bab 2 fungsi riilnew1

8/18/2019 Bab 2 Fungsi Riilnew1

1/54


2/54

"isalkan A , B⊆ R

yang tidak kosong, sebuah fungsi f : A → B adalah suatu

aturan yang mengkaitkan setiap unsur x∈ A dengan tepat satu nilai y∈B .

#impunan A disebut domain (daerah asal), dan himpunan B disebut

kodomain, sedangkan himpunan semua nilai y=f ( x) yang diperoleh di dalam

B, disebut range$image (daerah nilai) dari

f .

%nsur y yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang y=f ( x) yang

dinamakan aturan fungsi$persamaan fungsi. !i sini x dinamakan peubah bebas

(&ariabel independen) dan y

yang nilainya bergantung pada x dinamakan

peubah terikat (&ariabel dependen). 'ika persamaan fungsi y=f ( x ) , x∈ A , maka

domain fungsi f adalah himpunan A , dinotasikan Df = A dan range fungsi

adalah himpunan Rf ={ f ( x ) : x∈ A } . %nsur f ( x )∈B dinamakan nilai fungsi di

x . 'ika diketahui persamaan fungsi y=f ( x) dan daerah asal tidak disebutkan

secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud adalah daerah asal alamiah

(natural domain) dari fungsi, sehingga daerah asal dan daerah nilai fungsi adalah*

Df ={ x∈ R: f ( x )∈ R } danR f = {f ( x )∈ R : x∈ D f } .


3/54

R

x f D

f

f

f R f D

)( x f x)( x f y =

!alam hal ini daerah asal dan daerah nilai fungsi semuanya himpunan bagian dari

R. +ungsi ini dinamakan fungsi dengan peubah riil dan bernilai riil, atau cukup

dikatakan fungsi riil.

+ungsi riil y= f ( x) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti pada

gambar 2.2.

otasi fungsi, untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f

(atau g atau F ). "aka f ( x) , yang dibaca f dari x atau f pada

x , menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x .

-ontoh 2.

'ika f ( x )= x2−4 , maka f ( 2 )=2

2−4=0 , f (−1 )=(−1 )2−4=−3 ,

f ( a )=a2

−4 , f ( a+h )=( a+h )

2

−4=a2

+h2

+2 ah−4 .

-ontoh 2.2


4/54

"isalkan g ( x )=1/ x , cari dan sederhanakan

g (a+h )−g(a)h

enyelesaian* ertama kita mencari nilai fungsig

pada x=a+h

dan x=a

.

'adi kita peroleh g (a+h )=1/(a+h) dan g (a)=1 /a . /emudian kita bagi dengan

h selisih

g (a+h )−g (a). "aka

g (a+h )−g(a)h

=

1

a+h−

1

a

h =

a−(a+h)ah(a+h)

= −1

a2+ah

.

-ontoh 2.0

1entukan daerah asal dan daerah hasil fungsi f ( x )=3+√ 1−2 x dan

g ( x )=( x+1)/( x−2).

enyelesaian* %ntuk fungsi f ( x )=3+√ 1−2 x , agar f terdefinisi maka nilai

f ( x) haruslah riil, maka syaratnya persamaan dalam akar tak negatif, 1−2 x ≥ 0

. "aka hal ini dipenuhi oleh x ≤ 1/2

. Sehingga daerah asal fungsi adalah

Df ={ x∈ R : x ≤ 12}=(−∞ , 12 ].


5/54

/emudian untuk setiap x dalam daerah asal fungsi berlaku √ 1−2 x ≥ 0 , maka

nilai f ( x )=3+√ 1−2 x ≥ 0 . Sehingga daerah nilai fungsi adalah

Rf ={ y∈ R : y ≥ 3}=[3, ∞ ) .

%ntuk fungsi g( x)=( x+1)/( x−2) , agar g( x) terdefinisi, yaitu g ( x )∈ R ,

syaratnya bentuk pembilangnya tidak boleh . "aka x−2 ≠0 atau x ≠ 2 .

Sehingga daerah asalnya adalah Dg={ x∈ R : x ≠2 }= R− {2 } . %ntuk menentukan

daerah nilai fungsig

, tuliskan bahwa y=( x+1)/( x−2) . /emudian nyatakan

x dalam y

,

y ( x−2 )= x ( y−1)⟹ x ( y−1)=2 y+1

⟹ x=2 y+1 y−1

, y ≠ 1.

'adi daerah nilai fungsi adalah Rf ={ y∈ R : y ≠ 1 }= R−{1 } .


6/54gambar 2.4 Kurva fungsi

gambar 2.3 Kurva fungsi g ( x )=( x+1)/( x−2)

+ungsi f juga dapat digambarkan sebagai kur&a yang memuat semua pasangan

bilangan ( x , y ) dengan y=f ( x) . !aerah asal f tidak lain adalah proyeksi

kur&a pada sumbu x

(garis riil mendatar) dan daerah hasilnya adalah proyeksi

kur&a ke sumbu y (garis riil tegak). Sebagai contoh dapat kita lihat grafik fungsi

g pada contoh 2.0 di gambar 2.0.

-ontoh 2.3

1entukan grafik, domain dan range fungsi f ( x )= x2

−2 x−1,−1≤ x ≤2 .

enyelesaian* Berdasarkan persamaan

fungsinya, grafiknya dapat dilihat pada

gambar 2.3. !ari fungsinya, maka daerah


7/54

asal fungsi adalah Df =[−1,2 ] . %ntuk

menentukan rangenya, persamaannya

menjadi y=( x−1 )2−2 , kemudian

tentukan rentang nilai y

untuk

−1 ≤ x ≤ 2 .

−1 ≤ x ≤ 2⇒−2 ≤ x−1≤ 1

⇒0 ≤ ( x−1)2≤ 4

⇒−2≤ ( x−1 )2−2 ≤ 2

⇒−2≤ y ≤2.

