Komutatif (Abelian)

2. (A, ) merupakan Grup Komutatif

3. Operasi bersifat distributif terhadap

2.2.5 Bentuk-Bentuk Grup Khusus

Kategori-kategori seperti yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan

klasifikasi sistem aljabar secara umum. Kategori-kategori ini dapat dikelompokan

lagi ke dalam kategori-kategori khusus berdasarkan sifat yang lebih spesifik.

Untuk Grup sendiri terdapat beberapa jenis Grup khusus yang dapat dilihat

dengan menganalisis sifat-sifat tambahan pada sistem aljabarnya. Bentuk-bentuk

khusus ini antara lain :

A. Grup Komutatif (Abelian)

Misalkan (A, ) adalah suatu Grup. Grup (A, ) disebut sebagai Grup Komutatif

bila memenuhi kondisi-kondisi :

1. (A, ) merupakan Grup

2. bersifat komutatif

Contoh Grup Siklik misalnya pada himpunan bilangan bulat dengan operasi

penjumlahan biasa.

20

B. Grup Siklik

Misalkan (A, ) adalah suatu Grup. Grup (A, ) disebut sebagai Grup

Siklik bila ada suatu elemen a∈A sedemikian sehingga setiap elemen A dapat

dinyatakan sebagai hasil operasi a dengan dirinya sendiri sebanyak n kali (n

berhingga). Elemen a yang bersifat seperti itu disebut sebagai Generator.

(A, ) Grup Siklik ))(( AxAa ∈∀∈∃ x = an = a a ... a (n berhingga)

Contoh :

Himpunan A = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan modulo 3.

Tabel 2.2 Operasi Penjumlahan Modulo 3

0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Dengan pembuktian sifat akan didapatkan bahwa (A, ) memenuhi sifat-sifat

Grup, yakni :

1. bersifat tertutup

2. bersifat asosiatif

3. (A, ) memiliki elemen identitas e = 0

4. Setiap elemen dalam A memiliki invers (0-1 = 0, 1-1 = 2, 2-1 = 1)

Elemen 1 dan 2 pada himpunan A memenuhi sifat Generator untuk Grup Siklik.

0 = 1 1 1 n = 3 0 = 2 2 2 n = 3

1 = 1 1 1 1 n = 4 1 = 2 2 n = 2

2 = 1 1 n = 2 2 = 2 2 2 2 n = 4

21

C. Grup Permutasi

I. Pengertian Umum Permutasi

Misalkan terdapat suatu himpunan A = {a, b, c, d}. Bila terdapat suatu

fungsi injektif / satu-satu yang memetakan seluruh elemen himpunan A, maka

fungsi tersebut disebut sebagai permutasi dari himpunan A. Permutasi himpunan

umumnya disajikan dalam bentuk matriks. Misalnya fungsi pada himpunan A

memetakan a ke b, b ke d, c ke c, dan d ke a, maka hasil permutasinya dapat

ditulis sebagai :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛acdbdcba

Baris pertama pada matriks merupakan elemen domain himpunan A, sedangkan

baris kedua merupakan hasil pemetaan dari masing-masing elemen.

Jika suatu himpunan A terdiri dari n elemen, maka ada n! buah

kemungkinan permutasi dari elemen anggotanya. Sebagai contoh, terdapat suatu

himpunan A dengan 3 elemen {a, b, c} dan himpunan P yang merupakan

himpunan dari seluruh kemungkinan permutasi pada himpunan A. Semua

permutasi yang mungkin dari a, b, dan c adalah : abc, acb, bac, bca, cab, dan cba,

sehingga ada 6 kemungkinan permutasi dari elemen himpunan A. Hal ini sesuai

dengan rumus n! di mana kemungkinan permutasi A dengan n=3 berjumlah 3! =

3×2×1 = 6 kemungkinan. Penyajian seluruh kemungkinan permutasi tersebut

yakni sebagai berikut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cbacba

p1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

bcacba

p2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cabcba

p3

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

acbcba

p4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

baccba

p5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

abccba

p6

Dengan demikian didapatkan anggota dari P yang merupakan himpunan hasil

permutasi A, yaitu P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}.

Sesuai penjelasan di atas, John R. Durbin (1992, p38) mendefinisikan

bahwa suatu Grup disebut Grup Permutasi apabila setiap elemen dari Grup

tersebut merupakan hasil permutasi dengan komposisi sebagai operasinya. Suatu

Grup Permutasi dari himpunan A tidak harus berisi seluruh kemungkinan

permutasi dari himpunan A tersebut.