Berdasarkan hasil di atas, maka rangenya adalah Rf =[−2,2] .

-ontoh 2.4

1entukan domain, range, dan gambarkan grafik untuk fungsi f ( x )=√ 2− x− x2

.

enyelesaian* 5gar f ( x )∈ R , maka 2− x− x2

≥0 . Solusi ketaksamaannya

adalah

x2+ x−2≤ 0⇒ ( x+2 ) ( x−1 ) ≤ 0

⇒−2≤ x ≤ 1.


8/54

gambar 2.5 kurva fungsi

'adi domainnya adalah Df =[−2,1 ] .

6angenya diperoleh dengan cara

menuliskan bentuk dalam akar menjadi

bentuk kuadrat sejati,

y=√ 9

4−( x+ 12 )

2

, y ≥ 0.

'ika dikuadratkan maka diperoleh

y2=

9

4−( x+ 12 )

2

, y ≥ 0

ma ⇒( x+ 12 )

2

+ y2=9

4 y ≥ 0.

'adi nilai y

yang memenuhi adalah0 ≤ y ≤

3

2 . Bentuk itu merupakan persamaan

setengah lingkaran yang berpusat di titik (−12 ,0) dan berjari7jari3

2

sebagaimana terlihat pada gambar 2.4.

Salah satu hal yang juga penting dalam menggambar grafik fungsi adalah bentuk

fungsi genap dan ganjil. engertian keduanya diberikan pada definisi 2.2.

!efinisi 2.2


9/54

gambar 2.6 kurva sebuah fungsi genap dan fungsi ganjil

+ungsif

dikatakan sebagai fungsi genap jika untuk setiap x∈ D f berlaku

f (− x )=f ( x ) . 'ika f (− x )=−f ( x ) untuk setiap x∈ D f , maka f disebut

fungsi ganjil.

!ari definisi tersebut, grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y

dan grafik

fungsi ganjil simetri terhadap (0,0) . Sebuah fungsi bukanlah fungsi genap jika

terdapat x∈ D f sehingga f (− x )≠ f ( x ) dan juga bukan fungsi ganjil jika

terdapat x∈ D f sehingga f (− x )≠− f ( x ) .

-ontoh 2.8


10/54

+ungsi f ( x )= x2+3 merupakan fungsi genap, karena

f (− x )=(− x )2+3= x2+3=f ( x) . Sedangkan g ( x )=2 x3+4 x adalah fungsi ganjil

sebab g (− x )=2 (− x )3+4 (− x )=2 (− x3 )+4 (− x )=−2 x3−4 x=−(2 x2+4 x ) . 9rafik

fungsi diberikan pada gambar 2.8.

+ungsi h ( x )= x2

+2 x adalah fungsi yang bukan fungsi genap dan juga bukan

fungsi ganjil, karenah (− x ) ≠ h( x) ataupun h (− x ) ≠−h ( x) . Sedangkan

F ( x )=0 ini adalah jenis fungsi yang merupakan fungsi ganjil sekaligus fungsi

genap. erhatikan bahwa F (− x)=− F ( x )= F ( x )=0 untuk semua x∈

R .

2.2Operasi pada fungsi

"isalkan f ( x )= x dan g ( x )=2 x , penjumlahan f ( x) dan g( x)

dinyatakan oleh f +g ( x )=f ( x )+g ( x )=3 x . :perasi aljabar ini mendefinisikan

sebuah fungsi baru yang disebut sebagai jumlah dari f dan g , dilambangkan


11/54

gambar 2.7 Ilusrasi domain fungsi hasil operasi penjumlahan

dengan f +g . Secara umum definisi untuk fungsi hasil operasi aljabar diberikan

pada definisi 2.0. !efinisi itu berlaku jika fungsi f dan g terdefinisi.

!efinisi 2.0

"isalkanf

dang

adalah dua buah fungsi. "aka jumlah, selisih, hasil kali dan

hasil bagi dari keduanya ditulis f +g , f −g , fg , danf

g , dengan aturan

bahwa untuk setiap x∈ D f ∩ Dg berlaku*

f +g ( x )=f ( x)+g ( x ) fg ( x )=f ( x) g( x ) ,

f −g ( x)=f ( x )−g ( x ) f g

( x )= f ( x )g ( x )

, g ( x )≠ 0.

'ika domain fungsi hasil operasi ini ditentukan setelah aturan operasinya, maka

Df +g= Df −g= D fg= Df ⋂ Dg sedangkan D f

g

= Df ⋂ Dg− { x∈ R : g ( x )=0 }.

Ilustrasi sederhana ditunjukkan pada gambar 2.;.


12/54

/ita juga boleh memangkatkan suatu fungsi dengan notasi f n

, kita maksudkan

fungsi yang memberikan nilai [ f ( x ) ]n

pada x .

-ontoh 2.;

!iberikan fungsif ( x )= x3+2 x2

dang ( x )=3 x2−1

. 1entukan hasil operasi

aljabar kedua fungsi tersebut,f ∗g

.

enyelesaian* 'umlah dari f dan g adalah

f +g ( x )=f ( x )+g ( x )=( x3+2 x2 )+(3 x2−1)= x3+5 x2−1.

!omain natural untuk kedua fungsi adalah R , jadi domain hasil operasi

penjumlahannya adalah Df +g= R .

!engan cara yang sama bentuk fungsi hasil operasi lainnya untuk f ∗g dan

domainnya diberikan pada tabel 2..

1abel 2. +ungsi hasil operasi aljabar dua fungsi

:perasi 5turan fungsi !omain

enjumlahan x3+5 x2−1 R

engurangan x3− x2+1 R


13/54

gambar 2.! komposisi dua fungsi

erkalian 3 x5+6 x4− x3−2 x2 R

embagian x

3

+2 x2

3 x2−1

R−{−1

√ 3 , 1√ 3}

:perasi fungsi yang lain, adalah operasi fungsi bersusun. "isalkan f dan g

adalah dua fungsi yang didefinisikan sebagai berikut*

f : A →B dan g : D→ C

'ika Rf ⋂ Dg ≠∅ , maka terdapat fungsi

h : A →C yang merupakan fungsi

komposisi dari f dan g , gof yang aturannya ditentukan oleh*

h ( x )=gof ( x )=g ( f ( x) ) .

Ilustrasi fungsi komposisi diperlihatkan pada gambar 2.< menunjukkan nilai fungsi

f pada∀ x∈ A kemudian diteruskan oleh fungsi g .


14/54

!omain fungsi komposisi gof adalah himpunan Dgof = { x∈ Df : f ( x )∈ Dg } .

5dapun rangenya adalah Rgof ={ y∈ Rg: y=g (t ) ,t ∈ R f } . !alam hal ini domainnya

tidak lain adalah himpunan bagian dari domain f .

+ungsi komposisifog

dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar peran.

"isalnya Rg⋂ Df ≠ ∅ , maka fungsi komposisi dari f dan g ( g

dilanjutkanf

) ditulisfog

dan aturannya ditentukan oleh fog ( x )=f ( g ( x ) ) .

!aerah asal dan derah hasil fungsi komposisifog

adalah

Dfog={ x∈ D g: g ( x )∈ Df }dan R fog= { y∈ Rf : y=f ( t ) , t ∈ Rg } .

-atatan*gof ≠ fog

.

-ontoh 2.<

1entukan fungsi komposisi fog dan gof kemudian tentukan pula daerah

definisi fungsi komposisinya.

a. f ( x )= x+5 ; g ( x )=

1

x−4

b. f ( x )=√ 2 x , 2


15/54

enyelesaian* %ntuk bagian a. /edua fungsi mempunyai domain alami, Df = R ,

dan Dg= R−{4 } . 6angenya Rf = R , dan Rg= R− {0 } .

/arena Rg⋂ Df ≠∅ , maka fungsi komposisi

fog adalah

fog ( x )=f ( 1 x−4 )= 1

x−4+5.

!omainnya adalah Dfog={ x∈ D g: g ( x )∈ Df }={ x∈ R : x ≠ 4 } .

/arena Rf ⋂ Dg ≠∅ , maka fungsi komposisi gof adalah

gof ( x )=g ( x+5 )= 1

( x+5 )−4=

1

x+1 .

!omainnya Dgof = { x∈ Df : f ( x )∈ Dg }={ x∈ R : x+5 ≠ 4 }= { x∈ R : x ≠ 1} .

%ntuk bagian b. !omainnya telah diberikan, jadi Df =¿ dan Dg=(−1,2) .

6ange masing7masing adalah Rf =¿ dan Rg=¿ .

/arena

Rg⋂ Df =(2,8), maka fungsi komposisi

fog

adalah

fog ( x )=f (2 x2 )=√ 2 (2 x2 )=2 x .


16/54


17/54

F ( x )=Gohof ( x )=G (hof ( x ) )=G (h ( f ( x ) )) .

-ontoh 2.

a. 1entukan aturan fungsif

jika gof ( x )=8 x2+2 x+1 dan g ( x )=2 x+1 .

b. 1entukan aturan fungsi f jika fog ( x )=8 x2+2 x+1 dan g ( x )=2 x+1 .

enyelesaian* %ntuk bagian a. /arena g ( x )=2 x+1 , maka g (f ( x ) )=2 f ( x )+1

dan diketahui bahwa gof ( x )=8 x2

+2 x+1 , maka

2 f ( x )+1=8 x2+2 x+1⟹ f ( x )=4 x2+ x .

%ntuk bagian b. /arena g ( x )=2 x+1 , maka f ( g ( x ) )= f (2 x+1 ) yang dapat

dihubungkan dengan bentuk fog ( x )=8 x2+2 x+1 . "isalkan kita membentuk

bentuk kuadrat dari (2 x+1) , maka diperoleh fungsi f yang mungkin adalah

bentuk fungsi kuadrat yang memuat suku (2 x+1 )2=4 x2+4 x+1 dan suku

(2 x+1 ) , sedemikian sehingga f ( 2 x+1 )=a (2 x+1 )2+b (2 x+1 )+c . "aka

a (2 x+1 )2+b (2 x+1 )+c=8 x2+2 x+1

⟹a=4, b=−3 danc=2.

'adi fungsi f ( x )=4 x2−3 x+2 .


18/54

2.3Fungsi-fungsi kusus

ada pembahasan ini kita akan mempelajari jenis7jenis fungsi khusus dan bentuk7

bentuk grafiknya. Beberapa jenis fungsi khusus ini juga telah banyak diberikan pada

subbab 2. ataupun 2.2.

2.3.1 Fungsi p!lin!"

Bentuk fungsi yang pertama kita bahas adalah fungsi suku banyak atau fungsi

polinom. +ungsi ini adalah penjumlahan beberapa fungsi berpangkat, yang

didefinisikan sebagai berikut. +ungsi7fungsi yang diberikan penjelasan singkat di sini

hanya fungsi konstan, linier, kuadrat, dan kubik. Beberapa jenis lain akan diberikan

dalam beberapa materi lanjut atau mata kuliah matematika tingkat lanjut.

!efinisi 2.3

+ungsi f yang berbentuk f ( x )=a0+a1 x+a2 x

2+⋯+an xn

dengan

a0 , a1 ,⋯ , an adalah bilangan riil untuk setiap n bilangan bulat tak negatif dan

an ≠ 0 , dinamakan fungsi polinom berderajatn

.

'ika n=0 , maka f ( x )=a0 merupakan bentuk fungsi k!ns#an. 9rafik

fungsinya adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan berada sejauh

a0 dari sumbu x . Sebuah contoh untuk fungsi konstan adalah f ( x )=4

sebagaimana terlihat pada gambar 2.=.