II. Operasi Komposisi pada Himpunan Permutasi

Operasi komposisi merupakan operasi yang digunakan antar elemen

permutasi himpunan. Operasi komposisi umumnya dilambangkan dengan simbol

komposisi “ ”.

Contoh :

Komposisi antara dua permutasi suatu himpunan dengan anggota {1, 2, 3, 4}

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42314321

21434321

31424321

Pada operasi komposisi pengerjaan dilakukan dari elemen kedua ke elemen

pertama, atau dari kanan ke kiri. Pada contoh operasi komposisi di atas cara

membacanya adalah :

1 3 1 3 1 2

2 4 3 4 2 4

Sehingga didapatkan hasil = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42314321

23

Sebagai perbandingan, hasil operasi komposisi antara elemen yang sama dengan

urutan yang berbeda adalah :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13244321

31424321

21434321

Elemen permutasi memiliki invers. Invers permutasi didapatkan dengan

cara membalik urutan baris domain dengan hasil pemetaan dari elemen

permutasi tersebut. Berikut adalah contoh invers dari suatu elemen permutasi :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

23144321

13424321 1

Hasil operasi komposisi antara elemen permutasi dengan inversnya akan

menghasilkan pemetaan suatu elemen terhadap dirinya sendiri.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛43214321

23144321

13424321

Untuk mempermudah penyajian elemen permutasi, sering digunakan cara

penulisan yang dinamakan notasi siklus (cycle notation). Jika suatu elemen

permutasi dari himpunan A disajikan dengan notasi siklus (a1 a2 ... ak) itu berarti

pemetaan yang terjadi dari elemen-elemen domain di dalamnya adalah a1 a2,

a2 a3, ..., ak-1 ak, ak a1. Elemen domain yang tidak ditulis dalam notasi siklus

berarti hasil pemetaan elemen tersebut adalah dirinya sendiri.

Contoh :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5134254321

421

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5342154321

43

24

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5342154321

5134254321

43421

( )34215314254321

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=====

5432154321

54321

III. Tabel Cayley pada Himpunan Permutasi

Tabel Cayley juga dapat digunakan untuk menyusun hasil operasi

pasangan elemen permutasi dan memudahkan pemeriksaan sifat dari himpunan

permutasi tersebut.

Contoh :

Tabel 2.3 Operasi Komposisi pada Himpunan Permutasi

(1) (1 2 3) (1 3 2)

(1) (1) (1 2 3) (1 3 2)

(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)

(1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3)

Tabel Cayley di atas mewakili hasil operasi komposisi antara elemen

anggota dalam suatu himpunan permutasi P = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}. Dengan

melakukan pembuktian sifat operasi sistem aljabar akan didapatkan bahwa :

1. bersifat tertutup

2. bersifat asosiatif

3. (P, ) memiliki elemen identitas e = (1)

4. Setiap elemen permutasi memiliki invers

Sistem aljabar (P, ) memenuhi sifat-sifat Grup, maka (P, ) merupakan Grup

Permutasi.

25

D. Homomorfisma Grup

I. Pengertian Umum Homomorfisma

John R. Durbin (1992, p152) mendefinisikan bahwa jika G adalah sebuah

Grup dengan operasi * dan H adalah sebuah Grup dengan operasi #, maka

pemetaan θ: G H adalah sebuah homomorfisma jika :

)()#()*( baba θθθ = untuk semua a,b∈G.

Jika terdapat hubungan homomorfisma dari G ke H, maka H disebut

sebagai homomorphic image atau citra homomorfis dari G.

Contoh :

Misalkan terdapat 2 buah himpunan G dan H

G = himpunan bilangan bulat tidak negatif = {0, 1, 2, ...}

H = {genap, ganjil}

Kedua himpunan G dan H memiliki operasi biner masing-masing * dan #,

yang didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa.

Untuk himpunan G :

a. Bilangan bulat ganjil*bilangan bulat ganjil = bilangan bulat genap.

b. Bilangan bulat ganjil*bilangan bulat genap = bilangan bulat ganjil.

c. Bilangan bulat genap*bilangan bulat ganjil = bilangan bulat ganjil.

d. Bilangan bulat genap*bilangan bulat genap = bilangan bulat genap.

Untuk himpunan H :

a. Ganjil#ganjil = genap

b. Ganjil#genap = ganjil

c. Genap#ganjil = ganjil

d. Genap#genap = genap

26

Dari pemeriksaan di halaman sebelumnya dapat dilihat bahwa hasil

operasi pada himpunan G memiliki sifat yang sama dengan hasil operasi pada

himpunan H, yaitu berupa bilangan genap atau ganjil. Selain itu G dan H masing-

masing memenuhi syarat sebagai Grup. Maka H adalah citra homomorfis dari G.

Citra homomorfis suatu himpunan mewarisi sifat-sifat dari himpunan

yang dicerminkannya. Pewarisan sifat inilah yang menjadi manfaat utama dari

homomorfisma Grup. Pada contoh sebelumnya dapat dilihat karakteristik hasil

operasi antar elemen pada himpunan G yang tidak berhingga dengan melihat

hasil operasi dari himpunan H yang jumlahnya jauh lebih sedikit namun tetap

mencerminkan sifat-sifat hasil operasi himpunan G, yaitu bilangan genap atau

bilangan ganjil.

Sifat homomorfisma terutama banyak digunakan untuk meneliti

karakteristik sistem aljabar dengan jumlah anggota yang besar dan sulit diteliti

secara manual, sehingga dengan homomorfisma efisiensi penelitian jauh

meningkat.

Contoh :

Himpunan G adalah himpunan bilangan bulat positif dengan operasi perkalian.

G = {x} ; x = 1, 2, 3, ... ; * = perkalian

Sedangkan H adalah himpunan dengan operasi penjumlahan yang elemen

anggotanya adalah hasil pemetaan dari tiap anggota himpunan G, yaitu nilai

logaritma dari elemen yang dipetakan tersebut.

H = {y | y = log(x)} ; x = 1, 2, 3, ... ; # = penjumlahan

Perbandingan hasil operasi antara kedua himpunan G dan H adalah sebagai

berikut :

27

Tabel 2.4 Perbandingan hasil operasi (G,*) dan (H,#) (1)

* 1 2 3 4 dst # log 1 log 2 log 3 log 4 dst 1 1 2 3 4 log 1 log 1 log 2 log 3 log 4 2 2 4 6 8 log 2 log 2 log 4 log 6 log 8 3 3 6 9 12 log 3 log 3 log 6 log 9 log 124 4 8 12 16 log 4 log 4 log 8 log 12 log 16dst dst

(G,*) (H,#)

Pemetaan himpunan G ke H didefinisikan dengan fungsi θ: G H di

mana θ(x) = log x.

θ(1) = log 1

θ(2) = log 2

θ(3) = log 3

dan seterusnya.

Dengan pengujian sifat operasi biner dapat dibuktikan bahwa sistem

aljabar (G,*) dan (H,#) keduanya adalah Grup. Operasi penjumlahan pada

himpunan H mengikuti sifat penjumlahan logaritma, yaitu log a + log b = log ab.

Selanjutnya perlu dibuktikan syarat homomorfisma antara G dengan H.

θ(1*1) = θ(1) = log 1 sama dengan 1 = log 1 # log 1 = θ(1) # θ(1)



dan seterusnya.

Jika diteruskan, akan terlihat bahwa pemetaan dari hasil operasi perkalian

untuk setiap pasang elemen dalam himpunan G akan sama dengan operasi

penjumlahan pasangan pemetaan elemennya dalam himpunan H. Maka terbukti

28

syarat homomorfisma )()#()*( baba θθθ = untuk semua a,b ∈ G. Terbukti

bahwa H adalah citra homomorfis dari G.

Karena telah dibuktikan bahwa H adalah citra homomorfis dari G, maka

H dapat dijadikan sebagai alternatif untuk meneliti hasil atau karakteristik dari

sistem aljabar G. Hal ini lebih efisien bagi komputer karena komputasi

penjumlahan lebih ringan dibanding komputasi perkalian. Untuk mengembalikan

nilai elemen di H kembali ke nilai G dapat dilakukan dengan merubah elemen di

H ke nilai invers dari elemen tersebut. Dalam contoh ini nilai elemen himpunan

G didapat dari : x = y-1 = 10y = 10log x.