19/54

gambar 2." #onoh fungsi konsan dan fungsi linier

Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat , yang mempunyai bentuk

f ( x )=ax+b dengan a dan b adalah konstanta dan a ≠0

. /ur&anya

berupa garis lurus dengan kemiringan$tanjakan sebesar a dan memotong sumbu

y di titik (0, b) dan memotong sumbu x di titik (−ba , 0) . 'ika a=1

danb=0

maka fungsi f ( x )= x dinamakan fungsi satuan$identitas. %ntuk lebih

jelasnya dapat dilihat grafik fungsi f ( x )= x dan f ( x )=2 x+5 pada gambar 2.=.

Fungsi $uadra# adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam

bentuk f ( x )=a x2+bx+c dengan a , b , c adalah konstanta dan a ≠ 0 . 9rafik

fungsi dapat terjadi dalam beberapa kasus, yaitu memotong sumbu x di dua titik,

menyinggung sumbu x (memotong hanya di satu titik), atau tidak memotong

sumbu x .


20/54

/ur&a fungsi ini adalah sebuah parabola yang mempunyai sumbu simetri di garis

x=−b2a , dengan titik puncak di (−

b2 a

,− D4 a ) , D=b2−4 ac . Bentuk D

disebut juga diskriminat, yaitu sebuah nilai yang dapat menentukan nilai7nilai x

yang menyebabkan f ( x )=0 . 'ika diskriminant positif, maka grafik fungsi kuadrat

memotong sumbu x

di dua titik, sebaliknya jika diskriminat negatif, parabola

tidak memotong sumbu x . 'ika D=0 fungsi hanya menyinggung sumbu x .

-ontoh 2.

9ambarkan kur&a fungsi f ( x )=2 x2+5 x−3 dan g ( x )=−3 x

2−5 x+2 .

enyelesaian* %ntuk fungsi f dan g , berikut adalah tabel yang memuat semua

komponen penting dalam menggambar kur&anya.

tabel 2. /arakteristik fungsi kuadrat

$arak#eris#ik kur%a f g

Sumbu simetri, x=

−b2a

x=−5

4 x=

5

6

ilai puncak parabola, y=

− D4 a

y=−49 /8 y=49/12

1itik potong sumbu x ,

a x2+bx+c=0

1/2 dan 0

−2 dan

1/3

1itik potong sumbu y

, x=0 −3 2


21/54

gambar 2.$% parabola unuk dua fungsi

/ur&a kedua fungsi diberikan pada gambar 2..

Fungsi $ubik (+ungsi angkat 1iga) adalah fungsi polinom berderajat 0 yang dapat

dituliskan dalam bentuk f ( x )=a x3+b x2+cx+d dengan a , b , c , d adalah

konstanta dan a ≠ 0 . "enggambar grafik fungsi kubik lebih rumit daripada

menggambar grafik fungsi kuadrat. #al ini disebabkan karena untuk mendapatkan

puncak7puncak lengkungan atau perubahan kecekungan kur&anya diperlukan

pengetahuan turunan fungsi yang akan dipelajari pada materi berikutnya.

/ur&a fungsi kubik selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik. %ntuk

kasus a>0 , makin ke kanan nilai x pada koordinat kartesian, maka nilai y


22/54

gambar 2.$$ kurva fungsi pangka iga

gambar 2.$2 kurva fungsi kubik

juga akan cenderung makin ke atas. Sebaliknya, jika a


23/54

2.3.2 Fungsi Rasi!nal dan Irrasi!nal

Fungsi rasi!nal adalah suatu fungsi yang terbentuk sebagai hasil bagi dua fungsi,

f ( x )= p ( x )q ( x ) dengan

p ( x )=a0+a1 x+⋯+an xn

dan q( x )=b0+b1 x+⋯+bm x

m

dan q ( x )≠ 0 .

-ontoh 2.2

Beberapa contoh fungsi rasional* f ( x )=

5

x ; g ( x )=

2 x−3 x+2

; h( x )= x

2+4 x−35 x+1 .

'ika diketahui f ( x )= p( x )/q( x ) adalah fungsi rasional, maka nilai7nilai x yang

membuat f ( x )=0 akan berkaitan dengan fakta bahwa kur&a fungsinya akan

memotong sumbu x

. amun, patut diingat bahwa tidak semua fungsi rasional

mempunyai titik potong dengan sumbu x . #al itu terjadi jika p ( x ) ≠ 0 .

-ontoh 2.0

1entukan titik potong dengan sumbu x (jika ada) untuk fungsi


24/54

gambar 2.$& kurva fungsi

a . f ( x )= x

2+4 x+33 x−5

b . g ( x )= x

2+4 x+83 x−5

penyelesaian* %ntuk fungsi f nilai f ( x )=0 diperoleh dari x2+4 x+3=0 ,

maka ( x+1 ) ( x+3 )=0 . 'adi diperoleh x=−1 dan x=−3 . 'adi titik potong

kur&a dengan sumbu x di (−1,0) dan (−3,0) . %ntuk fungsi g ,

perhatikan bahwa bentuk p ( x )= x2+4 x+8 mempunyai diskriminant negatif (

D=−16 ), jadi kur&anya tidak memotong sumbu x .

Bentuk fungsi rasional yang sederhana

adalah f ( x )=1/ x . +ungsi ini tidak

pernah memotong sumbu x karena

bentuk f (0) tidak ada. 'uga tidak

memotong sumbu x

, walaupun untuk

x yang sangat besar nilai fungsi

cenderung makin mendekati

(pembahasan tentang ini akan dipelajari

pada materi >imit). /ur&a fungsi tidak

pernah memotong sumbu x dan


25/54

sumbu y sebagaimana terlihat pada

gambar 2.0.

ada gambar itu juga dapat dilihat bahwa domain dan range adalah semua nilai riil

kecuali nol. /emudian untuk x

yang makin besar atau makin menjauh dari nol,

nilai f ( x) makin dekat ke nol. 9aris y=0 disebut asimptot datar. Sebaliknya

makin dekat nilai x ke nol dari arah kanan kur&a bergerak makin ke atas dan

mendekati sumbu y , demikian pula dengan nilai x yang menuju nol dari arah

kiri, kur&a akan bergerak ke bawah makin mendekati sumbu y . 9aris x=0 ini

disebut asimptot tegak.

-ontoh 2.0

1emukan perpotongan dengan sumbu x , sumbu y

, asimptot7asimptotnya,

kemudian gambarkan grafik fungsif ( x )=

x−2 x−4 .

enyelesaian* %ntuk titik perpotongan dengan sumbu y

, maka cukup dihitung

f (0) , jadi peroleh ( 0,12 ) . %ntuk titik potong dengan sumbu x , dicari nilai

x yang membuat fungsi pembilang nol, tapi tidak menyebabkan fungsi penyebut

nol.


26/54

gambar 2.$4 'ra(k fungsi

x−2=0⇒ x=2 dan substitusi nilainya ke penyebut, 2−4=−2 ≠ 0 . "aka titik

potongnya adalah (2,0) .

5simptot tegak diperoleh dari fungsi penyebut menjadi nol, jadi x−4=0⇒ x=2

.

/arena x=2 tidak membuat pembilang nol, maka garis x=2 adalah asimptot

tegak. 5simptot datar diperoleh, jika domain bergerak meluas tanpa batas atau ke

ketakhinggaan. %ntuk mendapatkan itu, kita bagi pembilangnya dengan penyebut

sehingga diperoleh ekspresi rasional campuran,

x−2 x−4

=1+ 2

x−4 .

%ntuk x yang makin besar, baik ke arah positif ataupun negatif, diperoleh ekspresi

2

x−4 makin menuju , sehingga asimptot datarnya adalah y=1 .

9rafiknya dapat dilihat pada gambar 2.3.


27/54

gambar 2.$5 fungsi irrasional dan

+ungsi irrasional adalah fungsi aljabar yang mengandung faktor penarikan akar.

"isalnya f ( x )=√ x , g ( x )=3√ x2−1 adalah dua bentuk fungsi irrasional karena

mengandung bentuk penarikan akar.

-ontoh 2.3

9ambarkan kur&a dua fungsi f dan g yang persamaannya adalah f ( x )=√ x

dan g( x )=√ − x .

enyelesaian* erhatikan bahwa domain untuk fungsi f ( x )=√ x adalah semua nilai

x yang lebih besar atau sama dengan . /ur&anya setengah parabola terbuka ke

kanan untuk fungsi kuadrat tapi dengan sumbu simetri adalah sumbu x lihat

gambar 2.0. Sebaliknya dengan fungsig

, domainnya adalah semua nilai x

yang lebih kecil atau sama dengan . /ur&anya setengah parabola terbuka ke kiri,

lihat gambar 2.0.


28/54

gambar 2.$6 fungsi akar iga

%ntuk fungsi dengan akar pangkat tiga dapat dilihat pada gambar 2.8 yang

merupakan kur&a dari tiga fungsi, g( x)=3√ x , f ( x )=

3√ x−1 , dan h ( x )=3√ x+1

.

erhatikan gambar 2.8, bahwa kur&a fungsi h diperoleh dengan menggeser

fungsi f sejauh satuan ke sebelah kiri. !emikian pula dengan fungsi g yang

merupakan pergeseran dari fungsi f sejauh satuan ke kanan. ergeseran seperti

ini disebut translasi. &ranslasi adalah transformasi bidang sedemikian sehingga

f ( x )=3√ x

g ( x )=3√ x−1


29/54

gambar 2.$7 ranslasi fungsi di iik dan

bayangan dari setiap titik ( x , y ) adalah titik ( x+h , y+ ) di mana nilai7nilai

h dan adalah nilai yang diberikan. 1ranslasi menyebabkan perpindahan

setiap titik dalam jarak yang sama dan dalam arah yang sama.

1abel 2.2 +ungsi dan grafik beberapa fungsi

N! Ben#uk Fungsi '!"ain Range Grafik

x

2−1 x+1

R− {−1} R− {−2 }

21

x2 R− {0}

+¿ R¿


30/54

01

x2+1

R (0,1 ]

3 √ x−2 +¿+ {0 }

R¿ [−2,∞ )

1abel 2.2 memberikan beberapa fungsi rasional dan irrasional yang lain beserta

daerah asal, daerah nilai, dan grafiknya. %ntuk mendapatkan grafik fungsi yang

tepat, beberapa titik bantuan yang terletak pada kur&a perlu ditentukan terlebih

dahulu, seperti titik potong dengan sumbu x dan sumbu y (jika ada) dan

beberapa titik lain yang mudah diperoleh. Beberapa kur&a yang diberikan pada tabel

hanya sebagai pembanding jika dalam pengerjaan pada materi lebih lanjut ada yang

sejenis.

2.3.3 Fungsi Nilai (u#lak

1elah kita pelajari pada bab , bentuk nilai

mutlak. ada pembahasan kali ini kita akan

menggunakannya dalam bentuk fungsi. Bentuk

fungsi nilai mutlak adalah bentuk fungsi yang

mengandung bentuk nilai mutlak didalamnya,


31/54

gambar 2.$" fungsi

f ( x )=| p ( x )| dengan p ( x ) adalah fungsi

terhadap x . -ontohnya f ( x )=¿ x∨¿ ,

fungsi ini terdefinisi diseluruh bilangan riil

dengan rangenya adalah bilangan riil yang

bukan negatif. #al ini dikarenakan karena sifat

nilai mutlak, yaitu f ( x )= x , jika x ≥ 0 dan

f ( x )=− x, j ika

x


32/54

%ntuk x2−1 merupakan parabola terbuka ke atas hanya lengkungan ujung

parabola untuk selang (−∞,−1 ] dan [ 1,∞ ) dan berpotongan dengan parabola

terbuka ke bawah 1− x2

pada titik x=−1 dan x=1 , lihat gambar 2.=.