II. Isomorfisma, Monomorfisma, dan Epimorfisma

Selain bentuk homomorfisma yang umum terdapat juga bentuk-bentuk lain dari

homomorfisma, yaitu :

a. Isomorfisma

Jika G adalah Grup dengan operasi * dan H adalah grup dengan operasi #,

maka H disebut sebagai citra isomorfis dari G apabila memenuhi syarat-

syarat berikut :

1. )()#()*( baba θθθ = untuk semua a,b∈G

2. θ: G H merupakan fungsi bijektif

Contoh :

Sistem aljabar (G,*) adalah Grup Permutasi dengan anggota G = {(1), (1 2 3),

(1 3 2)} dan operasi komposisi, sedangkan (H,#) adalah Grup dengan

anggota H = {0, 1, 2} dan operasi penjumlahan modulo 3.

Tabel Cayley untuk kedua sistem aljabar tersebut adalah sebagai berikut :

29


* (1) (1 2 3) (1 3 2) # 0 1 2(1) (1) (1 2 3) (1 3 2) 0 0 1 2(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) 1 1 2 0(1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) 2 2 0 1

(G,*) (H,#)

Hasil pemetaan θ: G H :

θ((1)) = 0

θ((1 2 3)) = 1

θ((1 3 2)) = 2

Pengujian sifat fungsi :

1. Hasil pemetaan elemen G ke H tidak ada yang sama. Fungsi injektif.

2. Seluruh elemen H merupakan hasil pemetaan dari G. Fungsi surjektif.

3. Sifat injektif dan surjektif dipenuhi. Fungsi bijektif.

Pengujian syarat homomorfisma :

θ((1)*(1)) = θ((1)) = 0 sama dengan 0 = 0 # 0 = θ((1)) # θ((1))

θ((1)*(1 2 3)) = θ((1 2 3)) = 1 sama dengan 1 = 0 # 1 = θ((1)) # θ((1 2 3))

θ((1)*(1 3 2)) = θ((1 3 2)) = 2 sama dengan 2 = 0 # 2 = θ((1)) # θ((1 3 2))

θ((1 2 3)*(1)) = θ((1 2 3)) = 1 sama dengan 1 = 1 # 0 = θ((1 2 3)) # θ((1))

θ((1 2 3)*(1 2 3)) =θ((1 3 2))= 2 sama dengan 2=1 # 1= θ((1 2 3)) # θ((1 2 3))

θ((1 2 3)*(1 3 2)) = θ((1)) = 0 sama dengan 0 = 1 # 2 = θ((1 2 3)) # θ((1 3 2))

θ((1 3 2)*(1)) = θ((1 3 2)) = 2 sama dengan 2 = 2 # 0 = θ((1 3 2)) # θ((1))

θ((1 3 2)*(1 2 3)) = θ((1)) = 0 sama dengan 0 = 2 # 1 = θ((1 3 2)) # θ((1 2 3))

θ((1 3 2)*(1 3 2))= θ((1 2 3))=1 sama dengan 1=2 # 2 = θ((1 3 2)) # θ((1 3 2))

30

Untuk semua kemungkinan operasi pasangan elemen terpenuhi syarat

)()#()*( baba θθθ = untuk semua a,b∈G. Maka H adalah image isomorfis

dari G

b. Monomorfisma


maka H disebut sebagai citra monomorfis dari G apabila memenuhi syarat-

syarat berikut :


2. θ: G H merupakan fungsi injektif

Contoh :

Sistem aljabar (G,*) adalah Grup dengan anggota G = {0, 1, 2} dan operasi

penjumlahan modulo 3, sedangkan (H,#) adalah Grup Permutasi dengan

anggota H = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)} dan operasi komposisi.

Tabel Cayley untuk kedua sistem aljabar adalah sebagai berikut :


# (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 3) (2 3) (1 2)

* 0 1 2 (1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) 0 0 1 2 (1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1) (1 3 2) (1 2 3) 1 1 2 0 (1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) (1) (1 3 2) 2 2 0 1 (2 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3) (1) (G,*) (H,#)

Hasil pemetaan θ: G H :

θ(0) = (1)

θ(1) = (1 2 3)

θ(2) = (1 3 2)

31


1. Hasil pemetaan elemen G ke H tidak ada yang sama. Fungsi injektif.

2. Ada elemen H yang bukan hasil pemetaan dari elemen G, yaitu {(1 2),

(1 3), (2 3)}. Fungsi tidak surjektif.

3. Fungsi injektif tapi tidak surjektif. Fungsi bukan bijektif.

Dengan cara pengujian syarat homomorfisma seperti di bagian sebelumnya

akan didapat bahwa untuk setiap a,b ∈ G terpenuhi syarat

)()#()*( baba θθθ = . Maka H adalah image monomorfis dari G.

c. Epimorfisma


maka H disebut sebagai citra epimorfis dari G apabila memenuhi syarat-

syarat berikut :


2. θ: G H merupakan fungsi surjektif

Contoh epimorfisma misalnya terdapat pada Grup G = bilangan bulat tidak

negatif dengan operasi penjumlahan dan H = {genap, ganjil} dengan operasi

penjumlahan yang sifat homomorfisnya telah dibuktikan di halaman 25.

Hasil pemetaan θ: G H adalah :

θ(1) = ganjil

θ(2) = genap

θ(3) = ganjil

θ(4) = genap

dan seterusnya.

32


1. Hasil pemetaan elemen G ke H ada yang sama. Fungsi tidak injektif.

2. Seluruh elemen H merupakan hasil pemetaan dari G. Fungsi surjektif.

3. Fungsi surjektif tapi tidak injektif. Fungsi bukan bijektif.

Maka H adalah image epimorfis dari G.

2.3 Perancangan Program

Perancangan program merupakan langkah yang krusial dalam pembuatan suatu

program aplikasi. Perancangan diperlukan untuk membuat bentuk dasar dan langkah-

langkah yang perlu dilakukan dalam tahapan-tahapan pembuatan aplikasi.

2.3.1 Rekayasa Piranti Lunak

Rekayasa Piranti Lunak menurut Roger S. Pressman (2005, p23) adalah

penetapan dan pemakaian prinsip-prinsip rekayasa dalam rangka mendapatkan

piranti lunak yang ekonomis, terpercaya, dan bekerja efisien pada mesin (komputer).

Rekayasa piranti lunak secara garis besar mencakup 3 elemen yang mampu

mengontrol proses pengembangan piranti lunak, yaitu :

1. Metode-metode (methods)

Menyediakan cara-cara teknis untuk membangun piranti lunak.

2. Alat-alat bantu (tools)

Menyediakan dukungan otomatis atau semi otomatis untuk metode-metode,

seperti CASE (Computer Aided Software Engineering) yang mengkombinasikan

software, hardware, dan software engineering database.

3. Prosedur-prosedur (procedure)

Merupakan pengembangan metode dan alat bantu.

33

Dalam perancangan software dikenal istilah SDLC (Software Development

Life Cycle) yaitu serangkaian kegiatan yang dilakukan selama masa pengembangan

software. Pemakaian metode SDLC yang cocok ditentukan oleh beberapa aspek

seperti jenis bahasa pemrograman yang digunakan atau kompleksitas aplikasi.

Contohnya, Waterfall Model merupakan model yang paling umum dan paling dasar

pada SDLC. Rapid Application Development (RAD) dan Joint Application

Development (JAD) cocok untuk software berbasis objek (OOP), sedangkan Spiral

Model cocok untuk pengembangan aplikasi yang rumit dan cenderung mahal

pembuatannya.

Tahapan-tahapan dari kegiatan pada SDLC model Waterfall menurut (A. Dix,

1997) adalah sebagai berikut :

1. Spesifikasi kebutuhan

Pada tahapan ini, pengembang dan klien mengidentifikasi apa saja

fungsi-fungsi yang diharapkan dari sistem dan bagaimana sistem memberikan

layanan yang diminta. Pengembang berusaha mengumpulkan berbagai informasi

dari klien.

2. Perancangan Arsitektur

Pada tahapan ini, terjadi pemisahan dari keseluruhan detil aplikasi yang

akan dibuat ke dalam komponen-komponen (modul) sesuai dengan fungsinya

masing-masing.

3. Rancangan detil

Setelah sistem dipecah ke dalam komponen-komponen, pada tahapan ini

akan dibuat rancangan proses dari masing-masing komponen untuk digunakan

dalam proses pengembangan.

34

4. Coding and unit Testing

Pada tahapan ini, hasil rancangan diterjemahkan ke dalam bahasa

pemrograman untuk dieksekusi. Setelah itu tiap komponen diuji apakah sesuai

dengan fungsinya masing-masing.