#asil operasi fungsi nilai mutlak dengan fungsi7fungsi yang lain juga memberikan

grafik fungsi yang unik sebagaimana terlihat pada beberapa contoh berikut.

-ontoh 2.8

+ungsi f ( x )=1−2∨ x+1∨¿ , yang dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua

aturan, yaitu

f ( x )={−2 x−1 x ≥−12 x+3 x


33/54

gambar 2.2$ )ungsi

+ungsi g dengan bentuk persamaan g ( x )=| x|( x+2 ) , dapat dituliskan sebagai

fungsi dengan bentuk

g ( x )={ x2+2 x x ≥ 0

− x2−2 x x


34/54

Bilangan bulat yang

gambar 2.22 ilusrasi nilai

+ungsi khusus yang lain adalah bentuk fungsi bilangan bulat terbesar, yaitu bentuk

fungsi yang nilai fungsinya adalah selalu merupakan bilangan bulat untuk semua nilai

x dalam domainnya. Bentuk umumnya adalah f ( x )=[ ! ( x ) ] , yang menyatakan

bahwa nilai [! ( x ) ] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama

dengan !( x ) . +ungsi ini disebut juga fungsi tangga.

"isalkan ! ( x )= x , untuk suatu x∈ R maka tak hingga banyaknya bilangan

bulat yang lebih kecil atau sama dengan x yang pada garis bilangan (lihat gambar

2.22) terletak sebelah kiri dari x .

diantara semua bilangan bulat tersebut ada yang terbesar dan bilangan terbesar inilah

yang dimaksud. "isalnya x=3,6

maka terdapat bilangan bulat ⋯,−1,0,1,2,3

yang semuanya lebih kecil dari 0,8. 1api diantara barisan bilangan tersebut, bilangan

bulat yang terbesar adalah 0, sehingga[3,6 ]=3

. !emikian pula jika x=−2

,

maka terdapat⋯ ,−4,−3,−2

yang semuanya lebih kecil atau sama dengan−2


35/54

gambar 2.2& fungsi angga

dan di antara barisan bilangan tersebut yang terbesar adalah −2 . #al yang sama

berlaku pula untuk [−1,4 ]=−2 .

%ntuk menggambarkan grafik fungsi f ( x )=[ x ] , cukup dengan mengambil

sembarangn∈"

, maka [ x ]=n jika n ≤ x


36/54

gambar 2.24 fungsi

gambar 2.24 fungsi angga

ad. a. "enurut definisi bilangan bulat terbesar, maka∀ n∈"

[−2 x ]=n jika n ≤−2 x


37/54

gambar 2.25 )ungsi

9rafiknya sebagaimana pada gambar

2.24, makin ke atas anak tangganya

makin mengecil. +ungsinya tanpa tanda

? @ adalah*

g ( x )={ 4, x=−2, x=2

3, √ 3 ≤ x−22, √ 2 ≤ x−√ 3

1, 1≤ x−10, −1


38/54

u

gambar 2.26 *ingkaran sauan

2.)Fungsi-fungsi &ransenden

+ungsi7fungsi trigonometri tidak termasuk fungsi aljabar. Bersama7sama fungsi

logaritma dan pangkat serta hiperbolik (belum diajarkan), fungsi7fungsi ini termasuk

dalam kelompok fungsi transenden. Semua fungsi aljabar dan transenden termasuk

dalam kelompok fungsi elementer, kelompok fungsi7fungsi yang sederhana dan

biasanya sudah mempunyai nama tertentu.

+ungsi transenden yang dibahas di sini adalah fungsi trigonometri dan fungsi

eksponen dan logaritma. Seperti pada fungsi7fungsi sebelumnya, yang ditekankan di

sini adalah bagaimana domain, nilai fungsi , dan grafik fungsi.

2.3.*. Fungsi &rig!n!"e#ri

"isalkan bahwa sebuah lingkaran satuan yang berpusat di titik asal dengan jari7jari

dalam koordinat kartesian, sebuah sudut θ (dalam satuan derajat) diperoleh dengan

memutar (berlawanan arah jarum jam) dari lingkaran tersebut dari titik (,) pada

sumbu7 x yang panjangnya u (dalam satuan radian) untuk lengkungan tempuhnya.

/arena panjang busur lingkaran satuan adalahπ2

, maka

#=360 o$ !

2 % ata! !=

#

360o 2 %

erhatikan suatu titik ( x,y) pada sistem koordinat kartesian (lihat gambar 2.28)

ditransformasi menjadi titik A(u,r ) pada sistem koordinat kutub (polar), maka

diperoleh hubungan persamaan*

sin !=

y

& ⟺

y=& sin ! (& ≠ 0 )

cos != x

&⟺ y=& cos! (& ≠ 0 )


39/54

ilih sudut θ yang bersesuaian dengan u, disebut titik tunggal pada lingkaran satuandengan pusat . erhatikan bahwa titik A(u,r) pada lingkaran satuan di atas

berpadanan dengan radian u, dan juga berpadanan dengan tiap bilangan (!+2% )

dengan bilangan bulat sembarang sehingga berlaku*

y=sin !=sin (!+2 % ) dan x=cos !=cos (!+2 % ) , untuk =0,' 1, '2,⋯ .

Ini berarti nilai7nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang7selang kelipatan 2π.

:leh karena itu fungsi trigonometri disebut periodik. Suatu fungsi f disebut periodik

jika terdapat suatu bilangan positif p sedemikian sehingga f ( x+ p )=f ( x) , untuk

setiap x∈ D f . Bilangan positif p terkecil yang memenuhi persamaan di atas

disebut perioda fungsi. +ungsi Sinus, -osinus, Secan, -osecan mempunyai periode

2π. +ungsi tangen dan cotangen mempunyai perioda π.

/ita tidak dianjurkan untuk menghapal terlalu banyak rumus. -ukup hanya sedikit

rumus dan kemudian bisa menurunkan atau menjabarkan rumus7rumus yang lain dari

sedikit rumus tersebut. Sebagai contoh, dari kedua rumus

1.sin ( x+ y )=sin x cos y+cos x sin y

2.cos( x+ y )=cos x cos y−sin x sin y

dapat diturunkan banyak rumus yang lain. "isalnya dalam kasus x= y

, maka

kedua rumus tersebut di atas berubah menjadi

3.sin2 x=2sin x cos x

4.cos2 x=cos2 x−sin 2 x


40/54

ersamaan yang perlu diingat adalah cos2 x+sin2 x=1 , maka persamaan 3 dapat

dimodifikasi menjadi cos2 x=2cos2

x−1 atau cos2 x=1−2sin2

x . /emudian

dengan mengganti

y

menjadi

y−

pada rumus dan 2 serta mengingat fungsi ganjil

dan fungsi genap masing7masing dari fungsi sinus dan kosinus, diperoleh

5.sin ( x− y )=sin x cos y−cos x sin y

6.cos( x− y)=cos x cos y+sin x sin y

/emudian perhatikan dan 4, maka diperoleh

7.sin ( x+ y )+sin( x− y)=2sin x cos y

8.sin ( x+ y )−sin( x− y )=2cos x cos y

'uga dari 2 dan 8, maka diperoleh

9.cos ( x+ y )+cos( x− y)=2cos x cos y

10.cos ( x+ y )−cos ( x− y )=−2sin x sin y

6umus7rumus diatas berlaku umum untuk sembarang x , y∈ R .

+ungsi tangen didefinisikan sebagai hasil bagi fungsi sinus oleh kosinus. 'ika nilai

fungsi tangen di setiapt ∈ R diberi lambang

tan t , maka

tan t =sin t

cos t

,

dengancos t ≠ 0

. #al ini berarti domain atau daerah asalnya fungsi tangen adalah

{t ∈ R|t ≠ % 2+ % , ∈" }

.


41/54

gambar 2.27 )ungsi kosinus dan sinus

Secara analog, didefinisikan fungsi7fungsi cotangen, sekan dan kosekan yang nilainya

!i setiapt

pada domain masing7masing dilambangkan dengancot t ,()c t ,

dan

c(ct . 5dapun bentuk dan domain alaminya adalah

cot t =cos t

sin t ,t ∈ {* ∈ R|* ≠% , ∈" },

()ct = 1

cos t , t ∈ {* ∈ R|* ≠ %

2+ % , ∈" },

c(ct = 1sin t

, t ∈ {* ∈ R|* ≠% , ∈" }.

Berikut ini diberikan dua rumus yang memberikan kaitan antara masing7masing

fungsi tangen, kotangen dengan sekan, kosekan sebagai berikut

11.()c2

t =1+tan2 t

12. c(c2

t =1+cot2 t .

9rafik fungsi f ( x )=cos x dan g ( x )=sin x adalah kur&a yang daerah nilainya

hanya di selang[−1,1]

, perhatikan gambar 2.2;, kur&anya dengan tepat

menunjukkan bentuk periodiknya dengan perioda 2 % .


42/54

gambar 2.2! fungsi dan

9rafik fungsi f ( x )= tan x dan g ( x )=cot x mempunyai perioda % , yang pada

gambar 2.2< terlihat nilai fungsinya membentang untuk semua bilangan riil. %ntuk

∀ ∈" , garis

x=%

2 +%

merupakan asimptot tegak untuk fungsi tangen.

Sedangkan pada fungsi cotangen, asimpto7asimptot tegaknya adalah garis x=%

untuk semua bilangan bulat.

#al yang sama ditunjukkan pada gambar 2.2= untuk kur&a fungsi f ( x )=()cx dan

g ( x )=c(cx yang periodanya % . 5simptot7asimptot tegak fungsi ()c x

adalah garis7garis x=

%

2 +%

, untuk ∈"

. Sedangkan asimptot tegak fungsi

c(c x adalah garis7garis x=% untuk ∈" .


43/54

gambar 2.2" fungsi dan

-ontoh 2.<

9ambarkan grafik fungsi trigonometri

a . f ( x )=3sin( x2 )b . g ( x )=¿sin2 x∨¿

enyelesaian* %ntuk bagian a. untuk mendapatkan grafiknya seperti pada gambar

2.0.

erhatikan bahwa sin x mempunyai perioda

2 % , maka

sin( x2 ) akan mempunyai

perioda 4 % . Sehinggaf ( x )=3sin

x

2

mempunyai perioda 4 % . +ungsi ini akan

memotong sumbu x jika3sin

x

2=0

, yaitu


44/54

gambar 2.&$ gra(k fungsi

di x=0, '2 % ,' 4 % ,⋯ . ilai7nilai fungsi

terletak pada range [−3,3 ] . ilai maksimum

fungsi adalah y=3 untuk x=% +4 % dan

nilai minimumnya adalah y=3

untuk

x=−% +4 % .

%ntuk bagian b. 9rafik diperlihatkan pada gambar 2.0. +ungsi g selalu bernilai

non negatif karena adanya faktor tanda nilai mutlak, |sin2 x|≥ 0 . "aka tanpa

tanda nilai mutlak diperoleh untuk∀ ∈"

g ( x )=

{ sin2 x , % ≤ x ≤

( +1 ) % 2

−sin2 x , (2 +1 ) %

2


45/54

gambar 2.&$ keluarga fungsi eksponensial

2.3.*. Fungsi +ksp!nen dan L!gari#"aBentuk fungsi eksponen didasarkan pada

bentuk bilangan berpangkat a x

untuk

sembarang nilai a bilangan positif.

erhatikan gambar 2.02 yang

menunjukkan beberapa fungsi keluarga

fungsi eksponen f ( x )=a x

. Semua

grafik fungsi memotong sumbu y di

titik (0,1) karena a0=1, a≠ 0 . !ari

gambar pula kita dapat menggolongkan

bentuk fungsi y=a x

ke dalam tiga

kelompok.