5. Integration and Testing

Setelah pengujian tiap komponen dilakukan, komponen-komponen

tersebut disatukan (diintegrasikan) ke dalam sistem utama. Kemudian dilakukan

pengujian terhadap sistem utama secara keseluruhan apakah sudah sesuai dengan

kriteria yang diminta klien.

6. Implementasi dan Pemeliharaan

Setelah sistem dimplementasikan, tahapan terakhir adalah pemeliharaan

terhadap sistem. Umumnya pemeliharaan sistem berupa perbaikan terhadap error

atau bug yang muncul setelah sistem terimplementasi.

Gambar 2.3 Waterfall Model untuk Software Development Life Cycle

(Sumber : A. Dix, 1997, p181)

35

2.3.2 Interaksi Manusia dan Komputer

Menurut J. Finlay (1993), interaksi manusia dan komputer merupakan

disiplin ilmu yang berhubungan dengan perancangan, evaluasi, dan implementasi

sistem komputer interaktif untuk digunakan oleh manusia, serta studi fenomena-

fenomena besar yang berhubungan dengannya.

Pada interaksi manusia dan komputer ditekankan pada pembutan antarmuka

pemakai (user interface), di mana user interface yang dibuat diusahakan sedemikian

rupa sehingga seorang user dapat dengan baik dan nyaman menggunakan aplikasi

piranti lunak yang dibuat. Antarmuka pemakai (user interface) adalah bagian sistem

komputer yang memungkinkan manusia berinteraksi dengan komputer. Tujuan

antarmuka pemakai adalah agar sistem komputer dapat digunakan oleh pemakai.

Istilah tersebut digunakan untuk menunjukkan kemampuan yang dimiliki oleh piranti

lunak atau program aplikasi yang mudah dioperasikan dan dapat membantu

menyelesaikan suatu persoalan dengan hasil yang sesuai dengan keinginan pengguna.

2.4 Borland Delphi

Borland Delphi merupakan sebuah software yang dibuat untuk merancang

aplikasi pada Microsoft Windows. Bahasa pemrograman pada Delphi menggunakan

bahasa pemrograman Object Pascal yang merupakan pengembangan dari bahasa Pascal,

dan dirancang untuk mendukung pemrograman berorientasi objek dan pemrograman

dengan IDE (Integrated Development Environment) / lingkungan pengembangan

terpadu. Pemrograman dengan IDE memberikan dukungan fasilitas menyeluruh bagi

pengguna. Dukungan fitur IDE umumnya berupa :

a. Editor source code program.

36

b. Compiler dan/atau penerjemah kode.

c. Alat-alat (tools) untuk membangun bagian aplikasi secara otomatis.

d. Debugger program

Pemrograman dengan IDE umumnya disajikan dalam bentuk pemrograman

visual, yaitu pemrograman di mana pengguna dapat merancang tampilan program secara

intuitif dengan mengklik tombol atau menggeser objek dibanding pemrograman non

visual di mana tampilan dirancang dengan menggunakan kode program.

Delphi merupakan pionir era pengembangan aplikasi secara rapid dengan

memperkenalkan fitur-fitur penting seperti framework aplikasi dan window perancang

layout visual yang secara signifikan mengurangi waktu yang dibutuhkan dalam

mengembangkan maupun menguji prototipe aplikasi. Delphi juga memiliki VCL (Visual

Component Library) yang cukup ekstensif dan dukungan yang luas untuk komponen

tambahan dari pihak ketiga.

2.4.1 Sejarah Delphi

Software Delphi pertama dirilis pada tahun 1995. Pada mulanya Delphi

merupakan proyek riset rahasia di perusahaan Borland yang kemudian berkembang

menjadi aplikasi dengan nama AppBuilder. Tidak lama sebelum Borland

AppBuilder diluncurkan, produk saingan dengan nama Novell AppBuilder lebih

dahulu dirilis. Hal itu menyebabkan Borland membutuhkan nama baru untuk

software mereka. Nama Delphi dipilih oleh salah seorang programmer di tim

pengembang Delphi yang bernama Danny Thorpe. Kepala perancang software

Delphi adalah Anders Hejlsberg, yang sebelumnya telah merancang Turbo Pascal.

Sejarah pengembangan Delphi yakni sebagai berikut :

37

- Borland Delphi 1 sampai 5

Dirilis pada tahun 1995 untuk sistem operasi Windows 3.1 16-bit.