%ntuk 00 , fungsi eksponennya monoton naik (secara cepat).

!omain fungsi eksponen adalah seluruh bilangan riil dan rangenya adalah (0,∞ ) .

Sifat penting yang perlu diingat untuk bentuk eksponen, adalah untuk x dan y

bilangan riil dan a dan b bilangan positif, berlaku*


46/54

gambar 2.&2 gra(k fungsi di#erminkan pada sumbu kemudian digeser sejauh & ke aas

. a x+ y=a x a y

2. a

x− y=a

x

a y

0. (a x )

y=a xy

3. (ab) x=a x b x

4. -ontoh 2.=

8. Sketsakan grafik fungsi f ( x )=3−2 x

, tentukan domain dan range dari

grafiknya.

;. enyelesaian* !ari gambar 2.0 bentuk grafik fungsi y=2 x

kemudian

mengalami refleksi terhadap sumbu x menjadi bentuk y=−2 x

,

selanjutnya digeser sejauh 0 ke atas sehingga diperoleh bentuk y=3−2 x

.

>ihat gambar 2.02.


47/54

gambar 2.&& gra(k fungsi dan

4. !omain fungsi y=3−2 x

adalah Df = R dan rangenya adalah

Rf =(−∞ ,3) .

8. Bentuk fungsi eksponen yang banyak diaplikasikan adalah bentuk y=) x

dimana ) + 2,71828 adalah bilangan irrasional dan disebut sebagai

bilangan alam (notasi ) untuk menghormati ahli matematika dari Swiss

>eonhard uler). "aka bentuk f ( x )=) x

dan g ( x )=)− x

disebut juga

sebagai fungsi eksponen alam, tetapi penyebutan fungsi eksponen lebih sering

digunakan untuk bentuk ) x

dan )− x

daripada bentuk a x

untuk

a ≠ ) . +ungsi ini merupakan fungsi yang domainnya adalah semua bilangan

riil dan rangenya senantiasa positif. 9rafiknya tidak pernah memotong sumbu

x , f (0 )=1 yang menunjukkan grafiknya akan memotong sumbu y

di titik (0,1) , lihat gambar 2.00.

;. /etika x

makin besar ke arah

positif maka fungsi )− x

makin menuju

, sebaliknya makin besar ke arah negatif,

)− x

akan bergerak menjadi sangat

besar.


48/54

gambar 2.&& 'ra(k fungsi

2.

x

22.

5

20.

1

23.

1

24.

2

28.

2

2;.

3

2


49/54

gambar 2.&4 iga anggoa keluarga fungsi logarima

80. Bentuk fungsi transenden, logaritma natural, f ( x )= ln x ataupun logaritma

biasa, f ( x )=log x adalah fungsi yang berhubungan langsung dengan

bentuk fungsi eksponen. "isalkan f ( x )=ln x dan g ( x )=) x

, maka

komposisi keduanya adalah h ( x )=fog ( x )=gof ( x )= x . 'adi diperoleh

hubungan sebagai berikut

83. ln x= y⟺) y= x .

84. !emikian pula denganf ( x )=loga x

dang ( x )=a x

, komposisi keduanya

juga menghasilkan bentuk fog ( x )=gof ( x )= x , dan diperoleh

88. loga x= y⟺a y= x .

8;. 9ambar 2.03 menunjukkan tiga keluarga fungsi logaritma. /etiga fungsi itu

berpotongan di sumbu x

di (1,0) . !omain fungsi logaritma adalah

bilangan riil positif dan rangenya adalah semua bilangan riil.

8


50/54

gambar 2.&5 fungsi logarima

;2. y=ln( x−2) . Selanjutnya persamaan itu ditransformasi lagi ke atas sejauh

satuan hingga diperoleh grafik fungsi y=ln( x−2)+1 .

;0.

;3.

;4.

;8.

;;.

78.

.

/.La#ian

81.

. %ntuk f ( x )= x3+3 x hitunglah nilai fungsi berikut*


51/54

88. a . x

2+ y2=1 b . x y+ y+ x=1 c . x=√ 2 y+1 d . x= y

y+1


52/54

a. 'ika f dan g fungsi ganjil, maka f +g dan f −g juga adalah

fungsi ganjil

b. 'ika f dan g fungsi genap, maka f +g dan f −g juga adalah

fungsi genap

c. 'ika f fungsi genap dan g fungsi ganjil, maka fg adalah fungsi

ganjil

3.. yatakan apakah fungsi yang diberikan genap atau ganjil atau tidak satu pun,

kemudian gambarkan grafiknya.

4. a . f ( x )=−4 b . f ( x )=3 x c . f ( x )=3 x2+2 x−1

8. d . f ( x )={

1, x ≤ 0 x+1, 0


53/54

0.

3. "isalkan

f ( x )=ax+b

cx−a , tunjukkan bahwaf ( f ( x ) )= x

jika

a2+bc ≠0

dan

x ≠ a /c .

3.

4. "isalkan f ( x )= x /( x−1) , tentukan dan sederhanakan bentuk f ( f ( x ) ) dan

f ( 1f ( x) ) .4.8.

8. 1entukan aturan fungsi tanpa mengandung tanda nilai mutlak E E, kemudiangambarkan grafik fungsinya.

;. a . f ( x )=|2 x+1|b . f ( x )=−¿ x2−16∨¿


54/54

bab 2 fungsi riilnew1

Documents