Borland Delphi 1 merupakan penerus Turbo Pascal, dan menjadi contoh awal

dari alat pendukung pengembangan aplikasi secara rapid (RAD).

Borland Delphi 2 dirilis pada tahun 1996 dan sudah mendukung

lingkungan Windows 32-bit. Menyusul setelahnya, Borland Delphi 3 dirilis pada

1997, Borland Delphi 4 pada tahun 1998, Borland Delphi 5 pada tahun 1999, dan

Borland Delphi 6 pada tahun 2002.

- Kylix

Merupakan versi Linux dari Delphi yang dirilis pada tahun 2001.

- Borland Delphi 7

Borland Delphi 7 dirilis pada tahun 2002 dan hingga saat ini menjadi versi yang

paling banyak digunakan dibanding versi Delphi lainnya. Hal ini dikarenakan

stabilitas yang lebih baik dari Delphi 7 serta komputasi cepat dan persyaratan

kebutuhan hardware yang rendah.

- Borland Delphi 8 sampai 10

Borland Delphi 8 dirilis pada 2003 dan mulai mendukung pengembangan .NET.

Borland Delphi 2005 (Delphi 9) dirilis pada tahun 2005 dengan dukungan

aplikasi Win32 dan .Net. Borland Delphi 2006 (Delphi 10) dirilis pada akhir

2005 dengan dukungan pengembangan gabungan C# dan Delphi.Net.

- CodeGear Delphi 2007 (Delphi 11)

Dirilis pada tahun 2007. Merupakan versi Delphi pertama yang dikembangkan

oleh CodeGear, yakni suatu divisi pengembangan di bawah Borland yang

38

nantinya dijual menjadi milik perusahaan Embarcadero Technologies pada tahun

2008.

- Embarcadero Delphi

Merupakan versi terbaru Delphi setelah lisensinya dimiliki oleh Embarcadero

Technologies. Versi yang sudah dirilis antara lain Embarcadero Delphi 2009

(Delphi 12), Embarcadero Delphi 2010 (Delphi 14), dan Embarcadero Delphi

XE.

2.4.2 Keunggulan dan Keterbatasan Delphi

Keunggulan dari Delphi antara lain :

a. Bahasa pemrograman Delphi strongly typed, artinya bahasa pemrograman

memiliki batasan-batasan pada penggunaan campuran tipe data. Hal ini

membantu mencegah terjadi kesalahan penggunaan tipe data dengan cara yang

tidak valid. Contohnya penjumlahan antara tipe data String dengan Integer.

b. Delphi datang dengan dukungan pemrograman IDE dan dukungan komponen

library yang luas. Bahasa pemrograman Delphi cocok untuk pengembangan

aplikasi secara rapid (Rapid Application Development), yaitu pengembangan

aplikasi yang lebih berfokus pada pengembangan prototipe dan revisi dari uji

prototipe, sehingga dengan demikian laju perancangan program dapat dilakukan

lebih cepat.

c. Komponen library DLL tambahan dapat diintegrasikan ke dalam satu file

executable (*.exe) sehingga programmer tidak perlu menambahkan file-file

lainnya untuk menjalankan program.

39

d. Setiap pengembangan versi baru Delphi memberikan dukungan backward

compatibility yang cukup baik bagi bahasa yang digunakan pada versi-versi

sebelumnya.

Sedangkan batasan-batasan dari Delphi antara lain :

a. Belum ada dukungan untuk sistem Windows 64-bit. Sejauh ini Delphi hanya bisa

digunakan untuk merancang aplikasi yang berjalan di Windows 32-bit.

b. Tidak lintas platform. Delphi sendiri hanya dapat berjalan di sistem operasi

Windows. Pengembangan versi Delphi terbaru serta beberapa variannya sedang

dirancang untuk dapat berjalan lintas platform di Windows, Linux, dan Mac OS.

c. Dukungan backward compatibility yang diberikan Delphi bagi versi-versi yang

lebih lama sediit banyak menyebabkan pengembangan bahasa pemrograman

Delphi menjadi lebih terbatas.

Pada bab 2 ini telah dibahas mengenai berbagai metode dan teori yang akan

digunakan sebagai dasar untuk merancang aplikasi pengujian struktur aljabar. Metode

dan teori tersebut dijelaskan sesuai dengan batasan dalam pembuatan aplikasi ini.

bab 2 landasan teori 2.1 fungsi 2.1.1 definisi dan notasi...

Documents